Tính nửa liên tục dưới của hàm lồi và ứng dụng

LèI CÃM ƠN

Lu¾n văn đưoc hoàn thành tai Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2
dưói sn hưóng dan cúa PGS.TS. Nguyen Năng Tâm. Tác giá xin đưoc bày
tó lòng biet ơn chân thành, sâu sac tói PGS.TS. Nguyen Năng Tâm, ngưòi
đã luôn quan tâm, đ®ng viên và nhi¾t tình hưóng dan tác giá trong quá
trình thnc hi¾n lu¾n văn.
Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói các thay cô giáo trong và
ngoài nhà trưòng, các thay cô giáo giáng day chuyên ngành toán Giái tích
đã giúp đõ tác giá trong suot quá trình hoc t¾p và hoàn thành lu¾n văn.
Cuoi cùng, tác giá xin đưoc cám ơn tói gia đình, ban bè và đong nghi¾p
đã đ®ng viên và tao moi đieu ki¾n thu¾n loi đe tác giá hoàn thành lu¾n văn
này.

Hà N®i, ngày 30 tháng 9 năm 2010
Tác giá

Nguyen Túc Vinh


LèI CAM ĐOAN

Tác giá xin cam đoan lu¾n văn là công trình nghiên cúu riêng cúa tác
giá dưói sn hưóng dan cúa PGS.TS. Nguyen Năng Tâm.
Trong khi nghiên cúu lu¾n văn, tác giá đã ke thùa thành quá khoa hoc
cúa các nhà khoa hoc và đong nghi¾p vói sn trân trong và biet ơn.

Hà N®i, ngày 30 tháng 9 năm 2010
Tác giá

Nguyen Túc Vinh

BÃNG KÍ HIfiU

R

đưòng thang thnc

Rn

không gian Euclid n - chieu

R = R ∪ {−∞, +∞} t¾p so thnc suy r®ng
f :D→R

ánh xa đi tù D vào R

E∗

không gian liên hop cúa E

B (x, r)

hình cau đóng tâm x, bán kính r

dist(x, F)

khoáng cách giua x và F

l

l

p

∞

∞

p

không gian các dãy {xi} : ∑ |xi| < ∞
i=1

không gian các dãy b% ch¾n

sgn xn

dau cúa xn

int Ω

phan trong cúa Ω

diam An

đưòng kính cúa An

dom f

mien huu hi¾u cúa f

epi f
f t(x)

trên đo th% cúa f
đao hàm cúa f tai x

f t(x; v)

đao hàm theo hưóng v cúa f tai x

∂ f (x)

dưói vi phân cúa f tai x

F :X ⇒Y

ánh xa đa tr% tù X vào Y

"."

chuan trong không gian Banach

(x∗, x)

giá tr% cúa x∗ tai x


Mnc lnc

Mé đau

1

Chương 1. Hàm loi trên không gian Banach

3

1.1. T¾p loi và các tính chat cơ bán . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Hàm loi và các tính chat . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.1.

Hàm loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.2.

Các phép toán ve hàm loi.................................................12

1.2.3.

Tính liên tnc cúa hàm loi..................................................13

1.2.4.

Tính khá vi cúa hàm loi....................................................16

Chương 2. Tính nNa liên tnc dưéi cúa hàm loi

5

35

2.1. Tính núa liên tnc dưói...................................................................35
2.2. Úng dnng.........................................................................................41
Ket lu¾n

56

Tài li¾u tham kháo............................................................................. 57


Me ĐAU

1. Lí do chon đe tài
Giái tích loi là m®t phân môn quan trong cúa Giái tích toán hoc, nghiên
cúu ve t¾p loi và hàm loi cùng vói nhung van đe liên quan. Giái tích loi
có vai trò quan trong trong nhieu lĩnh vnc khác nhau cúa toán hoc úng
dnng, đ¾c bi¾t trong toi ưu hóa, bat đang thúc bien phân, bài toán cân
bang.
Hàm loi và t¾p loi đã đưoc nghiên cúu tù lâu, khói đau tù nhung công
trình cúa các nhà toán hoc như Holder, Jensen, Mazur, Minkowski. Đ¾c
bi¾t, các ket quá nghiên cúu cúa Fréchet, Rockafellar, Gâteaux vào các
th¾p niên 60, 70 cúa the ký trưóc đã đưa giái tích loi tró thành m®t
trong nhung lĩnh vnc phát trien manh me cúa toán hoc. Trong nhieu úng

