Bài tập chọn lọc đường tròn

 

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH


HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn
sách này là phiên bản in của sách điện tử tại .
Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.
Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:
1.  Vào trang 
2.  Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng
ký.
3.  Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những
chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc.
4.  Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn.
Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào
đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất.
5.  Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.
Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in
cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương
ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.

Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải
chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm
để tiện truy cập.
Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®
Tilado®


ĐƯỜNG TRÒN

BÀI TOÁN LIÊN QUAN
1. Cho hình thang cân ABCD, hãy chứng minh rằng tồn tại một đường tròn đi
qua cả bốn đỉnh của hình thang .
 
Xem lời giải tại:
/>2. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O). M là điểm bất kỳ thuộc cung BC không
chứa A. Gọi D, E theo thứ tự là các điểm đối xứng với M qua AB và AC. Tìm vị trí
của M để DE có độ dài lớn nhất.
 
Xem lời giải tại:
/>3. Cho tam giác ABC. Từ trung điểm của các cạnh tam giác kẻ các đường vuông
góc với hai cạnh kia tạo thành một lục giác. Chứng minh rằng diện tích của tam
giác ABC gấp hai lần diện tích của lục giác tạo thành.
 
Xem lời giải tại:
/>4. Cho ba điểm A, B, C bất kì và đường tròn (O) bán kính bằng 1. Chứng minh
rằng tồn tại một điểm M nằm trên đường tròn (O) sao cho MA + MB + MC ≥ 3.
 
Xem lời giải tại:
/>5. Trên đường tròn (O ; R) đường kính AB lấy điểm C. Trên tia AC lấy điểm M
sao cho C là trung điểm của AM.
a.  Xác định vị trí của điểm C để AM có độ dài lớn nhất.
b.  Xác định vị trí của điểm C để AM = 2R√3.
c.  Chứng minh rằng khi C di động trên đường tròn (O) thì điểm M di động trên
một đường tròn cố định.


Xem lời giải tại:
/>6. Cho đường tròn (O ; R) và dây cung AB ( không phải đường kính ). Kéo dài AB
^

^
o
về phía B lấy điểm C sao cho BC = R. Chứng minh rằng AOC = 180  ‐ 3.ACO
 
Xem lời giải tại:
/>7. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O), AC = 40cm, BC = 48cm.
Tính khoảng cách từ O đến BC.
 
Xem lời giải tại:
/>8. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5cm, AC = 12cm. Gọi M là trung điểm
của BC. Hãy xác định vị trí của mỗi điểm B, M, C đối với đường tròn tâm A bán
kính 6,5cm.
 
Xem lời giải tại:
/>9. Cho tam giác đều ABC. Gọi M, H, N lần lượt là trung điểm của ba cạnh AB, BC,
CA. Chứng minh bốn điểm B, M, N, C nằm trên một đường tròn có tâm H.
 
Xem lời giải tại:
/>10. Cho đường tròn (O) và dây AB không phải là đường kính. Gọi M là trung
điểm của AB, qua M vẽ dây cung CD không trùng với AB. Chứng minh rằng:
a.  M không phải là trung điểm của CD.
b.  AB < CD
Xem lời giải tại:
/>11. Cho đường tròn (O), hai dây AB, CD của đường tròn kéo dài cắt nhau tại


điểm M nằm ngoài (O). Gọi H, E là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng
AB < CD  ⇔  MH < ME.
 
Xem lời giải tại:

/>12. Cho đường tròn (O ; 2,5cm) và dây AB di động sao cho AB = 4cm. Hỏi trung
điểm M của AB di động trên đường nào?
 
Xem lời giải tại:
/>13. Cho đường tròn tâm O bán kính 10cm, dây AB bằng 16cm. Vẽ dây CD song
song với AB và có khoảng cách đến AB bằng 11cm. Tính độ dài dây CD.
 
