BO DE 03 PT PHUC 0024 0024 0053

Chuyên đề Số phức

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng

Tài liệu bài giảng:

03. PHƯƠNG TRÌNH PHỨC
Thầy Đặng Việt Hùng
I. CĂN BẬC HAI SỐ PHỨC
Cho số phức z = a + bi, số phức w = x + yi được gọi là căn bậc hai của số phức z nếu w2 = z hay
(x + yi)2 = a + bi.
Chú ý :
Khi b = 0 thì z = a, ta có 2 trường hợp đơn giản sau :
+ TH1 : a > 0 ⇒ ω = ± a
+ TH2 : a < 0 ⇒ z = i 2 a ⇒ ω = ±i a
Khi b ≠ 0, để tìm căn bậc 2 của z ta giải hệ phương trình từ đồng nhất thức: (x + yi)2 = a + bi
x2 − y2 = a
2
2
hay x − y + 2 xyi = a + bi ⇔ 
2 xy = b
Ví dụ 1. Tìm các căn bậc hai của các số phức sau
a. z = 5
b. z = –7
c. z = −1 − 2 6i
Hướng dẫn giải:
a. z = 5 ⇒ ω = ± 5
b. z = −7 = 7i 2 ⇒ ω = ±i 7
c. Gọi w = x + yi là căn bậc hai của số phức z = −1 − 2 6i , ta có

− 6

y
=

x2 = 2
2
2
x

x
−
y
=
−
1
2


⇔
⇔
( x + yi ) = −1 − 2 6i ⇔ x 2 − y 2 + 2 xyi = −1 − 2 6i ⇔ 
2
− 6
2 xy = −2 6
 x 2 −  − 6  = −1  y =


x


x




Hệ phương trình trên có 2 nghiệm

(

)(

2; − 3 ; − 2; 3

)

Vậy có 2 căn bậc hai của −1 − 2 6i là 2 − 3i và − 2 + 3i
Ví dụ 2. Tính căn bậc hai của các số phức sau :
a. z = −1 + 4 3i
b. z = 4 + 6 5i
d. z = 4i
e. z = −5 − 12i
1
2
+
i
4 2
Ví dụ 3. Viết các số phức sau dưới dạng chính phương ?
a) z = −21 + 20i = .....................................

g. z = −40 + 42i

h. z =

c. z = –18i
f. z = 11 + 4 3i
i. z = −8 + 6i

b) z = 1 + 4 3i = .......................................
c) z = −15 + 8i = .....................................
d) z = −1 − 2 2i = .......................................
e) z = 5 − 12i = .....................................
f) z = 13 + 8 3i = .......................................
g) z = 22 − 10 2i = .......................................

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên!

www.moon.vn


Chuyên đề Số phức

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng

II. PHƯƠNG TRÌNH PHỨC BẬC 2
Xét phương trình phức bậc 2 : Az2 + Bz + C = 0 có ∆ = B2 – 4AC.
TH1: Các hệ số A, B, C là các số thực. Tính ∆ = B 2 − 4 AC
−B ± ∆
+ Nếu ∆ > 0 thì phương trình có nghiệm thực z =
2A
+ Nếu ∆ < 0 ⇒ ∆ = −i 2 ∆ ⇒ ∆ = ±i ∆ ⇒ z =

−B ± i ∆

2A
TH2: Các hệ số A, B, C là các số phức.
Tính ∆ = B 2 − 4 AC = a + bi = ( x + yi ) 2
− B ± ( x + yi )
Khi đó phương trình có nghiệm z =
2A
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức
a. z 2 + 2z + 5 = 0
b. z 2 − 4z + 20 = 0
c. (z2 + i)(z2 – 2iz – 1) = 0
d. z2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0
Hướng dẫn giải:
2
a. z + 2 z + 5 = 0.
Ta có ∆ ' = −4 = 4i 2 ⇒ ∆ = ±2i ⇒ z = −1 ± 2i
b. Ta có ∆ ' = −16 = 16i 2 ⇒ ∆ = ±4i ⇒ z = 2 ± 4i
 z 2 = −i
2
2
c. ( z + i )( z − 2iz − 1) = 0 ⇔  2
 z − 2iz − 1 = 0
1
1

