Giải tích sóng nhỏ và ứng dụng trong biểu diễn các hàm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN VIẾT TUÂN

GIẢI TÍCH SÓNG NHỎ VÀ ỨNG DỤNG
TRONG BIỂU DIỄN CÁC HÀM

Chuyên ngành: Giải Tích
Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Quỳnh
Nga

Hà Nội, 2011



LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn
Quỳnh Nga. Tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đối với
cô, người đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn
này. Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới các thầy, cô trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2, Viện Toán học Hà Nội, đã trang bị kiến thức,
phương pháp nghiên cứu để tôi hoàn thành khoá học.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đối với Ban giám hiệu, phòng Sau đại
học, cùng toàn thể đội ngũ giảng viên khoa Toán trường đại học Sư phạm
Hà Nội 2 về sự quan tâm giúp đỡ trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sao Đỏ, toàn thể cán
bộ giảng viên khoa Khoa học cơ bản trường Đại học Sao Đỏ, đã tạo điều

kiện giúp tôi hoàn thành chương trình cao học.
Và cuối cùng, tôi xin cảm ơn những người thân trong gia đình tôi,
tập thể lớp K13: Toán giải tích – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã
giúp đỡ và động viên tôi rất nhiều trong suốt thời gian học tập và nghiên
cứu.
Hà nội, ngày 20 tháng 6 năm 2011
Tác giả


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Quỳnh Nga. Luận văn không hề trùng lặp
với những đề tài khác.
Hà Nội, ngày 20 tháng 6 năm 2011
Tác giả


Mục lục
Mở đầu.............................................................................. 1
Chương 1.Một số khái niệm và kết quả ban đầu...........................5
1.1.Không gian Lp(R), 1 ≤ p ≤ ∞....................................................5
1.2.Phép biến đổi Fourier...........................................................7
1.2.1. Phép biến đổi Fourier trong không gian L1(R)..................................................7
1.2.2. Phép biến đổi Fourier trong không gian L2(R)..................................................9

1.3.Từ giải tích Fourier đến giải tích sóng nhỏ.......................10
1.4.Sóng nhỏ Haar....................................................................13
1.5.Không gian H 1 trên R.......................................................... 17
Chương 2.Sóng nhỏ và xấp xỉ đa phân giải.................................22
2.1.Xấp xỉ đa phân giải............................................................ 23

2.2.Xây dựng một sóng nhỏ từ xấp xỉ đa phân giải................25
2.3.Sóng nhỏ có giá compact...................................................... 40
Chương 3.Biểu diễn các hàm bằng sóng nhỏ...............................46
3.1.Cơ sở của không gian Banach........................................... 46
3.2.Cơ sở không điều kiện của không gian Banach................48
3.3.Sự hội tụ của chuỗi sóng nhỏ trong Lp(R)........................ 52
3.4.Sự hội tụ điểm của chuỗi sóng nhỏ................................... 59
4


3.5.Sóng nhỏ thiết lập cơ sở không điều kiện cho H1(R) và Lp(R) với 1 <
p
63
Kết luận........................................................................72
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73


7

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Giải tích sóng nhỏ được phát triển tương đối gần đây, vào những
năm 80 của thế kỷ XX. Sóng nhỏ nhận được sự quan tâm rộng rãi của
nhiều nhà khoa học và kỹ sư thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau do nó là
một công cụ đa năng với nội dung toán học phong phú và có tính ứng
dụng cao. Đó là lý do tại sao có rất nhiều sách và bài báo khoa học viết
về đề tài này. Ta có thể tìm thấy những ứng dụng của sóng nhỏ trong
giải tích tín hiệu, xử lý ảnh, nén dữ liệu, nhận dạng mẫu, đồ họa máy