Xem lời giải tại:
/>14. Cho đường tròn tâm O bán kính OA = 11cm. Điểm M thuộc bán kính OA của
đường tròn và cách O là 7cm. Qua M kẻ dây CD có độ dài 18cm. Tính các độ dài
MC, MD (biết CD < MD ).
 
Xem lời giải tại:
/>15. Cho đường tròn (O) có hai dây AB, CD bằng nhau và vuông góc với nhau tại
E, CE = 4cm, DE= 28cm.
a.  Tính khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây
b.  Vẽ đường kính DF của (O). So sánh hai khoảng cách từ tâm O đến hai dây
cung CF và AB.
Xem lời giải tại:
/>16. Cho đường tròn tâm O bán kính 5cm, hai dây AB và CD song song với nhau
có độ dài lần lượt là 6cm và 8cm. Tính khoảng cách giữa hai dây.
 
Xem lời giải tại:
/>

17. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 13cm. Dây CD có độ dài 12cm
vuông góc với AB tại H.
a.  Tính các độ dài HA, HB.
b.  Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H lên AC, BC. Tính diện tích của tứ giác
CMHN.

Xem lời giải tại:
/>18. Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ các nửa đường tròn đường kính AB và AC
ở ngoài tam giác ABC. Qua A kẻ đường thẳng (d) cắt nửa đường tròn nói trên lần
lượt tại D và E. Xác định vị trí của (d) để chu vi tứ giác BCDE đạt giá trị lớn nhất.
 
Xem lời giải tại:
/>

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG
TRÒN
BÀI TẬP LIÊN QUAN
19. Cho đường tròn tâm O bán kính 5cm và một điểm A cách O là 13cm. Kẻ tiếp
tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Tính độ dài AB.
 
Xem lời giải tại:
/>20. Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm, BC = 10cm. Chứng minh rằng AC
là tiếp tuyến của đường tròn tâm B bán kính BA.
 
Xem lời giải tại:
/>21. Cho điểm O cách đường thẳng (d) là 4cm. Vẽ đường tròn (O ; 5cm).
a.  Chứng minh rằng đường tròn (O) có hai giao điểm với đường thẳng (d).
b.  Gọi hai giao điểm nói trên là B và C, tính độ dài BC
Xem lời giải tại:
/>22. Cho đường tròn tâm O có bán kính OA = R, dây MN vuông góc với OA tại
trung điểm I của OA. Tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt đường thẳng OA tại E.
Tính độ dài IE theo R.
 
Xem lời giải tại:
/>23. Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH. Đường tròn tâm I đường
kính BH cắt AB tại M. Đường tròn tâm K đường kính HC cắt AC tại N. Gọi O là

giao điểm của AH và MN. Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến của (I) tại M, là tiếp
tuyển của (K) tại N.
 


Xem lời giải tại:
/>24. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A bán kính
AH. Gọi HD là đường kính của đường tròn (A ; AH). Tiếp tuyến của đường tròn
tại D cắt AC tại E.
a.  Chứng minh rằng tam giác BEC cân.
b.  Gọi I là hình chiếu của A lên BE. Chứng minh rằng AI = AH.
c.  Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của (A ; AH)
d.  Chứng minh rằng BE = BH + DE.
Xem lời giải tại:
/>25. Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Hai tiếp tuyến Ax và By nằm cùng
một nửa mặt phẳng bờ AB; Qua điểm M nằm trên đường tròn, kẻ tiếp tuyến cắt
Ax và By tại D và E với DE không song song với AB. Vẽ đường tròn tâm I đường
kính DE. Chứng minh rằng AB là tiếp tuyến của (I)
 
Xem lời giải tại:
/>26. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O ; R) thỏa mãn OA = 3R, kẻ hai tiếp
tuyến AM và AN với đường tròn , M và N là hai tiếp điểm. Qua E thuộc cung nhỏ
MN, kẻ tiếp tuyến thứ ba với đường tròn (O) cắt AM và AN lần lượt tại H và K.
Tính chu vi tam giác AHK theo R.
 
