Bất đẳng thức vi phân, bất đẳng thức tích phân và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐẶNG ĐỨC QUÂN

BẤT ĐẲNG THỨC VI PHÂN,
BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH
PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI
TÍCH

Hà Nội-2009


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐẶNG ĐỨC QUÂN

BẤT ĐẲNG THỨC VI PHÂN,
BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH
PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán giải
tích Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI
TÍCH

Người hướng dẫn khoa học: TS Khuất Văn
Ninh

Lời cảm ơn

Tôi xin chân thành cảm ơn các Giáo sư, Tiến sĩ giảng dạy chuyên
ngành Toán Giải tích; các thầy, cô Phòng Sau Đại học trường Đại học Sư
Phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện
đề tài.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đặc biệt sâu sắc đến TS. Khuất Văn Ninh đã
trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn chỉnh đề
tài.

Hà Nội, tháng 9 năm 2009
Tác giả


Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự hướng dẫn trực tiếp của TS. Khuất Văn Ninh.
Trong quá trình nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu
của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 9 năm 2009
Tác giả


Mục lục
Lời cảm ơn....................................................................................... 2
Lời cam đoan................................................................................... 3

Bảng ký hiệu.................................................................................... 6
Mở đầu............................................................................................. 7
Chương 1. BẤT ĐẲNG THỨC VI PHÂN

9

1.1. Các khái niệm mở đầu.......................................................................... 9
1.1.1. Các số đạo hàm. Nửa vi phân..................................................9
1.1.2. Nghiệm của bài toán Cauchy..................................................10
1.2. Bất đẳng thức vi phân.........................................................................11
Chương 2. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN

19

2.1. Bất đẳng thức tích phân Volterra......................................................19
2.1.1. Một số định lý cơ bản về bất đẳng thức tích phân . . . 19
2.1.2. Bất đẳng thức tích phân Volterra.........................................21
2.2. Bất đẳng thức tích phân Volterra – Fredholm................................ 30
2.3. Bất đẳng thức tích phân Volterra
trên nửa trục số...................................................................................38
Chương 3. ỨNG DỤNG

43

3.1. Phương pháp đường gấp khúc Euler.................................................43
3.1.1. Nội dung phương pháp...........................................................43
3.1.2. Ví dụ.....................................................................................51
3.2. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Picard................................................ 53
3.2.1. Nội dung phương pháp...........................................................53
3.2.2. Ví dụ.....................................................................................64

5

3.3. Phương pháp Chaplyghin và Chaplyghin cải tiến......................... 66
3.3.1. Nội dung phương pháp Chaplyghin.......................................66
3.3.2. Phương pháp Chaplyghin cải tiến thứ nhất.......................69
3.3.3. Phương pháp Chaplyghin cải tiến thứ hai...........................74
3.3.4. Ví dụ.....................................................................................77
Kết luận......................................................................................... 82
Tài liệu tham khảo...................................................................... 83


Bảng ký hiệu

R : Đường thẳng thực
R = [0; T] × [a; b] : Hình chữ nhật trong R2
D∗ : Số đạo hàm phải dưới
∗D
∗

: Số đạo hàm trái dưới

D : Số đạo hàm phải trên
∗

D : Số đạo hàm trái trên

sign {x (t)} :

Hàm dấu của x (t)


