Tài liệu Bồi dưỡng HSG Nguyên hàm hàm vô tỉ và hàm lôgarit

CHUYÊN ĐỀ 8 - NGUYÊN HÀM HÀM VÔ TỈ VÀ HÀM LÔGARIT
1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Nguyên hàm vô tỉ:
Với  �1 thì:

x .dx 
�

x 1
u 1
C; �
u .u '.dx 
C
 1
 1

Các biến đổi: chia tách, thêm bớt, khai triển, nhân chia lượng liên hợp, mũ phân số

m

n

a m  a n ,…

Các dạng tích phân vô tỉ:
b

dx

�px  q 
a

px  r

: nhân hợp liên hiệp (trục căn ở mẫu)

b

xk
dx : trục căn ở tử
�
x

k
a
b

dx

� x  m   x  n 

: Đặt t 

xm 

xn

a
b

�x

px

dx : Đặt u  x 2  m

2

m

2

 x 2 dx : Đặt x  k sin t hoặc k cos t

a

b

�k
a

b

�x
a

1

:Đặt t  x 

x2  m

2

m

2

 mdx : Đặt u  x 2  m , dv  dx

b

�x
a

b

�
x   
a

dx
px  qx  r
2

: Đặt t 

1
x 



R  x,
�

k 2  x 2 dx : Đặt x  k sin t hoặc k cos t

R  x,
�

k 2  x 2 dx : Đặt x  k tan t hoặc k cot t

b

a
b

a



– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 1




R  x,
�
b

a

�

b

R �x;
�
�

k
k
hoặc
sin t
cos t

x 2  k 2 dx : Đặt x 

x  
 x 

n

a

�
x 
dx : Đặt t  n
�

 x 
�

R  x,  x       x   dx : Đặt x         sin
�
b

2

t

a



R  x,
�
b

px 2  qx  r dx : Đặt

a

px 2  qx  r  t  x p hoặc

px 2  qx  r  t  x r

Nguyên hàm mũ và lôgarit:

e dx  e

�
x

x

e .u ' dx  e
�

c

u

ax
a dx 
c
�
ln a

u

c

au
a .u '.dx 
 c  a  0, a �1
�
ln a

x

u

Các dạng tích phân từng phần:
b

P  x  .e
�

x

dx : Đặt u  P  x  , dv  e x dx

a
b



x .ln xdx : Đặt u  ln x, dv  x
�



.dx

a

b

x

x

x

x

e .sin  xdx : Đặt u  e
�

, dv  sin  xdx

a

b

e .cos  xdx : Đặt u  e
�

, dv  cos  xdx

a

2. CÁC BÀI TOÁN
Bài toán 8.1: Tính a)

 x
�

3



x dx

b)

�x 

3



x  4 x  1 dx

Hướng dẫn giải
1
� 12
�
2 32 3 34
3
dx  x  x  C
a) � x  x dx  �
�x  x �
3
4
�
�



b)

�x 

3

3



3
1
� 56
�
6 116 4 74 4 32
4
2
x  x  1 dx  �
dx  x  x  x  C
�x  x  2 x �
7
3
�
� 11
4



– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .

Trang 2


Bài toán 8.2: Tính a)

�1

x x x
� x 2 dx


�
�x

b) �

1 �
dx
�
x�

3

Hướng dẫn giải
3
 �
�1
x x x
2
2

dx  �
dx  2 x 
C
a) � 2
� x �
x
x
�x
�
1
 �
�1
1 �
3
�1
3
dx  �
dx  2 x  3 x 2  C
b) �
� x �
� 3 �
2
x�
�x
�x
�

Bài toán 8.3: Tính

dx

a) I 

�x  3 

b) J 

�ax  b 

x4

dx
ax  c

, a �0, b �c
Hướng dẫn giải





1
1
1
1 �
�
2   x  4  2 dx
x

3


x

4
dx

x

3


�
�
�
�
7
7 �
�

a) I 


b) J 

3
3
2 �
�x  3 2   x  4  2 �
� C
21 �

�





1
ax  b  ax  c dx
bc �



2
a  b  c



 ax  b 

Bài toán 8.4: Tính a) E 

3

�x


4

 ax  c 

3

 C

 x 4  2dx

b) F 

xdx

�x  2
3

Hướng dẫn giải
2
�2 1 � 1 3 1
 x 2  dx  �
dx  x   C
�x  2 �
3
x
� x �

a) E 

� x

b) F 

2

1
5
2
x22
3
 �
�
3  2  x  2  3 dx 
3  3 x  2 3  C
dx

x

2
x

2




�
�
�3 x  2
�
5
�
�

2

Bài toán 8.5: Tính: a) A 

 2 x  3
�

x  3dx

b) B 

1
dx
�
1 x

Hướng dẫn giải
– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 3


a) Đổi biến: Đặt t 

x  3 � x  t 2  3 � dx  2t.dt

A  2�
 2t 2  3 dt  2�
 2t 4  3t 2  dt
2

3
4
2
 t 5  2t 3  C   x  3 2  2 x  1  C
5
5

b) Đặt t  1  x � x   1  t  � dx  2  1  t  dt
2

t 1
� 1�
Q  2� dt  2�
1 �
dt
�
t
� t�
 2  t  ln t   C  2
Bài toán 8.6: Tính: a)

�







x  ln 1  x  C

dx

x 1 x



b)

