Phương trình Eliptic với hệ số biến thiên trong Rd

B
® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I
2

HOÀNG TH± KIM OANH

PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC
VéI Hf SO BIEN THIÊN TRONG
Rd

LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN
H6C

HÀ N®I,
2016


B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

HOÀNG TH± KIM OANH

PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC
VéI Hf SO BIEN THIÊN TRONG
Rd

Chuyên ngành: Toán giái tích
Mã so: 60 46 01 02

LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC

NGƯ6I HƯ6NG DAN KHOA H6C:
TS. NGUYEN HUU THO


Lèi cám ơn

Lu¾n văn đưoc hoàn thành tai trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2 dưói
sn hưóng dan cúa TS. Nguyen Huu Tho.
Tác giá xin bày tó lòng biet ơn sâu sac nhat tói TS. Nguyen Huu Tho,
ngưòi đã đ%nh hưóng chon đe tài và t¾n tình hưóng dan đe tác giá hoàn
thành lu¾n văn này.
Tác giá xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói Phòng Sau đai hoc, các
Thay Cô giáo day cao hoc chuyên ngành Toán Giái tích, Trưòng Đai hoc Sư
pham Hà N®i 2 đã giúp đõ tác giá trong suot quá trình hoc t¾p và hoàn
thành lu¾n văn tot nghi¾p.
Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói gia đình, ban bè, ngưòi
thân đã luôn đ®ng viên, co vũ, tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá
trong quá trình hoc t¾p và hoàn thành lu¾n văn.
Hà N®i, tháng 6 năm
2016 Tác giá

Hoàng Th% Kim Oanh

i


Lèi cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cúa TS. Nguyen Huu Tho, lu¾n

văn Thac sy chuyên ngành Toán Giái tích vói đe tài " Phương trình elliptic
vói h¾ so bien thiên trong Rd" do tôi tn làm. Các ket quá và tài li¾u trích
dan đưoc chí rõ nguon goc.
Trong quá trình nghiên cúu thnc hi¾n lu¾n văn, tôi đã ke thùa nhung
thành tnu cúa các nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn.
Hà N®i, tháng 6 năm
2016 Tác giá

Hoàng Th% Kim Oanh

ii


Mnc lnc
Lèi cám ơn

i

Lèi cam đoan

ii

Lèi mé đau

1

1

Kien thNc chuan b%

3

1.1

Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Đa chí so . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3

Hàm trơn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4

Đ%nh lý giá tr% trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2

2.3

Phương trình elliptic véi h¾ so bien thiên trong Rd

11

2.1

Toán tú elliptic...............................................................................11

2.2

Không gian Ho¨ lder.......................................................................13

Bat đang thúc n®i suy.............................................................................16
2.4

Ho¨ lder

. . . . . . . .

2.5
2.6

Ưóc lưong tiên nghi¾m Schauder . . . . . . . . . . . . . . . 20
Tính chính quy cúa Lu dan đen tính chính quy cúa u.................24

2.7
2.8

Tính giái đưoc cúa phương trình elliptic b¾c hai.......................27
Trưòng hop phương trình b¾c hai Lu − zu = f vói so phúc z32

2.9

Tính giái đưoc cúa phương trình elliptic cap cao hơn................36

3

18


Ket lu¾n
Tài li¾u tham kháo

41
41


Lèi mé đau

1. Lí do chon đe tài
Trong lý thuyet phương trình đao hàm riêng, toán tú elliptic là tong
quát hóa cúa toán tú Laplace. Chúng đưoc xác đ%nh bói đieu ki¾n: các
h¾ so cúa đao hàm b¾c cao nhat là dương, và tù đó bieu trưng chính
cúa nó là khá ngh%ch, túc là se không ton tai hưóng đ¾c trưng thnc.
Toán tú elliptic là đ¾c trưng trong lý thuyet the v% và chúng thưòng
xuat hi¾n trong các bài toán ve tĩnh đi¾n, cơ hoc liên tnc. Trong các mô
hình cúa bài toán thnc te nhieu trưòng hop yêu cau chúng ta can phái
nghiên cúu các phương trình vi phân đao hàm riêng dang elliptic.
Vói mong muon đưoc tiep c¾n tói lý thuyet ve phương trình elliptic,
đưoc sn hưóng dan cúa Tien sy Nguyen Huu Tho, tôi chon đe tài cho lu¾n

văn cúa
mình là: " Phương trình elliptic vói h¾ so bien thiên trong Rd."

