Cấu trúc (DN) và (DNφ) của đối ngẫu của không gian mầm các hàm chỉnh hình

LèI

CÁM ƠN

Tác giá xin trân thành cám ơn Ban Giám Hi¾u, Phòng sau đai hoc;
các Giáo sư, Tien sĩ cùng toàn the các thay giáo, cô giáo trong Khoa
Toán Trưòng Đai Hoc Sư Pham Hà N®i 2, đã đ®ng viên giúp đõ và tao
đieu ki¾n thu¾n loi đe tác giá có đieu ki¾n tot nhat trong suot quá trình
hoc t¾p, thnc hi¾n đe tài và nghiên cúu khoa hoc. Đ¾c bi¾t, em xin bày
tó lòng biet ơn sâu sac tói TS. Nguyen Văn Hào đã đ%nh hưóng chon
đe tài và t¾n tình chí báo giúp đõ em hoàn thành Lu¾n văn này.
Tác giá xin trân thành cám ơn UBND tính Vĩnh Phúc, Só GD - ĐT
tính Vĩnh Phúc, BGH trưòng THPT Ngô Gia Tn huy¾n L¾p Thach tính
Vĩnh Phúc đã tao đieu ki¾n thu¾n loi đe tác giá hoc t¾p và hoàn thành
lu¾n văn.
Do thòi gian và kien thúc có han nên Lu¾n văn không tránh khói
nhung han che và thieu sót nhat đ%nh.Tác giá xin chân thành cám ơn đã
nh¾n đưoc nhung ý kien đóng góp cna các thay giáo, cô giáo và các ban
hoc viên.

Hà N®i, ngày 25 tháng 05 năm 2011
Tác giá

Pham Quoc Huy


LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna TS. Nguyen Văn Hào,
lu¾n văn tot nghi¾p “Cau trúc (DN ) và (DNϕ) cúa đoi ngau
cúa không gian mam các hàm chính hình” đưoc hoàn thành bói sn

nh¾n thúc cna chính bán thân tác giá và không trùng vói bat kỳ lu¾n
văn nào khác.
Trong quá trình làm lu¾n văn, tôi đã ke thùa nhung thành tnu cna
các nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn.

Hà N®i, ngày 25 tháng 05 năm 2011
Tác giá

Pham Quoc Huy


Mnc lnc

Mé ĐAU

1

1 M®T SO KIEN THÚC CHUAN B±

4

1.1. Không gian loi đ%a phương . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Đoi ngau và tô pô yeu............................................................11
1.3. Pôla............................................................................................. 13
1.4. Tích tensor cna các không gian loi đ%a phương.......................16
1.4.1. Tích tensor xa ánh.......................................................16
1.5. Đa thúc trên không gian loi đ%a phương......................................18

1.6. Ánh xa chính hình...................................................................... 24
1.7. Tô pô trên không gian các ánh xa chính hình.......................... 28
1.8. không gian mam các hàm chính hình........................................30
2 CAU TRÚC (DN) CÚA ĐOI NGAU CÚA KHÔNG GIAN
¯¯¯
MAM CÁC HÀM CHÍNH HÌNH
33
2.1. Khái ni¾m ve bat bien tô pô tuyen tính (DN)......................... 34
¯¯¯
2.1.1. Lưu ý.............................................................................. 34
2.2. M®t so đieu ki¾n tương đương..................................................... 34
2.3. M®t so ví du...................................................................................45

ii


iii

2.3.1. Không gian dãy K¨othe................................................. 45
2.3.2. Không gian các dãy giám nhanh...................................46
2.3.3. Không gian các chuoi lũy thùa.....................................46
∗

2.4. Cau trúc (DN) cna không gian [H(OE )] ................................47
¯¯¯
∗
2.5. Cau trúc (DN) cna không gian [H(K)] ..................................51
¯¯¯
3 CAU TRÚC (DNϕ) CÚA ĐOI NGAU CÚA KHÔNG
GIAN MAM CÁC HÀM CHÍNH HÌNH

