Phương pháp spline collocation và một số ứng dụng

LèI CÁM ƠN
Tác giá xin bày tó lòng biet ơn chân thành và sâu sac tói TS. Nguyen
Văn Tuan ngưòi thay đã t¾n tình hưóng dan, chí báo, giúp đõ trong quá
trình nghiên cúu và hoàn chính lu¾n văn này.
Tác giá cũng xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói các GS, TS giáng
day chuyên ngành Toán Giái Tích, cùng các thay giáo, cô giáo phòng
sau đai hoc trưòng Đai Hoc Sư Pham Hà N®i 2, ban Giám hi¾u và to
Toán trưòng THPT Phương Sơn Luc Nam Bac Giang đã tao đieu ki¾n,
giúp đõ tác giá trong suot quá trình hoc t¾p và thnc hi¾n đe tài.
Xin gúi lòi cám ơn chân thành đen gia đình, các ban đã luôn quan
tâm, đ®ng viên giúp đõ tác giá trong quá trình hoc t¾p và hoàn thành
lu¾n văn
.

Hà N®i, ngày 25 tháng 11 năm 2011
Tác giá

Tran Vi¾t Phương


LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tôi dưói
sn hưóng dan cna T.S Nguyen Văn Tuan.
Trong khi nghiên cúu lu¾n văn, tôi đã ke thùa thành quá khoa hoc cna
các nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn.
M®t so ket quá đã đat đưoc trong lu¾n văn là mói và chưa tùng đưoc
công bo trong bat kỳ công trình khoa hoc nào cna ai khác.

Hà N®i, ngày 25 tháng 11 năm 2011
Tác giá

Tran Vi¾t Phương


Mnc lnc

Lài má đau

6

Chương 1. M®t so kien thNc chuan b%

9

1.1 Các khái ni¾m cơ bán cna giái tích hàm . . . . . . . . . . .

9

1.1.1

Không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.2

Không gian metric...............................................................11

1.1.3

Không gian đ%nh chuan..................................................13

1.1.4

Không gian Hilbert..............................................................15

1.2 So gan đúng và sai so....................................................................16
1.2.1

So gan đúng........................................................................16

1.2.2

Làm tròn so......................................................................... 17

1.2.3

Quy tac làm tròn so.......................................................... 17

1.2.4

Sai so tính toán...................................................................18

1.3 Ma tr¾n đưòng chéo tr®i và toc đ® h®i tu.................................20
1.3.1 Ma tr¾n đưòng chéo tr®i..................................................20
1.3.2

Toc đ® h®i tu cna nghi¾m xap xí...................................20

Chương 2. Phương pháp spline collocation

21

2.1 Khái ni¾m spline đa thúc...............................................................21
2.1.1

Spline đa thúc b¾c ba vói moc cách đeu.......................21

2.1.2

Spline đa thúc tong quát...................................................27


4

2.2 Sú dung phương pháp spline collocation cho phương trình
vi phân...............................................................................................32
2.2.1 Phương pháp spline collocation.......................................32
2.2.2 Giái m®t lóp phương trình vi phân thưòng b¾c 2
bang phương pháp spline collocation..............................34
2.3 Sú dung phương pháp spline collocation cho m®t lóp phương
trình đao hàm riêng.........................................................................42
2.3.1

Sn ton tai nghi¾m duy nhat...............................................42

2.3.2

Đánh giá toc đ® h®i tu.......................................................45

2.4 Phương pháp spline collocation cho phương trình vi tích
phân Fredholm b¾c hai...................................................................47
2.4.1

Đ%nh lý sn ton tai và duy nhat.........................................47

2.4.2

Đánh giá toc đ® h®i tu.......................................................55

Chương 3. M®t so Nng dnng

61

3.1 Úng dung giái phương trình vi phân.............................................61
3.2 Úng dung giái phương trình vi tích phân Fredholm b¾c hai

64

Ket lu¾n

66

Tài li¾u tham kháo

67


BÁNG KÝ HIfiU
N

T¾p so tn nhiên

N∗

T¾p so tn nhiên khác không

R

T¾p so thnc

C

T¾p so phúc

C[a;b]

T¾p tat cá các hàm so thnc liên tuc trên [a, b]

S3(π) T¾p tat cá các hàm spline đa thúc b¾c 3
"."