2

�x

1
2

9

dx

Hướng dẫn giải
a) Đặt t  1  x � x  t 2  1 � dx  2t .dt

1 x
t 2 dt
1 �
�
 2�
1 2 �
dt

2
� x dx  2�
t 1
� t 1 �
1 �
�1
 2�
dt  �
dt  2t  ln t  1  ln t  1  C
� 
�
�t  1 t  1 �
 2 1  x  ln

1 x 1
C
1 x 1

b) Đặt t  1  x � x  t 2  1 � dx  2t .dt

1 x
t 2 dt
1 �
�
 2�
1 2 �
dt
2
� x dx  2�
t 1

� t 1 �
1 �
�1
 2�
dt  �
dt  2t  ln t  1  ln t  1  C
� 
�
�t  1 t  1 �
 2 1  x  ln

1 x 1
C
1 x 1
�

2
1
b) Đặt t  x  x  9 � dt  �

�

�
dx �
�
x2  9 �
x

dx
x2  9



dt
t

– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 4


dx

�x

2

dt
 �  ln t  C  ln x  x 2  9  C
t
9
7/3

x 1
dx
Bài toán 8.7: Tính: a) K  �
3
3
x


1
0

3

b) L 

dx

�x  1 
2

x 1

Hướng dẫn giải

t3 1
a) Đặt t  3 x  1 � x 
� dx  t 2 dt
3
3

7
thì t  2 .
3

Khi x  0 thì t  1, x 
2

1 4

K �
 t  2t  dt 
31
3

2

�t 5 t 3 � 46
�  �
15 3 �
15
�
1
2

3
3
1
1�
7 3 3  2 2

b) L  � x  1  x  1 dx  �
 x  1 2   x  1 2 �
�
22
3�
3
�
1





a

Bài toán 8.8: Tính: a) A 

�a

a /2
2

 x dx
2

b) B 

0

�a
0

dx
2

 x2

Hướng dẫn giải
a) Đặt x  a sin t với 



�t � thì dx  a cos t
2
2

Khi x  0 thì t  0, x  a thì t 
 /2


.
2

 /2

a2
Aa �
cos t .cos tdt  a �
cos tdt 
2
0
0
2

2

2

 /2

 1  cos 2t  dt
�
0

 /2

a 2 � sin 2t �
 a2
 �
t

�
2�
2 �0
4
b) Đặt x  a sin t với 



 t  thì dx  a cos tdt
2
2

Khi x  0 thì t  0; x 

B

 /6

a cos tdt

�
a
cos
t
0

 /6

a

thì t  .
2
6



�dt  6
0

– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 5


b

Bài toán 8.9: Tính: a) C 

b

dx

�x
0

2

�x

b) D 

b

2

 b .dx

0

Hướng dẫn giải

�

�
dx �
�
x2  b �
x

2
1
a) Đặt t  x  x  b � dt  �

�

C

b  2b

dt

�t



b  2b

 ln t

 ln 1  2

b

b



b

b) D 

2
2
�x  bdx  x  x  b
0

b

b 2



b
0

x b
2



dt
t


b



dx

x2

�x
0

2

b

dx

b

x2  b  b

1
dx

b
2

D

b
dx
�
�
2

2
x b
x b
0
0

b 2 b

nên D 
2
2

b

�x
0

1
2

b

dx 



b 2 1
 ln 1  2
2
2

2

1  x2
Bài toán 8.10: Tính: a) K  � 4 dx
x
0

2

b) L 

x

�x

1/2

2



 1 dx
x4  1

Hướng dẫn giải

1
t

a) Đặt x  � dx 
1/2

1
dt
t2

K �
t 1  t 2 dt  
1

1
2

1
�
1 �5 5
2 2
2
1

t
d
1

t



2

2




�
�
�
3�8
1
�

1/2

1
2
1
� 1�
x 2 dx 
L

d
�x  �
�
�
b)
2
1
� x�
1/2

1/2 �
1�
x2  2
x


2
�
�
x
� x�
2

1

2

2
�
1
13  3
� 1� �
�
 ln x   �x  � 2 �  ln
�
x
13  3
� x� �
�
�

1/2
1

�

Bài toán 8.11: Tính: a) A  x
0

2

1

1  x dx b) B  �
x 5 1  x 2 dx
2

0

Hướng dẫn giải
– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 6


�
�
�t � �� dx  cot dt
2�
�2


a) Đặt x  sin t �

Khi x  0 thì t  0, x  1 thì t 
 /2

1
A �
sin t cos tdt 
4
0
2

1

4

2


2

 /2

sin
�

2

2tdt

0

 /2

 /2

1  cos 4t 1 � sin 4t �


t


�
�
�
2
8�
4 �0
16
0

b) Đặt t  1  x 2 � x 2  1  t 2 � xdx  tdt
Khi x  0 thì t  1, x  1 thì t  0 .
0

B�
1 t



2 2

1

1

1

�t 7 2 5 1 3 � 8
.t  t  dt  �
 t  2t  1 t dt  �7  5 t  3 t �  105
�
�0
0
4

2

2

Bài toán 8.12: Tính:
1

a) I 

�x
0

a/ 3

x 2 dx
2

b)

 x 1

J

�
0

xdx
a2  x2 

a

2

 x2 

3

Hướng dẫn giải
2

� 1� 3
x  x  1  �x  � ,  x 2  x  1 '  2 x  1
� 2� 4

2

a) Ta có

2
�
� 1� 3�
 B x  1  C
Đặt x  A �
�x  � �
�
� 
2
4
�
�
�
�
2

Đồng nhất thì được A  1, B  2, C  

1
nên
2

�
�
2
1

2x  1
1
1
�� 1 � 3
I �
x




�
�
�� 2� 4
2
3
0
� 1� 3 2 � 1� 3
�
2 �x  �
�x  �
�
� 2� 4
� 2� 4
�

�
�
�
dx
�

�
�
�

1

�2 x  1 2
�
1 � 1
�
�
x  x  1  ln �x   x 2  x  1 �
�
8 � 2
�
� 4
�0
– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 7




