Bài tập tỏng hợp đường tròn L9(P.H)

Biên soạn: phạm hinh.
Chuyên đề hình học
Bài tập tổng hợp đờng tròn.
Bài tập 1
Cho tam giác ABC nhọn, H là trực tâm và AP, BN, CM là ba đờng cao của
tam giác ABC.
a) Chứng minh rằng các tứ giác AMHN, ANPB nội tiếp.( ? trên hình vẽ có bao
nhiêu tứ giác nội tiếp? Xác định tâm các đờng tròn ngoại tiếp các tứ giác
đó?)
b) Chứng minh A là trực tâm của tam giác BHC.( ? Chứng tỏ rằng mỗi đỉnh của
tam giác ABC là trực tâm của tam giác tạo thành bởi hai đỉnh còn lại và trực
tâm của tam giác ABC.)
c) Chứng minh NA là phân giác ngoài của góc N thuộc tam giác MPN.( ?
Chứng minh rằng các đỉnh của tam giác ABC là tâm đờng tròn bàng tiếp
trong các góc tơng ứng của tam giác MPN.)
d) Chứng minh rằng PA là tia phân giác của góc MPN.( ? chứng minh H là tâm
đờng tròn nội tiếp tam giác MPN)
e) G là giao điểm của AP và MN. Chứng minh rằng
.
HG AG
HP AP
=
.
f) Gọi D, E, F lần lợt là điểm đối xứng của H qua AC, AB, BC. Chứng minh
rằng 6 điểm A, E, B, F, C, D cùng nằm trên một đờng tròn.
g) Chứng minh rằng,
2 2 2
.
1 cos cos cos
.

MNP
ABC
S
A B C
S
=
Bài tập 2
Cho tam giác ABC nhọn, các đờng cao AD, BE, CF. Lấy điểm M bất kỳ thuộc
DF, kẻ MN//BC(N thuộc DE). Lấy điểm I trên đờng thẳng DE sao cho
ã
ã
. .MAI BAC=
.
Chứng minh rằng:
a) Tam giác AMN là cân.
b) AMNI là tứ giác nội tiếp.
c) MA là phân giác của góc FMI.
Bài tập 3
Cho A, B, C cố định thẳng hàng( B nằm giữa AC). Vẽ đờng tròn (O) bất kì
qua B, C ( B,C không là đờng kính của đờng tròn (O)). Kẻ các tiếp tuyến AE, AF
của đờng tròn (O) với E, F là các tiếp điểm . Gọi I là trung điểm của BC, K là trung
điểm của EF. Gọi giao điểm FI với đờng tròn (O) là D. Chứng minh rằng:
1) AE
2
= AB.AC
2) A, E, I, O, F cùng thuộc một đờng tròn.
3) ED//AC.
4) Khi đờng tròn (O) thay đổi, thì đờng tròn ngoại tiếp OIK luôn đi qua
một điểm thứ hai khác I.
Bài tập 4

- 1 -

Biên soạn: phạm hinh.
Cho hình thang ABCD ( AD là đáy lớn, BC là đáy nhỏ) nội tiếp trong (O).
Các cạnh bên AB, CD cắt nhau tại E. Các tiếp tuyến tại B và D của (O) cắt nhau tại
F.
1)Chứng minh tứ giác BEFD nội tiếp đợc một đờng tròn.
2)Chứng minh EF//BC.
3)Khi nào thì tứ giác AEFD là hình bình hành, khi đó chứng minh
EC.EK=ED.CK với K là giao điểm của BF và DE.
Bài tập 5
Cho ABC đều, đờng cao AH, M bất kỳ trên BC. Kẻ MP

AB, MQ

AC. Gọi O là trung điểm của AM. Chứng minh rằng:
1) A, P, M, H, Q cùng thuộc một đờng tròn.
2) Có nhận xét gì về tứ giác OPHQ.
3) Tìm M thuộc đoạn BC để PQ có độ dài ngắn nhất.
Bài tập 6
Cho ABC nội tiếp trong đờng tròn (O) có AC > AB. Gọi D là điểm chính
giữa của cung nhỏ BC, P là giao điểm của AB và CD. Tiếp tuyến của đờng tròn tại
C cắt tiếp tuyến của đờng tròn tại D và cắt AD lần lợt tại E, Q. Gọi F là giao điểm
của AD và BC. Chứng minh rằng:
1) DE//BC.
2) Tứ giác PACQ nội tiếp một đờng tròn.
3) DE//PQ.
4)
1 1 1
CE CQ CF

