Một số định lí thác triển của các hàm chỉnh hình tách với kỳ dị đa cực

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM





NGUYỄN THỊ THU HƯƠNG





MỘT SỐ ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN CỦA
CÁC HÀM CHỈNH HÌNH TÁCH
VỚI KỲ DỊ ĐA CỰC



Chuyên ngành: Giải tích
Mã số: 60.46.01



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai






Thái nguyên -2010

1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

MỞ ĐẦU
Nghiên cứu về ánh xạ chỉnh hình tách biến là một trong những hướng
nghiên cứu quan trọng của giải tích phức nhiều biến. Các kết quả đạt được
theo hướng nghiên cứu này ngày càng nhiều và đẹp đẽ. Ngày nay nhiều nhà
toán học trên thế giới vẫn tiếp tục quan tâm đến vấn đề này với những cách
tiếp cận khác nhau.
Lịch sử phát triển của việc nghiên cứu các hàm chỉnh hình tách vô cùng
phong phú, đa dạng và đã thu được những kết quả vô cùng đẹp, có ứng dụng
lớn trong giải tích hiện đại. Nó được chia làm ba giai đoạn cụ thể sau.
Đầu tiên là giai đoạn từ năm 1899 đến năm 1967 với những đóng góp
quan trọng của các nhà bác học nổi tiếng như: Osgood, Hartogs, Hukuhara,
Shimoda, Terada… Đặc trưng chủ yếu của giai đoạn này là nghiên cứu trên
chữ thập 2-lá. Trước tiên là vào năm 1899, Osgood đã khẳng định rằng nếu
một hàm chỉnh hình tách giới nội trong miền D thì chỉnh hình trong miền đó.

Tiếp đó là vào năm 1906, Hartogs khẳng định rằng mọi hàm chỉnh hình trong
miền D đều chỉnh hình tách trong miền đó. Bước đột phá quan trọng là nghiên
cứu của Hukuhara vào năm 1930. Ông đã khẳng định rằng hàm chỉnh hình
tách giới nội địa phương trên tập X(A
1
,A
2
; D
1
,D
2
) là chỉnh hình trên D
1

D
2

(trong đó
1 1 2 2
,A D A D
) với điều kiện A
2
có ít nhất một điểm tụ trong D
2
.
Nhưng ở đây ông lại mở rộng vấn đề bằng câu hỏi: “Với điều kiện nào của A
2

thì khẳng định trên vẫn đúng”. Và phải đến hơn 30 năm sau Terada mới trả
lời được câu hỏi trên với điều kiện A

2
là không đa cực.
Giai đoạn tiếp theo là từ năm 1969 đến năm 1997 với các nghiên cứu của
các nhà bác học Siciak năm 1969 và P. Zahariuta năm 1976 khi ông phát minh ra
cơ sở chung của không gian Hilber. Sau đó phương pháp của Zahariuta đã được
2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

cải tiến bởi Nguyễn Thành Vân và Zeriahi trong các công trình của hai ông vào
các năm 1991, 1995 và 1997. Đến năm 2001 với định lý chữ thập cổ điển của
Alehyane và Zeriahi đã đưa ra công thức tổng quát cho giải tích phức.
Giai đoạn thứ ba là từ năm 1998 đến năm 2001. Đặc trưng của giai đoạn
này là nghiên cứu thác triển của các hàm chỉnh hình tách với kỳ dị giải tích, bắt
đầu với nghiên cứu của Oktem sau đó được tổng quát hóa bởi Siciak. Kết quả
tổng quát nhất là định lý thác triển của các hàm chỉnh hình tách với kỳ dị giải
tích và kỳ dị đa cực của Jarnicki và Pflug.
Với mục đích nghiên cứu một vài kết quả về thác triển các hàm chỉnh
hình tách, luận văn gồm những nội dung cơ bản sau:
Chƣơng 1. Kiến thức chuẩn bị.
Nội dung chính của chương chủ yếu trình bày các khái niệm đa tạp
phức, hàm đa điều hòa dưới, miền giả lồi, bao chỉnh hình, hàm cực trị tương
đối, tập đa cực, đa cực địa phương, đa chính quy địa phương và hàm chỉnh
hình tách, tập kỳ dị. Tiếp đó chúng tôi trình bày một số kết quả bổ trợ như
thác triển các hàm chỉnh hình tách và tính chất của tập đa cực, đa cực đóng
tương đối, đa chính quy địa phương để chuẩn bị cho việc trình bày chương 2.
Chƣơng 2. Định lý thác triển của các hàm chỉnh hình tách với kỳ dị đa cực.
Phần đầu chương chúng tôi trình bày sơ lược các kết quả nghiên cứu
về hàm chỉnh hình tách qua các giai đoạn phát triển của hướng nghiên cứu
này. Tiếp đó là một định lý về thác triển của các hàm chỉnh hình tách với kỳ