3 3 1 1 � 2 �
 ln �
1
4
8 � 3�
�

a/ 3

�

b) J 

0

xdx
a 2  x2 . 1  a 2  x2
xdx

2
2
Đặt t  1  a  x � dt 

J

2 a 1



dt
 2 t
�
t
a 1



2 a 1
a 1

2

a2  x2



2a  1  a  1

4096

Bài toán 8.13: Tính: a) K 

�x

128

3

� xdx   t  1 dt

xdx
2

4x


6

b) L 

�x
4

dx
2

 5x  6

Hướng dẫn giải
a) Đặt x  t12 thì dt  12t 11dt
Khi x  128 thì t  2, x  4096 thì t  2 .
2

2
�9 4
t14
t4 �
K  12 �5
dt  12 �
t t  5 �
dt
�
t 1
t 1 �
2
2�
2

�464  4 2 1
�t10 t 5 1
�
31 �
 12 �   ln t 5  1 �  12 �
 ln
�
10 5 5
5 4 2 1�
�
�2
� 5
b) Đặt t 

x2  x 3

� 1
1 �
x  2  x  3 � dt �

dx
�
2
x

2
2
x


3
�
�
� 1
1 �
� dt  �

dx �
�
�2 x  2 2 x  3 �
6

L�
4

2 3

dx

 x  2   x  3

:

2dt
� t  ln t
2 1

dx

 x  2   x  3

2 3
2 1

 ln



2dt
t

2 3
2 1

Bài toán 8.14: Tính:
1

a) A 

�
 x  1
0

dx
x2  2x  2

1/2

b) B 

�

x
0

dx

2

 1 x 2  2

Hướng dẫn giải
– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 8


a) Đặt t 

1
1
dt
� x   1 � dx   2
x 1
t
t

1/2
dt
du
dt
u  t  t2 1 �


A�
.
Đặt
t2 1 u
t2 1
1

Do đó A  



 1 5  /2

2 1 2
du
 1 5  /2


ln
u

ln


�u
1 2
1 5
1 2



2t 2
2dx
� dt 
b) Đặt t  x  2 � x 
2
1 t
 x2  2 x2  2
2

2

3/2

3/2

1 �
� 1

dt
�
3 1 t 3 1 �
2

dt
1
D  �2

3t  1 2 3

2

�
�
�t



3/2

5 3  12 3
1 � t 3 1 �
1

ln

ln
�
�
�
2 3�
� t 3  1 �2 2 3 23 7  2 6






Bài toán 8.15: Tính:
1

1
dx
a) I n  � n n
n
1

x
1

x
0 


1

�

n
b) J n  x . 1  xdx
0

Hướng dẫn giải
1

a) I n 

�
1 x 
n

0



1

1  xn  xn
n

1  xn

xn

dx  �
dx  �
dx
n
n n
n
n
0 1 x
0  1 x  1 x

1

1
� 1
�
xd �

n
1  x n 0 0 �n 1  x n

x

1

1

�1
xn

dx
�� n n
n
� 0 1 x  . 1 x

1

1

1
xn
xn
1
 n �
dx  �
dx  n
n n
n

2 0  1  xn  n 1  xn
2
0 1 x  . 1 x
b) u  x n , dv  1  xdx
n 1
Khi đó du  nx dx, v  

2
Jn   x
3



1 x



3

1

2
3

 1 x

3

1

2n n 1

x  x  1 1  xdx
3 �
0
0

– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 9


 0
Vậy J n 

2n
2n
J n 1
 J n1  J n  � J n 
3
2n  3
2n 2  n  1 2
2n 1.n !
.
... J 0 
2 n  3 2n  1 5
3.5...  2n  3
x

Bài toán 8.16: Tìm hàm số f và số thực a  0 thỏa mãn điều kiện:

f  t

�t

2

dt  6  2 x với mọi x  0 .

a

Hướng dẫn giải
Gọi F  t  là một nguyên hàm của hàm số

f  t
t2

Theo định nghĩa tích phân, ta có với mọi x  0

F  x  F  a  6  2 x
Cho x  a ta được a  9 và F  x   F  0   6  2 x
nên F '  x  

f  x
1
1
� 2 
� f  x   x3
x
x

x

Bài toán 8.17: Tính: a)

 2x  3x  dx
�
2

b)

5 x  1  5 x 

�

3x

dx

Hướng dẫn giải
a)

2
�

x

3



x 2

4x
6x
9x
dx  �
 4  2.6  9  dx  ln 4  2 ln 6  ln 9  C
x

x

x

x

b)