tính, phát hiện máy bay và tàu ngầm, kỹ thuật ảnh trong y khoa. . . .
Giải tích sóng nhỏ có thể xem như một lựa chọn thay thế cho giải
tích Fourier cửa sổ cổ điển. Những viên gạch xây dựng nên giải tích
Fourier cửa sổ là các sóng sin và cosin nhân với một cửa sổ trượt. Trong
giải tích sóng nhỏ, cửa sổ là một sóng mẹ. Sóng mẹ này không còn phải
nhân với sin hay cosin nữa mà nó được tịnh tiến và giãn nở bởi các
phép tịnh tiến và giãn nở bất kỳ. Đó là cách mà sóng mẹ tạo thành các
sóng nhỏ khác. Những sóng nhỏ này chính là những viên gạch xây dựng
nên giải tích sóng nhỏ. Nhờ đó mà phép biến đổi sóng nhỏ có ưu điểm
hơn phép biến đổi Fourier cửa sổ ở chỗ nó có khả năng phóng to hay
thu nhỏ, tức là cửa sổ thời gian tần số sẽ tự động thu nhỏ với những
thành phần có tần số cao và mở rộng với những thành phần có tần số
thấp. Đó là tính chất được mong chờ nhất trong giải tích thời gian - tần
số.
Sóng nhỏ có thể ứng dụng trong nhiều lĩnh vực toán khác nhau, ví


dụ như trong lý thuyết giả vi phân, lý thuyết toán tử, biểu diễn các hàm
và đặc trưng các không gian hàm. . . Cũng tương tự như chuỗi Fourier
biểu diễn các tín hiệu hay các hàm qua các sóng sin và cosin, ta có thể
dùng sóng nhỏ để biểu diễn các tín hiệu hay các hàm dưới dạng chuỗi.
Hơn nữa, đối với chuỗi Fourier, các sóng sin và cosin được chọn làm các
hàm cơ sở, sau đó các tính chất của chuỗi tạo ra mới được kiểm tra nhưng
trong chuỗi sóng nhỏ, ta có thể chọn những tính chất mong muốn trước
rồi mới tìm những hàm cơ sở thoả mãn tính chất trên. Đặc biệt, trong
chuỗi sóng nhỏ các hàm cơ sở không nhất thiết phải tạo thành một hệ
độc lập tuyến tính. Tính chất này có ưu điểm là ta chỉ cần lưu trữ các hệ
số sóng nhỏ với độ chính xác thấp mà vẫn có thể hồi phục lại tín hiệu
với độ chính xác tương đối cao.
Ta có thể xem giải tích sóng nhỏ như là một sự tinh luyện của giải

tích Fourier do biểu diễn của các hàm trong nhiều trường hợp là đơn giản
hơn nhiều nhờ số lượng các hệ số ít hơn so với giải tích Fourier cổ điển,
ví dụ như trong biểu diễn các hàm răng cưa. Điều này dẫn đến tỷ số nén
một tín hiệu khi sử dụng chuỗi sóng nhỏ tốt hơn là sử dụng chuỗi Fourier,
theo nghĩa là ít dữ liệu phải dùng để khôi phục lại tín hiệu ban đầu. Trên
thực tế, tỷ số nén của một số chuỗi sóng nhỏ là vượt trội hơn hẳn chuỗi
Fourier trong việc phục hồi dấu vân tay đến mức cơ quan an ninh quốc
gia Mỹ FBI sử dụng chúng để lưu trữ và truyền đi một kho cơ sở dữ
liệu khổng lồ.
Do tính thời sự và tính ứng dụng cao của sóng nhỏ cũng như nội
dung toán học phong phú của nó, tôi quyết định chọn “Giải tích sóng
nhỏ và ứng dụng trong biểu diễn các hàm” làm đề tài luận văn tốt