2. Mnc đích nghiên cNu
Nghiên cúu tong quan ve phương trình elliptic vói h¾ so bien thiên
trong
d
R .

3. Nhi¾m vn nghiên cNu
+ Trình bày khái ni¾m toán tú elliptic tong quát, ve không gian Ho¨lder
và bat đang thúc n®i suy.
1


+ Trong lu¾n văn tác giá cũng se trình bày ve tính chính quy cúa Lu dan
tói tính chính quy cúa u.
+ Kháo sát ve tính giái đưoc cúa phương trình elliptic cap hai vói h¾ so
bien thiên.
+ Kháo sát tính giái đưoc đoi vói phương trình elliptic vói h¾ so bien
thiên cap lón hơn hai.

4. Đoi tưeng và pham vi nghiên cNu
+ Không gian Ho¨lder
+ Phương pháp liên tnc.
+ Toán tú elliptic.
+ Phương trình elliptic vói h¾ so bien thiên trong Rd.

5. Phương pháp nghiên cNu
Nghiên cúu lý thuyet, thu th¾p tài li¾u, đoc và phân tích, tong hop đe

nh¾n đưoc m®t nghiên cúu ve m®t so van đe đoi vói phương trình
elliptic vói h¾ so bien thiên trong Rd.

6. Đóng góp cúa đe tài
Trình bày m®t cách có h¾ thong ve phương trình elliptic vói h¾ so bien
thiên trong Rd.


Chương 1
Kien thNc chuan b%
(Các kien thúc trong chương này đưoc trích dan chú yeu tù tài li¾u [3]
và [4].)

1.1

Không gian Banach

Cho X là không gian tuyen tính thnc.
Đ%nh nghĩa 1.1.1. Ánh xa "." : X → [0, ∞) đưoc goi là chuan neu
(i) "u + v" ≤ "u" + "v" , ∀u, v ∈ X.
(ii) "λu" = |λ| "u" , ∀u ∈ X, λ ∈ R.
(iii) "u" = 0 ⇔ u = 0.
Bat đang thúc (i) goi là Bat đang thúc tam giác. Không gian tuyen tính
trang b% chuan đưoc goi là không gian tuyen tính đ%nh chuan.
∞

Đ%nh nghĩa 1.1.2. Ta nói dãy {uk}k= ⊂ X h®i tn đen u ∈ X neu
1

lim

k→∞

"uk − u" = 0,

và ký hi¾u uk → u.
Đ%nh nghĩa 1.1.3.

(i) Dãy {uk}

∞

k=
1

⊂ X đưoc goi là m®t dãy Cauchy neu


vói moi ε > 0, ∃N > 0 sao cho "uk − ul" < ε, ∀k, l ≥ N.
(ii) X là đay đú neu moi dãy Cauchy trong X đeu h®i tn, có nghĩa là vói
∞
∞
{uk}k= ⊂ X là dãy Cauchy, ton tai u ∈ X sao cho {uk}k= h®i tn đen

u.

1

1

(iii) Không gian Banach X là không gian tuyen tính đ%nh chuan đay đú.

Đ%nh nghĩa 1.1.4. Ta nói X tách đưoc neu X chúa m®t t¾p con đem đưoc
trù m¾t trong X.