dị đa cực. Phần cuối chương, chúng tôi trình bày chứng minh định lý này
trong trường hợp chữ thập 2-lá và trong trường hợp tổng quát.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo TS
Nguyễn Thị Tuyết Mai. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với cô.
3

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Em xin chân thành cám ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán Trường Đại học
Sư phạm Thái Nguyên cùng các thầy cô giáo đã tận tình giảng dạy chúng em
suốt khóa học.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Cao đẳng Kinh tế
Tài chính Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm Khoa Khoa cơ bản và Bộ môn Toán
đã quan tâm giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá
trình học tập và nghiên cứu.
Xin chân thành cảm ơn gia đình, đồng nghiệp và bạn bè đã động viên
khích lệ tôi trong suốt quá trình hoàn thành, bảo vệ luận văn.












4

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

CHƢƠNG I
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Đa tạp phức
1.1.1. Ánh xạ chỉnh hình
Giả sử X là một tập mở trong
n

và
:fX 
là một hàm số.
Hàm f được gọi là khả vi phức tại
0
xX
nếu tồn tại ánh xạ tuyến
tính
:
n


sao cho:
   
 
00
0
lim 0
h
f x h f x h

h


  


trong đó
 
1
, ,
n
n
h h h
và
1/2
2
1
n
i
i
hh






.
Hàm f được gọi là chỉnh hình tại
0

xX
nếu f khả vi phức trong
một lân cận nào đó của
0
x
và được gọi là chỉnh hình trên X nếu f chỉnh
hình tại mọi điểm thuộc X.
Một ánh xạ
:
m
fX
có thể viết dưới dạng
 
1
, ,
m
f f f
trong đó
: , 1, ,
ii
f f X i m

  
là các hàm tọa độ. Khi đó f gọi là chỉnh hình
trên X nếu
i
f
chỉnh hình trên X với mọi i=1,…,m.
Ánh xạ
 

:
n
f X f X
được gọi là song chỉnh hình nếu f là song
ánh, chỉnh hình và
1
f

cũng là ánh xạ chỉnh hình.

5

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1.1.2. Đa tạp phức
Giả sử X là một không gian tô pô Hausdorff .

Cặp
 
,U

được gọi là một bản đồ địa phương của X , trong đó U là
tập mở trong X và
:
n
U

 
là ánh xạ, nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
i)

 
U

là tập mở trong
n

.
ii)
 
:UU


là một đồng phôi.

Họ =
 
 
,
ii
iI
U


các bản đồ địa phương của X được gọi là tập bản
đồ giải tích (atlas) của X nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
i)
 
i
iI
U


là một phủ mở của X.
ii) Với mọi
,
ij
UU
mà
ij
UU  
, ánh xạ
   
1
:
j i i i j j i j
U U U U
   

  
là ánh xạ chỉnh hình.
Xét họ các atlas trên X. Hai atlas 
1
,
2
được gọi là tương đương nếu
hợp 
1


2
là một atlas. Đây là một quan hệ tương đương trên tập các atlas.

Mỗi lớp tương đương xác định một cấu trúc khả vi phức trên X và X cùng với
cấu trúc khả vi phức trên nó được gọi là một đa tạp phức n chiều.
1.2. Hàm đa điều hòa dƣới
1.2.1. Hàm điều hòa dưới
Giả sử D là một miền trong

. Hàm


:,uD  
được gọi là điều
hòa dưới trong miền D nếu u thỏa mãn hai điều kiện sau:
6