Xem lời giải tại:
/>27. Cho điểm M ở ngoài (O ; R), qua M ta kẻ cát tuyến MAB qua tâm O và cát
tuyến MCD. Kẻ tiếp tuyến MT. Chứng minh rằng:
a.  MA.MB = MC.MD = MT 2
b.  ΔMTC  ∼ Δ MDT.

Xem lời giải tại:
/>28. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Gọi E là điểm đối


xứng với B qua H. Đường tròn có đường kính là EC cắt AC ở K. Chứng minh rằng
HK là tiếp tuyến của đường tròn.
 
Xem lời giải tại:
/>29. Cho tam giác ABC cân tại A, I là giao điểm của các đường phân giác.
a.  Hãy xác định vị trí tương đối của đường thẳng AC với đường tròn (O) ngoại
tiếp tam giác BIC.
b.  Gọi H là trung điểm của BC, IK là đường kính của (O). Hãy chứng minh 
AI
HI
=
AK HK
Xem lời giải tại:
/>^
ˆ B = 90
ˆ
30. Cho hình thang vuông ABCD (A = 
) có CMD = 90 0, với M là trung
điểm AB. Biết AB = 2.a.
0

a.  Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB
b.  Tính tích BC.AD theo a.
Xem lời giải tại:
/>31. Cho đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Gọi d là tiếp tuyến của đường
tròn, A là tiếp điểm. Gọi M là điểm bất kì thuộc d. Qua O kẻ đường thẳng vuông

góc với BM, cắt d tại N. Xác định vị trí của M sao cho độ dài MN là nhỏ nhất.
 
Xem lời giải tại:
/>32. Cho nửa đường tròn đường kính AB và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa
đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên tia Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa
đường tròn, kẻ CH vuông góc với AB. Chứng minh rằng MB đi qua trung điểm
của CH.
 
Xem lời giải tại:
/>

33. Cho đường tròn tâm O. Điểm K nằm bên ngoài (O). Kẻ các tiếp tuyến KA, KB
với đường tròn (A và B là hai tiếp điểm). Kẻ đường kính AC của (O). Tiếp tuyến
của (O) tại C cắt AB tại E. Chứng minh rằng:
a.  Tam giác KBC và tam giác OBE đồng dạng với nhau.
b.  CK  ⊥  OE.
Xem lời giải tại:
/>34. Cho đường tròn (O) bán kính OA và đường tròn (O') đường kính OA.
a.  Hãy xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (O) và (O').
b.  Dây AN của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ tại M. Chứng minh rằng AM =
MN.
Xem lời giải tại:
/>35. Cho hai đường tròn (O) và (O') có cùng bán kính, cắt nhau tại hai điểm phân
biệt A và B. Kẻ một cát tuyến chung của hai đường tròn đi qua A cắt (O) tại D và
(O') tại E. Chứng minh rằng BD = BE.
 
Xem lời giải tại:
/>36. Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc trong với nhau tại A. Qua A vẽ một
cát tuyến cắt hai đường tròn (O) và (O') lần lượt tại B và C. Kẻ các tiếp tuyến Bx
của đường tròn (O) và Cy của đườn tròn (O'). Chứng minh rằng Bx // Cy.

 
Xem lời giải tại:
/>37. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B sao cho hai điểm O và O'
cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB. Biết OA = 30cm, O'A = 26cm, AB = 48cm.
Tính độ dài OO'.
 