1.2

Đa chí so

Ký hi¾u đa chí so là m®t ký hi¾u toán hoc đơn gián hóa các công thúc
tính toán nhieu bien.
Đ%nh nghĩa 1.2.1. Cho m®t đa chí so n− chieu là m®t b® n− so
nguyên không âm
α = (α1, α2, ..., αn) .
T¾p tat cá các đa chí so n− chieu ký hi¾u là Nn
0

1. M®t so tính chat
Cho đa chí so α, β ∈ Nn và x = (x1, x2, .., xn) ∈ Rn, khi đó:
0

• Tong và hi¾u:
α ± β = (α1 ± β1, α2 ± β2, ..., αn ± βn) .
• Thú tn riêng:


α ≤ β ⇔ αi ≤ βi, ∀i ∈ {1, ..., n} .
• Đ® dài cúa đa chí so (cõ cúa đa chí so):
|α| = α1 + α2 + ... + αn.
• Giai thùa:
α! = α1 !.α2 !...αn !.
• H¾ so nh% thúc:

 
 
  
α
α1
α2
αn
α!
.
 .   ...   =
β! (α − β)!
 β =  β 1
β2
βn
• H¾ so đa thúc:

 
k

k!

α = α1! !...αn!
ó đây, k := |
α| .

=

k!
.
α!

α2

• Lũy thùa:
α

α

1

2

xα = x 1 .x 2 ...xαn.
n

• Đao hàm riêng cap
cao:
α

α

1

2

∂ α = ∂ 1 ∂ 2 ...∂αn.
n

α

ó đây, ∂ i :=
α
∂αi/∂x i.
i

i

2. M®t so Nng dnng
Ký hi¾u đa chí so cho phép mó r®ng nhieu công thúc tù phép tính
sơ cap đen trưòng hop nhieu bien tương úng.


• Đ%nh lý đa thúc
.
.

n

.k

i=1 x

i

=


• Đ%nh lý đa nh% thúc

 k

.
 x α.

|α|=k

α

. 
α
α ν α−ν
(x + y) =
x y .

ν

ν≤α

chú ý rang, vì (x + y) là vector và α là m®t đa chí so, bieu thúc trên
ve
α

α

trái là viet tat cho ((x1 + y1) 1 , ..., (xn + yn) n ) .
• Công thúc Leibniz
Cho các hàm trơn f, g, khi đó
∂ α (fg) =

 
 α

.
ν≤α

∂ ν f∂ α−ν g.

ν

• Chuoi
Taylor
Cho hàm thnc f vói n bien so, khi đó ta có
f (x + h) =

.
α∈Nn0

∂ αf
(x)

hα,

α!

trong thnc te, đoi vói m®t hàm đú trơn, ta có khai trien Taylor tương
tn
f (x + h) =

.

∂αf

(x)

|α|≤n

α!

(x, h) ,
hα +
Rn


so hang cuoi ó đây phn thu®c vào bien chính xác cúa công thúc
Taylor,
nh¾n đưoc
¸
hα 1
n
Rn (x, h) = (n + .
1)
(1 − t) ∂ αf (x + th) dt.
|α|=n+1

α!

0

• Toán tú vi phân tuyen tính tong quát
M®t toán tú vi phân b¾c N theo n bien đưoc viet như sau
P (∂) =

.

aα (x) ∂ α.

|α|≤N

• Tích phân tùng phan
Cho hàm trơn vói giá compact trong m®t mien b% ch¾n Ω ⊂ Rn, ta
có
¸
¸
u (∂ αv) dx =
(∂αu) vdx.
|α|

(−1)

Ω

Ω
n
Đ%nh lý 1.2.1. Neu α, β ∈ N
0 là m®t đa chí so và x = (x1, ..., xn) thì

β!

xβ−α
neu α ≤ β
∂ αxβ =
(β − α)!


0
trong các trưòng hop khác.

1.3

Hàm trơn hóa

Trưóc het ta xét khái ni¾m sau:
Đ%nh nghĩa 1.3.1. Cho f và g là các hàm khá tong đ%a phương trong Rn.
Neu tích phân

¸
f (y)g(x − y)dy


ton tai vói hau het x ∈ Rn và xác đ%nh m®t hàm khá tong đ%a phương trong
Rn, thì đó đưoc goi là tích ch¾p cúa các hàm f và g và đưoc ký hi¾u là f
∗ g,


túc là
¸
(f ∗ g)(x) =

f (y)g(x − y)dy

¸ g(y)f (x − y)dy = (g ∗ f )(x).

