Bài 2 các yếu tố trong tam giác

Khóa học HHGT trong mặt phẳng – Thầy Phạm Tuấn Khải

TOANHOC24H

Tài liệu bài giảng

Bài 2. CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC
Giáo viên: Phạm Tuấn Khải

1) Trung điểm, trung tuyến và trọng tâm của tam giác.
A

x  x B  xC
 M
2
- M là trung điểm của BC  

yB  yC
N
P
yM 
G
2

- Đường thẳng đi qua một đỉnh và trung điểm của cạnh đối
C
điện đỉnh đó được gọi là đường trung tuyến của tam giác, B
M
trong một tam giác luôn có ba đường trung tuyến.
- Ba đường trung tuyến đồng quy với nhau tại một điểm, điểm đó được gọi là trọng tâm của tam giác.


x  x A  x B  xC
 G
3
- G là trọng tâm của tam giác ABC  
.

yA  yB  yC
yG 
3

 2   2   2 
- Tính chất: AG  AM , BG  BN ,CG  CP .
3
3
3
2) Đường cao, chân đường cao và trực tâm của tam giác.
A
- Đường thẳng đi qua một đỉnh và vuông góc với cạnh đối điện
E
với đỉnh đó được gọi là đường cao của tam giác, trong một tam
giác luôn có ba đường cao.
F
- Chân đường cao là giao điểm của đường cao và cạnh đối diện,
 
H

AD .BC  0
 .
D là chân đường cao hạ từ A   
BD  kBC


C
B
D
- Ba đường cao đồng quy với nhau tại một điểm, điểm đó được
gọi là trực tâm của tam giác.
 

AH .BC  0
- H là trực tâm của tam giác ABC    
.
BH .AC  0

3) Đường phân giác trong, chân đường phân giác trong và tâm đường tròn nội tiếp của tam giác.
A
- Đường thẳng đi qua một đỉnh và chia góc trong tại đỉnh đó thành
hai góc có số đo bằng nhau được gọi là đường phân giác trong của
tam giác, trong một tam giác luôn có ba đường phân giác trong.
E

F
AB 
K
- D là chân đường phân giác trong hạ từ A  BD  
.CD .
AC
- Ba đường phân giác trong đồng quy với nhau tại một điểm, điểm
đó được gọi là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác.
D
C

B

AB 
.DK .
- K là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC  AK  
BD
4) Tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác.
Chuyên đề: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG

Trang | 1


TOANHOC24H

Khóa học HHGT trong mặt phẳng – Thầy Phạm Tuấn Khải

IA  IB
- I là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC  
.
IA  IC

5) Một số tính chất đặc biệt
Cho tam giác ABC có E , F là chân đường cao hạ từ B,C , trực
tâm là H , trọng tâm là G , tâm và đường kính của đường tròn
ngoại tiếp là I và AD , trung điểm của cạnh BC là M , H 1 là điểm

A

F

E H
G
I

đối xứng của H qua cạnh BC .
B
C
M


- Tính chất 1: AH  2IM .
- Tính chất 2: G cũng là trọng tâm của tam giác AHD , nghĩa là
 2 
D
H1
HG  HI .
3
- Tính chất 3: Những điểm đối xứng của H qua các cạnh của tam giác ABC đều nằm trên đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC , nghĩa là H 1 thuộc đường tròn (I ; R) .
- Tính chất 4: EF  IA .
6) Diện tích của tam giác


1
Cho tam giác ABC có AB  (a1; a2 ), AC  (b1;b2 ) . Khi đó S ABC  a1b2  a2b1 .
2
1
1
Chứng minh: Ta có S ABC  AB.AC . sin A  AB.AC . 1  cos2 A .
2

2
  2
 
AB.AC
 
 
AB.AC
1
1
2
2

AB
.
AC

AB
.AC
Mà cos A  cos AB, AC 
. Do đó SABC  AB.AC . 1 
2
2
AB.AC
AB2 .AC 2











2

2
1 2 2
1
1
a1b2  2a1b1a2b2  a22b12 
a1b2  a2b1   a1b2  a2b1 .

2
2
2
BÀI TẬP
Bài 1. Cho tam giác ABC có A(1;2), B(3; 2),C (3; 4) .
a) Tìm tọa độ trọng tâm G , trực tâm H , tâm đường tròn ngoại tiếp I và bán kính đường tròn
ngoại tiếp R của tam giác ABC .
b) Chứng minh G, H , I thẳng hàng.
c) Tìm tọa độ chân đường cao D hạ từ A đến BC .
d) Tìm tọa độ điểm H 1 đối xứng với H qua BC và chứng minh H 1 nằm trên đường tròn ngoại



1
2



a

2
1





 a22 b12  b22  a1b1  a2b2  
2

tiếp tam giác ABC .
Bài 2. Cho tam giác ABC có A(8; 4), B(2; 1),C (4; 4) .
a) Vẽ đường phân giác trong AD của góc A . Tìm tọa độ điểm D .
b) Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp K và bán kính đường tròn nội tiếp r của tam giác ABC .
Bài 3. Cho tam giác ABC có A(2; 3), B(3; 0) .
a) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC biết G nằm trên Ox và C nằm trên Oy .
b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC biết H nằm trên Ox và C nằm trên Oy .
Bài 4. Cho tam giác ABC có diện tích bằng 5 và B(2; 1) , C (4;1) . Tìm tọa độ điểm A biết A nằm trên
trục tung.
Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A(3; 0) có diện tích bằng 18 . Tìm tọa độ các điểm B và C biết B
nằm trên trục hoành và trọng tâm G của tam giác ABC bằng trên trục tung.

Chuyên đề: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG

Trang | 2