Xem lời giải tại:
/>38. Cho hai đường tròn (O) và (O') ở ngoài nhau. Kẻ các tiếp tuyến chung ngoài
AB và CD của hai đường tròn, trong đó A và C thuộc (O); B và D thuộc (O'). Tiếp


tuyến chung của hai đường tròn là GH cắt AB và CD theo thứ tự ở E và F; G thuộc
(O), H thuộc (O'). Chứng minh rằng:
a.  AB = EF
b.  EG = FH
Xem lời giải tại:
/>39. Cho hai đường tròn (O) và (O') nằm ngoài nhau, AB và CD là hai tiếp tuyến
chung ngoài của hai đường tròn, đường thẳng AD cắt (O) tại điểm M, cắt (O') tại
điểm N. Chứng minh rằng AM = DN.
 
Xem lời giải tại:
/>40. Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Qua A vẽ hai
đường thẳng cắt (O) và (O') lần lượt tại B và C (BC không song song với OO').
a.  Chứng minh OB và O'C song song với nhau.
b.  Vẽ đường kính BD của đường tròn (O), đường kính CE của đường tròn (O').
Chứng minh rằng AB.CE = AC.BD.
Xem lời giải tại:
/>41. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Qua A kẻ cát tuyến CAD
^
và EAF (C và E thuộc (O), A và F thuộc (O')) sao cho AB là tia phân giác của CAF.

Hãy chứng minh rằng CD = CF.
 
Xem lời giải tại:
/>42. Cho ba đường tròn tâm O 1, O 2, O 3 cùng có bán kính R và đôi một tiếp xúc
ngoài với nhau. Tính diện tích tam giác có ba đỉnh là ba tiếp điểm.
 
Xem lời giải tại:
/>43. Cho (O' ; R') tiếp xúc trong với đường tròn (O ; R) sao cho điểm O nằm trên
(O'). Một dây cung AB của (O) di động và tiếp xúc với (O') tại C. Hãy xác định vị


trí của dây AB để AC 2 + BC 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
 
Xem lời giải tại:
/>

BÀI TẬP TỔNG HỢP
BÀI TẬP LIÊN QUAN
44. Cho đoạn thẳng AB, điểm C nằm giữa A và B. Vẽ về một phía của AB các nửa
đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, AC, CB. Đường vuông góc với AB
tại C cắt nửa đường tròn lớn tại D. DA, DB cắt nửa đường tròn có đường kính AC,
CB theo thứ tự tại M, N.
a.  Tứ giác DMCN là hình gì?
b.  Chứng minh hệ thức DM. DA = DN. DB
c.  Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến chung của các đường tròn có đường kính
AC và CB.
d.  Điểm C ở vị trí nào trên AB thì MN có độ dài lớn nhất?
Xem lời giải tại:
/>45. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa
nửa đường tròn vẽ các tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn. Gọi M là điểm

thuộc nửa đường tròn, D là giao điểm của AM và By, C là giao điểm của BM và
Ax, E là trung điểm của BD. Chứng minh rằng:
a.  AC. BD = AB 2
b.  ME là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O).
Xem lời giải tại:
/>46. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung

( )

ngoài DE, D ∈ (O); E ∈ O ′ . Kẻ tiếp tuyến chung trong tại A, cắt DE ở I. Gọi M
là giao điểm của OI và AD, N là giao điểm của O’I và AE.
a.  Tứ giác AMIN là hình gì? vì sao?
b.  Chứng minh hệ thức IM. IO = IN. IO ′
c.  Chứng minh rằng OO’ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là DE.
d.  Tính độ dài DE biết rằng OA = 5cm; O ′ A = 3, 2cm.


Xem lời giải tại:
/>47. Cho đường tròn (O) đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn. Vẽ điểm N
đối xứng với A qua M. BN cắt đường tròn ở C. Gọi E là giao điểm của AC và BM.
a.  Chứng minh rằng NE⊥AB
b.  Gọi F là điểm đối xứng với E qua M. Chứng minh rằng FA là tiếp tuyến của
đường tròn (O)
c.  Chứng minh rằng FN là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA).
Xem lời giải tại:
/>48. Cho đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau. Gọi AB và CD là các tiếp tuyến

( )

chung ngoài trong đó A, C ∈ (O); B, D ∈ O ′ . Đường thẳng AD cắt (O) và (O’)

lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng:
a.  Bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.
b.  AE = DF.
Xem lời giải tại:
/>49. Cho ΔABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). AC = 40cm; BC = 48cm. Tính
khoảng cách từ O đến BC.
 
