Phương pháp Laplace trong khai triển tiệm cận của tích phân

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

LÊ MANH HÙNG

PHƯƠNG PHÁP LAPLACE TRONG
KHAI

TRIEN TIfiM C¾N CÚA TÍCH

LU¾N VĂN THAC SY TOÁN HOC

Hà N®i-2011

PHÂN


B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

LÊ MANH HÙNG

PHƯƠNG PHÁP LAPLACE TRONG
KHAI

TRIEN TIfiM C¾N CÚA TÍCH PHÂN

LU¾N VĂN THAC SY TOÁN HOC
Chuyên ngành: Toán giái tích
Mã so: 604601

Ngưòi hưóng dan khoa hoc:
TS. Nguyen Văn Hào

Hà N®i-2011


Lài cám ơn
Em xin chân thành cám ơn Phòng sau Đai hoc; Các thay giáo, cô giáo
trong Khoa Toán cùng toàn the các anh ch% em hoc viên khóa 13 chuyên
ngành Toán giái tích Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2, đã đ®ng viên
giúp đõ đe tác giá có đieu ki¾n tot nhat trong suot quá trình thnc hi¾n
đe tài nghiên cúu khoa hoc. Đ¾c bi¾t, em xin bày tó lòng cám ơn sâu
sac tói TS. Nguyen Văn Hào đã đ%nh hưóng chon đe tài và t¾n tình
chí báo giúp đõ em hoàn thành Lu¾n văn này.
Do thòi gian và kien thúc có han nên Lu¾n văn không tránh khói nhung
han che và còn có thieu sót nhat đ%nh. Em xin chân thành cám ơn đã
nh¾n đưoc nhung ý kien đóng góp cna các thay giáo, cô giáo và các ban
hoc viên.

Hà N®i, tháng 5 năm 2011
Tác giá

Lê Manh Hùng


Lài cam đoan
Em xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna TS. Nguyen Văn Hào,
Lu¾n văn Thac sy chuyên ngành Toán giái tích vói đe tài
"PHƯƠNG PHÁP LAPLACE TRONG KHAI TRIEN TIfiM
C¾N CÚA

TÍCH PHÂN" đưoc hoàn thành bói chính sn nh¾n thúc cna bán thân
tác giá, không trùng vói bat cú Lu¾n văn nào khác.
Trong quá trình nghiên cúu thnc hi¾n Lu¾n văn, tác giá đã ke thùa
nhung thành tnu cna các nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn!

Hà N®i, tháng 5 năm 2011
Tác giá

Lê Manh Hùng


Mnc lnc
Má đau...............................................................................................3
Chương 1. M®t so kien thNc chuan b% . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1. M®t so kien thúc ve giái tích phúc............................................7
1.1.1. So phúc và m¾t phang phúc...........................................................................7
1.1.2. Các t¾p hop trong m¾t phang phúc...............................................................8
1.1.3. Hàm chính hình.............................................................................................10
1.1.4. Chuoi lũy thùa...............................................................................................12
1.1.5. Tích phân phúc.............................................................................................15

1.2. Khai trien ti¾m c¾n......................................................................23
1.2.1. M®t so khái ni¾m b¾c..............................................................................................23
1.2.2. Dãy ti¾m c¾n............................................................................................................26
1.2.3. Đ%nh nghĩa cna Poincarés ve khai trien ti¾m c¾n..................................................26
1.2.4. Chuoi lũy thùa ti¾m c¾n...............................................................................28
1.2.5. Tính chat cna khai trien ti¾m c¾n.................................................................35

Chương 2. Phương pháp tích phân tNng phan.........................40

2.1. Tích phân Euler.....................................................................40
2.1.1. Tích phân Euler loai 1..................................................................................40
2.1.2. Tích phân Euler loai 2..................................................................................43

2.2. Hàm Gamma không hoàn chính..............................................47
2.3. Tích phân Fresnel và tính chat.............................................49
2.4. Bài toán cna Stieltjes............................................................50
Chương 3. Phương pháp Laplace..................................................53