dnng cúa hàm loi, se thích hop hơn khi ta xem xét hàm loi núa liên tnc
dưói. Tính núa liên tnc dưói cúa hàm loi đám báo cho sn ton tai nghi¾m
cúa nhieu bài toán trong giái tích loi và trong toi ưu hóa. Ví dn như trong
nhieu bài toán toi ưu, hàm tìm đưoc thóa mãn bài toán có dang c¾n trên
đúng cúa m®t ho vô han nhung hàm affine liên tnc. Nhung hàm loi núa
liên tnc dưói cũng cho nhung ket quá bien đoi m®t cách tn nhiên ve
nhung t¾p loi đóng trong nhung ket quá cúa hàm loi và ngưoc lai.
Vói mong muon đưoc tìm hieu m®t cách có h¾ thong và sâu sac
hơn ve các tính chat cũng như m®t so úng dnng cúa giái tích loi nói
chung và hàm loi núa liên tnc dưói nói riêng nên tôi đã chon nghiên
cúu đe tài :
“Tính nNa liên tnc dưéi cúa hàm loi và Nng dnng”


2

2. Mnc đích nghiên cNu
- Nghiên cúu các tính chat cúa hàm loi núa liên tnc dưói.
- M®t so bài toán úng dnng cúa hàm loi núa liên tnc dưói.
3. Nhi¾m vn nghiên cNu
Trình bày m®t cách có h¾ thong các tính chat cúa hàm loi núa liên tnc
dưói và m®t so bài toán úng dnng.
4. Đoi tưeng và pham vi nghiên cNu
- M®t so tính chat cúa hàm loi trong không gian Banach.
- Tính núa liên tnc dưói cúa hàm loi.
- M®t so bài toán úng dnng.
5. Phương pháp nghiên cNu
- Nghiên cúu lý lu¾n, tài li¾u chuyên kháo .
- Tong hop kien thúc, v¾n dnng cho mnc đích nghiên cúu đe tài.
6. NhÑng đóng góp méi cúa đe tài

Đe tài nham làm rõ hơn nhung tính chat cúa hàm loi núa liên tnc dưói
và úng dnng trong m®t so bài toán cn the.


Chương 1
Hàm loi trên không gian Banach
Trong chương này chúng ta se trình bày nhung khái ni¾m cơ bán nhat
cúa t¾p loi trong không gian Banach và hàm loi trên không gian Banach
cùng vói nhung tính chat đ¾c trưng cúa nó. Neu không có giá thiet gì
thêm, trong suot lu¾n văn này, các không gian Banach luôn đưoc hieu là
không gian Banach thnc và đưoc kí hi¾u là E. Chuan trong các không gian
Banach luôn đưoc kí hi¾u bói ".". Không gian Banach các phiem hàm
tuyen tính liên tnc trên E đưoc kí hi¾u là E ∗ . Vói x∗ ∈ E ∗ và x ∈ E, giá tr
% cúa x∗ tai x se đưoc kí hi¾u là (x∗, x) (xem [1], [2]). N®i dung trình
bày trong chương này chú yeu tù [2], [3], [5] và [6].

1.1. T¾p loi và các tính chat cơ bán
Đ%nh nghĩa 1.1. T¾p D ⊂ E đưoc goi là loi neu vói moi x, y ∈ D và moi λ
∈R
sao cho 0 ≤ λ ≤ 1 thì λx + (1 −λ )y ∈ D.
Đ%nh lý 1.1. Giao cúa m®t ho tùy ý các t¾p loi trong E là m®t t¾p loi
trong E.
Chúng minh. Giá sú Di ⊂ E (i ∈ I) là các t¾p loi vói I là t¾p chí so bat kì,
ta can chúng minh t¾p D = ∩ Di là loi.
∈