Xem lời giải tại:
/>50. Cho hai đường tròn (O) và (O’) có cùng bán kính cắt nhau tại A và B. Kẻ cát

( )

tuyến chung DAE của hai đường tròn D ∈ (O); E ∈ O ′ . Chứng minh rằng 
BD = BE.
 
Xem lời giải tại:
/>51. Cho đường tròn (O) và đường thẳng d tiếp xúc nhau tại A. Gọi BC là một
đường kính của đường tròn, H và K là hình chiếu của B và C trên d. Chứng minh:


^
a.  BA là tia phân giác của OBH
b.  Các đường tròn (B; BH) và (C; CK) tiếp xúc ngoài với nhau
c.  BC là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH)
d.  Chứng minh các đường tròn (B; BH); (C; CK) và (A; AH) cùng đi qua một
điểm.
Xem lời giải tại:
/>52. Cho ΔMAB. Vẽ đường tròn (O), đường kính AB cắt MA ở C cắt MB ở D. Kẻ AP
⊥CD, BQ⊥CD. Gọi giao điểm của AD với BC là H. Chứng minh:
a.  CP = DQ

b.  PD. DQ = AP. BQ
c.  QC. CP = PD. QD
d.  MH⊥AB
Xem lời giải tại:
/>53. Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) tiếp xúc ngoài nhau tại A, kẻ tiếp tuyến

( )

chung ngoài BC, trong đó B ∈ (O); C ∈ O ′ . OI cắt AB tại K, IO’ cắt AC tại H
a.  Tứ giác IKAH là hình gì?
b.  Tứ giác OBCO’ là hình gì? Tính chu vi của tứ giác OBCO’.
c.  Gọi D là giao điểm của CA với đường tròn (O) (D ≠ A) , chứng minh rằng ba
điểm B, O, D thẳng hàng.
Xem lời giải tại:
/>54. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Gọi CD là tiếp tuyến

( )

chung ngoài của hai đường tròn C ∈ (O); D ∈ O ′ .
^
a.  Tính số đo CAD
b.  Tính độ dài CD biết OA = 4, 5cm; O ′ A = 2cm
Xem lời giải tại:


/>
55. Cho đường tròn (O), đường kính AB và điểm I nằm giữa A và O. Qua I kẻ dây
cung CD rồi kẻ AH, OE, BK vuông góc với CD. Đường thẳng OE cắt BH ở F. Chứng
minh:
a.  F là trung điểm của HB

b.  OE =

BK − AH
2

c.  AI. IK = IH. IB
Xem lời giải tại:
/>56. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A và B (O và O’ thuộc hai nửa mặt
phẳng bờ AB). Một cát tuyến kẻ qua A cắt đường tròn (O) ở C, cắt đường tròn
(O’) ở D. Kẻ OM⊥CD và O’N⊥CD.
a.  Chứng minh MN =

CD
2

b.  Gọi I là trung điểm của MN, Chứng minh rằng đường thẳng kẻ qua I vuông
góc với CD đi qua điểm cố định khi cát tuyến CD qua A thay đổi.
c.  Nếu CD / / OO ′  thì tứ giác MOO’N là hình gì?
Xem lời giải tại:
/>57. Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau, kẻ các tiếp tuyến chung ngoài
AB và CD (A, C thuộc (O); B, D thuộc (O’)). Kẻ tiếp tuyến chung trong GH (G
thuộc (O); H thuộc (O’)). GH cắt AB, CD theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng:
a.  AB = EF
b.  EG = FH
Xem lời giải tại:
/>58. Cho ΔABC có BC = a; AC = b; AB = c. Gọi (I) là đường tròn nội tiếp ΔABC
đường vuông góc với CI tại I cắt AC, BC theo thứ tự M, N. Chứng minh rằng:
a.  AM. BN = IM 2 = IN 2.

b. 