nghiệp.
Luận văn được chia thành ba chương cùng với phần mở đầu, kết luận
chung và danh mục tài liệu tham khảo.
Trong chương 1 chúng tôi nhắc lại những kết quả cơ bản của lý
thuyết không gian Lp, phép biến đổi Fourier, không gian H1(R), mà
không chứng minh những kết quả đó. Bên cạnh đó chúng tôi trình bày
khái niệm sóng nhỏ và ví dụ.
Chương 2 của luận văn trình bày về xấp xỉ đa phân giải, xây dựng
sóng nhỏ từ xấp xỉ đa phân giải, sóng nhỏ có giá compact cùng với một số
ví dụ và các chứng minh đầy đủ, chi tiết.
Ở chương 3 chúng tôi trình bày ứng dụng của sóng nhỏ trong biểu
diễn các hàm. Cụ thể, đầu tiên chúng tôi nhắc lại một số kết quả về cơ sở
và cơ sở không điều kiện của không gian Banach, sau đó chúng tôi nghiên
cứu sự hội tụ của chuỗi sóng nhỏ trong Lp(R), sự hội tụ điểm của chuỗi
sóng nhỏ và ứng dụng thiết lập cơ sở không điều kiện cho H1(R) và
Lp(R).

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu một cách có hệ thống và chi tiết một số nét chính của
giải tích sóng nhỏ cùng với ứng dụng của nó trong biểu diễn các hàm.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu sóng nhỏ.
- Nghiên cứu xấp xỉ đa phân giải và cách xây dựng sóng nhỏ.
- Nghiên cứu biểu diễn các hàm bằng sóng nhỏ
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Giải tích sóng nhỏ và ứng dụng trong biểu diễn các hàm.
5. Phương pháp nghiên cứu


Áp dụng phương pháp sưu tầm, phân tích, tổng hợp tài liệu, đặt các
câu hỏi và tìm câu trả lời, chứng minh chi tiết những khẳng định không
có chứng minh.
6. Những đóng góp mới của đề tài
Trình bày một cách có hệ thống và chứng minh chi tiết về các
vấn đề chính liên quan đến giải tích sóng nhỏ và ứng dụng trong biểu
diễn các hàm.


Chương 1
Một số khái niệm và kết quả ban
đầu
Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết
quả ban đầu phục vụ cho các chương sau của luận văn. Để thuận tiện cho
việc trình bày trong luận văn này ta sử dụng từ viết tắt: h.k.n = hầu
khắp nơi.

1.1.

Không gian Lp(R), 1 ≤ p ≤ ∞
Cho p ∈ R, 1 ≤ p < ∞. Ta định nghĩa

+∞
p
¸
:
R
−→
C.f
đo
được
L (R) := f
.
 và
p

dx < ∞





.

|f (x)|

−∞

Ta định nghĩa không gian L∞(R) như sau:
.
.
.
. f đo được và ∃C, |f (x)| ≤ C h.k.n .
L∞ (R) := f : R −→ C
Ký hiệu ||f ||p
:=

.+∞
¸

1

.p
. .
p
|f (x)| dx và ||f ||∞ := inf C
.| f (x)| ≤ C h.k.n
−∞
.
.
p
Khi đó L (R)(1 ≤ p ≤ ∞) là không gian Banach với chuẩn ||.||p.


Định lý 1.1.1. (Bất đẳng thức Ho¨lder)
1

Cho f ∈ Lp(R), g ∈ Lpr (R)

với
1

f.g ∈ L (R) và

p

1
+

= 1; 1 ≤ p ≤ ∞. Khi
đó,
pr

¸
|f.g| ≤ ||f ||p.||g||pr .
Đặc biệt, khi p = pr = 2 ta có bất đẳng thức Schwarz Buniakowski
¸
|f.g| ≤ ||f ||2.||g||2.

(1.1.1)

(1.1.2)

Ngoài ra, với p ∈ R, 1 ≤ p < ∞ ta có bất đẳng thức Minkowski
||f + g||p ≤ ||f ||p + ||g||p.