5 x  1  5 x 

�

3x

�5 �
x
x
x
��
�
5 1

�5 �  x � �3 � 3
dx  � x  �
dx 

C
�
� � 3 �
�
�
5 ln 3
3
3
�
�
�
�
ln
3

�

sin x
Bài toán 8.18: Tính: a) e cos xdx

b)

1

�
e e

x

x

dx

Hướng dẫn giải
a)

e
�

sin x

cos xdx  �
e sin x d  sin x   esin x  C
1
t

x
b) Đặt t  e x thì dt  e dx � dx  dt

– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 10


1

�

e e
x



x

1
1
1 �1
1 �
dx  � 1 dt  �
dt  �
dt
� 
�
2
t 1
2 �t  1 t  1 �
tt t 

1
1 ex 1
ln
t

1

ln
t


1

C

ln
C .


2
2 ex 1

Bài toán 8.19: Tính: a)

 1  tan x 
�

2

e 2 x dx b)

 x  1 dx

�
x  1  xe 
x

Hướng dẫn giải
a)

 1  tan 
�

2

e 2 x dx  �
 1  tan 2 x  2 tan x  e2 x dx

�
 tan x.e2 x  dx  tan x.e2 x  C
x
b) Đặt t  1  xe x thì dt   x  1 e dx

 x  1 dx

�
x  1  xe 
x

t 1
xe x
�1 1 �
�

dt

ln

C


ln
C
�
�
t
1  xe x
�t  1 t �

�

3 x
Bài toán 8.20: Tính: a) I  x .e dx

3 x 9

�

b) J  e

dx

Hướng dẫn giải

�

�

3 x
x 3
2 x

a) Đặt u  x 3 , v '  e x thì J  x .e dx  e x  3 x .e dx

Đặt u  x 2 , v '  e x thì

x .e dx  x e
�
2

x



2 x

 2�
xe x dx  2 xe x  I



x
3
2
Do đó J  e x  3x  6 x  6  C

2
b) Đặt t  3x  9 � 3 x  t  9 � dx 

J

2

tdt
3

2 t
tet dt  t.et  et  C
te dt . Đặt u  t , v '  et thì �
�
3

nên J 

2
3



3 x  9e

3 x 9

�

e

Bài toán 8.21: Tính: a) ln xdx

3 x 9

 C

b)

�x ln xdx
Hướng dẫn giải

a) Đặt u  ln x, dv  dx . Khi đó du 

1
dx, v  x . Ta có:
x

– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 11


1

ln xdx  x ln x  �
x. dx  x ln x  �
dx  x ln x  x  C
�
x
b) Đặt u  ln x, v ' 

1
2 3
x � u '  , v  x 2 . Ta có:
x
3

2 32
2 12
2 32
4 32
x dx  x ln x  x  C
�x ln xdx  3 x ln x  �
3
3
9
Bài toán 8.22: Tính: a)

 ln x 

2

�x

x ln
dx b) �

x
dx
1 x
Hướng dẫn giải

a)

 ln x 

�x

2

1
2
dx  �
 ln x  d  ln x   ln 3 x  C
3

1
x2
x
,v 
, du  xdx . Khi đó du 
b) Đặt u  ln
x  1 x
2
1 x
x ln
�

x
x2
x
1
x
dx  ln
 � dx
1 x

2 1 x 2 1 x

x2
x
1 �1
x2
x
1
1
�
 ln
 �
 1�
dx  ln
 ln 1  x  x  C
�
2 1 x 2 �
1 x �
2 1 x 2
2
Bài toán 8.23: Tìm nguyên hàm
3
a) I  x ln  2 x  dx

2
b) J  x cos  2 x  dx

�

�

Hướng dẫn giải
3
a) Đặt u  ln  2 x  , dv  x dx . Khi đó du 

Ta có: I 

1
x4
dx, v  .
x
4

x 4 ln  2 x 
x 4 ln  2 x  x 4
x3
 � dx 
 C
4
4
4
16

2
b) Đặt u  x , dv  cos  2 x  dx . Khi đó du  2 xdx, v  

sin  2 x 
.
2

x 2 sin  2 x 
Ta có: J 
�
x sin  2 x  dx
2
Đặt u  x, dv  sin  2 x  dx . Khi đó du  dx, v 

cos  2 x 
:
2

– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 12


x sin  2 x  dx  
�

x cos  2 x 
cos  2 x 
x cos  2 x  sin  2 x 
�
dx 

C
2
2
2
4

x 2 sin  2 x  x cos  2 x  sin  2 x 
nên J 


C
2
2
4
Bài toán 8.24: Tính:
a) I  sin  ln x  dx

x
b) J  e  cos x  2 x sin x  dx
2

�

�

Hướng dẫn giải
a) Đặt u  ln x thì x  eu nên dx  eu du

A�
sin u.eu du  �
sin ud  eu   sin u.eu  �
cos u.eu du
 sin u.eu  �
cos u.d  eu   sin u.eu  cos u.eu  �
sin u.eu du

Từ đó suy ra A 

1
x  sin  ln x   cos  ln x    C
2

b) Đặt u  e x , dv  cos x . Khi đó du  2 xe x dx, v  sin x
2

2

2

2

2

e x .cos xdx  e x .sin x  �
2 xe x .sin xdx
�
x
x
nên J  e  cos x  2 x sin x   e .sin x  C
2

2

�

1

Bài toán 8.25: Tính: a) K 

x
�

2

0

1

 x  1 e dx

b) L 

x

x
�

3

0

 2  e x dx

Hướng dẫn giải
x
a) Đặt u  x 2  x  1, dv  e x dx . Khi đó du   2 x  1 dx, v  e .