IA 2
bc

+

IB 2
ca

+

IC 2
ab

= 1.

Xem lời giải tại:
/>59. Cho nửa đường tròn đường kính AB, qua điểm C bất kỳ trên nửa đường tròn
dựng đường thẳng d là tiếp tuyến của nửa đường tròn tại C. Gọi E, F lần lượt là
hình chiếu của A, B lên d, H là hình chiếu của C lên AB. chứng minh rằng:
a.  C là trung điểm của đoạn thẳng EF.
^
b.  BC là tia phân giác của ABF
c.  CH 2 = AE. BF
Xem lời giải tại:
/>60. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A, kẻ tiếp tuyến chung

( )

ngoài MN với M ∈ (O) và N ∈ O ′ . Gọi P là điểm đối xứng với M qua OO’, Q là
điểm đối xứng với N qua OO’. Chứng minh rằng:
a.  MNQP là hình thang cân
b.  PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’)
c.  MN + PQ = MP + NQ
Xem lời giải tại:
/>61. Cho ΔABC ngoại tiếp đường tròn (O). Gọi D, E, F theo thứ tự là tiếp điểm
trên các cạnh BC, AB, AC. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ D đến EF. Chứng
^
^
minh rằng: BHE = CHF
 
Xem lời giải tại:
/>62. Bán kính của đường tròn nội tiếp một tam giác bằng 2cm, tiếp điểm trên
một cạnh chia cạnh đó thành hai đoạn thẳng 4cm và 6cm. Tính các cạnh còn lại
của tam giác.
 


Xem lời giải tại:
/>63. Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Gọi E là
giao điểm CM và DN.
^
a.  Tính CEN
b.  Chứng minh: A, D, E, M cùng thuộc một đường tròn.
c.  Xác định tâm của đường tròn đi qua 3 điểm B, D, E.
Xem lời giải tại:
/>64. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, AC là dây cung của nó. Kẻ tiếp
^
tuyến Ax và kẻ đường phân giác của CAx cắt đường tròn tại E và BC kéo dài tại

D. Gọi I là giao điểm của AC và BE. Chứng minh:
a.  Tam giác ADB cân
b.  OE // BD
c.  DI⊥AB
d.  Khi C chạy trên đường tròn (O) thì D chạy trên đường nào
Xem lời giải tại:
/>65. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là trung điểm của
AC, tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A cắt tia BD tại E. Tia CE cắt (O) tại điểm
thứ hai là F.
a.  Chứng minh BC // AE
b.  Chứng minh tứ giác ABCE là hình bình hành.
c.  Gọi I là trung điểm của CF và G là giao điểm của các tia BC và OI . Tính tỉ số 
^
BAC
.
^
BGO
Xem lời giải tại:
/>66. Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (O). M là điểm bất kỳ thuộc cung BC không
chứa A. Gọi D, E theo thứ tự là các điểm đối xứng với M qua AB, AC. Tìm vị trí M
để DE có độ dài lớn nhất.


 
Xem lời giải tại:
/>67. Cho ΔABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi M là trung điểm của BC. Giả
sử O nằm trong ΔAMC hoặc O nằm giữa A và M. Gọi I là trung điểm của AC.
Chứng minh rằng:
a.  Chu vi của ΔIMC lớn hơn 2R
b.  Chu vi của ΔABC lớn hơn 4R

Xem lời giải tại:
/>68. Cho ΔABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O); cạnh bên bằng b, đường cao 
AH = h. Tính bán kính của đường tròn.
 