1


3.1. Ý tưóng cna phương pháp Laplace...........................................53
3.2. Chúng minh cna xap xí Laplace...............................................57
3.3. M®t so áp dung cna xap xí Laplace.........................................60
3.4. Mó r®ng cna phương pháp xap xí Laplace..............................62
Ket lu¾n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
....
69
Tài li¾u tham kháo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..
70

2


Má đau
1. Lý do chon đe tài
Trong thnc te thưòng xáy ra rang, nhung chuoi phân kỳ có the đưoc
sú dung cho sn tính toán giá tr% so cna m®t đai lưong mà theo nghĩa nào

đó có the đưoc xem như là “tong” cna chuoi. Trưòng hop đien hình là
đoi vói các chuoi hàm, bang sn xap xí bói m®t so so hang đau tiên cna
chuoi thnc sn đem lai hi¾u quá mong muon. Trong hau het các trưòng
hop các so hang đau tiên cna chuoi giám nhanh (khi bien so đ®c l¾p
tien nhanh tói giá tr% giói han cna nó), nhưng nhung so hang sau bat
đau tăng tró lai. Các chuoi như v¾y đưoc goi là chuoi bán h®i tu, và
vi¾c tính toán giá tr% so thưòng đưoc thnc hi¾n bói m®t so các so hang
đau cna chuoi.
Giái tích ti¾m c¾n đưoc hình thành tù khá sóm, nó đưoc hình thành
tù các công trình tính toán cna L. Euler. Đen năm 1886, lý thuyet
ti¾m c¾n mói đưoc xây dnng m®t cách h¾ thong bói T. J. Stieltjes
và
H. Poincaré. M®t trong các hưóng nghiên cúu cna nó đưoc goi là lý
thuyet chuoi ti¾m c¾n. Trong đó, ngưòi ta nghiên cúu các chuoi mà
nó đưoc bieu dien bói các dãy hàm ti¾m c¾n. Thưòng thì các dãy
hàm đó đưoc bieu dien dưói dang tích phân, chuoi lũy thùa ho¾c dưói
dang như nghi¾m cna phương trình vi phân.
Có m®t so phương pháp đe nghiên cúu ti¾m c¾n cna các tích phân


như phương pháp tích phân tùng phan, phương pháp điem yên ngna,
phương pháp dùng pha, . . . . Đe tiep c¾n vói lý thuyet này, đưoc
sn đ%nh hưóng cna ngưòi hưóng dan em chon đe tài “PHƯƠNG
PHÁP LAPLACE TRONG KHAI TRIEN TIfiM C¾N CÚA
TÍCH
PHÂN” đe hoàn thành Lu¾n văn khóa đào tao Thac sy chuyên ngành
Toán giái tích.
Bo cuc cna lu¾n văn đưoc trình bày trong 03 chương
Chương 1. Chúng tôi trình bày m®t so kien thúc căn bán ve lý
thuyet hàm so bien so phúc và ve lý thuyet ti¾m c¾n.

Chương 2. M®t trong nhung phương pháp đơn gián nhat đe thu
đưoc xap xí ti¾m c¾n cna tích phân là phương pháp tích phân tùng
phan. Đe hình dung đưoc m®t cách đơn gián nhat, trong chương này
cna lu¾n văn chúng tôi minh hoa phương pháp bang các ví du cu the
đe thu đưoc xap xí ti¾m c¾n cna các tích phân: tích phân Euler loai
m®t và loai hai; hàm Gamma không hoàn chính; tích phân Fresnel và
tính chat; bài toán cna Stieltjes.
Chương 3. Đây là phan chính cna lu¾n văn, ó đây chúng tôi trình
bày ý tưóng cna phương pháp Laplace trong vi¾c xap xí ti¾m c¾n cna
tích phân có dang.