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Vấn đề giải được (hay sự tồn tại nghiệm) các bất phương trình vi
phân, bất phương trình tích phân,. . . nghĩa là thu được các đánh giá về
hàm thoả mãn các bất đẳng thức được biểu diễn thông qua các điều
kiện cho trước. Đây là một trong những lĩnh vực quan trọng của toán
học, bởi vì khi nghiên cứu các tính chất khác nhau về nghiệm của các
phương trình vi phân, phương trình tích phân,. . . thường dẫn đến vấn đề
về tính giải được của các bất phương trình tương ứng.
Nhiều bài toán khoa học kỹ thuật đưa về việc tìm nghiệm phương
trình vi phân thỏa mãn một số điều kiện nào đó (điều kiện ban đầu,
điều kiện biên,...). Tuy nhiên những bài toán phức tạp đó không có hy
vọng giải đúng, dẫn đến việc phải giải gần đúng. Bài toán giải gần
đúng phương trình vi phân gắn liền với lý thuyết về bất đẳng thức vi
phân, bất đẳng thức tích phân.
Tìm nghiệm gần đúng của bài toán Cauchy từ lâu đã và đang được
nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu, nhờ những kết quả về bất
đẳng thức vi phân, bất đẳng thức tích phân các nhà toán học đã xây
dựng được các phương pháp, thuật toán tìm nghiệm gần đúng của bài
toán Cauchy. Ngoài các phương pháp số của Euler, Runge-Kutta,... các
phương pháp giải tích cũng đã ra đời và không ngừng phát triển. Với sự
đóng góp lớn của các nhà toán học Euler, Picard, Chaplyghin,... với nền
tảng là bất đẳng thức vi phân, bất đẳng thức tích phân các phương pháp
giải tích đưa ra nghiệm gần đúng của bài toán Cauchy dưới dạng biểu
thức giải tích.
Với ý nghĩa quan trọng của các bất đẳng vi phân, bất đẳng thức tích
phân trong việc đánh giá nghiệm, xây dựng thuật toán giải gần đúng các

phương trình vi phân, phương trình tích phân,... đặc biệt là các phương
pháp giải


8

tích tìm công thức nghiệm gần đúng của bài toán Cauchy em đã mạnh
dạn chọn đề tài:
“ BẤT ĐẲNG THỨC VI PHÂN,
BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG”.

2. Mục đích nghiên cứu
• Nội dung bất đẳng thức vi phân, bất đẳng thức tích phân.
• Ứng dụng của bất đẳng thức vi phân, bất đẳng thức tích phân giải
gần đúng phương trình vi phân thường.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn trình bày một cách hệ thống nội dung các bất đẳng thức vi
phân, bất đẳng thức tích phân và ứng dụng trong việc tìm nghiệm gần
đúng của bài toán Cauchy.

4. Đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu các bất đẳng thức vi phân, bất đẳng thức tích phân và
ứng dụng tìm nghiệm gần đúng của bài toán Cauchy.

5. Phương pháp nghiên cứu
• Nghiên cứu lý luận, đọc tài liệu chuyên khảo.
• Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu đề tài.

Chương 1
BẤT ĐẲNG THỨC VI PHÂN
1.1.

Các khái niệm mở đầu

1.1.1.

Các số đạo hàm. Nửa vi phân

1. Các số đạo hàm
Định nghĩa 1.1. Cho hàm v(t) xác định trên khoảng (a; b) với t0
∈ (a; b) ta định nghĩa:
.
v (t) − v
.
• Số đạo hàm phải dưới, kí hiệu D∗v (t) và
(t0)
.
D∗v (t) = lim
+
t − t0
t→t0
.
v (t) − v
• Số đạo hàm trái dưới, kí hiệu ∗Dv (t) và
.
(t

)
0
∗Dv (t) = lim
.
−
t→t0
t − t0
.
.
v
(t)
−
v
(t
)
0
• Số đạo hàm phải trên, kí hiệu D∗v (t) và D∗v (t) = lim
.
+
t→t0
t − t0
.
.
v
(t)
−
v
(t
)
0

• Số đạo hàm trái trên, kí hiệu ∗Dv (t) và ∗Dv− (t) = lim
.
t − t0
t→t0
v (t + ∆t) − v (t)

Nếu đặt vt
(∆t) =

thì định nghĩa trên tương

đương:
∆t

• D∗v (t) = sup { vt (∆t) }.
inf
δ>0

0<∆t<δ

• ∗Dv (t) = sup {
inf
δ>0
∗

−δ<∆t<0

• D v (t) = inf {
sup
δ>0

vt (∆t) }.

vt (∆t) }.