K   x  x  1 e
21

x

1
0

1

1

�
 2 x  1 e dx  3e  1  �
 2 x  1 e x dx
x

0

0

Đặt tiếp u  2 x  1, dv  dx thì được K  2  e  1 .
b) Đặt u  x 3  2, dv  e x dx . Khi đó du  3 x 2 dx, v  e x .
1

L  e  x  2   3�
x 2 e x dx
x

3

1

0

0

Dùng tích phân từng phần 2 lần nữa thì L  4 .

– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 13


ln 4

Bài toán 8.26: Tính: a) A 

1

xe x
B

dx
b)
2
�
1


x


0

dx

�e

ln 2

x

1

Hướng dẫn giải
x
a) Đặt u  x 2  x  1, dv  e x dx . Khi đó du   2 x  1 dx, v  e .
1

1

0

0

K   x 2  x  1 e x  �
 2 x  1 e x dx  3e  1  �
 2 x  1 e x dx
1

0

Đặt tiếp u  2 x  1, dv  dx thì được K  2  e  1 .
b) Đặt u  x 3  2, dv  e x dx . Khi đó du  3 x 2 dx, v  e x .
1

L  e  x  2   3�
x 2 e x dx
x

1

3

0

0

Dùng tích phân từng phần 2 lần nữa thì L  4 .
ln 4

Bài toán 8.26: Tính: a) A 

1

dx

�e

ln 2

x

b) B 

1

xe x

�
 1 x

2

dx

0

Hướng dẫn giải
x
x
2
a) Đặt t  e  1 � e  t  1 � dx 

3

A

dt

. Đặt t  tan u
�
t 1
2

thì B 

1

1

2tdt
t2 1


6

1

ex
ex
B

dx

dx
b)
2
�

�
1

x
1

x

0
0 
�e x 1 1 e x
� e
ex
 � dx  �
 � dx �  1 .
�
1 x
1 x 0 0 1 x � 2
0
�
�
1



�



�

2x
2
Bài toán 8.27: Tính: a) e cos xdx b) J  e sin xdx
x

0

0

Hướng dẫn giải
a) Đặt u  cos x, dv  e x , du   sin x, v  e x




0

0

I  cos x.e x  �
e x .sin xdx  1  e  �
sin xd  e x 


0

– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 14

 1  e   sin x.e


x




0



�
e x cos xdx  1  e  I
0

Do đó 2 I  1  e � I  

1  e
.
2






1

1
1 2x
e .sin 2 xdx
b) J  �
 1  cos 2 x  d  22 x   e2 x  1  cos 2 x   �
40
4
2
0
0
Dùng từng phần 2 lần liên tiếp thì J 

1 2
 e  1 .
8

2

Bài toán 8.28: Tính a) I 

1

1

3x
J

dx
b)
x

x
�
3

3
0

1 �x  x
�
1

x

e dx
�
�
�
x
�
�
0.5

Hướng dẫn giải
2

a) I 

x

1

x

e dx 
�

0,5

Đặt u  e

x

1
x

2

1

� 1 �x  x
e dx
�x  �
�
x
�
�
0,5
1

� 1 �x  x
e dx, v  x

, dv  dx . Khi đó du  �x  x �
�
�

2

1 2

1

x
� 1 �x  x
e dx  xe x
Ta có: �
�x  �
x�
0,5 �

Suy ra I  xe

x

1 2
x
0,5

2



x

e
�

1
x

dx

0,5

0,5

3
 e 2,5 .
2

1

1

3 x
dx thì J  E  �
dx  1
b) Xét E  �x
x
3

3

0
0
1

1

3x  3 x
1
1
5
dx 
.ln  3x  3 x  
ln
và J  E  �x
x
3 3
ln 3
ln 3 3
0
0
Do đó: J 

1� 1
5�
1
ln �
.
�
2 � ln 3 3 �
1

1  x2
Bài toán 8.29: Tính: a) A  � x dx
1 2
1

1

�

2 x
b) B  x e sin xdx
0

Hướng dẫn giải

– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 15


0

1

1  x2
1  x2
a) A  � x dx  � x dx
1 2
1 2

1
0
0

1

1

1  x2
2t 1  t 2
2 x 1  x2
dt  �
dx
Đặt x  t thì � x dx  �
1 2
1  2t
1  2x
1
0
0
1