= +
Bài tập 7
Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đờng tròn (O;R) và E là điểm chính
giữa cung AB. Hai dây EC, ED cắt AB theo thứ tự tại P, Q. Các dây AD và EC kéo
dài cắt nhau tại I. Các dây BC và ED kéo dài cắt nhau tại K. Chứng minh rằng:
1) AE
2
= EQ.ED và các tứ giác CDIK, CDQP nội tiếp đợc đờng tròn. 2)
IK//AB.
3) EA, EB lần lợt là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp các tam giác AQD
và QBD. Gọi đờng tròn tơng ứng đó là (O
1
;R
1
) và (O
2
;R
2
).
4) R
1
+R
2
< 2R.
Bài tập 8
Cho đờng tròn tâm O và một dây CD. Trên tia đối của tia DC lấy điểm M, kẻ
các tiếp tuyến MA, MB với đờng tròn (O) <với A, B thuộc (O)>. H là trung điểm
của dây CD, đờng thẳng AB cắt OH tại P và cắt OM tại E. Chứng minh rằng:
1) Tứ giác EHPM nội tiếp một đờng tròn.
2) OH.OP = OE.OM

3)
ã
CED
có số đo không đổi khi M di động trên tia đối của tia DC.
Bài tập 9
- 2 -

Biên soạn: phạm hinh.
Cho điểm C nằm trên nửa đờng tròn (O) đờng kính AB sao cho cung AC lớn
hơn cung BC (B C). Đờng vuông góc với đờng kính AB tại O cắt dây AC tại D.
Chứng minh rằng:
1) Tứ giác BCDO nội tiếp một đờng tròn.
2) AD.AC = AO.AB
3) Tiếp tuyến tại C của đờng tròn cắt đờng thẳng qua D song song với AB tại
E. Chứng minh rằng AC//OE.
4) Gọi H là chân đờng cao hạ từ C xuống AB. Hãy chỉ ra cách xác định vị trí
của C để ACH vuông có HD là đờng cao.
Bài tập 10 a )
Cho tam giác ABC vuông ở đỉnh A. Gọi H là chân đờng vuông góc kẻ từ
đỉnh A xuống cạnh huyền BC. Đờng tròn(A, AH) cắt các cạnh AB và AC tơng ứng
ở M và N. Đờng phân giác góc AHB và góc AHC cắt MN lần lợt ở I và K.
1. Chứng minh tứ giác HKNC nội tiếp đợc trong một đờng tròn.
2. Chứng minh:
AC
HK
AB
HI
=
3. Chứng minh: S
ABC

2S
AMN
.
Bài tập 10 b )
Cho ABC vuông tại A. Kẻ đờng cao AH. Gọi I, K tơng ứng là tâm các đ-
ờng tròn nội tiếp ABH và ACH.
1) Chứng minh ABC đồng dạng HIK.
2) Đờng thẳng IK cắt AB, AC lần lợt tại M, N. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác HCNK nội tiếp một đờng tròn.
b) AM = AN.
c)
S
S'
2

, trong đó S, S lần lợt là diện tích của ABC và AMN.
Bài tập 11
Cho nửa đờng tròn tâm O bán kính R với đờng kính AB. C là điểm chính
giữa của cung AB. Điểm M thuộc cung AC sao cho M khác A và khác C. Kẻ tiếp
tuyến (d) của (O;R) tại tiếp điểm M. Gọi H là giao điểm của BM và OC. Từ H kẻ
một đờng thẳng song song với AB, đờng thẳng đó cắt d tại E.
1)Chứng minh tứ giác OHME là tứ giác nội tiếp.
2)Chứng minh EH = R.
3)Kẻ MK

OC tại K, chứng minh rằng đờng tròn ngoại tiếp OBC đi qua
tâm đờng tròn nội tiếp OMK.
Bài số 12
Cho (O;R) và một dây AB cố định. M là một điểm bất kỳ trên cung lớn AB.
Dựng đờng tròn tâm O

1
qua M và tiếp xúc với AB tại A. I là trung điểm của dây
AB. Tia MI cắt đờng tròn O
1
tại N và đờng tròn (O) tại C. Chứng minh rằng:
a) ANBC là hình bình hành.
- 3 -