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

i) u là nửa liên tục trên trong D, tức là tập
 
 
;z D u z s
là tập
mở với mỗi số thực s.
ii) Với mỗi tập con mở compact tương đối G của D và mọi hàm
:hX 
là điều hòa trong G và liên tục trong
G
ta có: nếu
uh
trên
G

thì
uh
trên G.
1.2.2. Hàm đa điều hòa dưới
Giả sử G là một tập con mở trong
n

. Một hàm


:,G

  
được
gọi là đa điều hòa dưới nếu:
i)

là nửa liên tục trên và

không đồng nhất với

chỉ trên
thành phần liên thông của G.
ii) Với mỗi
0
zG
và
n
a

mà
0,a 
và với mỗi ánh xạ
:,
n



 
0
z z az


, hàm


trên mỗi thành phần liên thông của
 
1
G


(là các miền trong

) hoặc bằng

hoặc là điều hòa dưới.
1.2.3. Hàm đa điều hòa dưới trên không gian phức
Giả sử X là không gian phức. Một hàm đa điều hòa dưới trên X là
hàm



:,X

  
thoả mãn: Với mỗi
xX
tồn tại lân cận U mở của x
sao cho với một ánh xạ song chỉnh hình
:h U V
lên một không gian
phức con đóng V của một miền
m
G  
nào đó và một hàm đa điều hòa
dưới



:,G

  
sao cho

U
h

 
.
Kí hiệu 

 
X
là tập tất cả các hàm đa điều hòa dưới trên
.X

1.3. Miền giả lồi
Định nghĩa 1.3.1.
n
G  
là một miền (tập con mở liên thông). Ta nói G là
giả lồi nếu tồn tại một hàm đa điều hòa dưới liên tục

trên G sao cho tập
7

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

 
 
:z G z x



là tập compact tương đối của G với mọi số thực x.
Bổ đề 1.3.2. [2, tr. 73]
Giả sử
n
D
là một miền giả lồi. Khi đó tồn tại một dãy các miền giả
lồi compact tương đối

1kk
D D D

ÐÐ
với
1k
k
DD




.
1.4. Bao chỉnh hình, miền chỉnh hình
Định nghĩa 1.4.1. Miền

D
(đơn diệp hoặc không) được gọi là bao chỉnh hình
của miền
n
D
nếu:
i)

D
chứa D.
ii) Hàm
 
f H D
tùy ý thác triển được thành hàm chỉnh hình

trong

.D

iii) Đối với điểm

0
zD
tùy ý, tồn tại hàm

 
0
f H D
mà hạn chế
của nó trên đa tròn
 
0
,U z r
trong đó

0
( , )r z D


không thác triển chỉnh
hình được trên bất cứ một đa tròn
 
0
,U z R
nào, trong đó

Rr
.
Định nghĩa 1.4.2. Miền trải
 
,D

được gọi là miền chỉnh hình nếu tồn tại
hàm
 
f H D
sao cho nếu có miền
   
1
,,DD


nào đó và hàm
 
11
f H D
là

- mở rộng của hàm f thì
 
1
,D

tương đương với
 
,D



(tức là

là đơn trị hai chiều D lên D
1
).

8

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1.5. Hàm cực trị tƣơng đối
Định nghĩa 1.5.1. Giả sử
n

và
:h 
được xác định bởi:
   
*
limsup ,
wz
h z h w w

 

được gọi là hàm chính quy hóa nửa liên tục trên của h.
Định nghĩa 1.5.2. Giả sử
n


là một tập mở và
A
. Đặt
,
: sup
A
h


{
:uu

 
, 1 , 0trªn trªn u u A   
}
Hàm
*
,A
h

được gọi là hàm cực trị tương đối, trong đó kí hiệu * là
chính quy hóa nửa liên tục trên.
Định nghĩa 1.5.3. Ta định nghĩa:
*
,,
: lim
kk
AA
k

h

  



trong đó
 
1
k
k



là dãy các tập mở compact tương đối,
1kk
  Ð
với
1kk


  
.
Chú ý: i) Định nghĩa trên là không phụ thuộc vào dãy vét cạn
 
1
k
k




.
ii)
,A




 

.
iii) Nếu

giới nội thì
*
,,AA
h



.
Mệnh đề 1.5.4. (Tính chất của hàm cực trị tương đối) [2, tr. 9]
Giả sử
1
n

và
2
m


là các miền và
1 1 2 2
,AA  
là các tập
con bất kỳ. Khi đó:
     
 
 