Xem lời giải tại:
/>69. Cho đường tròn (O; R) và một điểm A sao cho OA = R√2 vẽ các tiếp tuyến
^
^
AB, AC với đường tròn, DOE = 45 0 nằm trong BOC (D ∈ AB; E ∈ AC). Chứng
minh rằng:
a.  DE là tiếp tuyến của đường tròn (O)
2
b.  R < DE < R
3
Xem lời giải tại:
/>70. Cho hai đường tròn (M; 15) và (N; 15) cùng tiếp xúc ngoài với đường tròn 
(O; 15) sao cho O nằm giữa M và N. Tia đối của tia MO cắt đường tròn (M) tại A.
Vẽ dây AC của đường tròn (M) sao cho AC = 12√6.
a.  Chứng minh rằng đường thẳng AC tiếp xúc với đường tròn (N)
b.  Đường thẳng AC cắt đường tròn (O) tại D và E. Tính độ dài DE.
Xem lời giải tại:
/>71. Cho đường tròn (O; R) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Từ một điểm M di
động trên đường thẳng d⊥OA tại A, vẽ các tiếp tuyến MB, MC với đường tròn (B,
C là các tiếp điểm). Dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H và K.


a.  Chứng minh rằng OA.OK không đổi, từ đó suy ra BC luôn đi qua một điểm cố
định.
b.  Chứng minh rằng H di động trên một đường tròn cố định
c.  Cho biết OA = 2R, hãy xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác MBOC là

nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.
Xem lời giải tại:
/>72. Cho ΔABC vuông tại A (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC. Kẻ
dây AD ⊥ BC tại I. Gọi E là giao điểm của DB và CA. Qua E kẻ đường thẳng vuông
góc với BC, cắt BC tại H, cắt AB ở F. Chứng minh rằng:
a.  ΔEBF là tam giác cân
b.  ΔHAF là tam giác cân
c.  HA là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Xem lời giải tại:
/>73. Cho ΔABC cân tại A. Gọi I là giao điểm của các đường phân giác.
a.  Hãy xác định vị trí tương đối của đường thẳng AC với đường tròn (O) ngoại
tiếp ΔBIC
b.  Gọi H là trung điểm của BC, IK là đường kính của đường tròn (O).
AI
HI
Chứng minh rằng 
=
.
AK HK
Xem lời giải tại:
/>74. Cho ΔABC vuông ở A, đường cao AH. Đường tròn tâm (A) bán kính AH. Gọi
HD là đường kính của đường tròn (A; AH) tiếp tuyến của đường tròn tại D cắt CA
tại E.
a.  Chứng minh ΔBEC cân
b.  Gọi I là hình chiếu của A trên BE. Chứng minh rằng AI = AH
c.  Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH)
d.  Chứng minh rằng BE = BH + DE
Xem lời giải tại:
/>75. Cho đường tròn (O) và điểm A cố định trên đường tròn. Gọi xy là tiếp tuyến
với đường tròn tại A. Từ một điểm M nằm trên xy, vẽ tiếp tuyến MB với đường

tròn. Gọi H là trực tâm của tam giác MAB.


a.  Chứng minh rằng ba điểm M, O, H thẳng hàng.
b.  Tứ giác AOBH là hình gì?
c.  Khi M di chuyển trên xy thì H di chuyển trên đường nào?
Xem lời giải tại:
/>76. Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R) tiếp xúc ngoài tại A (R > R'). Vẽ các
đường kính AOB, AO'C, dây DE của đường tròn (O) vuông góc với BC tại trung
điểm K của BC.
a.  Chứng minh rằng tứ giác BDCE là hình thoi.
b.  Gọi I là giao điểm của EC và đường tròn (O'). Chứng minh rằng 3 điểm D, A, I
thẳng hàng.
c.  Chứng minh rằng KI là tiếp tuyến của đường tròn (O').
Xem lời giải tại:
/>77. Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H. Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN tới
đường tròn đường kính BC. Chứng minh rằng ba điểm M, H, N thẳng hàng.
 
Xem lời giải tại:
/>