z=
−
i
2


1
1
 1− i 
2
2
2
2
2
TH1 : z + i = 0 ⇔ z = −i = ( −2i ) = (1 − i ) = 
 ⇒
1
1
2
2

 2
z
=
−
+
i

2
2
TH2 : z 2 − 2iz − 1 = 0 ⇔ z 2 − 2iz + i 2 = 0 ⇔ ( z − i ) 2 = 0 ⇔ z = i.
1
1
−1 1
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là z1 =
−

i; z 2 =
+
i; z3 = i.
2
2
2
2
Nhận xét :
Ngoài các cách giải chuẩn mực ở trên, chúng ta có thể giải tắt mà không cần tính toán ∆ hay ∆’ như sau
2
2
a. z 2 + 2 z + 5 = 0 ⇔ ( z + 1) + 4 = 0 ⇔ ( z + 1) − 4i 2 = 0 ⇔ ( z + 1) 2 = (2i ) 2 ⇒ z = −1 ± 2i

b. z 2 − 4 z + 20 = 0 ⇔ ( z − 2 ) + 16 = 0 ⇔ ( z − 2) 2 = 16i 2 = (4i ) 2 ⇒ z = 2 ± 4i
d. z2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0.
Ta có ∆ = (1 – 3i)2 + 8(1 + i) = 2i = (1 + i)2
3i − 1 + 1 + i

= 2i
 z1 =
2
Vậy các nghiệm của phương trình đã cho là 
 z = 3i − 1 − 1 − i = i − 1
 2
2
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức
2

iz + 3
 iz + 3 

a) 
−4 = 0
 − 3.
z − 2i
 z − 2i 
b) z 3 − 8 = 0
c) 4 z 4 − 3 z 2 − 1 = 0
2

Hướng dẫn giải:
iz + 3
 iz + 3 
a) 
−4 = 0
 − 3.
z − 2i
 z − 2i 
2

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên!

www.moon.vn


Chuyên đề Số phức

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng

Đặt

t = −1
iz + 3
= t ⇒ t 2 − 3t − 4 = 0 ⇔ 
z − 2i
t = 4

Với t = 4 ⇔
⇒z=

iz + 3
−3 − 8i (−3 − 8i ) ( i + 4 ) −4 − 35i
= 4 ⇔ iz + 3 = 4( z − 2i ) ⇔ z (i − 4) = −3 − 8i ⇒ z =
=
=
z − 2i
i−4
i 2 − 16
−17

4 35
+ i
17 17

Với t = −1 ⇔

iz + 3
2i − 3 ( 2i − 3)( i − 1) 1 − 5i
= −1 ⇔ iz + 3 = 2i − z ⇔ z ( i + 1) = 2i − 3 ⇒ z =
=
=

z − 2i
i +1
i2 −1
−2

1 5
⇒z=− + i
2 2
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phức là z1 =

4 35
1 5
+ i; z 2 = − +
17 17
2 2

b) z3 – 8 = 0⇔ (z – 2)(z2 + 2z + 4 ) = 0
TH1 : z – 2 = 0 ⇔ z = 2
TH2 : z 2 + 2 z + 4 = 0 ⇔ ( z + 1) 2 = −3 = 3i 2 ⇒ z = −1 ± i 3
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phức là z1 = 2; z 2 = −1 − i 3; z3 = −1 + i 3

c) 4 z 4 − 3 z 2 − 1 = 0 .

t = 1
Đặt z = t. Phương trình đã cho tương đương với 4t − 3t − 1 = 0 ⇔ 
t = − 1

4
−1
Giải phương trình tìm được t = 1 hoặc t = .