0<∆t<δ

• ∗Dv (t) = inf {

sup


vt (∆t) }.

δ>0

−δ<∆t<0

Nhận xét 1.1. Nếu hàm số v (t) có đạo hàm thì tất cả các số
đạo hàm bằng nhau và bằng đạo hàm, nghĩa là
D∗v (t) =

∗ Dv

(t) = D∗ v (t) =

∗

Dv (t) = vt (t) .

13

2. Nửa vi phân
Giả sử Em là không gian định chuẩn m chiều. Với mỗi x = (x1, x2, ...,
xm)
m.
m
thuộc E có các chuẩn: "x"2 =
|xi| và "x"3 = |xi| .
max
1≤i≤m

i=1

Định nghĩa 1.2. Hàm D (x, h) được gọi là nửa vi phân của
chuẩn "x" nếu nó liên tục theo h khi x cố định và thỏa mãn:
10) "x + h" − "x" ≤ D (x, h) + o ("h") .
20) D (x, λh) ≤ λD (x, h) , ∀λ ∈ [0; 1].
Nhận xét 1.2. Nửa vi phân có thể không duy nhất.
n
• Trong không gian (Em, "x"2) thì D(x, h) .
=

Dj(xj , hj), trong đó

j=1

Dj(xj , hj)
=

.h

j

.signxj

hj

khi

xj ƒ= 0

khi

xj = 0.

.

j

Dj x , h

j

.

m

• Trong không gian (E , "x"

) thì nửa vi phân D (x, h) =
3
max

1≤j≤m

hoặc D (x, h) = "h" .
Bổ đề 1.1. Nếu hàm x (t) ∈ Em khả vi trên đoạn [0; T] và D (x,
h) là nửa vi phân của chuẩn "x (t)" thì
.
.
∗
dx(t)
D "x (t)" ≤
x (t) ,
,
D
dt
đặc biệt nếu m = 1 thì D∗ |x(t)| ≤ sign{x(t)}
dt
1.1.2.

Nghiệm của bài toán Cauchy

Xét bài toán



dx


= f (t, x)
dt
x(0) = x
0

(1)
(2)

trong đó x (t) là hàm số xác định trên đoạn [0; T] .

dx(t)

.


14

Bài toán (1-2) được gọi là bài toán Cauchy.
Định nghĩa 1.3. Hàm x∗ (t) là nghiệm đúng (chính xác) của bài
toán (1-2) nếu nó thỏa mãn phương trình (1) và x∗ (0) = x0.


Định nghĩa 1.4. (xem [6])
• Nghiệm dưới chính qui của phương trình (1) trên đoạn [t1,
t2] , với t1, t2
thuộc R và t1 < t2 là hàm α : [t1, t2] → R thỏa mãn 1, (t1,
1
α|]t1,t2[ ∈ W
t2 )
đồng thời

αt (t) ≤ f [t, α (t)] hầu khắp nơi trên đoạn [t1,
t2 ]
lim α (t) ≤ α (t1) , lim α (t) ≥ α (t2) .
t→t1+

t→t−
2

• Hàm α (t) là nghiệm dưới của bài toán (1-2) trên đoạn
[0, T] nếu với mọi phép chia 0 = t0 < t1 < ... < tN = T hàm
α (t) là nghiệm dưới chính qui của (1) trên đoạn [ti, ti+1]
(∀i = 0, 1, ..., N − 1) đồng thời α (0) ≤ x0.
• Nghiệm trên chính qui của phương trình (1) trên đoạn
[t1, t2] là hàm
β : [t1, t2] → R thỏa mãn β|]t1,t2[ 1, (t1, t2) đồng thời
1
∈W
βt (t) ≥ f [t, β (t)] hầu khắp nơi trên đoạn [t1,
t2 ]
lim β (t) ≥ β (t1) , lim (t) ≤ β (t2) .
t→t1+