55

3.1. M®t so khái ni¾m và ví du............................................................55
∗

3.2. Cau trúc (DNϕ) cna không gian [H(OE )] .............................56
∗

3.3. Cau trúc (DNϕ) cna không gian [H(K)] ................................57
KET LU¾N

63

TÀI LIfiU THAM KHÁO

64


Mé ĐAU
1. Lý do chon đe tài
Tù ket quá cna Mujica [10], không gian mam H(K) là chính quy,
vói t¾p compact K trong không gian Frechet E. Tù đó, ta suy ra rang
[H(K)]∗ là m®t không gian Frechet. Không gian Frechet là m®t
trưòng hop đien hình cna không gian loi đ%a phương khá metric đay
vói nhieu tính chat đ¾c trưng cna giái tích phúc vô han chieu. Vi¾c
nghiên cúu sâu ve lóp không gian này có đưoc nhò vào các tính chat tô
pô đ¾c trưng cna nó. Các bat bien tô pô tuyen tính đã đưoc đe xuat tù
nhung năm 1980 và đen nay đã tró thành m®t hưóng nghiên cúu
đưoc nhieu nhà Toán hoc quan tâm. Các bat bien tô pô tuyen tính

đem lai nhung đ¾c trưng đep đe cho lóp không gian Frechet. Nhung
ket quá đat đưoc ve sn phân loai lóp các không gian này cũng đem lai
nhieu áp dung cho nhieu lĩnh vnc cna Toán hoc giái tích.
Cau trúc cna không gian [H(K)]∗ cũng đã đưoc m®t so tác giá
quan tâm nghiên cúu. Chang han, khi E = Cn, Zaharjuta [16] đã
chúng tó rang [H(K)]∗ có tính chat.Ω. khi và chí khi K là t¾p
compact và L
- chính quy. Ket quá cna Meise -Vogt [9] ve cau trúc loai (Ω) đoi vói
các không gian mam các hàm chính hình xác đ%nh trên các không gian
Frechet hach, đã đưoc P. T. Danh – N. V. Khuê [3] mó r®ng tói trưòng
hop đoi vói không gian Frechet. Các cau trúc loai .Ω. và .Ω˜ . cna
lóp
không gian này cũng đã đưoc∞ N. V. Đông [6] nghiên
cúu. M®t so đ¾c
trưng đoi vói cau trúc (LB ), (DN ) và .Ω˜ . cna lóp không gian
mam
cũng thu đưoc bói L. M. Hái – P. H. Bang [7]. Đưoc sn đ%nh hưóng cna
ngưòi hưóng dan em chon đe tài
“CAU TRÚC (DN ) VÀ (DNϕ) CÚA ĐOI NGAU CÚA
KHÔNG GIAN MAM CÁC HÀM CHÍNH HÌNH”


2

Bo cuc cna lu¾n văn ngoài phan mó đau, ket lu¾n và tài li¾u tham kháo
đưoc trình bày trong ba chương.
Chương 1. Chương này đưoc bat đau bang vi¾c giói thi¾u m®t so các
khái ni¾m và đưa ra m®t so ket quá quan trong ve không gian loi đ%a
phương; các khái ni¾m ve c¾p đoi ngau tô pô pôla; tích tensor; đa thúc
trên không gian loi đ%a phương và m®t so khái ni¾m ve ánh xa chính

hình và tô pô trên không gian các ánh xa chính hình.
Chương 2. Trình bày khái ni¾m ve bat bien tô pô (DN ) , đưa ra
m®t so đieu ki¾n tương đương và ví du ve bat bien tô pô tuyen tính
(DN ) . Trình bày hai ket quá ve cau trúc (DN ) cna đoi ngau cna
không gian mam hàm chính hình.
Chương 3. Trong chương này chúng tôi trình bày khái ni¾m ve bat
bien tô pô tuyen tính (DNϕ) trên không gian Frechet. Hai ket quá chính
trong chương này là đe không gian [H(OE )]∗ có tính chat (DNϕ) thì
E là m®t không gian Frechet ti¾m c¾n chuan có cơ só tuy¾t đoi; đoi vói
đoi ngau cna không gian mam cna các hàm chính hình [H(K)]∗ có tính
chat (DNϕ) thì K phái là t¾p compact cân trong không gian Frechet
Hilbert ti¾m c¾n chuan.

2. Mnc đích nghiên cNu
Lu¾n văn nghiên cúu ve cau trúc (DN ) và (DNϕ) cna đoi ngau
cna không gian mam các hàm chính hình.

3. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Nghiên cúu ve bat bien tô pô tuyen tính (DN ), (DNϕ) trên
không gian Frechet.
Nghiên cúu cau trúc (DN ) và (DNϕ) cna không gian [H(OE )]∗
và không gian [H(K)]∗.

4. Phương pháp nghiên cNu
Đoc sách, nghiên cúu tài li¾u.


Tong hop kien thúc, v¾n dung cho muc đích nghiên cúu.