i I

Lay tùy ý x1, x2 ∈ D. Khi đó x1, x2 ∈ Di, vói moi i ∈ I. Do Di là loi cho
nên

λ x1 + (1 − λ )x2 ∈ Di vói moi λ ∈ [0, 1], do đó λ x1 + (1 − λ )x2 ∈ D. Vì
v¾y


9

D là t¾p loi.
Đ%nh nghĩa 1.2. Cho A, B là hai t¾p hop tuỳ ý trong E và α ∈ R. Ký hi¾u
A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B} ,
αA = {αa : a ∈ A} .
Đ%nh lý 1.2. Giá sú Di loi, Di ⊂ E, λi ∈ R (i = 1, 2,..., m). Khi đó
λ1D1 + λ2D2 + ... + λmDm là loi.
Đ%nh nghĩa 1.3. Véctơ x ∈ E đưoc goi là to hop loi cúa các véctơ x1 , ..., xm
∈E
neu ton tai λi ≥ 0, (i = 1, 2,...,
m),

m

∑ λi = 1, sao cho x
=

m

∑ λ ix i .

i=1

i=1

Đ%nh lý 1.3. M®t t¾p trong E là loi khi và chí khi nó chúa tat cá các to hop
loi cúa các phan tú cúa nó. T¾p D loi trong E khi và chí khi:
m

D = {x =

m

∑ λixi : xi ∈ D,i=1∑ λi = 1, λi ≥ 0, i = 1, m, ∀m ∈ N}.

i=1

Chúng minh. ⇐) Lay m = 2, D là t¾p loi theo đ%nh nghĩa.
⇒) Giá sú D là t¾p loi. Lay tùy ý x1, x2, ..., xm ∈ D, λ1 , ..., λm

m

∑ λi = 1
,

i=1

≥ 0 và
m

x = ∑ λixi. Ta chúng minh x ∈ D bang quy nap theo m.
i=1

Vói m = 1 : x1 ∈ D, λ1 = 1, khi đó x = x1 ∈ D.
Vói m = 2 : x1, x2 ∈ D, λ1 + λ2 = 1 mà D loi suy ra x = λ1x1 + λ2x2 ∈
D. Giá sú x ∈ D đúng vói m− 1 , ta có
m

m

∑ λixi ∈ D, ∀xi ∈ ∑ λi = 1, λi ≥ 0.
D,

i=1

i=1

Xét x
=

m

m−1

i=1

i=
1

∑ λ ix i
=

∑ λixi + λmxm. Ta thay: Neu λm = 0 thì x ∈ D theo

giá

thiet quy nap. Neu λm = 1 thì λ1 = ... = λm−1 = 0 khi đó x = xm ∈ D.


Neu 0 < λ < 1, ta có
1 − λm = λ1 + ... + λm−1 > 0,
λi

0 (i = 1, ...,
m−

1 − λm

1).

≥
Vì

m−1

λi

i=1

1

∑

theo giá thiet quy

nap

= 1,

− λm
m−1

y=

∑ xi ∈ D.

i=1

Tù đó vói y ∈ D, xm ∈ D, 1 − λm > 0 và (1 − λm ) + λm = 1,
suy ra x = (1 − λm )y + λmxm ∈ D (do D là t¾p loi).
Ví dn 1.1. Các t¾p loi trong R:
0/ , {x} , (a, b), (a, b] , [a, b) , [a, b] , R.
Đ%nh lý 1.4. (Đ%nh lý Hahn-Banach, Đ%nh lý tách (xem [1], [2])) Cho A và B
là hai t¾p loi trong không gian Banach E, có tính chat A ∩ B

và intA ƒ=

= 0/

0/ .

Khi đó A và B có the tách đưoc bang m®t phiem hàm tuyen tính khác 0, túc
∃x∗ ∈ E∗ \ {0}, ∀x ∈ A, ∀y ∈ B : (x∗, x) “ (x∗, y).

1.2. Hàm loi và các tính chat

1.2.1.

Hàm loi

Đ%nh nghĩa 1.4. Cho hàm f : D → R, trong đó D ⊂ E, R = R ∪ {−∞,
+∞}, các t¾p


1
1

dom f = {x ∈ D : f (x) < +∞} ,
epi f = {(x, α) ∈ D× R : f (x) ≤ α}, α ∈ R ,
đưoc goi lan lưot là mien huu hi¾u và trên đo th% cúa hàm f .
Đ%nh nghĩa 1.5. Hàm f : D → R đưoc goi là loi neu trên đo th% cúa nó là
m®t
t¾p loi trong D × R. Neu dom f

và −∞ < f (x) vói moi x ∈ D ta nói

ƒ= 0/

hàm

f là chính thưòng.
Ví dn 1.2. Hàm

f : R → R, f (x) = x2,

là m®t hàm loi. Ta có

epi f = ,(x, α) ∈ R × R : f (x) = x2 ≤ α , ,
là t¾p loi trong R × R.
Th¾t v¾y, lay hai điem bat kỳ (x1, α1) ∈ epi f , (x2, α2) ∈ epi f , nghĩa
là
x2

2

1 ™ α1 , x2 ™ α2 .