Do đó A 

1 2 

1  x2

x

�

1 2

0

Đặt x  sin t thì A 

1

dx  �1  x 2 dx

x

0


.
4

b) Đặt u  x 2 sin x, dv  e x dx thì
1

B  e x sin x  �
e x  2 x sin x  x 2 cos x  dx
x

1

2

0

0

1

1

 e sin1  2�
xe sin xdx  �
x 2e x cos xdx
x

0

0

Từ đó tính được B  e sin1
1

dx
Bài toán 8.30: Tính a) I  � x
2
1  e  1  x  1

b) J 



sin 2 x
dx
x
�
3

1


Hướng dẫn giải
a) Đặt x  t thì dx   dt . Khi x  1 � t  1, x  1 � t  1 .
1

1

1

dx
dt
et
I




dt
Ta có
�
�
�

x
2
t
2
t
2
e

1
x

1
e

1
t

1
e

1
t

1













1
1
1
1

ex
I  �x
dx
2
1  e  1  x  1
1

nên 2 I  I  I 

dt





 . Vậy I  .
�
t 1 2
4

2

1





sin 2 t
3x.sin 2 x
J


dt

dx
x
�
�
b) Đặt x  t thì dx   dt nên:
1
1

3


1
3t




1

sin xdx  �
 1  cos 2 x  dx � J 
Do đó 2 J  �
2 
2

2

– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 16


3

�

2



�

5
Bài toán 8.31: Tính a) A  ln x  x dx b) B  x ln xdx
2

2

1

Hướng dẫn giải
3

3

2x 1
1 �
�
2
dx  3ln 3  2
a) A  x ln  x  x   � dx  3ln 6  2ln 2  �
�
�
2
x 1
x 1 �
2
2�
3

2

b) Đặt u  ln x, dv  x 5 dx . Khi đó du 

dx

1
, v  x6
x
6

2

�x 6 ln x � 2 x5 dx 32
7
B�
�  �  ln 2 
6
3
4
� 6 �
1
1
e

e

�

2
Bài toán 8.32: Tính a) C  x ln xdx

b) D 

1

x
�

2

1

 x  1 ln xdx

Hướng dẫn giải
a) Đặt u  ln 2 x, dv  xdx . Khi đó du 

2ln x
1
dx, v  x 2
x
2

e

e
�x 2 2 � e
e2
C  � ln x �  �
x ln xdx   �
x ln xdx
2
�2
�
1

1
1

Đặt u  ln x, dv  xdx . Khi đó du 
e

e

dx
x2
,v 
x
2

e

x2
1
e2 1 2
e2  1
x
ln
xdx

ln
x

xdx



e

1
�
C

 
�
2
2�
2 4
4
1
1
1





2
b) Đặt u  ln x, dv  x  x  1 dx thì:
e

e
�x 3 x 2
�
�x3 x 2
�1
D  �   x�

ln x  �
�   x � dx
�3 2
� 1 1 �3 2
�x



e
�x 2 x �
e3 e 2
2e3 e 2 31
 e�


1
dx

 
�
�
3 2
3
2
9
4 36
�
1�
e

4

1  ln x
ln x
dx b) J  � dx
Bài toán 8.33: Tính: a) I  �
x
x
1
1
Hướng dẫn giải

– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 17


e

a) I 

 1  ln x 
�

1
2

1

e

4

� 

b) J  2 ln xd

 

x  2 x .ln x

1

 4ln 4  4





3
1
2
d  1  ln x    1  ln x  2  2 2  1
2
3
1

 x

4

1



4
1

4

dx
 2�
x
1

 4  ln 4  1

Bài toán 8.34: Tính: a) A 

 /2

3

cos x ln  sin x  dx
�

x 1

� x  1dx

b) B  ln

 /4

2

Hướng dẫn giải
a) A 

 /2

 /2

ln  sin x  d  sin x   sin x.ln  sin x 
�

 /4

 /4



 /2

cos xdx
�

 /4

 /2

2
2
2 2

ln 2  sin x 
ln 2 
4
4
2
 /4
3

3

2x
� x 1 �
b) B  �x ln
�  �2 dx  3ln 3  6ln 2
� x  1 �2 2 x  1
3

Bài toán 8.35: Tính: a) C 

3  ln x

�
 x  1

2

dx

b) D 

1

3



x ln x  x 2  1

�

x2  1

0

 dx

Hướng dẫn giải
3

3

3

1 � 3  ln x
dx
�

a) C  �
 3  ln x  d �
� � 
x  1 1 1 x  x  1
�x  1 �
2
3

3

3  ln 3 3
1
dx
1�
27 �

  �dx  �  �
3  ln �
4
2 1x
x 1 4 �
16 �
1





x

2
b) Đặt u  ln x  x  1 , dv 



D  x  1.ln x  x  1
2

2



x 1
2

3
0

thì:

3



dx  2ln 3 
�

3

0

Bài toán 8.36: Tính:
e

a) I 

 1  2 x  ln x  3 dx

� 1  x ln x
1

2

x  2ln x
dx
b) I  �
3
x

1

1 

– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 18


Hướng dẫn giải
e

 1  2 x  ln x  3 dx  e 2  1  x ln x    1  ln x  dx

� 1  x ln x

a) Ta có I 

�

1

e

1  x ln x

1

e

e

1  ln x
1  ln x
e
 2�
dx  �
dx  2 x 1  �
dx  2  e  1  J
1  x ln x
1  x ln x

1
1
1
e

1  ln x

dx
�
1  x ln x

Tính J 

1

Đặt t  1  x ln x � dt   1  ln x  dx
Khi x  1 thì t  1 , khi x  e thì t  1  e
nên J 
2

b) I 

1 e

dt
1 e

ln
t
 ln  1  e  nên I  2  e  1  ln  1  e 

�
1
t
1

x  2ln x

� x  1
1

3

� 1
1
2ln x �
dx  �


dx
�
�
� x  1 2  x  1 3  x  1 3 �
1�
�
2

2

2

2

2

1
1
1
ln x
7
ln x

 .