Chuan

∅

T¾p hop rong


6

LèI Mé ĐAU
1. Lý do chon đe tài
Trong khoa hoc tn nhiên, kĩ thu¾t, trong kinh te, cũng như các lĩnh
vnc khác cna cu®c song chúng ta g¾p rat nhieu van đe, rat nhieu bài
toán đưa tói vi¾c nghiên cúu các phương trình vi phân, phương trình
đao hàm riêng... Vi¾c tìm nghi¾m đúng cna các phương trình này
thưòng g¾p khó khăn, hơn nua nghi¾m đúng tìm đưoc khi áp dung vào
thnc tien tính toán lai phái lay các giá tr% gan đúng. Vì v¾y đe tìm
nghi¾m cna chúng ngưòi ta thưòng áp dung các phương pháp giái gan
đúng khác nhau.
Nhung năm gan đây các nhà toán hoc trong và ngoài nưóc quan tâm
nghiên cúu phương pháp spline collocation giái gan đúng phương trình
vi phân, phương trình đao hàm riêng... Só dĩ như v¾y vì phương pháp
spline collocation có m®t so ưu điem sau:
- Phương pháp này sú dung các hàm đa thúc trong giái gan đúng.
Các hàm đa thúc rat de dàng l¾p trình đưa lên máy tính, tính toán
thu¾n loi, hi¾u quá.
- Trong m®t so trưòng hop phương pháp spline collocation thưòng
đat toc đ® h®i tu nhanh, đ® chính xác cna nghi¾m gan đúng tot
hơn các phương pháp khác.
- Có the khái quát cho nghi¾m xap xí bang spline b¾c cao ho¾c
các hàm B-spline.
Do đó vói sn hưóng dan cna TS. Nguyen Văn Tuan, tôi đã chon đe tài:
”Phương pháp spline collocation và m®t so Úng ding.”


2. Mnc đích nghiên cNu
Tong hop các kien thúc ve phương pháp spline collocation.
Úng dung phương pháp đe giái gan đúng m®t so lóp phương trình vi

phân, phương trình đao hàm riêng.
3. Nhi¾m vn nghiên cNu
H¾ thong các kien thúc liên quan tói phương pháp spline collocation.
Nghiên cúu sú dung phương pháp giái gan đúng m®t so lóp phương
trình vi phân, phương trình đao hàm riêng.
4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Lu¾n văn trình bày các van đe: Các hàm spline, phương pháp spline
col- location, úng dung phương pháp spline collocation giái m®t so lóp
phương trình vi phân, phương trình đao hàm riêng.
5. Phương pháp nghiên cNu
Sú dung phương pháp phân tích, tong hop.
Tham kháo ý kien chuyên gia.
6. DN kien đóng góp mái
Đe tài đã trình bày cơ só lý thuyet cna phương pháp spline
collocation tương đoi rõ ràng, đưoc minh hoa bang ví du đơn gián.
Lay đưoc ví du ve m®t so lóp phương trình riêng.
Úng dung phen mem Maple vào tính toán cho phương pháp trên.
N®I DUNG
Chương 1 M®t so kien thNc chuan b%
Trong chương này trình bày h¾ thong các kien thúc can thiet sú dung
trong lu¾n văn.


Chương 2 Phương pháp spline collocation
Trình bày h¾ thong cơ bán nhat ve các hàm spline, phương pháp
spline collocation. Minh hoa phương pháp cho m®t so lóp phương trình
vi phân, phương trình đao hàm riêng...
Chương 3 M®t so Nng dnng
Trong chương này sú dung phương pháp spline collocation đe giái
gan đúng m®t so lóp phương trình vi phân. Sú dung phan mem Maple

trong tính toán.