(1.1)

=
Cho U ⊂ Rn là t¾p mó, ε > 0 ta ký hi¾u
Uε := {x ∈ U sao cho dist (x, ∂U ) > ε} .
(i) Ta xác đ%nh η ∈ C ∞ (Rn) bói

.
neu |x| < 1

1
C
η (x) :=
.
2
exp
|x| − 1

0
neu |x| ≥ 1,

Đ%nh nghĩa 1.3.2.

hang so C > 0 đưoc chon sao cho R¸ ηdx = 1.
n

ηε (x)
:=

(ii) Vói moi ε > 0,
đ¾t

1

εn
η

.x .
ε

.

Ta goi η là hàm trơn chuan. Hàm ηε là C ∞ và thóa mãn
¸
ηεdx = 1,
supp (ηε) ⊂ B (0, ε) .
Rn

Đ%nh nghĩa 1.3.3. Neu f : U → R là khá tích đ%a phương, ta đ%nh nghĩa
hàm
trơn hóa cúa nó là
f ε := ηε ∗ f trong Uε,


nghĩa là
f ε (x) =

¸
ηε (x − y) f (y) dy
U

¸

ηε (y) f (x − y) dy,

=
B(0,ε
)

vói x ∈
Uε.

Đ%nh lý 1.3.1. (M®t so tính chat cúa hàm trơn hóa).
(i) f ε ∈ C ∞ (Uε) .
(ii) f ε → f hau khap nơi khi ε → 0.
(iii) Neu f ∈ C (U ) , thì f ε → f đeu trên moi t¾p compact cúa U.
(iv)

Neu 1 ≤ p < ∞ và f ∈
L

1.4

p

lo
c

(U ) thì f ε → f trong
L

(U ) .
lo
c

p

Đ%nh lý giá tr% trung bình

Đ%nh lý 1.4.1. (Đ%nh lý giá tr% trung bình dang tích phân thú nhat.) Giá
sú, G : [a, b] → R là m®t hàm liên tnc và U là m®t hàm khá tích không
đoi dau trên khoáng (a, b), khi đó ton tai x ∈ (a, b) sao cho
¸

¸

b
b

ϕ (t) dt.

G (t) ϕ (t) dt = G (x)
a

a

Đ¾c bi¾t, neu ϕ (t) = 1, ∀t ∈ (a, b) , khi đó ton tai x ∈ (a, b) sao cho
¸

b
a

G (t) dt = G (x) (b − a)


Đang thúc này thưòng đưoc viet dưói dang.
G (x) =

1
b−

¸

b

G (t) dt.

a

a
Giá tr% G(x) đưoc goi là giá tr% trung bình cúa G(t) trên [a, b] .
Đ%nh lý 1.4.2. (Đ%nh lý giá tr% trung bình cho tích phân thú hai)
Neu G : [a, b] → R là m®t hàm dương, đơn đi¾u giám và ϕ : [a, b] →
R là m®t hàm khá tích, khi đó ton tai x ∈ (a, b] sao cho
¸

¸

b
x

ϕ (t) dt.

G (t) ϕ (t) dt = G (a + 0)
a

a

ó đây, G (a + 0) ký hi¾u cho lim G (x) , tù các đieu ki¾n đã cho có the
suy
ra giói han này ton tai.

x→a+


Chương 2
Phương trình elliptic véi h¾ so bien thiên
trong Rd
(Kien thúc trong chương này đưoc trích dan chú yeu tù tài li¾u [5].)

2.1 Toán tN elliptic
Trong mnc này chúng ta trình bày m®t so khái ni¾m cơ bán ve toán tú
elliptic vói h¾ so bien thiên.
Xét Rd là không gian Euclid d chieu, α là đa chí so α = (α1, ..., αd).
Đ%nh nghĩa 2.1.1. Cho m “ 1 là so nguyên và aα(x) là các hàm có giá
tr% phúc đo đưoc, x ∈ Rd vói đa chí so α, |α| ™ m. Toán tú
L = L(x, D) =

.
|α|™m

aα(x)Dα


đưoc goi là toán tú elliptic b¾c m tai điem x0 neu đong thòi ta có
.
|α|=m

α
|α| α
aα(x0)ξα ƒ= 0 vói ξ ∈ Rd−{0}, a (x0)i ξ ƒ= 0 vói ξ ∈
Rd .
.
|α|™m

Đa
thúc

p(x, ξ) =

.

aα(x)i|α|ξα

|α|™m

đưoc goi là đa thúc đ¾c trưng đoi vói L.
Toán
. tú

|α|=m

aα(x)Dα goi là phan chính cúa L.

Toán tú L đưoc goi là elliptic trong m®t mien neu nó là elliptic tai moi
điem
cúa mien.
Đ%nh nghĩa 2.1.2. Phương trình
L(x, D)u = f (x)) x ∈ Rd
đưoc goi là phương trình elliptic neu L là toán tú elliptic.
Vói toán tú elliptic L cap m, xét phương trình elliptic Lu = f . Như
chúng ta đã biet, neu f ∈ C m .Rd. khi đó se ton tai duy nhat m®t hàm u
∈ C m .Rd. thóa mãn phương trình. Còn neu vói L : Cm(Rd) → C(Rd),
m®t câu hói đ¾t ra là li¾u vói hàm f ∈ C(Rd) có the tìm đưoc nghi¾m
cúa phương trình trong Cm(Rd) hay không? Đây là m®t van đe ve tính
song ánh đoi vói L : Cm(Rd) → C(Rd), và cũng là m®t bài toán thú v%
trong trưòng hop L không phái là song ánh trong không gian C m .Rd..
Th¾m chí ngay cá đoi vói toán tú Laplace và phương trình (∆ − 1) u =
f , khi f ∈ C .Rd. thì cũng chưa chac đat đưoc nghi¾m u ∈ C 2 .Rd.. Đe


đat đưoc tính song ánh, chúng ta can xét không gian Ho¨lder C m+δ .Rd .,
và trong nhung không gian đó ta có the xét tính giái đưoc cúa phương
trình vói h¾ so bien thiên.


2.2 Không gian Ho¨ lder
Giá sú Ω là m®t mien trong Rd. Nhac lai rang, vói k = 1, 2, ... ta kí
hi¾u

Ck

loc

α

(Ω) là t¾p tat cá các hàm so u = u(x) mà đao hàm Du vói |α| ≤ k là

liên
tnc trong Ω. Đ¾t
|u|0;Ω = [u]0;Ω = sup |u| , [u]k;Ω = max |αu|0;Ω .
D

(2.1)

|α|=k

Ω

Đ%nh nghĩa 2.2.1. Cho k = 0, 1, 2, ..., không gian C k (Ω) là không
gian
Banach cúa các hàm u ∈
Ck

lo
c

(Ω) vói chuan

k

|u|k;Ω =

.

[u]j;Ω

(2.2)

j=0

là huu han. Neu 0 < δ < 1, ta nói rang hàm u liên tnc Ho¨lder vói so mũ
δ
trong Ω neu núa chuan
[u]δ;Ω = sup
(y )|
x,y∈Ω
xƒ=y

|u (x) − u .
|x − y|

(2.3)

δ

là huu han. Núa chuan này đưoc goi là hang so Ho¨lder b¾c δ cúa u. Khi
δ = 1, neu ve phái cúa (2.3) là huu han, hàm u đưoc goi là liên tnc
Lipschitz trong Ω. Ký hi¾u
[u]k+δ;Ω = maxα
[D

|α|=k


u]δ;Ω .

(2.4)

Đ%nh nghĩa 2.2.2. Cho 0 < δ < 1 và k = 0, 1, 2... không gian
Ho¨lder
Ck+δ (Ω) là không gian Banach cúa tat cá các hàm u ∈ C k (Ω) vói chuan
|u|k+δ;Ω = |u|k;Ω + [u]k+δ;Ω

(2.5)


là huu han.
Đe đơn gián, ta có the bó qua chí so dưói Ω neu Ω ≡ Rd.
Chú ý 2.2.1. Chúng ta se chí ra rang Ck+δ (Ω) là không gian Banach.
Chúng ta chí can kiem tra tính đay đú cúa Ck+δ (Ω). Lay m®t dãy
Cauchy
{un} trong Ck+δ (Ω). Nhung hàm so này là liên tnc đong b¾c và b%
ch¾n đong b¾c trong t¾p con compact cúa Ω. Do v¾y, ton tai m®t dãy
con {uns} h®i tn đeu đen m®t hàm so u trong t¾p con compact cúa Ω.
Rõ ràng u là liên tnc và b% ch¾n trong Ω. L¾p lu¾n tương tn đoi vói các
đao hàm đen cap k cúa un. Khi đó, qua tính toán ta suy ra u có đao hàm
cap k liên tnc và b% ch¾n trong Ω. Tiep theo, vói đa chí so bat kì α vói |
α| = k và x, y ∈ Ω ta có
|[Dαu (x) − Dαu (y)] − [Dαun (x) − Dαun (y)]|
≤ limsup |[Dαum (x) − Dαum (y)] − [Dαun (x) − Dαun

(y)]|
m→∞

δ

≤ |x − y| limsup [Dαum −
Dαun]

δ;Ω .

m→∞

Bang cách tương tn ta có the xét Dαu (x) − Dαun (x) , |α| ≤ k. Suy ra
|u − un|k+δ;Ω ™ limsup |um − un|k+δ;Ω .
m→∞

Vì bieu thúc cuoi cùng tien đen 0 khi n → ∞ nên ta ket lu¾n rang dãy
Cauchy
un h®i tn theo chuan cúa Ck+δ (Ω) đen u.


Đe ý rang không gian C r (Ω) đưoc xác đ%nh vói moi so thnc r ≥ 0,
nhưng vói so nguyên r ≥ 1, nó không là không gian cúa các hàm so có các
đao hàm cap (r − 1) liên tnc Lipschitz .
Ta cũng se sú dnng kí hi¾u tương tn cho mien đóng Ω¯ . Đieu này se
cho thay rang neu u ∈ C δ (Ω), thì u là liên tnc đeu trong Ω, và do đó tiêu
chuan Cauchy de dàng suy ra rang u có the đưoc thác trien duy nhat tói
∂Ω đe đat

đưoc m®t hàm liên tnc u trong Ω¯ . Tù đó ta có the nói ve giá tr% trên ∂Ω
cúa m®t hàm u ∈ C δ (Ω) và cho phép ta viet C δ (Ω) = C δ .Ω¯ ..
Tù bat đang thúc cơ bán
|u (x) v (x) − u (y) v (y)| ≤ |u (x)| . |v (x) − v (y)| + |v (y)| . |u
(x) − u (y)|
và (2.1), (2.3) ta có
[uv]δ;Ω ≤ |u|0,Ω . [v]δ;Ω + |v|0;Ω . [u]δ;Ω

(2.6)

vói u, v ∈ C δ (Ω).
Bo đe 2.2.1. Giá sú u ∈ C k (Br) , |α| = k. Khi đó ton tai y ∈ Br sao cho
k

α

|D u (y)| ≤
(2k)
Chúng minh. Ta lay h =

r

r

(2.7)

k

r
k

δα

hu

ó
đây

|u| 0;B .

và xét toán tú sai phân huu han
α1

α2

αd

(x) = δh,1.δh,2...δh,du (x) ,

(2.8)

δh,ju (x) 1
[u (x + hej ) − u (x)] ,
=
h

ej là vector toa đ® thú j trong Rd. Theo Đ%nh lí giá tr% trung bình ta có
δh,ju (x) = uxj (y), ó đây |x − y| ≤ h. Do v¾y,
δh,iδh,ju (x) = (δh,ju)xi (y1) = δh,j (uxi ) (y1) = uxjxj (y2)
vói |x − y2| ≤ 2h. Tong quát, hδαu (0) = Dαu (y) vói y ∈ Br và theo

(2.7)
suy ra tù ưóc lưong cơ bán |δh,ju (x)|
≤

đưoc chúng minh.