Ta can chúng minh λ (x1, α1) + (1 −λ ) (x2, α2) ∈ epi f , 0 ≤ λ ≤ 1.
Đieu này tương đương vói
(λ x1 + (1 −λ )x2, λ α1 + (1 −λ )α2) ∈ epi f
2

⇔ λ α1 + (1 −λ )α2 ≥ (λ x1 + (1 −λ )x2)
⇔ λ α1 + (1 −λ )α2 ≥ λ 2x2 + (1 −λ )2x2 + 2λ (1 −λ )x1x2.
1

2

Vì λ α1 + (1 −λ )α2 ≥ λ x2 + (1 −λ )x2,
1

2


và
λ x2 + (1 −λ )x2 ≥ λ 2x2 + (1 −λ )2x2 + 2λ (1 −λ )x1x2
1

2

1

2

2

⇔ (λ −λ 2)x2 + 1 −λ ) − (1 −λ ) . x2 − 2λ (1 −λ )x1x2 ≥ 0
.

1
2

(

2

⇔ λ (1 −λ )x + λ (1 −λ )x2 − 2λ (1 −λ )x1x2 ≥ 0
1

2

2

⇔ λ (1 −λ )(x1 − x2 ) ≥ 0,
ta suy ra epi f là t¾p loi và ta có f là hàm loi.
Ví dn 1.3. Hàm

g : R → R, g(x) = x3 ,

không là hàm loi. Ta
có

epig = ,(x, α) ∈ R × R : g(x) = x3 ≤ α , ,
không loi trong R × R.
Th¾t v¾y, ta có the lay hai điem bat kỳ, chang han ta lay (0, 0) ∈ epi g,
1
(−1, −1) ∈ epi g, lay λ = khi đó
2
1
1
λ (0, 0) + (1 −λ )(−2, −2) =
,

2

(0, 0) +

2

(−2, −2) = (−1, −1)

không thu®c epi g. V¾y epig không loi và ta có g không loi .
Ví dn 1.4. Cho hàm chí cúa t¾p D kí hi¾u là δ (.|D) xác đ%nh bói

0
khi x ∈ D
δ (x|D) := 

+∞ khi x ∈/ D.
Neu D ⊂ E là t¾p loi, thì δ (.|D) là hàm loi.
Th¾t v¾y, neu x ∈ D thì epiδ (.|D) = {(x, α) : 0 ™ α} .
Neu x ∈/ D thì epi δ (.|D) = 0/ . Như v¾y epi δ (.|D) loi và ta có δ (.|
D) là hàm loi.


Đ%nh lý 1.5. Giá sú D là t¾p loi trong E, hàm f : D → (−∞, +∞]. Khi đó, f
loi trên D khi và chí khi
f (λ x + (1 −λ )y) ≤ λ f (x) + (1 −λ ) f (y),

(1.1)

∀λ ∈ [0, 1], ∀x, y ∈ D.
Chúng minh. ⇒) Giá sú f là hàm loi, ta có the xem như λ ∈ (0, 1) vì vói
λ ∈ {0, 1} thì (1.1) hien nhiên đúng.
Lay r = f (x), s = f (y). Không the xáy ra trưòng hop f (x) < +∞, f (y) <
+∞
mà f (λ x + (1 −λ )y) = +∞ bói vì dom f loi, vói x, y ∈ dom f thì
[x, y] ∈ dom f . Do λ ∈ (0, 1) nên f (x) = +∞, suy ra λ f (x) = +∞. Neu x
ho¾c
y không thu®c dom f thì f (x) = +∞ ho¾c f (y) = +∞ và (1.1) đúng.
Vì epi f loi, vói moi (x, r) ∈ epi f , (y, s) ∈ epi f và λ ∈ (0, 1) ta có
λ (x, r) + (1 −λ )(y, s) = (λ x + (1 −λ )y, λr + (1 −λ )s) ∈ epi f ,
suy ra

f (λ x + (1 −λ )y) ≤ λr + (1 −λ )s.