Biên soạn: phạm hinh.
b) Tam giác INB đồng dạng với tam giác IMB.
c) IB là tiếp tuyến của đờng tròn qua ba điểm B, M, N.
d) Xác định vị trí của M trên cung lớn AB để hình bình hành ANBC có diện
tích lớn nhất.
e) Tìm điều kiện của dây AB để A, B, O, N cùng nằm trên một đờng tròn.
Bài số 13
Cho hai đờng tròn (O;R) và (O;
2
R
) tiếp xúc trong tại A. Trên đờng tròn O lấy
điểm B sao cho AB = R và điểm M trên cung lớn AB. Tia MA cắt đờng tròn (O)
tại điểm thứ 2 là N. Qua N kẻ đờng thẳng song song với AB cắt đờng thẳng MB tại
Q và cắt đờng tròn (O) tại P.
a) Chứng minh rằng OAM đồng dạng với OAN.
b) Chứng minh độ dài NQ không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
c) ABQP là hình gì? vì sao.
d) Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác ABQN đạt giá trị lớn nhất.
Tính giá trị đó theo R.
Bài tập 14
Cho ABC nội tiếp đờng tròn (O). Từ M thuộc cung BC không chứa A kẻ
MK

AC, MH

AB, MI

BC. Chứng minh rằng:
a) MBH đồng dạng với MCK.
b) H, I, K thẳng hàng.
c)
.AB AC BC
MH MK MI
+ =
Bài tập 15
Cho ABC cân ở A, có góc A nhọn. Đờng vuông góc với AB tại A cắt đờng
thẳng BC tại E. Kẻ EN

AC. Gọi M là trung điểm của BC. Hai đờng thẳng AM và
EN cắt nhau tại F.
a) Tìm những tứ giác có thể nội tiếp đợc một đờng tròn. Giải thích vì sao? Hãy
xác định tâm của các đờng tròn đó.
b) Chứng minh EB là phân giác của góc AEF.
c) Chứng minh M là tâm đờng tròn ngoại tiếp AFN.
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Tỉnh Nam Định.
Bài tập16 a .(1993-1994)
Cho ABC nội tiếp trong đờng tròn (O). Khi kẻ các đờng phân giác của các
góc B, góc C, chúng cắt đờng tròn lần lợt tại điểm D và điểm E thì BE=CD.
- 4 -

Biên soạn: phạm hinh.
1. Chứng minh ABC cân.

2. Chứng minh BCDE là hình thang cân.
3. Biết chu vi của ABC là 16n (n là một số dơng cho trớc), BC bằng 3/8 chu
vi ABC.
a. Tính diện tích của ABC.
b. Tính diện tích tổng ba hình viên phân giới hạn bởi đờng tròn (O) và
ABC.
Bài tập 16 b .
Cho tam giác cân ABC đỉnh A nội tiếp trong một đờng tròn. Các đờng phân
giác BD, CE cắt nhau tại H và cắt đờng tròn lần lợt tại I, K.
1. Chứng minh BCIK là hình thang cân.
2. Chứng minh DB.DI=DA.DC.
3. Biết diện tích tam giác ABC là 8cm
2
, đáy BC là 2cm. Tính diện tích của
tam giác HBC.
4. Biết góc BAC bằng 45
0
, diện tích tam giác ABC là 6 cm
2
, đáy BC là
n(cm). Tính diện tích mỗi hình viên phân ở phía ngoài tam giác ABC.
Bài tập 17.( 1995-1996)
Cho đờng tròn tâm (O), đờng kính AC. Trên đoạn OC lấy điểm B (BC) và
vẽ đờng tròn tâm (O) đờng kính BC. Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Qua M kẻ
một dây cung DE vuông góc với AB. CD cắt đờng tròn (O) tại điểm I.
a. Tứ giác ADBE là hình gì? Tại sao?
b. Chứng minh 3 điểm I, B, E thẳng hàng.
c. Chứng minh rằng MI là tiếp tuyến của đờng tròn (O) và MI
2
=MB.MC.

Bài tập 18.( 1996-1997)
Cho đờng tròn tâm B bán kính R và đờng tròn tâm C bán kính R cắt nhau tại
A và D. Kẻ các đờng kính ABE và ACF.
a.Tính các góc ADE và ADF. Từ đó chứng minh 3 điểm E, D, F thẳng hàng.
b.Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC và N là giao điểm của các đờng
thẳng AM và EF. Chứng minh tứ giác ABNC là hình bình hành.
c.Trên các nửa đờng tròn đờng kính ABE và ACF không chứa điểm D ta lần
lợt lấy các điểm I và K sao cho góc ABI bằng góc ACK (điểm I không thuộc
đờng thẳng NB; K không thuộc đờng thẳng NC)
Chứng minh tam giác BNI bằng tam giác CKN và tam giác NIK là tam giác
cân.
d.Giả sử rằng R<R.
1. Chứng minh AI < AK.
2. Chứng minh MI < MK.
Bài tập 19.( 1997-1998)
- 5 -