t→t−
2

• Hàm β (t) là nghiệm trên của bài toán (1-2) trên đoạn
[0, T] nếu với mọi phép chia 0 = t0 < t1 < ... < tN = T hàm
β (t) là nghiệm trên chính qui của (1) trên đoạn [ti, ti+1]
(∀i = 0, 1, ..., N − 1) đồng thời β (0) ≥ x0.
Định nghĩa 1.5. Ta nói hàm x (t) là nghiệm ε−xấp xỉ của bài

toán (1-2) nếu các điều kiện sau thỏa mãn:
10) (t, x(t)) ∈ R, R = [0; T] × [x0 − r; x0 + r] (r > 0) .
20) Hàm

x (t)khả vi liên tục từng khúc trên [0; T] .

30) |xt (t) − f (t, x(t))| ≤ ε, ∀t ∈ [0; T] \S trong đó S là tập
các điểm mà tại đó không tồn tại đạo hàm của x (t) .

1.2.

Bất đẳng thức vi phân


Trong mục này ta nghiên cứu một số kết quả về bất đẳng
thức vi phân cấp một.


12

Định lý 1.1. Giả sử hàm hai biến ϕ (t, u) liên tục trên miền
D, trong đó D = {0 ≤ t ≤ T; |u| < γ ≤ +∞} (ở đây trong
trường hợp γ là một số hữu hạn thì dấu “<” có thể thay
bằng dấu “≤”). Hàm v (t) (t ∈ [0; T]) liên tục, thỏa mãn bất
đẳng thức vi phân
dv
< ϕ (t, v) (0 < t ≤ T) , v (0) ≤ u0
dt
và nếu v (0) = u0 thì vt (0) < ϕ (0, u0) .

(1.1)

Khi đó ta có bất đẳng thức
v (t) < u (t) (0 < t ≤ T) ,

(1.2)

trong đó u (t) là nghiệm dưới của bài toán
du
= ϕ (t, u) , u (0) = u0, t ∈ [0; T] .
dt
Chứng minh. Từ (1.1) và (1.2) ta có

(1.3)

vt (0) < ϕ (0, u0) = ϕ (0, u(0)) = ut (0) .
Do tính liên tục của các hàm số v (t) và u (t) trên đoạn [0; T] nên
tồn tại
ε > 0 để v (t) < u (t) với mọi t ∈ (0; ε) .
Bây giờ ta sẽ chứng minh v (t) < u (t) đúng với mọi t ∈ [0; T] .
Thật vậy, giả sử bất đẳng thức không đúng trên toàn đoạn [0; T] ,
khi đó tồn tại số t0 mà v (t) < u (t) với mọi 0 < t < t0 và v (t0) = u
(t0) , có nghĩa t0 là số nhỏ nhất mà tại đó dấu bằng xảy ra.
Từ (1.1) và (1.3) dẫn đến vt (t0) < ϕ [t0, v (t0)] = ϕ [t0, u (t0)] = ut
(t0) hay
.
.
.
.
vt (t0) < ut (t0) . Suy ra tồn t˜0 < t0 mà v t˜0 = u t˜0 , điều

tại
này mâu
thuẫn với tính nhỏ nhất của t0. Định lý được chứng minh.
Nhận xét 1.3. Giả sử hàm ω (t) (0 ≤ t ≤ T) thỏa mãn
dω
và nếu ω (0) = u0
thức

> ϕ (t, ω) , ω (0) ≥ u0
dt t
thì ω (0) > ϕ (0, u0) . Khi đó ta có bất đẳng
ω (t) > u (t) (0 < t ≤ T) ,


12

trong đó u (t) là nghiệm trên của bài toán (1.3) trên đoạn
[0; T] .