2
dx


2
dx
3
3
�
�
x  1 1 2  x  1 2
12
1  x  1
1  x  1
1

2

Tính J 

ln x

�
 x  1

3

dx

1

Đặt u  ln x, dv 

J 

dx

 x  1
2

ln x
2  x  1



2
1

3

. Khi đó du 

dx
1
1
,v   .
x
2  x  1 2

2
2
1
dx
ln 2 1 �1
1
1 �





dx
�
�
2
2
�

�
�
2�
18
2
x
x

1
x
x

1
x

1



 �
1
1�
2

ln 2 1 � x
1 �
ln 2 1 � 4 1 �

 �
ln


 �
ln  �
� 
18 2 � x  1 x  1 �
18
2
3 6�
�
1


ln 2 1 4 1
 ln 
18 2 3 12

Suy ra I 

7
� ln 2 1 4 1 � 4 ln 2 5
 2�

 ln  � ln 

12
72
� 18 2 3 12 � 3 9

– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .

Trang 19


ln 2

1

x
dx
Bài toán 8.37: Tính: a) I  �x
x
e

e

2
0

b) I 

2  xe x
dx
2
�
x

2
x

1

0

Hướng dẫn giải
ln 2

x
dx 
a) Ta có I  �x
e  e x  2
0
Đặt u  x, dv 

ln 2

�e



0

xe x
x

 1

2

dx

ex

dx . Khi đó du  dx, v   1
ex 1
 e  1
2

x

ln 2

x

Ta có: I   x
e 1 0

ln 2

dx
ln 2


x
�
e 1
3
0

ln 2

dx

�e  1
x

0

ln 2

Tính J 

dx
dt
. Đặt e x  t thì x  ln t � dx 
x
�
e 1
t
0

Khi x  0 � t  1; x  ln 2 � t  2
2

2

2
2
dt
1 1 �
�
J �

�
dt  ln t 1  ln t  1 1
�
�
t t  1 1 �t t  1 �
1 

5
 2ln 2  ln 3 nên I  ln 2  ln 3 .
3
1

1

1

1

1

2
xe x
xe x
I

dx

dx



dx

1

dx
b) Ta có
2
2
2
2
�
�
�
�
x

1
x

1
x

1
x

1
x

1









0
0
0
0
0
1

Tính

2

xe x

�
 x  1

2

xe x

x
dx . Đặt u  xe , dv 

0

x
Khi đó du   x  1 e .dx; v  
1

1

dx

 x  1

2

.

1
x 1
1

xe x
1
dx



Ta có: �
 x  1 e x dx
2
�

x 1 0 0 x 1
0  x  1
xe x

1

1
e
e
e
 �
e x dx    e x dx   1
0
2 0
2
2

Thay vào ta được I 

e
2.
2

Bài toán 8.38: Chứng minh F  x  là nguyên hàm của f  x  :
– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 20






1

2
a) F  x   ln x  1  x  C ; f  x  

�x
�2

b) F  x   ln tan � 

1  x2

�
1
� C ; f  x  
4�
cos x
Hướng dẫn giải

a)

b)

F ' x 
F ' x 



1

x
1

x2  1 
x  x2  1

x 1
2

�

đpcm.

1
1
.
�x  � �x  �
2cos 2 �  �tan �  �
�2 4 � �2 4 �

1
1
1


�x  � �x  �
�  � cos x

2cos �  �
sin �  � sin �x  �
�2 4 � �2 4 �
� 2�

Bài toán 8.39: Tìm cực đại và cực tiểu của hàm số f  x  

e2 x

t ln tdt
�

ex

Hướng dẫn giải
Gọi F  t  là một nguyên hàm của hàm số t ln t trên  0; �

   
f '  x   F '  e  2e  F '  e  e

2x
x
Ta có: f  x   F e  F e , suy ra:
2x

2x

x

x

 4 xe 4 x  xe 2 x  xe 2 x  4e 2 x  1

f '  x   0 � x  0 �x   ln 2
Lập BBT thì f đạt cực tiểu tại x  0 và đạt cực đại tại x   ln 2 .

�

n x
*
Bài toán 8.40: Đặt I n  x e dx, n �� . Tính I theo I n 1 với n �2 . Suy ra I 3 .

Hướng dẫn giải

In  �
x n d  ex   x n .e x  n �
x n 1e x dx  x n .e x  nI n 1
3 x
2 x
x
x
Do đó I 3  x e  3I 2 , I 2  x e  2 I1 , I1  xe dx  e  x  1  C

�





x

3
2
nên I 3  e x  3x  6 x  6  C .

– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 21


1

�

n x
Bài toán 8.41: Cho I n  x e dx . Tính I n theo I n 1 .
0

Hướng dẫn giải
1

In  �
x de
n

0

x

   x .e 
n

x

1

1

 n�
x n 1e x dx  e  nI n 1

0

0

e

Bài toán 8.42: Cho J n 

 ln x 
�

e
dx . Chứng minh J n1 �J n �
n 1

n

1

Hướng dẫn giải

J n  x  ln x 

n e
1

e

 n�
 ln x 

n 1

 e  nJ n 1

1

x �
e �
0
Với 1  �

ln x 1

J n 1

Jn

Do đó J n  e  nJ n 1 �e  nJ n

�  n  1 J n �e � đpcm.
Bài toán 8.43: Tính tích phân
1

�

2

x2  1
b) I  � 2 ln xdx
x
1

a) I  x 2  x dx
2

0

Hướng dẫn giải
1

1

1

1/2
1
1 1/2
x 2  x dx   �
2  x2  d  2  x2    �

u du
a) I  �

20
22
0
2

2

2







1 1/2
1
�
� 1
u du (đặt u   2  x 2  )  � u 3/2 �  2 2  1 .
�
21
3
3
�
�
1

2

b) I 

x2  1
ln xdx
2
�
x
1

Đặt t  ln x �

dx
 dt , x  et , t  1  0, t  2   ln 2 � I 
x

ln 2

te
�
0

t

 e  t  dt

Đặt u  t � du  dt , dv  et  e  t , chọn v  et  e  t

�I �

t  et  e  t  �

�
�
0
ln 2

ln 2

e
�
0

t

 e  t  dt 

5ln 2  3
2

– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 22


Cách khác: Đặt u  ln x � du 

dv 

dx

x

x2  1
1
� 1 �
dx  �
1 2 �
dx � v  x 
2
x
x
� x �
2

2

2

2

5
� 1�
� 1 �dx 5
� 1 �
� 1�
� I  �x  �
ln x  �
1 2 �
dx  ln 2  �x  �
�x  �  ln 2  �

�
x �
2
� x � 1 1 � x �x 2
� x�
1�
1
5
3
� 1� 5
 ln 2  �
2  � ln 2  .
2
2
� 2� 2

3. BÀI LUYỆN TẬP
Bài toán 8.1: Chứng minh F  x  là một nguyên hàm của f  x  :
a) F  x   x ln x  x; f  x   ln x
b) F  x   ln tan

x
1
 C; f  x  
2
sin x
Hướng dẫn

a) Dùng định nghĩa và công thức đạo hàm
b) Dùng định nghĩa và công thức  ln u  ' 

�

2
Bài tập 8.2: Tính: a) A  x 7  3x dx

u'
u
b) P 

�x
3

x
2

4

dx

Hướng dẫn
a) Đổi biến t  7  3 x 2 . Kết quả 

3
1
2 2
7

3
x


 C
3

2
3 2
b) Kết quả  x  4  3  C
4

Bài tập 8.3: Tính a)

�



dx

x 1 x



2

b)

�
2x

xdx
2

 1  3 x2  1

Hướng dẫn
a) Đổi biến t  1  x . Kết quả 

2
C
1 x

– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 23


b) Kết quả 1 ln





2

x2  1  1

2

2 x2  1  1

C

Bài tập 8.4: Tính
a) I 

�1  x

2

b) I 

dx

1  2x x2  1  2x2

�1  x 

x2  1

dx

Hướng dẫn
a) Dùng nguyên hàm từng phần
Kết quả





1
ln x  1  x 2  x 1  x 2  C

2



1�
2
b) Kết quả �x  x  1
2�
1

Bài tập 8.5: Tính: a) I 

  x 1 
2

x3dx

�4  x
0



�
x 2  1  2ln x  x 2  1  1 � C
�
3

b) J 

2

x5  2 x3

�x
0

2

1

dx

Hướng dẫn
a) Đổi biến t  4  x 2 . Kết quả
b) Kết quả

16
3 3
3

26
5
1

1

x 3dx
D

b)

�
x2  1
0 x

dx
Bài tập 8.6: Tính: a) C  �
x  x 1
0 1

Hướng dẫn
a) Trục căn thức ở mẫu. Kết quả
b) Kết quả D 





1
3  2  ln 1  2
3



2 2 1
15

Bài tập 8.7: Tính a)

x e dx
�

4 x

12 x dx
b) � x
16  9 x
Hướng dẫn

a) Dùng tích phân từng phần 4 lần liên tiếp.





4
3
2
x
Kết quả x  4 x  12 x  24 x  24 e  C

– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 24


1
4 x  3x
.ln x
C
2  ln 4  ln 3
4  3x

b) Kết quả

Bài tập 8.8: Tính: a)

ln  sin x 
ln x  1  x 2 dx
�cos2 x dx b) �





Hướng dẫn
a) Dùng tích phân từng phần. Kết quả tan x.ln  sin x   x  C





2
2
b) Kết quả x ln x  1  x  1  x  C

�

Bài tập 8.9: Tính a) I  x ln

1 x
dx

1 x

e

b) J 

ln x

�x

2

dx

1

Hướng dẫn
a) Dùng tích phân từng phần

1 2 1 x 1 1 x 1
x ln
 ln
 xC
2
1 x 4 1 x 2

Kết quả

b) Kết quả 1 

2
e

Bài tập 8.10: Tính:
a) I 

 /2

e
�

sin x

0

 cos x  cos xdx

b) J 

 /2

e
�

3x

sin 5 xdx

0

Hướng dẫn
a) Tách 2 tích phân và dùng đổi biến, tích phân từng phần.
Kết quả e 


1
4
3

2
b) Kết quả 3.e  5
34
1

�



Bài tập 8.11: Tính: a) I  ln x  1 dx
1

2

e

b) J 

 ln x 
�

2

dx

1

Hướng dẫn
a) Dùng tích phân từng phần. Kết quả ln 2  2 


2

b) Kết quả e  2
– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 25