1 2 1 2 1 1 2 2
* * *
, 1 2 , 1 , 2 1 2 1 2
, max , ; ,
A A A A
h z z h z h z z z
    
  

9

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1.6. Tập đa chính quy địa phƣơng
Định nghĩa 1.6.1. Tập
A
là đa chính quy địa phương tại một điểm
aA
nếu
 
*
,

0
A U U
ha


với mọi lân cận mở U của a.
Định nghĩa 1.6.2. Tập A được gọi là đa chính quy địa phương nếu nó đa
chính quy địa phương tại mọi điểm
aA
.
1.7. Tập cực, tập đa cực
Định nghĩa 1.7.1. Tập A trong
n

(
2n 
) được gọi là tập cực nếu tồn tại một
hàm đa điều hòa dưới khác hằng u trên
n

sao cho:
 
 
:A x u x  

Định nghĩa 1.7.2. Tập A được gọi là đa cực trong

nếu tồn tại một hàm đa
điều hòa dưới sao cho u không đồng nhất bằng


trên mọi thành phần liên
thông của

và
 
 
:A z u z   
.
Định nghĩa 1.7.3. Tập A được gọi là đa cực địa phương trong

nếu với mỗi
zA
có một lân cận mở V của z sao cho
AV
là đa cực trong V.
Định lý 1.7.4. (Định lý Chirka) [9, tr. 1254]
Giả sử
n
D
là một miền và

D
là bao chỉnh hình của D. Giả sử rằng S
là một tập con đa cực đóng tương đối của D. Khi đó tồn tại một tập con đa
cực đóng tương đối

S
của

D

sao cho

S D S
và


\DS
là bao chỉnh hình
của D \ S.


10

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Hệ quả 1.7.5. [2, tr. 58]
Giả sử
n
D
là một miền và D có bao chỉnh hình đơn diệp

n
D  
.
Giả sử S là một tập con đa cực đóng tương đối của D. Khi đó tồn tại một tập
con đa cực đóng tương đối

S
của


D
sao cho

S D S
và


\DS
là bao
chỉnh hình của D \ S.
Chứng minh
Áp dụng định lý Chirka, ta có

S D S
.
Vì D là miền đơn diệp nên ta có thể giả sử

DD
. Hơn nữa, ta biết
rằng bao chỉnh hình của D là miền đơn diệp nếu O

 
D
D
= O
 
D
. Vì vậy
O



 
\
\
DS
DS
= O
 
\DS
. Do đó

S D S
.
Mệnh đề 1.7.6. (Nguyên lý đồng nhất trên các tập không đa cực) [2, tr. 23]
Giả sử
n

là một miền và
A
là tập không đa cực. Khi đó với
mọi hàm
f 
O
 

với
0
A
f 
đồng nhất không trên


.
Trong trường hợp đặc biệt, nếu
,fg
O
 

và
fg
trên A thì
fg
.
Định nghĩa 1.7.7. Giả sử
, 2,NN
và
,
j
n
jj
AD    
trong đó
j
D
là một miền,
,
j
n 
j = 1,…, N. Giả sử U là tập con mở của
1

N
DD

và
MU
là tập đóng tương đối. Cho
   
11
, ,
NN
a a D D U   
và
1 jN
, khi đó tập
11

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

 
 
 
1 1 1
1 1 1
, , , , ,
: : , , , , ,
j j N
j j j j j N
a a a a
M z D a a z a a M




  

được gọi là sợi của M tại
 
1 1 1
, , , , ,
j j N
a a a a


.
Bổ đề 1.7.8. [9, tr. 1255-1256]
(a) Giả sử
pq
S 
là đa cực. Khi đó tập hợp
 
 
,.
::
p
z
A z S lµ kh«ng ®a cùc

là đa cực.
(b) Giả sử
pq
M 

sao cho với mỗi
p
a
, sợi
( ,.)a
M
là đa cực.
Giả sử
pq
C 
là tập sao cho tập hợp
 
 
,.
:
p
z
zC lµ kh«ng ®a cùc

là không đa cực. (Chẳng hạn
C
 

trong đó
p
C

 
,
q

C

 
là không
đa cực). Khi đó C\M là không đa cực.
(c) Giả sử
pq
M 
sao cho với mỗi
p
a
, sợi
( ,.)a
M
là đa cực.
Giả sử
p
A 
là đa chính quy địa phương và
 