5. DN kien đóng góp lu¾n văn

Trình bày m®t cách h¾ thong ve bat bien tô pô tuyen tính trên lóp
không gian Frechet cùng các đieu ki¾n tương đương cna nó thông qua
h¾ cơ só lân c¾n h¾ đem đưoc các núa chuan xác đ%nh tô pô cna nó.
Đưa ra m®t so đieu ki¾n tương đương cna các t¾p compact K trong
không gian Frechet E đe tù đó xác đ%nh cau trúc (DN ) và (DNϕ)
cna các không gian Frechet [H(OE )]∗ và [H(K)]∗.


Chương 1
M®T SO KIEN THÚC CHUAN B±
1.1.

Không gian loi đ%a phương

Đ%nh nghĩa 1.1.1. Cho E là m®t không gian véc tơ và A là m®t t¾p
con cna E
i) T¾p A đưoc goi là loi neu vói moi x, y ∈ A ta có λx + (1 − λ)y ∈
A,
trong đó λ ≥ 0,
ii) T¾p A đưoc goi là cân neu vói moi x ∈ A ta có λx ∈ A khi |λ| ≤
1.
iii) T¾p A đưoc goi là loi tuy¾t đoi neu nó đong thòi loi và cân.
iv) T¾p tat cá các to hop tuyen tính huu han
n
.

λixi vói λi ≥

n
.

λi = 1, xi ∈ A

i=1

0,
i=
1

là m®t t¾p loi chúa A và đưoc goi là bao loi cna A.
v) Bao tuy¾t đoi loi cna A là t¾p tat cá các to hop tuyen tính huu
n
n .
.
han
λixi vói λi ≥ 0,
λi ≤ 1 và vói moi xi ∈ A (là t¾p tuy¾t
đoi loi
i=1

nhó nhat chúa A.)

i=1

vi) T¾p A đưoc goi là hút neu vói moi x ∈ A, ton tai λ > 0 sao cho
x ∈ µA vói moi µ mà |µ| ≥ λ


Đ%nh nghĩa 1.1.2. M®t không gian véc tơ có m®t cơ só gom nhung lân
c¾n cân loi cna điem goc đưoc goi là không gian véc tơ loi đ%a phương

4


5

(không gian loi đ%a phương) và tô pô cna nó goi là tô pô loi đ%a phương.
Đ%nh nghĩa 1.1.3. a) Giá sú E là m®t không gian véc tơ tô pô loi đ%a
phương trên K (K = C ho¾c K = R). M®t hàm p xác đ%nh trên E có
giá tr% thnc và không âm (huu han) đưoc goi là núa chuan neu vói moi
x, y ∈ E và λ ∈ K ta có
+) p(x) ≥ 0.
+) p (λx) = |λ| .p (x) .
+) p (x + y) ≤ p (x) + p (y) .
b) M®t núa chuan p tương đương vói t¾p hop tuy¾t đoi loi và hút A
đưoc goi là hàm cõ cna t¾p A.
M¾nh đe 1.1.1. Trong m®t không gian loi đ%a phương E, m®t núa
chuan, p là liên tnc khi và chs khi nó liên tnc tai điem goc.
ChNng minh. Neu p liên tuc tai điem goc và ε > 0 là m®t so cho trưóc
thì ton tai m®t lân c¾n V sao cho p (x) < ε khi x ∈ V. Do đó, vói a m®t
điem tuỳ ý cna E, ta có |p (x) − p (a)| ≤ p (x − a) < ε khi x ∈ a + V.
Q
Đ%nh nghĩa 1.1.4. Không gian véc tơ E đưoc goi là khá đ%nh chuan
neu tô pô cna nó có the xác đ%nh đưoc bói m®t chuan p.
M¾nh đe 1.1.2. Không gian loi đ%a phương E là khá metric khi và chs
khi nó là tách và có m®t cơ só lân c¾n cúa điem goc đem đưoc. Tô pô
cúa m®t không gian khá metric luôn có the xác đ%nh đưoc bói m®t
metric, bat bien đoi vói các phép t%nh tien.
ChNng minh. Neu E là khá metric thì dĩ nhiên nó là tách và có m®t
cơ só đem đưoc nhung lân c¾n cna điem goc.
Ngưoc lai, giá sú E có m®t cơ só lân c¾n đem đưoc. Khi đó, bói vì

moi lân c¾n đeu chúa m®t lân c¾n tuy¾t đoi loi, nên ton tai m®t cơ só
(un) nhung lân c¾n tuy¾t đoi loi. Goi pn là hàm cõ cna un.


Đ¾t
f (x) =

.

∞

2−n inf {pn (x) , 1}.

n=1

The thì

f (x + y) ≤ f (x) + f (y) , f (−x)
= f (x) .