V¾y

f (λ x + (1 −λ )y) ≤ λ f (x) + (1 −λ )
f (y).

⇐) Giá sú (1.1) đúng. Lay tùy ý (x, r) ∈ epi f , (y, s) ∈ epi f và λ ∈ [0, 1].
Ta phái chúng minh
λ (x, r) + (1 −λ )(y, s) ∈ epi f .
Vì (x, r) ∈ epi f , (y, s) ∈ epi f nên f (x) ≤ r, f (y) ≤ s. Tù đó suy ra
f (λ x + (1 −λ )y) ≤ λ f (x) + (1 −λ ) f (y) ≤ λr + (1 −λ )s,


hay

(λ x + (1 −λ )y, λr + (1 −λ )s) ∈
epi f .

V¾
y

λ (x, r) + (1 −λ )(y, s) ∈ epi f .

Đ%nh lý 1.6. Giá sú f : E → (−∞, +∞]. Khi đó f là m®t hàm loi khi và chí
k

khi vói moi λi ≥ 0(i = 1, ..., k), ∑ λi = 1, moi x1, ..., xk ∈ R ta có
i=1

f (λ1x1 + ... + λkxk) ≤ λ1 f (x1) + ... + λk f (xk).

(1.2)

Chúng minh. Không giám tong quát, giá sú λi ≥ 0 (i = 1, ..., k). Ta có,
neu
xi ∈/ dom f thì f (xi ) = +∞, λi f (xi ) = +∞. Khi đó (1.2) hien nhiên
đúng. Do dom f loi nên neu f (xi) < +∞, i = 1, ..., k thì
k
.
. < +∞
k
f ∑ λixi vì
∑ λixi ∈ dom f .
i=1

i=1

Neu xi ∈ dom f , do epi f loi và (xi, f (xi)) ∈ epi f , i = 1, ..., k nên
theo
Đ%nh lý (1.3) ta có
(λ1x1 + ... + λkxk, λ1 f (x1) + ... + λk f (xk)) ∈ epi f .
Tù đó suy ra f (λ1x1 + ... + λkxk) ≤ λ1 f (x1) + ... + λk f (xk).
M¾nh đe 1.1. Giá sú f : E → R. Khi đó, f là hàm loi khi và chí khi
f (λ x + (1 −λ )y) < λr + (1 −λ )s,
∀λ ∈ (0, 1), ∀x, y : f (x) < r , f (y) < s.
Đ%nh nghĩa 1.6. M®t hàm f xác đ%nh trên E đưoc goi là thuan nhat
dương neu f (λ x) = λ f (x) vói moi x ∈ E, moi λ > 0.


15

Đ%nh lý 1.7. Hàm thuan nhat dương f : E → (−∞, +∞] là loi khi và chí khi
f (x + y) ≤ f (x) + f (y), ∀x, y ∈ E.

(1.3)

Chúng minh. ⇒) Giá sú hàm thuan nhat dương f là loi. Lay x, y ∈
1
1
E f (x + y) = 22 f ( x) +
f
(
y)
2
.
.
2
f
(x)
+
f
= f (x) + f (y).
≤ 1 (y) 1
2
2
⇐) Giá sú (1.3) đúng. Lay (xi, ri) ∈ epi f (i = 1, 2). Vì
f (x1 + x2) ≤ f (x1) + f (x2) ≤ r1 + r2,
ta
có

(x1 + x2 , r1 + r2 ) ∈ epi f .