(1.1.3)

Định lý 1.1.2. (Bất đẳng thức Minkowski cho các tích phân)

Cho 1 ≤ p < ∞ và F (x, y) là một hàm đo được trên R × R. Khi
đó
1
.
.¸ .¸
¸ .¸
.p .
p
dx.
(1.1.4)
p
R
1 ≤
p
R
R |F (x, y)| dy
R |F (x, y)| dx
dy
Định lý 1.1.3. (Hội tụ bị chặn của Lebesgue)
Cho {fn} là dãy các hàm (thực hoặc phức) khả tích trên tập mở
Ω
của Rn. Giả sử:
i) fn(x) −→ f (x) h.k.n trên Ω;
ii) Tồn tại hàm g khả tích sao cho với mỗi n, |fn(x)| ≤ g(x) h.k.n
trên Ω.
Khi đó f khả tích và
¸
¸ fn (x) dx.
f (x)dx = lim
n→∞

(1.1.5)


Định lý 1.1.4. (Bổ đề Fatou)
Nếu {fn} là một dãy các hàm đo được không âm thì
¸
¸ fn .
lim fn ≤ lim
R n→∞

n→∞

R

Giả sử Ω1 ⊂ Rn1 ; Ω2 ⊂ Rn2 là hai tập mở và F : Ω1 × Ω2 −→
R
(hoặc C) là hàm đo được.
Định lý 1.1.5. (Tonelli)
¸
Giả sử
|F (x, y)|dy < ∞ h.k.n x ∈ Ω1 và
Ω2
¸
¸
|F (x, y)|dy < ∞.
dx
Ω1

Ω2

Khi đó F khả tích trên Ω1 × Ω2.
Định lý 1.1.6. (Fubini)
Cho F khả tích trên Ω1 × Ω2. Khi đó với h.k.n x ∈ Ω1, F (x, .)
≡
¸
y −→ F (x, y) khả tích trên Ω2 và x −→Ω2 F (x, y)dy khả tích trên
Ω1 .
Kết luận tương tự khi đổi vai trò x cho y và Ω1 cho Ω2. Hơn nữa ta có:
¸
¸ F (x, y)dy ¸
¸ F (x, y)dx ¸
F (x, y)dxdy.
=
=
dx
dy
Ω1×Ω2
Ω1
Ω2
Ω2
Ω1
(1.1.6)

1.2.
1.2.1.

Phép biến đổi Fourier
Phép biến đổi Fourier trong không gian L1 (R)

Định nghĩa 1.2.1. Phép biến đổi Fourier của một hàm f ∈ L1(R)
cho bởi công thức
+∞

fˆ(ω) = (Ff )(ω) :=

¸

−∞

e−iωxf (x)dx.

(1.2.1)


Một số tính chất cơ bản của fˆ(ω) với f ∈ L1 (R) được cho trong
hai định lý sau:
Định lý 1.2.1. Cho f ∈ L1(R). Khi đó phép biến đổi Fourier của f
thoả mãn:
i)

fˆ ∈ L∞(R); ||f|ˆ |∞ ≤ ||f ||1 ;

ii)

fˆ liên tục đều trên R;

iii)Nếu đạo hàm f
iv)

r

tồn tại và thuộc L1 (R) thì fˆr (ω) = iωfˆ(ω);

fˆ(ω) → 0 khi ω → ±∞.

Định lý 1.2.2.

Nếu f (t), g(t) ∈ L1(R) và α, β là các hằng số

bất kỳ thì
i)

F {αf (t) + βg (t)} = αF {f (t)} + βF {g (t)} ;
(1.2.2)

ii)

F {Ta f (t)} = M−a fˆ(ω)

(1.2.3)

iii)

F{Da 1 f (t)} = Da fˆ(ω);

(1.2.4)

iv)

F{D−1 f (t)} = fˆ(ω);

(1.2.5)

v)

F{Ma f (t)} = Ta fˆ(ω);

(1.2.6)

trong đó Tα là phép tịnh tiến cho bởi Tαf (t) = f (t−α), Db là phép giãn
cho
t
1
bởi Dbf (t)
f
), Mc là phép biến điệu cho bởi Mcf (t) = eictf
,(
=
(t)
|b| b
với a, b, c ∈ R, b > 0.
fˆ ∈ L1 (R) là phép biến đổi Fourier của f
∈
Định nghĩa 1.2.2.
Cho
L1 (R). Khi đó phép biến đổi Fourier ngược của fˆ được định nghĩa là
¸+∞

{F−1 fˆ}(x) :=

1
2π
−∞

eixω fˆ(ω)dω.

(1.2.7)


Định lý 1.2.3. Cho f ∈ L1 (R) có phép biến đổi Fourier fˆ ∈ L1 (R).
Khi đó
f (x) = (F−1 fˆ)(x),

(1.2.8)

tại mọi điểm x mà ở đó f liên tục.
1.2.2. Phép biến đổi Fourier trong không gian L2 (R)
Định lý ˆ1.2.4. 2Cho f ∈ L1(R) ∩ L2(R). Khi đó phép biến2đổi Fourier
của f là f ∈ L (R) và thoả mãn đồng nhất thức Parseval
=
" 2π "f
2
fˆ
2

2
1
2

Từ
2 định lý (1.2.4) ta thấy phép biến đổi Fourier F : L (R)∩L (R)
−→
L (R), là toán tử tuyến tính bị chặn với chuẩn | F|| = √2π. Do
L1(R) ∩
|
L2(R) là trù mật trong L2(R), F có thể thác triển lên toàn bộ L2(R)

mà vẫn bảo toàn chuẩn. Cụ thể hơn, nếu f ∈ L2(R) thì


f (x) nếu |x| ≤ N
fN (x) = 
0
nếu |x| > N, N = 1, 2,

(1.2.9)

...
nằm trong L1 (R) ∩ L2 (R). Do đó fˆN ∈ L2 (R).
Có thể kiểm tra được rằng {fˆN } là dãy Cauchy trong L2(R). Do
tính
đầy đủ của L2(R) ta có thể tìm được fˆ ∈ L2(R) sao cho lim ||fˆN −
∞
fˆ∞|| = 0.

N →∞

2

Định nghĩa 1.2.3. Phép biến đổi Fourier ˆ
f của hàm f ∈ L2 (R)
được
định nghĩa là giới hạn fˆ của {fˆN }.
∞
Chú ý: Định nghĩa fˆ của hàm f ∈ L2 (R) là độc lập với sự lựa
chọn của fN ∈ L1(R) ∩ L2(R). Nói cách khác, bất kỳ dãy Cauchy nào


khác trong L1(R) ∩ L2(R) mà xấp xỉ f trong L2(R) có thể sử dụng
để định nghĩa fˆ.


18

Định lý 1.2.5. (Định lý Plancherel)
Cho f, g ∈ L2(R). Khi đó
. ˆ .
1 f,
.
(f, g) =
gˆ
Đặc
biệt:

(1.2.10)

2π
1−
"f "2 = (2π) 2ˆ .

f

(1.2.11)

2

1.3.

Từ giải tích Fourier đến giải tích sóng nhỏ

Ta ký hiệu L2 (0, 2π) là tập hợp tất cả các hàm đo được f : (0, 2π)
−→
¸2π
C với |f (x)|2dx < ∞. Các hàm trong L2 (0, 2π) có thể thác triển trên
0

toàn bộ R, cụ thể là f (x) = f (x − 2π), ∀x ∈ R. Do đó L2(0, 2π)
thường
được gọi là không gian các hàm bình phương khả tích tuần hoàn chu kỳ
2π. Ta dễ dàng kiểm tra rằng L2(0, 2π) là một không gian vectơ. Bất
kỳ hàm f nào trong L2(0, 2π) đều có thể biểu diễn được dưới dạng
chuỗi
Fourier
∞

f (x) = .

cneinx,

(1.3.1)

n=−
∞

trong đó hằng số cn được gọi là hệ số Fourier của f , được xác định bởi
2π

¸
cn =

f
(x)e−

1
2π

in
x

dx.

(1.3.2)

0

Sự hội tụ của chuỗi (1.3.1) là sự hội tụ trong L2(0, 2π), tức là
2π

¸ ..
lim

.f (x)
M,N →∞
.
0 −

N

.
.

n=−M

..2
cneinx.
.


19

dx = 0.

Không gian L2(0, 2π) là một không gian Hilbert với tích vô hướng
2π

(f, g) =
1
2π

¸
0

f (x)g(x)dx.

(1.3.3)


Ta có thể kiểm tra rằng
{einx}n

Z

là một cơ sở trực chuẩn của

∈

2

L (0, 2π). Ta nhận xét rằng cơ cở trực chuẩn
{einx}n

Z

được tạo thành từ

∈

ix

một hàm duy nhất W (x) = e bằng cách giãn nở, cụ thể là einx = W
(nx).

Do đó hàm W (x) là một sóng sin sinh ra L2(0, 2π). Ta cũng chú ý
rằng
từ tính chất trực chuẩn của
{einx}n

∈Z,

2π

1
2π

ta có đẳng thức Parseval
∞

¸

|f (x)|
0

2

dx
=

.

|cn|2.

(1.3.4)

n=−∞

Trong R ta cũng có một lý thuyết tương tự. Ta ký hiệu L2(R) là tập
∞

tất cả các hàm đo được f : R −→ C sao cho ¸ |f (x)|2dx < ∞. Khi đó
−∞

2

L (R) là một không gian Hilbert với tích vô hướng
¸∞
(f, g) =

f (x)g(x)dx.

(1.3.5)

−∞

Tuy nhiên hai không gian L2(0, 2π) và L2(R) khá khác nhau. Do
mọi hàm trong L2(R) phải dần tới 0 tại ±∞ nên einx không thuộc vào
L2(R).
Nếu ta đi tìm những sóng để sinh ra L2(R) thì những sóng này phải dần
tới 0 tại ±∞. Trong thực tế, ta cần những sóng giảm rất nhanh tại ±∞.
Điều đó có nghĩa là ta đi tìm những sóng nhỏ để sinh ra L2(R). Cũng như
trong trường hợp không gian L2(0, 2π), ta muốn tìm một hàm duy
nhất ψ để sinh ra toàn bộ L2(R). Nhưng nếu ψ giảm rất nhanh thì
làm thế nào nó có thể phủ toàn bộ đường thẳng? Rõ ràng ta phải dịch

chuyển ψ dọc theo R. Cách đơn giản nhất để ψ phủ toàn bộ R là ta
xét các hàm ψ(x − k), k ∈ Z. Cũng như sóng sin, ta cũng phải xét các
sóng có tần số


khác nhau. Để thuận lợi cho việc tính toán, ta sẽ sử dụng các mũ nguyên
của 2 trong việc chia tần số, tức là xét các sóng nhỏ ψ(2jx − k), k, j ∈
Z với lưu ý rằng ψ(2jx − k), k, j ∈ Z nhận được từ hàm sóng nhỏ
ψ(x) bởi


phép giãn nở nhị phân (nhân với 2j ) và phép dịch chuyển (của
phân tích trên dẫn ta đến định nghĩa của sóng nhỏ như sau.

k

). Những

2j

Ta sử dụng ký hiệu Kronecker:


1 nếu j = k
δj,k :=
0 nếu j ƒ= k.
Định nghĩa 1.3.1. Một hàm ψ ∈ L2(R) được gọi là một sóng nhỏ
trực chuẩn của L2(R) nếu họ ψj,k được xác định bởi
j

ψj,k (x) = 2 2 ψ(2jx − k), j, k ∈ Z

(1.3.6)

là một cơ sở trực chuẩn của L2(R), tức là
(ψj,k, ψA,m) = δj,A.δk,m, j, k, A, m ∈ Z

(1.3.7)

và mọi hàm f ∈ L2(R) đều có thể viết được dưới dạng
∞
.
f =
cj,kψj,k

(1.3.8)

j,k=−∞

trong đó sự hội tụ của chuỗi (1.3.8) là sự hội tụ trong L2(R), tức là
.
N1
N2
= 0.
. cj,kψj,k
f −
lim
M1,N1,M2,N2→∞
j=−M2 k=−M1

Biểu diễn chuỗi f trong (1.3.8) được gọi là chuỗi sóng nhỏ, cj,k được
gọi là hệ số sóng nhỏ.
Chú ý: "ψj,k"2 = "ψ"2, ∀j, k ∈ Z vì
1  ∞
2
 ∞
¸
j
2
j
¸