Hơn nua bói vì E là tách nên neu f (x) = 0 thì pn (x) = 0, vói moi n
và
x = 0. Đ¾t d (x, y) = f (x − y) thì d là m®t metric và
d (x + z, y + z) = d (x, y)
Như v¾y d là bat bien đoi vói các phép t%nh tien. Trong tô pô metric,
các t¾p hop

.
.
Vn = x : f (x) < 2−n

l¾p thành m®t cơ só lân c¾n. Nhưng Vn là mó đoi vói tô pô xuat phát
bói moi pn và cá f liên tuc. Hơn nua Vn ⊂ Un , bói vì neu x

Un thì

∈/
pn (x) ≥ 1, v¾y f (x) ≥ 2−n. Thành thú d xác đ%nh m®t tô pô xuat
phát
cna E.

Q

Đ%nh nghĩa 1.1.5. M®t phiem hàm dưói tuyen tính ϕ (x) (trong không
gian thnc hay phúc) là m®t sơ chuan neu ϕ (αx) = |α| ϕ (x) vói
moi x ∈ X và moi so α ∈ K.
M¾nh đe 1.1.3. M®t hàm p : X → R là sơ chuan khi và chs khi nó là
hàm cõ cúa m®t t¾p loi, cân, hút; nó là m®t sơ chuan khi và chs khi nó
là m®t hàm cõ cúa m®t t¾p loi, cân, hút và không chúa tron m®t đưòng
thang nào.
ChNng minh. Neu B là m®t t¾p loi, cân, hút thì hàm cõ pB cna nó
nghi¾m đúng đang thúc
pB (−x) = pB (x) .
Do đó


p
B

(

α
x
)
=
−
α
p
B

(
−
x
)
,
v
ó
i
m
o
i
α
<
0
.


Đieu đó chúng tó rang pB (αx) = |α| pB (x) ; vói moi α và pB là m®t sơ
chuan.
Ngưoc lai, neu p là m®t sơ chuan thì t¾p B = {x : p (x) < 1} loi
vì vói x ∈ B, y ∈ B, 0 < α < 1 ta có

p (αx + (1 − α) y) ≤ αp (x) + (1 − α) p (y) < 1.
Hơn nua B là cân đoi vì p (x) < 1 kéo theo p (−x) = p (x) < 1 và
B cũng là hút vì neu x ∈ X và λ > p(x) thì p (x/λ) = p (x) /λ <
1. De thay p (x) = inf {λ > 0 : x ∈ λB} cho nên p (x) = pB (x) .
Sau cùng, neu p là m®t chuan thì vói moi x ƒ= 0, p (x) > 0 cho nên
p (αx) = αp (x) ≥ 1 (vói α đn lón), túc là αx ƒ= B, chúng tó B
không chúa chon đưòng thang nào qua 0 và x.

Q

M¾nh đe 1.1.4. Trong m®t không gian tuyen tính X cho m®t ho sơ
chuan Γ tùy ý. Trên X có m®t tô pô tương thích vói cau trúc đai
so, trong đó moi sơ chuan thu®c ho Γ đeu liên tnc. Tô pô ay loi đ%a
phương và nh¾n làm cơ só lân c¾n cúa goc ho tat cá các t¾p có dang
.
.
(1.1)
x : sup pi (x) < ε (ε > 0, pi ∈ Γ) .
1≤i≤n

Nó là m®t tô pô Hausdorff khi và chs khi
(x ƒ= 0) (∃p ∈ Γ) p (x) > 0.

(1.2)

ChNng minh. Cho B0 là ho tat cá các t¾p có dang V = {x : p (x) <
1} , vói p ∈ Γ. Khi đó, các t¾p V loi cân, hút nên có m®t tô pô trên X
tương hop vói cau trúc đai so, mà trong đó moi t¾p V là m®t lân c¾n,
túc là theo m¾nh đe 1.1.3, moi sơ chuan p ∈ Γ là liên tuc. Tô pô ay
loi đ%a phương, vói cơ só lân c¾n là ho tat cá các t¾p có dang

n

ε ∩
i

=1

Vi (ε > 0, Vi ∈ B0 ) .