Vì f là hàm thuan nhat dương nên, neu (x, r) ∈ epi f thì f (x) ≤ r và

λ f (x) = f (λ x) ≤ λr (0 < λ < ∞),
suy ra λ (x, r) ∈ epi f . V¾y epi f đóng đoi vói phép c®ng và phép nhân
vô hưóng, hay
λ (x1, r1) + (1 −λ )(x2, r2) ∈ epi f ,
vói moi λ ∈ [0,
1].
V¾y epi f là loi và ta có f là hàm loi.
Đ%nh lý 1.8. M®t hàm thnc m®t bien f : (a, b) → R khá vi trong m®t
khoáng mó (a, b) ⊂ R loi khi và chí khi đao hàm f t(x) là hàm tăng.
Chúng minh. ⇒) Lay x < y < z vói x, y, z ∈ (a, b). Vì hàm f loi và
y=

z−y
y−x
x+
z,
z−x
z−x


nên

z−
y
f (y) ≤

Do đó ta có

y−x
f (x)

+

−x

z−x

f (z).

z

y−x
f (y) − f (x) ≤
[ f (z)− f (x)] ,
−
z x
z−y
[ f (z) f (x)] .
−
f (z) − f (y) ≥ −x
V¾
y

z
f (y) − f (x) f (z) − f (x)
≤
y−x
z−x
≤

f (z) − f

(y)
.
z−y

Cho y → x+ roi cho y → z− ta có
f (z) − f (x)
t
f (x)
≤ f t(z),
−
z x
≤
suy ra f t
tăng.
⇐) Vì f t tăng nên vói moi [x, y] ⊂ [a, b] và moi λ ∈ (0, 1) ta có
0≤λ

¸ y.
x

.

.
f t(x) − f t (λ x) dx
f (x + λ (y −
x))

f (x)

.

= λ f (y) − f (x) −

+
λ
λ
= λ [ f (y) − f (x)] − f (x + λ (y − x)) + f (x).
Do đó

hay

f (x + λ (y − x)) ≤ f (x) + λ [ f (y) − f (x)] ,

f ((1 −λ )x + λ y) ≤ (1 −λ ) f (x) + λ f (y),

suy ra f loi.


Đ%nh lý 1.9. M®t hàm f : D → R hai lan khá vi trong m®t t¾p loi mó D ⊂
Rn
loi neu tai moi x ∈ D ma tr¾n Hessian
Q(x) = (qij(x)) vói
∂x

2
qij(x) = ∂ f
(x1, ..., xn)
∂x
i

j


núa xác đ%nh dương: Q(x) Ç 0, túc là (v, Q(x)v) ≥ 0 vói moi v ∈ Rn.
1.2.2.

Các phép toán ve hàm loi

Đ%nh lý 1.10. Cho f : E → (−∞, +∞] là m®t hàm loi và g : R → (−∞,
+∞]
là m®t hàm loi không giám. Khi đó h(x) = g( f (x)) cũng loi.
Chúng minh. Vói moi x1, x2 ∈ E, λ ∈ (0, 1), do f loi và g loi, không giám:
h((1 −λ )x1 + λ x2 ) = g( f ((1 −λ )x1 + λ x2 ))
≤ g((1 −λ ) f (x1) + λ f (x2))
≤ (1 −λ )g( f (x1)) + λ g( f (x2))
≤ (1 −λ )h(x1) + λ h(x2).
Tù đó suy ra h loi.
Đ%nh lý 1.11. Cho fi (i = 1, ..., k) là hàm loi, chính thưòng trên E khi đó
f1 + f2 + ... + fk là m®t hàm loi trên E.
Ví dn 1.5. Cho A, B ⊂ E, ta đ%nh nghĩa

0
x∈A
f (x) = 
 +∞ x ∈/ A,

0
x∈B
g(x) = 
 +∞ x ∈/ B.

Ta có f và g là các hàm loi, chính thưòng.
Hàm f + g loi không chính thưòng neu A ∩ B = 0/ .
Th¾t v¾y, f + g loi theo Đ%nh lý (1.5) , ta chúng minh f + g không
chính thưòng. Ta có:


Neu x ∈ A thì x ∈/ B khi đó g(x) = +∞ nên
( f + g)(x) = f (x) + g(x) = +∞,
suy ra x ∈/ dom ( f + g).
Neu x ∈ B thì x ∈/ A khi đó f (x) = +∞ nên
( f + g)(x) = f (x) + g(x) = +∞,
suy ra x ∈/ dom ( f + g).
V¾y dom ( f + g) = 0/ , do đó f + g loi không chính thưòng.
1.2.3.

Tính liên tnc cúa hàm loi

Đ%nh nghĩa 1.7. Cho E là không gian Banach.
1) Ta nói rang f là hàm Lipschitz trên t¾p D ⊂ E, neu ton tai so k sao cho
.
.
. f (x) − f (xt). ≤ k x − xt , ∀x, xt ∈ D.
2) Hàm f đưoc goi là Lipschitz đ%a phương tai x ∈ E, neu ton tai so ε > 0
sao cho f là Lipschitz trên B(x, ε) ∩ D.
3) Hàm f đưoc goi là Lipschitz đ%a phương trên D, neu nó Lipschitz đ%a
phương tai moi điem cúa D.
M¾nh đe 1.2. M®t hàm loi chính thưòng f trên E là liên tnc tai moi điem
trong cúa mien huu hi¾u cúa nó.
Đ%nh lý 1.12. Cho m®t hàm loi chính thưòng f trên E. Ta có các khang đ
%nh sau là tương đương:

i) f là liên tnc tai điem x0 ∈ E,
ii) f là b% ch¾n trên tai lân c¾n cúa x0 ∈ E,


iii)int(epi f ) ƒ= 0/ ,
iv)int(dom f ) ƒ= 0/ và f là Lipschitz trên moi t¾p b% ch¾n chúa trong
int(dom f ),
v) int(dom f )

và f là liên tnc trên int(dom f ).

ƒ= 0/
O đây int(epi f ) = {(x, α) ∈ E × R : x ∈ int(dom f ), f (x) < α}.
Chúng minh. [(i) ⇒ (ii)] Neu f là liên tnc tai m®t điem x0 thì ton tai m®t
lân c¾n U cúa x0 thóa mãn f (x) < f (x0) + 1 vói moi x ∈ U .
[(ii) ⇒ (iii)] Tù giá thiet suy ra ton tai lân c¾n U cúa x0 và c > 0 sao cho
f (x) ≤ c, vói moi x ∈ U . Đ¾t
V = {(x, α) ∈ E × R : x ∈ U, α > c} ,
ta có V ⊂ epi f và V là t¾p mó, nên ta suy ra int(epi f ) ƒ= 0/ .
[(iii) ⇒ (iv)] Neu int(epi f )

thì ton tai m®t t¾p mó U và m®t khoáng mó

ƒ= 0/
I ⊂ R thóa mãn U × I ⊂ epi f , do đó U ⊂ dom f , túc là int(dom f ) ƒ= 0/
. Xét t¾p compact bat kì K ⊂ int(dom f ) và lay B là hình cau đơn v% trong
E. Vói
moi r > 0, t¾p K + rB là compact, và ho nhung t¾p đóng
{(K + rB) \ int(dom f ) r >
0}

có giao là rong. Trong bieu dien cúa tính compact cúa K + rB m®t ho
con huu han cúa nhung ho này phái có giao bang rong, do đó vói r > 0 ta
phái có (K + rB)\int(dom f ) = 0/ , nghĩa là (K + rB) ⊂ int(dom f ). Tù
M¾nh đe (1.2), hàm f là liên tnc trên int(dom f ). Kí hi¾u µ1 và µ2 là cnc
đai và cnc tieu cúa f trên K + rB. Lay x, xt là hai điem phân bi¾t trong K
và lay
z=x+
Khi đó

r(x − xt )
"x − xt "

.


z∈C
+ εB
⊂
int(do
m f ).


"x − x "
Vì x = (1 α)xt + αz, α =
t
−
r + "x

và z, xt ∈ dom f nên

− xt "
f (x) ≤ (1 − α) f (xt) + α f (z) = f (xt) + α( f (z) − f (xt)),
và
f (x) − f (xt) ≤ α( f (z) − f (xt)) ≤ α(µ1 − µ2)
µ1 − µ2
≤ k x − xt , k =

.
r
Bói tính đoi xúng, ta cũng có f (xt) − f (x) ≤ k"x − xt ". Do v¾y, vói moi x,
xt
thóa mãn x ∈ K, xt ∈ K
| f (x) − f (xt)| ≤ k x − xt ,
đieu này chúng minh cho tính Lipschitz cúa f trên K.
(iv) ⇒ (v) và (v) ⇒ (i) : Hien nhiên.
Ví dn 1.6. Hàm chuan f (x) = "x" là m®t hàm loi. Tong quát hơn, neu D
là t¾p con loi khác rong cúa E thì hàm khoáng cách:
dK (x) = inf {"x − y" : y ∈ K}, x ∈ E,
là liên tnc và loi trên D = E. (Chú ý dK (x) = "x" neu K = {0} ).
Ví dn 1.7. C¾n trên đúng cúa m®t ho các hàm loi là m®t hàm loi trên
m®t t¾p ó đó nó huu han. Nói riêng ra, neu A không rong và b% ch¾n thì
hàm khoáng cách lón nhat :
x → sup {"x − y" : y ∈ A} , A ⊂ E
là liên tnc và loi trên D = E.
Ví dn 1.8. Hàm f (x) = −∞, vói moi x ∈ R là hàm loi, nhưng không liên
tnc trên R.


