Bài 3 phương pháp biến đổi tương đương

TOANHOC24H

Khóa học bất đẳng thức – Thầy Phạm Tuấn Khải

Tài liệu bài giảng

Bài 1. CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
Giáo viên: Phạm Tuấn Khải

I. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN



ac  bc khi c  0
a  b  
.
ac  bc khi c  0

a  c
a  c
a x

thì các bất đẳng thức ab  cd , a  b  c  d , 
 a  b  c  d . Nếu 

b  d
b  d
b
y



chưa chắc đúng.
a  c  0

 ab  cd .

b  d  0

a  b  0  a 2  b 2 . Hệ quả: a  b  a 2  b 2 .



a b  0 



a  b
Nếu b  0 thì: a  b  b  a  b , a  b  
.
a  b







1 1
1 1
 ; a b  0   .

a b
a b

II. CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
Ví dụ 1: Cho a,b là các số thực dương. Chứng minh rằng:
a) a 4  a 2  4a  3  0 .
b) a 3  b 3  ab(a  b) .
c)

a3
2a  b
.

2
2
3
a  ab  b

Ví dụ 2: Cho a,b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh 2(ab  bc  ca )  a 2  b 2  c 2 .
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c ta luôn có

a2
 b 2  c 2  ab  ac  2bc .
4

Ví dụ 4: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn ab  1 . Chứng minh

1
1
2



.
2
2
1  ab
1 a
1 b

Ví dụ 5: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a  c và b  c . Chứng minh rằng

(a  c)c  (b  c)c  ab .
Ví dụ 6: Cho x là số thực thuộc [1;1] . Chứng minh rằng 1  x  1  x  1  1  x 2  2  x 2 .
Chuyên đề: BẤT ĐẲNG THỨC

Trang | 1


Khóa học bất đẳng thức – Thầy Phạm Tuấn Khải

TOANHOC24H

Ví dụ 7: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn 0  a  b  c . Chứng minh rằng
 1 1 1
 1 1
b     (a  c )     (a  c ) .
a c  b
a c 

Ví dụ 8: Cho a, b, c là các số thực thuộc đoạn [1;2] và a  b  c  0 . Chứng minh a 2  b 2  c 2  6 .

Ví dụ 9: Cho a, b, c là các số thực thuộc đoạn [0;2] và a  b  c  3 . Chứng minh a 2  b 2  c 2  5 .
Ví dụ 10: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thọa mãn a  b  c  1 thì
a

1
1
1
  b  c  .



3

 3a
3a
3b
3c
3b
3c 

Chuyên đề: BẤT ĐẲNG THỨC

Trang | 2