Nhưng rõ ràng
n

ε ∩ Vi = {εx : pi (x) < 1, i = 1, 2, 3, ..., n
i=1
}
= {εx : pi (x) < ε, i = 1, 2, 3, ..., n}
.
.
= x : sup pi (x) < ε
1≤i≤
n
n

Nghĩa là t¾p ε ∩ Vi (ε > 0, Vi B0) chính là các t¾p (1.1).
i=1
M¾t khác, X là không gian Hausdorrff khi và chí khi giao cna tat cá các
t¾p (1.1) là {0} , mà đieu này lai tương đương vói: bat kỳ x ƒ= 0 ton
tai m®t t¾p (1.1) không chúa x, túc là ton tai m®t so ε > 0 và m®t p
∈Γ

sao cho p (x) > ε.
Q
Đ%nh nghĩa 1.1.6. a) M®t không gian loi đ%a phương mà tô pô đưoc
xác đ%nh bói m®t ho sơ chuan Γ huu han ho¾c đem đưoc, và thoá mãn
đieu ki¾n tách (1.2) goi là không gian đem đưoc chuan.
b) M®t không gian đem đưoc chuan và đn goi là không gian Frechet.
Như v¾y moi không gian Banach (Không gian đ%nh chuan đn) đeu là
không gian Frechet.
c) M®t t¾p loi, cân đoi, đóng và hap thu trong m®t không gian loi
đ%a phương goi là m®t thùng. M®t không gian loi đ%a phương trong đó
moi thùng đeu là lân c¾n cna điem goc goi là không gian thùng vói moi
không gian Frechet là không gian thùng.
Đ%nh nghĩa 1.1.7. Cho I là t¾p chí so đ%nh hưóng tuỳ ý. Vói moi α
∈ I và υα : E → Eα là m®t ánh xa tuyen tính tù không gian véc tơ E
vào không gian loi đ%a Eα. Tô pô xa ánh trên E là tô pô yeu nhat
trên E sao cho tat các các ánh xa υα là liên tuc.
Tô pô xa ánh trên E là tô pô loi đ%a phương và m®t ánh xa tuyen tính
η : G → E cna m®t không gian véc tơ G vào E là liên tuc khi và chí khi
υα ◦ η là liên tuc vói moi α ∈ I.
Đ%nh nghĩa 1.1.8. Cho I là t¾p chí so đ%nh hưóng. Vói moi α ∈ I, cho


Eα là m®t không gian loi đ%a phương và giá sú rang vói moi α ≤ β, ton
tai m®t ánh xa tuyen tính liên tuc uαβ : Eα → Eβ sao cho
i) uαα là ánh xa đong nhat, vói moi α ∈ I.
ii) uαβ ◦ uβγ = uαγ , vói moi α ≤ β ≤ γ.
Khi đó ho các không gian và các ánh xa tuyen tính {Eα, uαβ} đưoc goi
là m®t h¾ xa ánh. Không gian con
E = {{xα} ∈

Y

Eα : uαβ (xβ ) = xα, vói moi α ≤ β}

α∈I

Q

Eα vói tô pô cám sinh đưoc goi là giói han xa ánh cna {Eα, uαβ}

cna
α∈I

và ta viet là
E = lim poj Eα.
α

M¾nh đe 1.1.5. Moi không gian loi đ%a phương là giói han xa ánh cúa
m®t ho không gian đ%nh chuan.
ChNng minh. Cho X là m®t không gian loi đ%a phương bat kỳ, Γ là
m®t ho sơ chuan úng vói m®t cơ só lân c¾n B cna X. Ta biet trong m®t
không gian loi đ%a phương, ho các t¾p b% ch¾n yeu trùng vói ho các t¾p
b% ch¾n nên ta thay rang vói moi p ∈ Γ t¾p p−1 (0) là m®t không gian
con cna X và p xác đ%nh m®t chuan trên không gian thương Xp = X/p−1
(0) .
Khi ay, goi up là ánh xa cho tương úng vói x ∈ X phan tú x˜ ∈ Xp (
x˜
là lóp các xr ∈ X vói p (xr − x) = 0 ) và theo m¾nh đe 1.1.4 ta thay
X
chính là giói han xa ánh cna các Xp đoi vói up.

Q

M¾nh đe 1.1.6. [12] Giói han xa ánh cúa ho các không gian loi đ%a
phương đay là đay.
M¾nh đe 1.1.7. [12] Neu E là không gian loi đ%a phương Hausdorff và
đay thì
E = lim proj Eˆ/ ker α
α


ó đây, α chay trên tat cá các núa chuan liên tnc trên E.