19

Định lý 1.2. Giả sử hàm ϕ (t, u) liên tục trên miền {0 ≤ t ≤
T; |u| < γ}.
Hàm v (t) , t ∈ [0; T] liên tục và thỏa mãn bất đẳng thức vi
phân
dv
≤ ϕ (t, v) (0 < t ≤ T) , v (0) ≤ u0.
dt
Khi đó bất đẳng thức sau đúng

v (t) ≤ u (t) (0 ≤ t ≤ T) ,

(1.4)

(1.5)

trong đó hàm u (t) là nghiệm trên của bài toán (1.3) trên
đoạn [0; T] .
Chứng minh. Xét bài toán

du
1

= ϕ (t, u) +
= ϕn
(0 ≤ t ≤ T) .
(1.6)
dt
n
(t, u)
1

u (0) = u0 +
n
Do hàm ϕ [t, u (t)] là liên tục theo hai biến nên bài toán (1.6) sẽ tồn
tại nghiệm trên và nghiệm dưới xác định trên [0; T] , đồng thời với n
≥ n0 các nghiệm này hội tụ đều đến u (t) khi n → ∞.
Đặt u¯n, un nghiệm trên, nghiệm dưới của bài toán (1.6). Ta có
dv
1

≤ ϕ (t, v) < ϕn (t, v) , v (0) < u0 < u0 + .
dt
n
Theo định lý 1.1, suy ra
v (t) < un (t) (0 ≤ t ≤ T) , ∀n > n0.
Mặt khác, un ≤ u¯n , ∀n > n0 ⇒ v (t) < u¯n (t) (0 ≤ t ≤ T) , ∀n >
n0 . Từ đây ta cho n → ∞ thu được (1.5). Định lý được chứng minh.
Định lý 1.3. Giả sử hàm ϕ (t, u) liên tục trên miền {0 ≤ t ≤
T; |u| < γ}.
Hàm v (t) , t ∈ [0; T] liên tục và thỏa mãn bất đẳng thức vi
phân
dv
≥ ϕ (t, v) (0 < t ≤ T) , v (0) ≥ u0.
dt
Khi đó bất đẳng thức sau đúng
v (t) ≥ u (t) (0 ≤ t ≤ T) ,


20

trong đó hàm u (t) là nghiệm dưới của bài toán (1.3) trên
đoạn [0; T] .


Việc chứng minh định lý 1.3 tương tự định lý 1.2.
Hệ quả 1.1. Giả sử các hàm p (t) và q (t) liên tục trên đoạn
[0; T] . Hàm
v (t) , t ∈ [0; T] liên tục và thỏa mãn bất đẳng thức vi phân
vt (t) ≤ (≥) p (t) v (t) + q (t) , v (0) ≤ (≥) u0.
Khi đó bất đẳng thức sau đúng

¸t
¸t

¸t

p(s)ds

v (t) ≤ (≥) e0

p(ξ)dξ

+

q (s) e

(1.7)

ds.

s

0

* Hệ quả 1.1 có được từ kết quả của các định lý 1.2 và 1.3 với hàm
ϕ (t, u) = p (t) u + q (t) ,
trong đó u (t) là nghiệm của bài toán ut (t) = p (t) u (t) + q (t) , u
(0) = u0.
Định lý 1.4. Giả sử hàm ϕ (t, u) liên tục trên miền {0 ≤ t ≤ T;
|u| < γ}.
Hàm v (t) liên tục trên đoạn [0; T] , thỏa mãn bất đẳng thức

∗Dv

và nếu v (0) =
u0 thì
Khi đó ta
có

(t) < ϕ [t, v (t)] (0 < t ≤ T) , v (0) ≤ u0

(1.8)

D∗v (0) < ϕ (0, u0) .