2
dt

|ψj,k
|2
t−
=
"ψj,k"2 =
−∞ (t)|
−∞ ψ(2
k)|
 ∞
¸
=  2j |ψ(2jt −
k)|
−∞

1
2

2

dt
1

2
2dt


Bằng phép đổi biến x = 2jt − k, ta có
1
1
2
2
 ∞

..
∞
. .
 ¸ 2j. 2j t − 2 dt =  ¸ |ψ (x)|2dx = "ψ"2.
.
ψ k
−∞
−∞
Do đó, nếu ψ là sóng nhỏ trực chuẩn thì ||ψ||2 = 1.

1.4.

Sóng nhỏ Haar
Cho hàm Haar


nếu 0 t < 1,
1
≤
2

1
ψ(t) := −1 nếu

≤t<

2

1,
0

(1.4.1)

trong các trường hợp khác.

Khi đó ψ(t) là một sóng nhỏ trực chuẩn.
Thật vậy, trước tiên ta chứng minh ψ(t) ∈ L2(R). Ta có
¸∞

1
2

1

¸
¸ dt + 0 = 1.
2
|ψ (t)| dt = 0 + dt+

−∞

0

1
2

Bây giờ ta chứng minh ψj,k (t) là hệ trực chuẩn của L2(R). Theo (1.3.6) ta
có

¸∞ m
k
.
.
m
2
(ψm,n, ψk,l) = 2 ψ (2 x − n) 2 2 ψ 2kx − A dx.
−∞

Đặt 2mx − n = t ta được
k

m

−

(ψm,n, ψk,A) = 2 2
2

¸∞
2

.

ψ (t) ψ 2

k−m

.

(t + n) − A dt.

−∞

Khi m = k ta có
¸∞ ψ (t) ψ [(t + n) − A] dt = δ0,n−A = δn,A,
(ψm,n, ψm,A) =
−∞


ở đó ψ (t) ƒ= 0, ∀t ∈ [0; 1) và ψ (t − A − n) ƒ= 0, ∀t ∈ [A − n; 1 +
A − n) và các khoảng này là rời nhau trừ trường hợp n = A.

Khi m ƒ= k, do tính đối xứng của m và k nên ta xét trường
hợp
m > k. Đặt r = m − k > 0 và s = 2rn − A ∈ Z, ta cần chứng minh
r

¸∞
ψ (t) ψ (2rt + s) dt = 0.

(ψm,n, ψk,A) = 2 2
−∞

Điều này tương đương với
1
2

¸

ψ (2rt + s) dt = 0.

1

¸
ψ (2 t + s) dt −
r

0

1
2

Bằng phép đổi biến 2rt + s = x ta có
a

¸

b

ψ (x) dx −

s

¸ ψ (x) dx = 0,
a

ở đó a = 2r−1 + s và b = 2r + s.
Vì [s, a] chứa giá [0, 1] của ψ mà
1

1
¸∞
¸2
¸ dx + 0 = 0,
ψ (x) dx = 0 + dx −
−∞

0

a

b

nên ¸

ψ (x) dx = 0. Tương
¸
tự

s

1
2

ψ (x) dx = 0.

a

Như vậy ψj,k (x) đã là hệ trực chuẩn. Ta cần chứng minh rằng bất
kỳ hàm f ∈ L2 (R) có thể xấp xỉ bằng một tổ hợp tuyến tính hữu hạn
của các ψj,k (x) với độ chính xác tuỳ ý. Thật vậy, với bất kỳ hàm f ∈


L2 (R) có thể xấp xỉ với độ chính xác tuỳ ý bằng một hàm số có giá
compact và
bằng hằng số trên mỗi nửa khoảng .A.2−j, (A + 1) 2−j . (điều này có
được
j1

khi chọn giá và j đủ lớn). Do đó ta có thể giả thiết f có giá
−2 , 2
.

và

j1

.