Chương 1
M®t so kien thNc chuan b%
1.1

Các khái ni¾m cơ bán cúa giái tích hàm

1.1.1

Không gian vectơ

Đ%nh nghĩa 1.1.1. Cho t¾p hop E mà các phan tú đưoc kí hi¾u: →−α ,
→− →−
β,
γ , ...
và trưòng K mà các phan tú đưoc kí hi¾u là: x, y, z, ...
Giá sú trên E có hai phép toán:
1) Phép toán c®ng, kí hi¾u + : E × E −→ E
→−
→−
(→−α ,
β ) −→ →−α +
β
2) Phép toán nhân, kí hi¾u là . : K × E −→ E
(x, →−α ) −→ x.→−α
thóa mãn các tiên đe sau:
→−
→−

→−
a) →−α +
β =
β + →−α , ∀→−α ,
β ∈ E;
→−
→−
b) (→−α +
β ) + →−γ = →−α + (
β + →−γ ), ∀→−α ,
→− →−
β,
γ ∈ E;
c) Ton
tai

d) Vói
moi

→−
→−
→−
θ ∈ E sao
θ + →−α = →−α +
θ = →−α ,
cho
∀→−α ∈ E;
→−α
ton tai

→− r
α + →−α = →−α +
α ∈ E sao
→− r
→−
α
=
θ;
cho
→−

r


e) (x + y)→−α = x→−α + y →−α , ∀→−α ∈ E và x, y

∈ K;

→−
→−
→−
f) x(→−α +
β ) = x→−α + x
β , ∀→−α ,
β ∈ E và x
∈ K;


10

g) x(y →−α ) = (xy)→−α , ∀→−α ∈ E và x, y ∈ K;
h) 1 · →−α = →−α , ∀→−α ∈ E và 1 là phan tú đơn v% cúa
trưòng K;
Khi đó E cùng vói hai phép toán trên goi là không gian vectơ trên
trưòng K, hay K-không gian vectơ, hay không gian tuyen tính.
Khi K = R thì E đưoc goi là không gian vectơ thnc.
Khi K = C thì E đưoc goi là không gian vectơ phúc.
Ví dn 1.1.1. De dàng kiem tra C[a, b] là m®t không gian vectơ.
Đ%nh nghĩa 1.1.2. H¾ vectơ (→−αi ), ∀i = 1, 2, ..., n goi là đ®c l¾p
tuyen
n
.

tính
xi→−αi = 0 kéo theo xi = 0, ∀i = 1, 2, ..., n.
i=1
neu
H¾ vectơ (→−αi ), ∀i = 1, 2, ..., n goi là phn thu®c tuyen tính neu nó
không
đ®c l¾p tuyen tính.
Đ%nh nghĩa 1.1.3. Giá sú E là m®t không gian vectơ.
M®t h¾ vectơ trong E đưoc goi là m®t h¾ sinh cúa E neu moi vectơ
cúa
E đeu bieu th% tuyen tính qua h¾ đó.
Khi E có m®t h¾ sinh gom huu han phan tú thì E đưoc goi là không
gian vectơ huu han sinh.
M®t h¾ vectơ trong E đưoc goi là cơ só cúa E neu nó là h¾ sinh
đ®c l¾p tuyen tính.
Đ%nh nghĩa 1.1.4. Cho E là không gian vectơ có cơ só gom huu han
phan tú thì so phan tú trong cơ só đó đưoc goi là so chieu cúa không

gian vectơ.
Khi E là m®t K-không gian vectơ có so chieu n ta kí hi¾u


11

dimE = n (hay dimK E = n).


Đ%nh nghĩa 1.1.5. T¾p con W ƒ= ∅ cúa m®t K-không gian vectơ E
đưoc
goi là không gian vectơ con cúa E neu nó on đ%nh vói hai phép toán cúa
E, nghĩa là thóa mãn các đieu ki¾n sau:
→−
1) ∀→−α ,
β ∈ W, →−α +
→−
β ∈ W,
2) ∀→−α ∈ W và ∀x ∈ K thì x→−α ∈ W .
1.1.2

Không gian metric

Cho X là m®t t¾p tùy ý.
Đ%nh nghĩa 1.1.6. M®t metric trong X là m®t ánh xa
d:X×X→R
cúa tích X × X vào đưòng thang thnc R, thóa mãn các đieu ki¾n sau
đây: 1)

d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X và d(x, y) = 0 ⇔ x = y;

2) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X;
3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X, (bat đang thúc tam
giác). T¾p hop X cùng vói d là m®t không gian metric, ánh xa d là
hàm khoáng cách (hay metric) trong X. Các phan tú cna m®t không
gian metric goi là các điem cna không gian ay, so d(x, y) goi là
khoáng cách
giua các điem x và y.
Ví dn 1.1.2. C[a, b] là không gian metric vói khoáng cách
d(x, y) = max |x(t) − y(t)|.
a≤t≤b


Đ%nh nghĩa 1.1.7. M®t dãy điem (xn), n = 1, 2, ... trong không
gian
metric X goi là h®i tn đen điem a X neu lim d(xn, a) = 0. Khi đó,
∈
ta
n→∞

kí
hi¾u

li
m

xn = a ho¾c xn → a, khi n → ∞.

n→∞

Đ%nh nghĩa 1.1.8. Dãy điem (xn) đưoc goi là dãy cơ bán (hay dãy Côsi)
trong không gian metric X neu vói moi ε > 0 cho trưóc, đeu ton tai
m®t so n0 sao cho vói moi n ≥ n0 và m ≥ n0 ta đeu có
d(xn , xm ) < ε.
De thay moi dãy điem h®i tu trong không gian metric đeu là dãy cơ
bán.
Đ%nh nghĩa 1.1.9. M®t không gian metric X đưoc goi là đay đú neu
moi dãy cơ bán trong X đeu h®i tn tói m®t phan tú trong X.
Đ%nh nghĩa 1.1.10. Cho X và Y là hai không gian metric tùy ý. Ánh
xa A : X → Y đưoc goi là liên tnc tai x0 ∈ X neu như ∀ε > 0, ∃δ > 0
sao cho ∀x ∈ X thóa mãn d(x, x0) < δ thì d(A(x), A(x0)) < ε.
Đ%nh nghĩa 1.1.11. Cho X và Y là hai không gian metric tùy ý. Ánh xa
A : X → Y đưoc goi là m®t ánh xa co neu ∃α vói 0 ≤ α < 1 sao cho vói
r

∀x, x ∈ X ta đeu
có

d(A(x), A(xr )) ≤ α d(x, xr ).

Đ%nh lý 1.1.1. (Nguyên lý ánh xa co) Giá sú X là m®t không gian
metric đay đú, và A : X → X là m®t ánh xa co cúa X vào chính nó. Khi
đó ton tai m®t và chs m®t điem x∗ ∈ X sao cho A(x∗) = x∗.


1.1.3

Không gian đ%nh chuan

Cho X là m®t không gian vectơ trên trưòng P (P = R ho¾c C).

Đ%nh nghĩa 1.1.12. M®t chuan, kí hi¾u || · ||, trong X là m®t ánh xa đi
tù X vào R thóa mãn các đieu ki¾n:
1) ||x|| ≥ 0, ∀x ∈ X ;
2) ||x|| = 0 khi và chs khi x = θ (θ là kí hi¾u phan tú
không); 3) ||λx|| = |λ|||x||, ∀λ ∈ P, ∀x ∈ X;
4) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, ∀x, y ∈ X.
So ||x|| đưoc goi là chuan (hay đ® dài) cna vectơ x ∈ X. M®t không
gian vectơ X cùng vói m®t chuan xác đ%nh trong không gian ay, đưoc
goi là m®t không gian đ%nh chuan (thnc ho¾c phúc, tùy theo P thnc
hay phúc).
Đ%nh lý 1.1.2. Giá sú X là m®t không gian đ%nh chuan. Vói moi x, y ∈
X, đ¾t
d(x, y) = ||x − y||.
Khi đó, d là m®t metric trên X.
Đ%nh nghĩa 1.1.13. Dãy (xn) trong không gian đ%nh chuan X đưoc
goi là h®i tn đen x0 ∈ X neu
lim ||xn − x0|| = 0.
n
→∞

Khi đó, ta kí hi¾u
lim
n→∞

xn = x0 ho¾c xn → x0, khi n → ∞.


Đ%nh nghĩa 1.1.14. Dãy (xn) trong không gian đ%nh chuan X đưoc
goi là m®t dãy cơ bán neu
lim

m,n→∞

||xm − xn|| = 0.

Đ%nh nghĩa 1.1.15. Giá sú không gian đ%nh chuan X là m®t không
gian metric đay đú (vói khoáng cách d(x, y) = ||x − y||). Khi đó X đưoc
goi là m®t không gian đ%nh chuan đay đú, hay còn goi là không gian
Banach.
Đ%nh nghĩa 1.1.16. Cho hai không gian tuyen tính X và Y trên trưòng
P. Ánh xa A tù không gian X vào không gian Y đưoc goi là ánh xa tuyen
tính hay toán tú tuyen tính neu A thóa mãn:
1) A(x + y) = Ax + Ay, vói moi x, y ∈ X;
2) A(αx) = αAx, vói moi x ∈ X, α ∈ P.
- Neu A chí thoá mãn 1) thì A đưoc goi là toán tú c®ng tính.
- Neu A chí thóa mãn 2) thì A đưoc goi là toán tú thuan nhat.
- Khi Y = P thì toán tú tuyen tính A đưoc goi là phiem hàm
tuyen tính.
Đ%nh nghĩa 1.1.17. Cho không gian đ%nh chuan X và Y . Toán tú
tuyen tính A tù không gian X vào không gian Y goi là b% ch¾n neu ton
tai hang so c > 0 sao cho
||Ax|| ≤ c||x||, vói moi x ∈ X.
Đ%nh nghĩa 1.1.18. Cho hai không gian đ%nh chuan X và Y . Kí
hi¾u L(X, Y ) là t¾p tat cá các toán tú tuyen tính b% ch¾n tù không
gian X vào không gian Y . Ta đưa vào L(X, Y ) hai phép toán:


1) Tong cúa hai toán tú A, B ∈ L(X, Y ) là toán tú, kí hi¾u A +
B,
xác đ%nh bói bieu thúc
(A + B)(x) = Ax + Bx, vói moi x ∈ X;

2) Tích vô hưóng cúa α ∈ P (P = R ho¾c P = C) vói toán tú A
∈
L(X, Y ) là toán tú, kí hi¾u αA, đưoc xác đ%nh bói bieu thúc
(αA)(x) = α(Ax).
De kiem tra đưoc rang A + B ∈ L(X, Y ), αA ∈ L(X, Y ) và hai
phép toán trên thóa mãn tiên đe tuyen tính. Khi đó, t¾p L(X, Y )
tró thành m®t không gian tuyen tính trên trưòng P .
Đ%nh lý 1.1.3. Neu Y là m®t không gian Banach thì L(X, Y ) là
không gian Banach.
1.1.4

Không gian Hilbert

Đ%nh nghĩa 1.1.19. Cho không gian tuyen tính X trên trưòng P
(P = R ho¾c P = C). Ta goi là tích vô hưóng trên không gian X moi
ánh xa tù tích Descartes X × X vào trưòng P, kí hi¾u (·, ·), thóa mãn
các tiên đe:
1) (y, x) = (x, y), ∀x, y ∈ X;
2) (x + y, z) = (x, z) + (y, z), ∀x, y, z ∈ X;
3) (αx, y) = α(x, y), ∀α ∈ P và ∀x, y ∈ X;
4) (x, x) > 0, neu x ƒ= θ (θ là kí hi¾u phan tú không), ∀x ∈ X;


5) (x, x) = 0, neu x = θ, ∀x ∈ X.
Các phan tú x, y, z, ... goi là các nhân tú cna tích vô hưóng. So (x,
y) goi là tích vô hưóng cna hai nhân tú x và y, các tiên đe 1), 2), 3),
4), 5) goi là h¾ tiên đe tích vô hưóng.
Đ%nh nghĩa 1.1.20. Không gian tuyen tính X trên trưòng P cùng vói
m®t tích vô hưóng trên X goi là không gian tien Hilbert.
Đ%nh lý 1.1.4. Cho X là m®t không gian tien Hilbert. Vói moi x ∈ X,

,
ta đ¾t ||x|| = (x, x). Khi đó, ta có bat đang thúc sau (goi là bat
đang thúc Schwarz).
|(x, y)| ≤ ||x||.||y||, ∀x, y ∈ X.
Đ%nh lý 1.1.5. Moi không gian tien Hilbert X đeu là không gian đ
,
%nh chuan, vói chuan ||x|| = (x, x).
Đ%nh nghĩa 1.1.21. Ta goi không gian tuyen tính H ƒ= ∅ trên trưòng
P
là không gian Hilbert H thóa mãn các đieu ki¾n:
1) H là không gian tien Hilbert;
,

2) H là không gian Banach vói chuan ||x|| = (x, x) vói x ∈ X.
Ta goi moi không gian tuyen tính con đóng cna không gian Hilbert H
là không gian Hilbert con cna không gian H.

1.2
1.2.1

So gan đúng và sai so
So gan đúng

Đ%nh nghĩa 1.2.1. Ta nói rang so a là so gan đúng cúa a∗ neu a
không sai khác a∗ nhieu. Đai lưong ∆ = |a − a∗| phán ánh múc đ® sai
l¾ch giua


a và a∗ goi là sai so th¾t sn cúa a.
Đ%nh nghĩa 1.2.2. So ∆a ≥ 0 goi là sai so tuy¾t đoi cúa a∗ neu

thóa mãn đieu ki¾n:
|a − a∗| ≤ ∆a.

(1.1)

hay a − ∆a ≤ a∗ ≤ a + ∆a. Bói v¾y ∆a thóa mãn đieu ki¾n (1.1)
càng nhó thì đ® sai l¾ch giua a và a∗ càng ít.
Đ%nh nghĩa 1.2.3. So δ =
a

1.2.2

∆a
|a|

goi là sai so tương đoi cúa a.

Làm tròn so

So th¾p phân tong quát có dang:
a = ±(αp10p + ... + αi10i + ...−s10

p−s

).

(1.2)

+ αp

trong đó αj ∈ N, 0 ≤ αj ≤ 9, j = p − 1, p − s, αp > 0,
a) Neu p − s “ 0 thì a là so nguyên nên a có giá tr% chính xác,
b) Neu p − s = −k(k “ 0)) thì a có phan lé là k chu so,
c) Neu p − s → −∞(s → +∞) thì a là so th¾p phân vô han.
Làm tròn so a là bó đi m®t so các chu so bên phái cna so a gon hơn
và gan đúng nhat vói a.
1.2.3

Quy tac làm tròn so

Giá sú a có dang (1.2) ta se giu lai đen b¾c thú i phan bó đi là µ thì
a = ±(αp10p + ... + αi+110i+1 + αi10i),


trong đó



αi neu 0 ≥ µ ≥ 0, 5.10i ho¾c µ = 0, 5.10i mà αi là so chan,

αi =

αi + 1 neu µ > 0, 5.10i ho¾c µ = 0, 5.10i mà αi là so lé.

Đ%nh nghĩa 1.2.4. Sai so thu gon Γa ≥ 0 là moi so thóa mãn đieu ki¾n:
|a − a| ≤ Γa.
Ta
có

.

.
|a − a| = (αi − α)10i + µ ≤ 0, 5.10i.
.
.

Sau khi thu gon sai so tuy¾t đoi tăng lên
|a∗ − a| ≤ |a∗ − a| + |a − a| ≤ ∆a + Γa.
1.2.4

Sai so tính toán

Giá sú phái tìm đai lưong y theo công thúc y = f (x1, x2, ..., xn).
Goi x∗ = (x∗, x∗, ..., x∗ ), y∗ = f (x∗) là giá tr% đúng còn x = (x1, x2,
..., xn, ),
1

2

n

y = f (x) là các giá tr% gan đúng cna y∗, ∆xi i= |x∗ − xi| . Neu f (x1, x2,
..., xn)
là hàm khá vi liên tuc thì
n
∆y .
= |y − yr ∗| = |f (x1, ..., xn) − f (x∗, ..., x∗ )|
=
.f
.
1

n
.

. · |x − x∗ | ,
i
..

xi

i

i=1

vói f x là đao hàm theo xi tai điem trung gian.Vì f khá vi liên tuc ∆xi
r

i

khá bé nên có the coi
.∆yr =
f

.
.

i=1

V¾
y
δy =

.
(x1, x2, ..., xn) ∆x .

n

∆y

x

.

i

. n
= ..

∂

i

.
ln f . ∆x .


|y|

.
.
.

i=1

xi

∂

.
.

i


1) Sai so cna phép toán c®ng, trù
n .
n .
Neu y =
xi x = 1, v¾y ta có ∆y =
∆xi .
r
i=1
i
thì y
n
.
i=1
Chú∆yý 1. Neu tong đai so y =
xi rat bé ve giá tr% tuy¾t đoi
thì
i=1

lón,
|y|

do đó ket quá se không chính xác. V¾y ta nên tránh công thúc đưa đen
hi¾u hai so gan nhau.
2) Sai so cna phép toán nhân,
n

chia Giá sú

Q

x

i

i=1

y = n−p
Q

,
xp+i

i=1

khi đó
n

ln y =

.

p

n

.

ln xj ⇔ δy =

.
i

δx ,

ln xi −
i=1

j=p+
1

i=1

3) Sai so cna phép tính lũy thùa
Xét y = xα (α ∈ R, x > 0), khi đó ln y = α ln x
.
.
. d ln y.
∆x

δy = .
∆
=
|
. x
|x| = |α| δx.
.
α|
d .
x xác giám.
• Neu α > 1 thì đ® chính

suy ra

• Neu α < 1 thì đ® chính xác tăng.
• Neu α = −1 thì đ® chính xác không đoi.
• Neu α =

1
k

, k ∈ N∗ thì đ® chính xác tăng lên.

4) Sai so cna phép tính logarit y = ln x

∆y = |y| δy.


Xét y = ln x(x > 0), ta
có

.

1

ln .y = ln ln x ⇔ δy.
=
. x ln
x.

V¾
y

.

δ

x

.
. ∆x =

.

|y|

∆y = δ x .

1.3

Ma tr¾n đưàng chéo tr®i và toc đ® h®i tn

1.3.1

Ma tr¾n đưàng chéo tr®i

n
Đ%nh nghĩa 1.3.1. Cho ma tr¾n vuông A = (a)i,j=
.
1

Ta nói ma tr¾n A là ma tr¾n đưòng chéo tr®i neu thóa mãn m®t
trong hai đieu ki¾n sau:
1)

n
.
j=1,jƒ

2)

=i
n
.

|aij | < |aii|, ∀i = 1, 2, ..., n,
|aij | < |ajj |, ∀j = 1, 2, ..., n.

i=1,iƒ=
j

Đ%nh lý 1.3.1. Moi ma tr¾n đưòng chéo tr®i đeu không suy bien.
1.3.2

Toc đ® h®i tn cúa nghi¾m xap xí

Đ%nh nghĩa 1.3.2. Cho π là phân hoach đeu cúa đoan [a, b] vói các
moc
là: a = x0 < x1 < ... < xn = b, h = n = xi −
b−a

1,

i = 1, ..., n.

xi−

Giá sú xn là nghi¾m xap xs cúa phương trình toán tú Lx = f
trong không gian C[a, b] và x là nghi¾m đúng cúa phương trình đó.
Neu có đánh giá ||xn − x|| ≤ chk, vói c là hang so dương không phn


thu®c h, k ∈ N∗ thì ta nói nghi¾m xs xn đat toc đ® h®i tn b¾c k tói
nghi¾m chính xác x (hay đ® chính xác b¾c hk).


Chương 2
Phương pháp spline collocation
2.1

Khái ni¾m spline đa thNc

2.1.1

Spline đa thNc b¾c ba vái moc cách đeu

Xét phân hoach π trên đoan [a,b] vói các moc n®i suy
a = t0 < t1 < t2 < ... < tn = b.
Kí hi¾u hi = ti − ti−1, neu hi = h = const thì các moc n®i suy t0, t1, ...,
tn
goi là các moc n®i suy cách đeu.
Đ%nh nghĩa 2.1.1. M®t spline đa thúc b¾c ba trên đoan [a,b] vói phân
hoach π là hàm so y = s(t) thóa mãn hai đieu ki¾n sau:
1) s(t) ∈ C2[a; b];
2) Han che cúa s(t) trên moi khoáng ∆i = [ti; ti+1] là đa thúc
s(t)|∆i ,
vói deg(s(t)|∆i ) ≤ 3, ∀i = 0, 1, 2, ..., n.
Không gian gom tat cá các hàm so s(t) thõa mãn hai đieu ki¾n trên kí
hi¾u là S3(π).
Tù đ%nh nghĩa ta có không gian S3(π) chúa tat cá các đa thúc có
b¾c nhó hơn ho¾c bang 3. De dàng kiem tra các tiên đe cna không
gian véctơ suy ra S3(π) là không gian tuyen tính.
M¾nh đe 2.1.1. Không gian S3(π) là không gian tuyen tính và không
gian đó chúa tat cá các đa thúc có b¾c nhó hơn bang 3.