β

¸

φ(x)evh(x)dx.
α

Tuy nhiên, vi¾c đưa ra m®t chúng minh hoàn chính cna phương pháp
Laplace theo con đưòng goi ý trên đây là rat phúc tap. Trong phan này,


chúng tôi giói thi¾u m®t phép chúng minh cna G. Pólya và G. Szego
vói các đieu ki¾n đn tong quát cho nhieu áp dung. Cuoi cùng, chúng


tôi trình bày m®t ket quá mó r®ng cna phương pháp Laplace đoi vói
tích phân chúa tham so dang
β

¸

φ(x, υ).eh(x,υ)dx.
α

2. Mnc đích và nhi¾m vn nghiên cNu
Lu¾n văn nghiên cúu ve lý thuyet ti¾m c¾n và phương pháp Laplace
đoi vói xap xí ti¾m c¾n cna tích phân.

3. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Phương pháp Laplace đoi vói ti¾m c¾n cna tích phân trong trưòng
hop m®t chieu. Ngoài ra, chúng tôi cũng mó r®ng thêm cho trưòng hop
tích phân tham so.

4. Phương pháp nghiên cNu
Đoc sách, nghiên cúu tài li¾u, tong hop kien thúc, v¾n dung cho muc
đích nghiên cúu.

5. DN kien các đóng góp cúa lu¾n văn
H¾ thong hóa các kien thúc căn bán ve lý thuyet xap xí ti¾m c¾n;
Trình bày phương pháp tích phân tùng phan xap xí m®t so tích phân đ¾c
bi¾t như tích phân Euler, tích phân Fresnel, bài toán cna Stieltjes,. . . ;
Đưa ra m®t chúng minh đay đn đoi vói phương pháp Laplace ve xap xí


cna tích phân vói nhung giá thiet đáp úng đưoc yêu cau trong nhung
áp dung thnc tien.


Chương 1

M®t so kien thNc chuan b%
1.1. M®t so kien thNc ve giái tích phNc
1.1.1. So phNc và m¾t phang phNc
So phNc là so có dang z = x + iy vói x, y ∈ R và i là đơn v%
áo
mà i2 = −1 . Ta goi x là phan thNc và y là phan áo, kí hi¾u
x = Re z, y = Im z.
T¾p hop các so phúc đưoc kí hi¾u bói C và đưoc đong nhat vói m¾t
phang R2 bói phép tương úng
C → R2
z = x + iy ›→ (x, y).
M®t cách tn nhiên, ngưòi ta goi Ox là trnc thNc, Oy là trnc áo.
Phép c®ng và phép nhân các so phúc đưoc thnc hi¾n m®t cách
thông thưòng như các phép toán trên t¾p hop so thnc vói lưu ý rang
i2 = −1. Ta có
z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 )
và
z1.z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2)
= x1x2 + ix1y2 + iy1x2 + i2y1y2


= (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + y1x2).


Vói moi so phúc z = x + iy, ta xác đ%nh modul cna so phúc z là
,
giá tr% |z| = x2 + y2. So phNc liên hap cna so phúc z = x + iy
đưoc ký
hi¾u và xác đ%nh bói z¯ = x − iy. Không khó khăn, ta có the kiem
đưoc

tra
Re z

=
và

z+
, Im z
z¯
=
2

z−
z¯
2i

|z|2 = z.z¯, = z¯ , vói z ƒ= 0.
1
z
|z|2

So phúc khác 0 đưoc bieu dien dưói dang cnc z = r.eiθ, vói r > 0, θ ∈ R
đưoc goi là argument cna so phúc z và đưoc ký hi¾u là arg z (argument
cna so phúc z đưoc xác đ%nh m®t cách duy nhat vói sn sai khác m®t
b®i cna 2π). Argument cna so phúc z thóa mãn 0 ≤ arg z < 2π đưoc
goi là argument chính, ký hi¾u là phz. Ta có
eiθ = cosθ + i sin θ.
Bói vì .eiθ. = 1, nên r = |z| và θ là góc hop bói chieu dương cna truc
. .

Ox và núa đưòng thang xuat phát tù goc toa đ® đi qua điem z. Cuoi
cùng, ta lưu ý rang neu z = r.eiθ và w = s.eiϕ thì z.w = r.s.ei(θ+ϕ).
1.1.2. Các t¾p hap trong m¾t phang phNc
Cho z0 ∈ C và r > 0, ta goi đĩa má tâm z0 bán kính r là t¾p hop
Dr(z0) = {z ∈ C : |z − z0| < r} .
Đĩa đóng tâm z0 bán kính r là t¾p hop

Dr(z0) = {z ∈ C : |z − z0| ≤ r} .


Biên cna đĩa đóng ho¾c mó là đưòng tròn Cr(z0) = {z ∈ C : |z − z0| =
r}.
Đĩa có tâm z0 = 0 và bán kính 1 goi là đĩa đơn v%, kí hi¾u là
D = {z ∈ C : |z| ≤ 1} .
Cho t¾p Ω ⊂ C, điem z0 ∈ Ω đưoc goi là điem trong cna Ω neu
ton tai r > 0 sao cho Dr(z0) ⊂ Ω. Phan trong cna Ω kí hi¾u là int
Ω gom tat cá các điem trong cna Ω. T¾p Ω là t¾p má neu moi
điem cna nó đeu là điem trong.
T¾p Ω đưoc goi là t¾p đóng neu phan bù cna nó C\Ω là mó. Điem
z ∈ C đưoc goi là điem giái han cna t¾p Ω neu ton tai m®t dãy các
điem zn ∈ C sao cho zn ƒ= z và zn = z. Chúng ta có the kiem tra
lim
n →∞

đưoc rang m®t t¾p Ω là đóng neu nó chúa moi điem giói han cna nó.
Bao đóng cna t¾p Ω là hop cna Ω và các điem giói han cna nó, ký
hi¾u là Ω¯ . Biên cna Ω kí hi¾u là ∂Ω = Ω¯ \ int Ω.
T¾p Ω là b% ch¾n neu ∃M > 0 sao cho |z| < M vói moi z ∈ Ω. Neu
t¾p Ω là b% ch¾n, thì ta xác đ%nh đưòng kính cna nó bói so
diam(Ω) = sup {|x − y| : x, y ∈ Ω} .

T¾p Ω đưoc goi là compact neu nó đóng và b% ch¾n. T¾p mó Ω ⊂ C
đưoc goi là liên thông neu không the tìm đưoc hai t¾p mó khác rong
S
Ω1 và Ω2 sao cho Ω = Ω1 Ω2. M®t t¾p mó liên thông trong C đưoc
goi là m®t mien. T¾p đóng F là liên thông neu không the viet F = F1
S
F2
ó đó F1 và F2 là các t¾p đóng ròi nhau.


1.1.3. Hàm chính hình
Cho hàm phúc f (z) xác đ%nh trên t¾p mó Ω. Hàm f (z) đưoc goi
là
chính hình tai điem z0 ∈ Ω neu ton tai giói han cna bieu thúc
f (z0 + h) − f

(1.1)
(z0)
h
khi h → 0, ó đó 0 ƒ= h ∈ C vói z0 + h ∈
Ω.
Giói han trên đưoc ký hi¾u bói f r(z0) và goi là đao hàm cna hàm f
(z)
tai điem z0. Như v¾y, ta có
f r(z0) = lim f (z0 + h) − f
h→0

(z0)
h .

Hàm f (z) goi là chính hình trên Ω neu nó chính hình tai moi điem
cna Ω. Neu M là t¾p đóng cna C, ta nói f (z) là chính hình trên
M neu f (z) là chính hình trên m®t t¾p mó nào đó chúa M . Hàm f
(z) chính hình trên C đưoc goi là hàm nguyên.
Hàm f (z) = z là chính hình trên m®t t¾p con mó bat kỳ trong C và
f r(z) = 1. Th¾t v¾y, ta có
f r(z0) = lim f (z0 + h) − f =
(z + h) −
= 1.
h→0
lim
(z0)
z
h→0
h
h
Tù đó, ta suy ra đa thúc P (z) = a0 + a1z + · · · + anzn chính hình
trên
m¾t phang C và
P r(z) = a1 + 2a2z + · · · + nanzn−1.


Trong khi đó, hàm f (z) = z¯ là không chính hình trên toàn m¾t
phang. Th¾t v¾y, ta thay
f (z0 + h) − f
(z0)
h

z + h z¯
=−

=
h

z¯ + h¯ − z¯
h¯
h
h=


không có giói han khi h → 0.
Tù đang thúc (1.1) ta thay hàm f (z) là chính hình tai z0 ∈ Ω neu
và chí neu ton tai hang so a sao cho
f (z0 + h) − f (z0) − a.h = h.ψ(h)

(1.2)

vói ψ(h) là m®t hàm xác đ%nh khi h đn nhó và lim ψ(h) = 0. Dĩ
nhiên,

h→0

r

ta có a = f (z0).
Giua khái ni¾m khá vi phúc và khái ni¾m khá vi thnc cna m®t hàm
hai bien có sn khác bi¾t đáng ke. Như ta đã thay hàm f (z) = z¯
không khá vi phúc, nhưng dưói dang bien thnc hàm đó tương úng
ánh xa F : (x, y) → (x, −y) khá vi theo nghĩa cna hàm hai bien thnc.
Đao hàm cna nó tai m®t điem là ánh xa tuyen tính đưoc cho bói đ%nh
thúc Jacobian cna nó, ma tr¾n 2 × 2 các đao hàm riêng cna các hàm

toa đ®. Moi quan h¾ giua hai khái ni¾m khá vi đó đưoc phán ánh qua
ket quá dưói đây
Đ%nh lý 1.1. (Đieu ki¾n Cauchy-Riemann) Đieu ki¾n can và đú đe
hàm phúc f (z) = u(x, y) + iv(x, y) khá vi tai điem z = x + iy là
tai điem đó ton tai các đao hàm riêng cúa các hàm u(x, y) và v(x, y),
đong thòi các đao hàm đó thoá mãn đieu ki¾n Cauchy - Riemann
∂u
∂v
(x, y) =
(x,
∂x
y),
∂y

∂u
∂v
(x, y) =
∂y
−
∂x

(x, y).

(1.3)


1.1.4. Chuoi lũy thNa
Chuoi lũy thùa là chuoi có dang
∞

.

a n z n = a0 + a 1 z + a 2 z 2 + · · · + a n z n + · · · ;
(1.4)

n=0

trong đó an ∈ C, n = 0, 1, 2, ....
Chúng ta có nh¾n xét rang neu chuoi (1.4) h®i tu tai điem z0 nào
đó, thì nó cũng h®i tu vói moi z trong đĩa |z| ≤ |z0|. Hơn nua, ta cũng
biet
rang luôn ton tai m®t đĩa mó mà trên đó chuoi (1.4) h®i tu tuy¾t đoi.
.∞
Đ%nh lý 1.2. (Hadamard) Cho chuoi lũy
a zn. Khi đó, ton tai
n= n
0
thùa so 0 ≤ R ≤ +∞ sao cho
(i) Neu |z| < R thì chuoi h®i tn tuy¾t đoi.
(ii) Neu |z| > R thì chuoi phân kỳ.
Hơn nua, neu ta sú dnng quy ưóc 1/0 = ∞ và 1/∞ = 0, thì so R
đưoc tính bói công thúc
1
1
= lim sup |a | n .
n
R n→∞
So R đưoc goi là bán kính h®i tn cúa chuoi và mien |z| < R đưoc goi
là đĩa h®i tn.
Các ví du thêm nua ve chuoi lũy thùa h®i tu trong toàn m¾t phang

phúc là các hàm lưong giác
.
2n
∞.
∞
z
và sinz =
cos z =
n
n
(−1)
(−1)

2n+1

.

z
n=0

(2n)
!

n=0

(2n + 1)!


Bang tính toán đơn gián, ta nh¾n đưoc các công thúc Euler dưói dang
mũ phúc

cosz =

eiz +
e−iz

và sinz
=

eiz − e−iz .
2

2
Đ%nh lý 1.3. Chuoi lũy thùa f (z)
=

.∞

anzn xác đ%nh m®t hàm
n=
chính
0
hình trong đĩa h®i tn cúa nó. Đao hàm cúa f (z) cũng là m®t chuoi
lũy thùa thu đưoc bang cách đao hàm tùng so hang cúa chuoi vói hàm
f (z), túc là

∞
.

f r(z) =

nanzn−1.

n=0
r

Hơn nua, f (z) có cùng bán kính h®i tn vói f (z).
ChNng minh. Bói vì lim

1

n
n→∞ n = 1, nên ta có
1

lim
n→∞

.∞

1

sup |an| n = sup |nan| n .
lim
n →∞

.∞

Do đó, chuoi n= anzn và n= nanzn−1 có cùng bán kính h®i tu. Đe chúng
0

0

minh khang đ%nh thú nhat, chúng ta phái chúng minh chuoi
∞
.
g(z) =
nanzn−1
n=1

bang đao hàm cna f (z). Ký hi¾u R là bán kính h®i tu cna f (z) và
giá sú |z0| < r < R. Ta viet
f (z) = Sn(z) + EN (z)
vói

∞

N

SN (z) =
(z) =

.

anzn và EN

.
n=N +1


a nzn.

Khi đó, neu chon h sao cho |z0 + h| < r, thì ta có
.
f (z0 + h) − f (z0)
SN (z0 + h) − SN (z0)
− g(z0)

h
=

Ta
thay

.

− S r N (z0)

h

+ (Sr N (z0) − g(z0))
.
.
EN (z0 + h) − EN (z0)
.
+
h
.
. ∞
.
.
n

n
EN (z0 + h) − EN (z0)
(z0 + h) − z0
.
.
.
..

.
.
.
|a
|
n
.≤
.
. n=N

h

+1

.
h

.

|an|nrn−1.
∞
.

≤
n=N +1

é đó ta đã sú dung |z0| < r và |z0 + h| < r. Bieu thúc ó ve phái là
phan
dư cna m®t chuoi h®i tu, tù g(z) là h®i tu tuy¾t đoi vói moi |z| < R.
Do đó, vói moi ε > 0. ton tai N1 sao cho vói moi
N ≥ N1 ta có
.
.EN (z0 + h) − EN (z0) ε
.< .
.
.
.
. 3
h
Tù lim
N→∞

SrN (z0) = g(z0) nên ta tìm đưoc N2 mà vói moi N ≥ N2 ta
có
ε
|S

r

N (z0)

− g(z0)| < .
3

Co đ%nh N > max {N1, N2} thì ta có the tìm đưoc δ > 0 sao cho |h|
<δ
thì

.
.S N (z0 + h) − SN
(z
. 0)

Sr (z


.

).
ε

.

h
−

Do đó

khi |h| <
δ.

.
. f (z0 + h) − f

(z0)
.
−
.
h

N

0

.
<
.

.
3

..
g(z0) <
.
ε
.

H¾ quá 1.1. Chuoi lũy thùa khá vi vô han lan trong đĩa h®i tn cúa
nó. Đao hàm cúa chuoi lũy thùa là m®t chuoi lũy thùa thu đưoc bang
cách lay đao hàm cúa tùng so hang cúa nó.
M®t hàm f (z) xác đ%nh m®t t¾p con mó Ω đưoc goi là giái tích
(ho¾c có khai trien chuoi lũy thNa) tai điem z0 ∈ Ω neu ton tai
chuoi lũy
n

thùa .∞
an(z − z0) tâm tai z0 vói bán kính h®i tu dương sao cho
n=
0

f (z) =

.∞

an(z − z0)

n

n=0

vói moi z trong lân c¾n cna điem z0. Neu f (z) có khai trien chuoi
lũy thùa tai moi z ∈ Ω, thì ta nói rang f (z) giái tích trên Ω.
Tù đ%nh lý 1.3, ta thay rang m®t hàm giái tích trên Ω thì cũng chính
hình trên đó.
1.1.5. Tích phân phNc
Đưàng cong tham so. M®t đưòng cong tham so là m®t hàm
z : [a, b] → C
t ›→ z(t) = x(t) + iy(t).


Đưòng cong đưoc goi là trơn neu ton tai đao hàm zr(t) liên tuc trên
đoan [a, b] và zr(t) ƒ= 0, vói moi t ∈ [a, b]. Tai các điem t = a và t
= b các đai lưong zr(a) và zr(b) đưoc hieu như các giói han m®t phía
zr(a) = lim
h→0+

z ( a + h) −

và zr(b) = lim
h→0−

z (a )
h

z ( b + h) −
z(b )
h .

Đưòng cong goi là trơn tNng khúc neu z(t) liên tuc trên đoan [a,
b] và ton tai các điem a0 = a < a1 < · · · < an = b, ó đó z(t) là trơn
trên moi đoan [ak, bk+1]. Đ¾c bi¾t đao hàm trái và phái tai các điem
ak có the khác nhau vói moi k = 1, 2, ..., n − 1.
Hai đưòng cong tham so z : [a, b] → C và z¯ : [c, d] → C đưoc goi là
tương đương neu ton tai song ánh khá vi liên tuc s → t(s) tù [c, d]
đen [a, b] sao cho tr(s) > 0
và

z¯(s) = z (t(s)). Đieu ki¾n tr (s) > 0
đám

báo hưóng cna đưòng cong, khi s chay tù c đen d thì t(s) chay tù a
đen b. Ho cna tat cá các đưòng cong tham so tương đương vói z(t) xác
đ%nh m®t đưòng cong trơn γ ⊂ C. Đưòng cong γ− là đưòng cong thu
đưoc tù γ bang cách đoi hưóng. M®t dang tham so hóa cna γ− đưoc
xác đ%nh như sau

z−:[a, b] → R2
z−(t) = z(b + a − t).
Các điem z(a) và z(b) đưoc goi là điem đau và điem cuoi cna
đưòng cong. Đưòng cong trơn ho¾c trơn tùng khúc đưoc goi là kín neu
z(a) = z(b); đưoc goi là đưòng cong đóng neu nó không có điem tn
cat, nghĩa là neu t ƒ= s thì z(t) ƒ= z(s). Trưòng hop đưòng cong
đóng thì trù ra s = a và t = b. Đe ngan gon ta se goi đưòng cong
trơn tùng khúc là m®t đưòng cong.


Ví dn 1.1. Xét đưòng tròn Cr(z0) tâm tai z0 bán kính r
Cr(z0) = {z ∈ C : |z − z0| = r} .
Hưóng dương là hưóng đưoc cho bói phương trình tham so
z(t) = z0 + reit, t ∈ [0, 2π]
và hưóng âm đưoc cho bói phương trình
z(t) = z0 + re−it, t ∈ [0, 2π].
Đ%nh nghĩa 1.1. Ta kí hi¾u C là đưòng tròn đ%nh hưóng dương. Cho
đưòng cong trơn γ đưoc tham so hóa bói phương trình z : [a, b] → C và


f (z) là hàm liên tuc trên γ. Tích phân cna hàm f (z) doc theo γ
đưoc
xác đ%nh bói

b

¸
¸
r
f (z)dz = f (z(t)) z (t)dt.

γ

a

Chúng ta thay tích phân ve phái không phu thu®c vào cách chon phương
trình tham so đoi vói γ. Giá sú z¯ là m®t tham so hóa tương đương
xác đ%nh như trên thì
¸b

f (z(t)) .zr(t)dt
=

¸d

f (z(t(s))) .zr (t(s)) .tr(s)ds

c

a

d

¸
=

f (z¯(s)) z¯r (s)ds.

c

Neu γ là đưòng cong trơn tùng khúc như trên, thì

ak+1
¸
n−1
¸
. f (z(t)) zr(t)dt.
f (z)dz =
k=0

γ
ak

Tù đ%nh nghĩa 1.1, ta suy ra đ® dài cna đưòng cong γ là
b

¸
length(γ) =

|zr(t)| dt.

a

Ví dn 1.2. Tính tích phân
¸

dz; n = 0, ±1, ±2, ...;

n

(z − z0 )
γ

trong đó γ là đưòng tròn z = z0 + reit, t ∈ [0,2π].