(1.9)

v (t) < u (t) (0 < t ≤ T) ,

(1.10)

trong đó u (t) là nghiệm dưới của bài toán (1.3) trên đoạn
[0; T] .
Chứng minh. Từ (1.8) và (1.9) suy ra (1.10).
Thật vậy, từ (1.9) ta có v (t) < u (t) với mọi t thuộc lân cận nào đó
của điểm t = 0. Giả sử rằng (1.10) không xảy ra, ta gọi t∗ là điểm đầu
tiên thuộc đoạn [0; T] mà tại đó (1.10) xảy ra dấu bằng, nói cách khác
v (t) < u (t) với mọi 0 < t < t∗ và v (t∗) = u (t∗) . Suy ra


∗ Dv

(t∗) = lim
t→t∗−

v (t) − v

≥
lim

u (t) − u

(t∗)
(t∗ )
t→t∗−
t − t∗
t − t∗
t ∗
∗
∗
= u (t ) = ϕ [t , u (t )] = ϕ [t∗, v (t∗)] ,


hay ∗Dv (t∗) ≥ ϕ [t∗, v (t∗)] . Điều này mâu thuẫn với (1.8), từ đó
suy ra (1.10). Định lý được chứng minh.
Định lý 1.5. Giả sử hàm ϕ (t, u) liên tục theo hai biến trên D.
Hàm v (t)
liên tục trên đoạn [0; T] , thỏa mãn bất đẳng thức
(t) ≤ ϕ [t, v (t)] (0 < t ≤ T) , v (0) ≤ u0

(1.11)

D∗v (t) ≤ ϕ [t, v (t)] (0 < t ≤ T) , v (0) ≤ u0.

(1.12)

∗Dv

ho
ặc
Khi đó ta
có

v (t) ≤ u (t) (0 ≤ t ≤ T) ,

(1.13)

trong đó u (t) là nghiệm trên của bài toán (1.3) trên đoạn
[0; T] .
Chứng minh. Đặt u¯n , un lần lượt là nghiệm trên, nghiệm dưới của bài
toán

du
1 = ϕn (t, u)

=
ϕ
(t,
u)

 dt +
n

1
u (0) = u0 +

n

(0 ≤ t ≤ T, n = 1, 2, 3, ...).
Ta sẽ chứng minh với n ≥ n0 thì
v (t) ≤ u¯n (t) , ∀t ∈ [0; T] .
1
Thật vậy, từ (1.11) ta có v (0) ≤ u < u +
và
0

(1.14)

0

n
∗ Dv (t) ≤ ϕ [t, v (t)] < ϕn [t, v (t)] (0 < t ≤ T) .
Theo định lý 1.4 thì v (t) < un (t) (0 ≤ t ≤ T) với n ≥ n0, mà
un ≤
nên suy ra (1.14). Từ đây ta cho n → ∞ sẽ thu được (1.13).
Bây giờ ta chứng minh với điều kiện (1.12) cũng suy ra được (1.13).
Thật vậy, từ (1.12) ta có

1

u¯
n

v (0) ≤ u0 < u0 +
và
∗ Dv

n

(t) < ϕn [t, v (t)] (0 < t ≤ T) .

(1.15)


Giả sử (1.14) không xảy ra, khi đó tồn tại số τ ∈ (0; T] mà tại đó
xảy
ra bất đẳng thức v (τ ) u¯ (τ ) . Nhưng do v (0) < un u¯n (0) cùng
>
(0) ≤
với
tính liên tục của hàm v (t) và un (t) suy ra tồn tại t ∈ (0; τ ) mà
tại đó
v (t) = u¯n (t) . Ta gọi t∗ là điểm nhỏ nhất trong các điểm τ nói trên.
Khi đó ta có
v (t) > u¯n (t) ∀t ∈ (t∗ ; τ ], v (t∗ ) = u¯n (t∗ ) .
Từ đây dẫn
đến
∗ Dv

(t∗) = lim

t→t∗+

v (t) − v ≥
u¯n (t) − u¯n
lim
(t∗)
(t∗ )
t→t∗+
t − t∗
t − t∗