M¾nh đe 1.1.8. [12] Cho E là giói han xa ánh cúa các không gian loi
đ%a phương Eα đoi vói các ánh xa υα. M®t t¾p M trong E b% ch¾n khi và
chs khi υα (M ) cũng b% ch¾n.
Đ%nh nghĩa 1.1.9. Cho I là m®t t¾p chí so đ%nh hưóng tuỳ ý. Vói
moi α ∈ I, cho υα : Eα → E là m®t ánh xa tuyen tính tù không gian
loi đ%a phương Eα vào không gian véc tơ E = ∪ υα (Eα ) . Tô pô quy
α

nap trên E là tô pô manh nhat trên E sao cho tat cá các ánh xa υα là
liên tuc.
Tô pô quy nap trên E là tô pô loi đ%a phương và m®t ánh xa tuyen tính
η : E → C là liên tuc khi và chí khi η ◦ υα là liên tuc vói moi α ∈ I.
Đ%nh nghĩa 1.1.10. Cho không gian véc tơ E là hop cna m®t ho các
không gian loi đ%a phương {Eα} đưoc đ%nh hưóng bói quan h¾ bao hàm
và moi ánh xa bao hàm Eα → Eβ là liên tuc. Khi đó, E đưoc trang b%
bói tô pô quy nap vói các ánh xa bao hàm Eα → E đưoc goi là giói han

quy nap cna các không gian con Eα và đưoc ký hi¾u bói
E = lim ind Eα.
α

Ví dn 1.1.1. Ví du đơn gián và quan trong ve giói han quy nap là không
gian thương. Cho X0 là m®t không gian loi đ%a phương, M là m®t không
gian tuyen tính con cna X0 và X = X0/M. Goi υ là ánh xa chính tac tù
X0 vào X (túc là ánh xa cho tương úng vói moi x ∈ X0 lóp tương
đương x˜ chúa nó), thì de thay rang tô pô thương chính là tô pô loi đ%a
phương manh nhat đe η liên tuc.
Đ%nh nghĩa 1.1.11. Cho E = lim ind Eα là giói han quy nap cna các
α

không gian con Eα. Khi đó ta nói rang
i) E là giói han quy nap ch¾t neu Eα có tô pô cám sinh cna Fβ moi
khi Eα ⊂ Eβ.
ii) E là đay đn neu moi lưói Cauchy trong E là h®i tu.
iii) E là giói han quy nap chính quy neu moi t¾p b% ch¾n cna E là b%
chúa và b% ch¾n trong Eα.


iv) E là giói han quy nap chính quy Cauchy neu cho trưóc B ⊂ E b%
ch¾n thì ton tai α sao cho B b% chúa và b% ch¾n trong Eα và ngoài ra
moi lưói {xα} ⊂ B là E - Cauchy neu và chí neu nó là Eα - Cauchy.
M¾nh đe 1.1.9. [12] Cho E = lim ind En là giói han quy nap ch¾t
cúa
n

m®t dãy các không gian con En thì
i) Moi En có tô pô cám sinh cúa E.

ii) Neu En trong En+1 vói moi n thì E = lim ind En là giói han
quy
nap chính quy Cauchy.

n

iii) Neu moi En là Hausdorff và đay thì E là Hausdorff và đay.

1.2.

Đoi ngau và tô pô yeu

Đ%nh nghĩa 1.2.1. M®t c¾p đoi ngau là b® ba (E, F ; (·)) ho¾c viet
(E, F ) trong đó
i) E và F là hai không gian véc tơ trên cùng m®t trưòng vô hưóng.
ii) (·) : E × F → K là dang song tuyen tính thoá mãn
DE ) neu (x, u) = 0, vói moi u ∈ F thì x =
0. DF ) neu (x, u) = 0, vói moi x ∈ E thì u
= 0.
Ta có (·) : E × F → K là song tuyen tính neu
a) Vói moi u ∈ F ánh xa x ›→ (x, u) là dang tuyen tính trên E.
b) Vói moi x ∈ E ánh xa u ›→ (x, u) là dang tuyen tính trên F.
Ví dn 1.2.1. Neu(E, F) là c¾p đoi ngau thì dang (u, x) ›→ (x, u)
xác đ%nh c¾p đoi ngau (F, E) .
Ví dn 1.2.2. Giá sú E là không gian véc tơ và E∗ là đoi ngau đai so cna
nó. Khi đó dang (x, u) ›→ u (x) , x ∈ E, u ∈ E∗ xác đ%nh c¾p đoi
ngau (E, E∗ ) .


Ví dn 1.2.3. Giá sú E là không gian loi đ%a phương Hausdorff vói đoi

ngau tô pô Er . Khi đó dang (x, u) ›→ u (x) , x ∈ E, u ∈ Er cho ta c¾p
đoi ngau (E, Er ) .
Đ%nh nghĩa 1.2.2. Giá sú (E, F) là c¾p đoi ngau. Vói moi u ∈ F xác
đ%nh núa chuan pu trên E.
pu (x) = |(x, u)| , x ∈ E.
Tô pô loi đ%a phương trên E sinh bói các núa chuan pu, u ∈ F ký
hi¾u là σ (E, F ) goi là tô pô yeu trên E cna c¾p đoi ngau (E, F) .
M¾nh đe 1.2.1. Neu (E, F) là c¾p đoi ngau thì σ (E, F ) là tô pô
loi đ%a phương Hausdorff yeu nhat trên E thoá mãn
r

(E, σ (E, F )) = F.
ChNng minh. Do (DE, σ (E, F )) là Hausdorff. Vì pu liên tuc vói
r

moi u ∈ F, suy ra F ⊂ (E, σ (E, F )) . M¾t khác giá sú f ∈ (E, σ
r

(E, F )) , khi đó ton tai u1, u2, ..., un và ε > 0 sao cho
|f (x)| ≤ 1; vói moi x ∈ W (u1, u2, ..., un, ε) .
Đ¾c
bi¾t

f (x) = 0; vói moi x ∈ E.

Do đó u1 (x) = u2 (x) = ... = un (x) = 0. V¾y f là to hop tuyen tính
cna
u1, u2, ..., un, túc là f ∈ F. Tù đó suy ra σ (E, F ) là tô pô loi đ%a
phương yeu nhat trên E đe
r

(E, σ (E, F )) ∈ F.
Q
Đ%nh nghĩa 1.2.3. Giá sú (E, F) là c¾p đoi ngau. Tô pô loi đ%a phương
r

ξ trên E goi là tô pô cna c¾p đoi ngau (E, F) . Neu (E, ξ) = F.


M¾nh đe 1.2.2. Neu (E, F) là c¾p đoi ngau và A là t¾p con loi cúa E,
thì A có cùng bao đóng trong moi tô pô cúa c¾p đoi ngau (E, F) .
ChNng minh. Ta chí can chúng tó
cAξ A = cAσ(E,F )A,
vói moi tô pô ξ cna c¾p đoi ngau (E, F) . Trong đó cAξ A ký hi¾u bao
đóng cna A đoi vói ξ. Trưóc het do σ (E, F ) ≤ ξ nên cAξ A ⊆ cAσ(E,F )
A.
cAξ A, chon lân c¾n loi mó U cna 0 ∈ E đoi vói tô pô ξ

Giá sú a
∈/

r

sao cho (a + U ) ∩ A = ∅. Do đó, ton tai f ∈ (E, ξ) = F sao
cho
f (a + U ) ∩ f (A) = ∅. Do đó f (U ) là mó, nên f (a) ∈/ f (A).
Suy ra ton tai δ > 0 đe
|f (x − a)| = |f (a) − f (x)| ≥ δ; ∀x ∈ A.
V¾y neu W = {x ∈ E : |f (x)| < δ} , thì a + W là lân c¾n cna a đoi
vói

σ (E, F ) không giao vói A.
Q

1.3.

Pôla

Đ%nh nghĩa 1.3.1. Giá sú (E, Er ) là m®t c¾p đoi ngau, A ⊂ E. Khi đó
t¾p hop
{xr ∈ Er : sup {(x, xr) ≤ 1 : x ∈ A}}
đưoc goi là m®t pôla (trong Er ) cna A và ký hi¾u bói A0.
M¾nh đe 1.3.1. Giá sú (E, Er ) là m®t c¾p đoi ngau. Pôla trong Er
cúa các t¾p con cúa E có các tính chat sau đây
i) Aolà loi, cân và σ (E, Er ) - đóng.
ii) Neu A ⊂ B thì B0 ⊂ A0.
0

iii) Neu λ ƒ= 0 thì (λA) = |λ|
.
.
iv)
0
0
α
∪ Aα = ∩ A .
α

∈

I

α∈
I

−1

A0.


ChNng minh. (i) Ta có A là loi, cân trong F. M¾t khác tù h¾ thúc
0

A = ∩ {u ∈ F : |(x, u)| ≤ 1}
x∈A

và tù tính σ (E, F ) - đóng cna {u ∈ F : |(x, u)| ≤ 1} đoi vói moi x ∈
E,
ta suy ra A0 là σ (E, F ) - đóng.
(ii) ta có
0

0

A = ∩ {u ∈ F : |(x, u)| ≤ 1} , B = {u ∈ F : |(x, u)| ≤ 1} .
x∈A
∩
x∈B
0

Bói vì A ⊂ B nên B ⊂ A

0

(iii) Bói vì u ∈ (tA)0 nên u ∈ (|t| A)0 và |(|t| x, u)| ≤ 1; ∀x ∈ A. Do
đó, ta có
|(|t| x, u)| ≤ 1; ∀x ∈ A.
Đieu đó chúng tó

u∈

1

A0 .

|t|
(iv) Hien nhiên ta có
.

.0

α

∪ Aα
∈

I

= ∩

A0α .

Q

α∈
I

Đ%nh lý 1.3.1. Giá sú (E, F) là c¾p đoi ngau và M ⊂ E là t¾p loi, cân.
Khi đó, ta có
M 00 = cAξ M,
.
moi tô pô ξ cúa c¾p đoi ngau và M 00 = M

.
0 0

.

F E

ChNng minh. Ta chí can chúng minh
M 00 = cAσ(E,F )M.
Th¾t v¾y do M ⊂ M 0 và M 00 là σ (E, F ) - đóng ta có cAσ(E,F )M ⊂
M 00.
M¾t khác neu a ∈/ cAσ(E,F )M nên ton tai dang song tuyen tính


r

f ∈ (E, σ (E, F )) = F

sao
cho

|(a, f)| ≤ 1, ∀x ∈ M, hay f ∈ M 00

và

|(a, f)| > 1.
a ∈/ M 00 ⇒ M 00 ⊂

Do đó

cAσ(E,F )M. M 00 = cAσ(E,F )

V¾y

M.
Q
M¾nh đe 1.3.2. Giá sú ξ là tô pô cúa c¾p đoi ngau (E, F ) trên E.
Khi đó
i)

U 0 = U# vói moi lân c¾n U cúa 0 ∈ E đoi vói ξ.
E
0

.
ii) F = U U

0

.
: U ∈ u ó đây u là cơ só lân c¾n bat kỳ cúa 0 ∈ E.

. M¾t khác vói moi
ChNng minh. (i) Do F ⊂ E#, ta có U 0 ⊂ U
E#
0

f ∈ UE0# ta
có

|(x, f)| ≤ PU (x) ; ∀x ∈ E,

ó đây PU là núa chuan ket hop vói U. Do PU là liên tuc vói ξ, suy ra
U E# ⊂ U 0 .
V¾y
UE# = U 0# .
E

.
.
(ii) Tù (i) và h¾ thúc (E, ξ) = F ta có F = U U0 : U ∈ u .
r

Q

M¾nh đe 1.3.3. Giá sú E là không gian véc tơ. Khi đó E# là đay
.
.

đoi vói σ E#, E - tô pô.
ChNng minh. Th¾t v¾y cho {uα}α∈I là dãy suy r®ng Cauchy trong


.

#

.

#

E ,σ E ,E

..

. Khi đó {(x, uα)} là dãy suy r®ng Cauchy trong

K.
Vì K là đay, dãy suy r®ng này h®i tu tói (x, u) ∈ K. Hien nhiên dang


.
.
x ›→ (x, u) xác đ%nh u ∈ E# và {uα} h®i tu tói u đoi vói σ E#, E tô
pô.

Q

M¾nh đe 1.3.4. Neu E là không gian loi đ%a phương tách và U là m®t

cơ só lân c¾n cúa 0 ∈ E thì đoi ngau (tô pô) Er cúa E là t¾p
hop

.
.
E r = ∪ U 0, u ∈ U . Trong đó U

0

đưoc lay trong đoi ngau đai so

E∗.
ChNng minh. Vói moi xr ∈ Er thì xr là m®t dang tuyen tính liên tuc trên
E. Nên có the tìm đưoc u ∈ U sao cho |(x, xr)| ≤ 1. V¾y xr ∈ U 0, u ∈
.
.
r
0
U và do đó x ∈ ∪ U , U ∈ u . Ngưoc lai giá sú xr ∈ E∗ và xr ∈ U
0
vói U ∈ u nào đó, the thì xr liên tuc trên E, V¾y xr ∈ E.
Q

1.4.

Tích tensor cúa các không gian loi đ%a phương

1.4.1.

Tích tensor xa ánh

Giá sú E, F, G là các không gian véc tơ trên cùng m®t trưòng K và
h:E×F →G
ánh xa h goi là song tuyen tính neu vói moi y ∈ F co đ%nh ánh xa
hy : E → G
cho bói

hy(x) = h(x, y), x ∈ E

là tuyen tính và cũng như v¾y ánh xa
hx : F → G
cho bói

hx(y) = h(x, y), y ∈ F

là tuyen tính. Trưòng hop G = K thì h đưoc goi là dang song tuyen
tính. Ký hi¾u
T ∗ = { h : E × F → K : h là dang song tuyen tính }.