4
2
Với t = 1 ta được z = 1 ⇒ z = ± 1
1 i2
i
Với t = − = = 0 ⇔ z = ±
4 4
2
i
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phức là z = ±1; z = ± .
2
2
Ví dụ 3. Gọi z1, z2 là các nghiệm của các phương trình z + 2z + 5 = 0. Tính giá trị các biểu thức sau
2

2

2

2

2

2

A = z1 + z2 ; B = z1 + z2 − 4 z1 z2
Hướng dẫn giải:
 z1 = −1 + 2i
Ta có z 2 + 2 z + 5 = 0 ⇔ ( z + 1) 2 = −4 = (2i ) 2 ⇒ 
 z2 = −1 − 2i

 z1 = 1 + 4 = 5
 z1 = −1 − 2i  z1 = 5
Khi ta có 
và 
⇒
 z1 = −1 + 2i  z2 = 5
 z2 = 1 + 4 = 5

2

2

2

2

A = z1 + z2 = 5 + 5 = 10
B = z1 + z2 − 4 z1 z2 = 5 + 5 − 4. 5. 5 = −10
Vậy A = 10 và B = –10
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) z 2 + 2z + 5 = 0

b) z 2 − 4z + 20 = 0

c) −3z 2 + z − 5 = 0

d) 4z 2 + 9 = 0

e) 3z 2 − z + 2 = 0

f) z 2 − 3z + 1 = 0

Ví dụ 5. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a) z 2 + 2(i − 2)z + 3 − 2i = 0

b) z 2 − (i + 3)z − 2 − 2i = 0

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên!

www.moon.vn


Chuyên đề Số phức

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng

c) z 2 − (3 + i)z + 4 + 3i = 0

d) iz 2 − z + 3 + i = 0

e) iz 2 + 2iz − 4 = 0

f) z 2 − (3 − i)z + 4 − 3i = 0

g) 3iz 2 − 2z − 4 + i = 0

h) z 2 − 8(1 − i)z + 63 − 16i = 0

Ví dụ 6. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a) z 3 − 8 = 0

b) z 3 + 4z 2 + 6z + 3 = 0

c) z 4 − z3 + 6z 2 − 8z − 16 = 0

d) z 4 − z 2 − 12 = 0

e) z 4 − 2z 2 − 8 = 0

g) 4z 4 − 3z 2 − 1 = 0

g) z 4 − 6z 2 + 8 = 0

h) z 4 − 16 = 0

Ví dụ 7. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a) (1 + i)z 2 = −1 + 7i

b) (z − i)(z 2 + 1)(z 3 + i) = 0

c) (2 + 3i)z = z – 1

d) ( z 2 + z ) + 4 ( z 2 + z ) − 12 = 0

e) ( z + 3 − i ) − 6 ( z + 3 − i ) + 13 = 0

iz + 3
 iz + 3 

f) 
−4=0
 − 3.
z − 2i
 z − 2i 

g) ( z 2 + 1) + ( z + 3) = 0

g) ( z 2 + 9 )( z 2 − z + 1) = 0

2

2

2

2

2

i) ( z + 3i ) ( z 2 − 2z + 5 ) = 0
Ví dụ 8. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a) z + 16 = 0

 z+i 
b) 
 =1
 z − 2i 

c) (z 2 + 3z + 6) 2 + 2z(z 2 + 3z + 6) − 3z 2 = 0

d) (z + 1) 4 + 2(z + 1)2 + (z + 4) 2 + 1 = 0

4

4

Ví dụ 9. Giải các phương trình sau:
a) z 2 − 7 z + 11 + 3i = 0
Đ/s: a) z = 5 − i; z = 2 + i

b) z 2 + 2(1 − 2i ) z − 7 − 4i = 0
b) z = 1 + 2i; z = −3 + 2i

c) z 2 − 2(2 − i ) z + 6 − 8i = 0
Đ/s: c) z = 3 + i; z = 1 − 3i

d) z 2 − (2 + i ) z + 1 + i = 0
d) z = 1; z = 1 + i

Ví dụ 10. Giải các phương trình sau (bậc ba):
a) z 3 − (2 + i ) z 2 + (2 + 2i ) z − 2i = 0 biết phương trình có một nghiệm là z = i.
Đ/s: z = i; z = 1 ± i
b) z 3 + 4 z 2 + (4 + i) z + 3 + 3i = 0 biêt phương trình có một nghiệm là z = – i.
Đ/s: z = −i; z = −1 + i; z = −3
c) z 3 − z 2 + (2 − 2i ) z + 2 + 4i = 0 biết phương trình có một nghiệm là z = 1 – i.
Đ/s: z = 3 + i; z = 1 − 3i

d) z = 1; z = 1 + i

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên!

www.moon.vn