1.2.4.

Tính khá vi cúa hàm loi

Đ%nh nghĩa 1.8. Cho E là m®t không gian Banach, D là m®t t¾p con loi
mó khác rong trong E và f là m®t hàm loi trên D, nghĩa là
f : D → R,
thóa
mãn

f [tx + (1 − t)y] ≤ t f (x) + (1 −t) f (y),

vói moi x, y ∈ D và 0 < t < 1.
Neu đang thúc trên xáy ra vói moi t ∈ R thì ta goi f là hàm affine.
Chúng ta se chí nghiên cúu tính khá vi cúa các hàm loi trên các t¾p mó D
vói giá thiet chúng là các hàm liên tnc.
Các bo đe sau đây là nen táng cho vi¾c nghiên cúu tính khá vi cúa các
hàm loi.
Bo đe 1.1. Neu x0 ∈ D, thì vói moi x ∈ E đao hàm theo hưóng bên phái
f (x0 + tx) − f (x0)
d+ f (x0) = lim
,
+
t
t→0
ton tai và xác đ%nh m®t phiem hàm dưói tuyen tính trên E.
Chúng minh. Lưu ý rang vói D là t¾p mó, f (x0 + tx) đã đưoc đ%nh nghĩa
vói t đú nhó thóa mãn t > 0. Đe cho ti¾n, chúng ta có the giá thiet rang x0
= 0 và f (x0) = 0. Neu 0 < t < δ , thì do tính loi cúa f ta có:
t
(δ − t )
t

f (0) = f (δ x).
f (tx) ≤ f (δ x)
δ
δ
δ
+
Thay −x vào x , ta thay rang
f (x0 −tx) − f (x0)
−

t

,


24

là không giám khi t → 0+. Hơn nua, cũng do tính loi, vói t > 0
2 f (x0) ≤ f (x0 − 2tx) + f (x0 + 2tx),
suy ra

− [ f (x0 − 2tx) − f
(x0)]

[ f (x0 + 2tx) − f (x0)]
.
2t

2t
≤

Bat đang thúc trên chúng tó bên phái b% ch¾n dưói và bên trái b% ch¾n
trên. Như v¾y, cá hai giói han ton tai, giói han bên trái là −d+ f (x0)(−x)
và chúng ta hien nhiên có
−d+ f (x0)(−x) ≤ d+ f (x0)(x).
Rõ ràng d+ f (x) thuan nhat dương . Đe thay tính c®ng tính dưói, sú dnng
tính loi m®t lan nua đe chúng tó vói t > 0,
[ f (x + t (u + v)) − f
(x)]
t

f (x + 2t u) − f (x) f (x + 2t v) − f (,x)
2t
+
2t

≤
và lay giói han khi t → 0+.
Đ%nh nghĩa 1.9. Hàm loi f đưoc goi là khá vi Gâteaux tai x0 ∈ D neu giói
han
d f (x0)(x) = lim f (x0 + tx) − f (x0)
t→0
,
t
ton tai vói moi x ∈ E. Khi đó, hàm d f (x0) đưoc goi là đao hàm Gâteaux
(ho¾c
vi phân Gâteaux) cúa f tai x0.
Tù đ%nh nghĩa (đòi hói phái có sn ton tai giói han hai phía) ta thay rang
f
khá vi Gâteaux tai x0 neu và chí neu
−d+ f (x0)(−x) = d+ f (x0)(x), vói moi x ∈ E.

25

Vì phiem hàm dưói tuyen tính p là tuyen tính neu và chí neu p (−x) = −p
(x)
vói moi x, đieu đó chúng tó f là khá vi Gâteaux tai x0 neu và chí neu