 
 
1
, ,.
: , :
q
ab
C a b A M




    lµ ®a cùc
. Khi đó C là đa chính quy địa
phương.
Chứng minh
(a) Giả sử
v

 
1
, ( )v S v

   
p+q
sao cho
. Đặt
 
( ): sup ( , ): ,
q
p
Eu z v z w w z  

Khi đó
1
()Au

 
. Hơn nữa
u


 
.
p
vµ u  

12

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

(b) Giả sử C\M là đa cực. Khi đó theo (a), tồn tại một tập đa cực
p
A 
sao cho sợi
 
( , .)
\
a
CM
là đa cực,
\.
p
aA
Do đó sợi
( ,.)a
C
là đa cực,
\
p
aA
. Mâu thuẫn.

(c) Cố định
 
00
,a b C


và một lân cận
 
00
,
: ( )
ab
Ur


. Ta chỉ ra rằng
 
*
, 0 0
,
C U U
h a b


=0. Trước hết ta chứng minh
(*)
   
00
**
, 0 0 ( ( )) ( ), 0 0

,,
ab
C U U A r r U
h a b h a b

 




Thật vậy,giả sử
u

 
10U u v u C U  sao cho µ trªn .
Khi đó
với mọi
0
()
a
a A r 
hàm u(a,.) là đa điều hòa dưới trên
0
()
b
r


và u(a,.)


0
trên tập
 
 
 
0
( ,.)
( ,.)
( ,.)
( ):
ba
a
b
C U b r M



 = lµ cùc
.
Theo (a) (áp dụng cho tập
( ,.)a
M
), tập
 
0
( ,.)
( ) \
b
a
r C U



là đa cực. Vì
vậy u(a,.)

0 trên tập
0
()
b
r


. Do đó
0u 
trên
00
( ( )) ( )
ab
A r r

 
, điều đó
kéo theo
00
, ( ( )) ( ),
ab
C U U A r r U
hh

  


và
   
00
**
, 0 0 ( ( )) , 0 0
,,
ab
C U U A r U
h a b h a b

  


.
Dựa vào tính chất đặc trưng của hàm cực trị tương đối, dùng (*) và A là
đa chính quy địa phương nên ta có
   
   
 
 
00
0 0 0 0
00
**
, 0 0 ( ( )) ( ), 0 0
**
( ), ( ) 0 ( ), ( ) 0
*
( ), ( ) 0

,,
max ,
0
ab
a a b b
aa
C U U A r r U
A r r r r
A r r
h a b h a b
h a h b
ha


  
   
 








1.8. Chữ thập N-lá
13

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Định nghĩa 1.8.1. Giả sử
, 2,NN
và
,
j
n
jj
AD    
trong đó
j
D
là một miền,
,
j
n 
j = 1,…, N. Tập
X = X(A
1
,…,A
N
; D
1
,…,D
N
)
:=
1

1 -1 1
1

.
N
N
nn
n
j j j N
j
A A D A A



        

được gọi là Chữ thập N-lá liên kết với N cặp
 
,
jj
AD
.
Chú ý rằng X là liên thông.
Định nghĩa 1.8.2. Giả sử
, 2,NN
và
,
j
n
jj
AD    
trong đó
j

D
là một miền,
,
j
n 
j = 1,…, N và X = X(A
1
,…,A
N
; D
1
,…,D
N
). Đặt

 
 
1 1 ,
1
: , , : 1 .
jj
N
N N A D j
j
X z z D D z



    





Chú ý : i)

X
có thể là tập rỗng. Chẳng hạn nếu
j
A
là tập đa cực với mọi
j
mà
,
1
jj
AD


thì

X
là tập rỗng.
ii) Nếu
1
, ,
N
DD
là các tập giả lồi thì

X

là một tập giả lồi mở trong
.
n


iii) Nếu
1
, ,
N
AA
là đa chính quy địa phương thì

XX
và

X
là liên
thông.
Định nghĩa 1.8.3. Giả sử
, 2,NN
và
,
j
n
jj
AD    
,
j
n 

trong đó
j
D
là một miền, giả sử
1 1 1
, 1, ,
j j j N
S A A A A j N

    
. Ta
định nghĩa Chữ thập N-lá mở rộng: