Một số phương pháp giải hệ phương trình trong chương trình toán Trung học phổ thông

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN
------------------

VŨ TH± KIM NGAN

M®T SO PHƯƠNG PHÁP GIÁI
Hfi PHƯƠNG TRÌNH TRONG CHƯƠNG TRÌNH
TOÁN TRUNG HOC PHO THÔNG

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CAP

Mã so: 60 46 01 13

LU¼N VĂN THAC SY KHOA HOC

Ngưài hưáng dan khoa hoc: TS. PHAM VĂN QUOC

HÀ N®I - 2015


Mnc lnc
Lài cám ơn

2

Má đau

3

1 M®t so kien thNc cơ bán

4
1.1 H¾ phương trình cơ bán........................................................................ 4
1.1.1 H¾ phương trình b¾c nhat hai an............................................4
1.1.2 H¾ phương trình đoi xúng.........................................................4
1.1.3 H¾ phương trình đang cap........................................................6
1.1.4 H¾ phương trình dang hoán v% vòng quanh...............................7
1.2 Phương pháp cơ bán.............................................................................. 9
1.2.1 Phương pháp c®ng đai so.........................................................9
1.2.2 Phương pháp the......................................................................10
2 M®t so phương pháp giái h¾ phương trình
13
2.1 Phương pháp đ¾t an phu....................................................................13
2.2 Phương pháp phân tích thành nhân tú...............................................20
2.3 Phương pháp sú dung hang đang thúc..............................................28
2.4 Phương pháp sú dung tính đơn đi¾u cna hàm so............................34
2.5 Phương pháp khác................................................................................43
2.5.1 Phương pháp đánh giá.............................................................43
2.5.2 Phương pháp lưong giác hóa..................................................47
2.5.3 Phương pháp sú dung so phúc...............................................49
3 M®t so phương pháp xây dNng h¾ phương trình
54
3.1 Xây dnng h¾ phương trình bang phương pháp đ¾t an phu............54
3.2 Xây dnng h¾ phương trình tù các đang thúc.....................................58
3.3 Sú dung tính đơn đi¾u cna hàm so đe xây dnng h¾ phương trình .
64
3.4 Xây dnng h¾ phương trình bang phương pháp đánh giá................67
3.5 Sú dung so phúc đe xây dnng h¾ phương trình................................71
Ket lu¾n

77

Tài li¾u tham kháo

78
1


Lài cám ơn
Lòi đau tiên, tôi xin bày tó lòng biet ơn chân thành và sâu sac nhat tói TS.
Pham Văn Quoc - ngưòi thay đã truyen cho tôi niem say mê nghiên cúu
Toán hoc. Thay đã t¾n tình hưóng dan, giúp đõ tác giá trong suot quá trình
hoc t¾p và hoàn thi¾n lu¾n văn.
Tác giá xin chân thành cám ơn Ban giám hi¾u, Phòng Đào tao Sau đai
hoc, Khoa Toán - Cơ - Tin hoc, các thay cô giáo đã tao đieu ki¾n thu¾n loi
cho tôi hoàn thành bán lu¾n văn này.
M¾c dù có nhieu co gang, nhưng do thòi gian và trình đ® còn han che
nên lu¾n văn khó tránh khói nhung thieu sót. Vì v¾y tác giá rat mong nh¾n
đưoc sn góp ý cna các thay cô và các ban đe lu¾n văn đưoc hoàn thi¾n
hơn.
Em xin chân thành cám ơn!


Má đau
H¾ phương trình là m®t n®i dung co đien và quan trong cna Toán hoc.
Ngay tù đau, sn ra đòi và phát trien cna h¾ phương trình đã đ¾t dau an
quan trong trong Toán hoc. Chúng có súc hút manh me đoi vói nhung ngưòi
yêu Toán, luôn thôi thúc ngưòi làm Toán phái tìm tòi, sáng tao. Bài toán ve
h¾ phương trình thưòng xuyên xuat hi¾n trong các kỳ thi hoc sinh giói,
Olympic cũng như kỳ thi tuyen sinh Đai hoc, Cao đang. H¾ phương trình
đưoc đánh giá là bài toán phân loai hoc sinh khá giói, nó đòi hói ky thu¾t xú

lý nhanh và chính xác nhat. Là m®t giáo viên Trung hoc pho thông, tôi
muon nghiên cúu sâu hơn ve h¾ phương trình nham nâng cao chuyên môn,
phuc vu cho quá trình giáng day và boi dưõng hoc sinh giói cna mình.
Vói nhung lý do trên, tôi lna chon nghiên cúu đe tài "M®t so phương pháp
giái h¾ phương trình trong chương trình toán Trung hoc pho thông" làm
lu¾n văn thac sĩ cna mình.
Lu¾n văn đưoc chia làm ba chương:
Chương 1. M®t so kien thúc cơ bán
Chương 2. M®t so phương pháp giái h¾ phương trình
Chương 3. M®t so phương pháp xây dnng h¾ phương
trình.
Hà N®i, ngày 01 tháng 8 năm
2015 Tác giá lu¾n văn

Vũ Th% Kim Ngan


Chương 1

M®t so kien thNc cơ bán
1.1
1.1.1

H¾ phương trình cơ bán
H¾ phương trình b¾c nhat hai an

H¾ phương trình b¾c nhat hai an là h¾ có dang
.
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2.

Phương pháp giái:
Đe giái h¾ phương trình này, ta thưòng sú dung các phương pháp sau:
- Phương pháp the,
- Phương pháp c®ng đai so,
- Phương pháp. dùng đ%nh
thúc.
..
. a1
. . c1 ..
. . a1 c1 ..
Ký hi¾u: D =
; Dx =
; Dy =
.
b1

b1

. 2 2.
a b
Trưòng hop 1 : D ƒ=
0.

.
. c2

.
.

b2


 x = Dx

. 2
a

H¾ phương trình có nghi¾m duy nhat


y=

D
Dy

2.

c

.


D
Trưòng hop 2 : D = Dx = Dy = 0.
H¾ phương trình có vô so nghi¾m dang {(x0; y0) |a1x0 + b1y0 = c1} .
Trưòng hop 3 : D = 0; Dx ƒ= 0 ho¾c D = 0; Dy ƒ= 0 ho¾c D = 0; Dx ƒ= 0; Dy
ƒ= 0.

H¾ phương trình vô nghi¾m.

1.1.2

H¾ phương trình đoi xNng

1. H¼ phương trình đoi xNng loai I


H¾ phương trình đoi xúng loai I đoi vói hai bien x và y là h¾ phương trình
mà neu ta thay x bói y, thay y bói x thì h¾ không thay đoi.


Phương
. pháp giái:
- Đ¾t

x+y=S

xy = P
- Tìm S, P,

, đieu ki¾n S2 ≥ 4P.

- Khi đó, x, y là nghi¾m cna phương trình u2 − Su + P = 0.

Ví dn 1.1. (Trích đe thi Hoc vi¾n An ninh năm 2001)
Giái h¾ phương trình
.
x + y = 1 − 2xy

.

(x, y ∈ R).

x2 + y 2 = 1
x+y=S

2
Giái.
, đieu
. ki¾n S ≥ 4P.
xy
=
P
Đ¾t
S = 1 − 2P
Ta đưoc h¾ phương trình S2 − 2P = 1
.

⇔

S = 1 − 2P
2

(1 − 2P ) − 2P = 1
⇔


S.= 1 − 2P

 P=0

⇔

.
Vói S = 1; P = 0
⇒

.

 P = 3

x+y=

.
⇒

2

S = 1 − 2P
4P 2 − 6P =
0

S = 1; P = 0
3
S = −2; P = .
2

1
xy = 0.

Khi đó (x, y) là nghi¾m.cna phương

. trình:

u=0
u2 − u = 0
⇒ x = 0; y = 1
u
=
1
x = 1; y = 0.
⇔
3
Vói S = −2; P = ta loai trưòng hop này vì không thóa mãn đieu
2
ki¾n S
V¾y h¾ phương trình có hai nghi¾m là (x; y) = (0; 1) ; (1; 0) .

2

≥ 4P.

2. H¼ phương trình đoi xNng loai II

H¾ phương trình đoi xúng loai II đoi vói x và y là h¾ phương trình mà
neu ta thay x bói y, thay y bói x thì phương trình này bien thành phương
trình kia và ngưoc lai.
Phương pháp giái:
- Trù theo ve hai phương trình cna h¾, ta đưoc m®t phương trình tích dang:


(x − y) f (x; y) = 0.

- Sau đó lan lưot thay x = y; f (x, y) = 0, vào m®t trong hai phương trình

cna h¾, ta đưoc m®t phương trình đã biet cách giái và giái tiep tìm nghi¾m
cna h¾.


Ví dn 1.2. (Trích đe thi đai hoc khoi B năm 2003)
Giái h¾ phương trình

 3y = y2 +
(x, y ∈ R).

2
 3x =



x2
x2 +
2
y2

Giái. Đieu ki¾n: x > 0; y > 0.
H¾ phương trình tương
đương vói
.
.

3x2y = y2 + 2
3y2x = x2 + 2

3xy (x − y) = (y − x) (y + x)
2
3y
x = x2 + 2
.
(x − y) (x + y + 3xy) = 0
⇔
3y2x = x2 + 2
⇔

.

x=y

.

⇔



x=

x + y + 3xy = 0
3y2.
x = x2 + 2.
x=y

y

Vó
i

3y2x = x2 + 2
⇔

.
Vó
i

3x3 − x2 − 2 = 0

⇔ x = y = 1.

x + y + 3xy
= 0 3y2x =
x2 + 2.

Vì x + y + 3xy > 0; ∀x > 0; y > 0 nên trưòng hop này vô nghi¾m.
V¾y h¾ phương trình có nghi¾m duy nhat (x; y) = (1; 1).
1.1.3

H¾ phương .trình đang cap
f (x, y) = a

H¾ phương trình

g (x, y) = b
g(x, y)

đưoc goi là h¾ đang cap b¾c k neu f (x, y);

là các bieu thúc đang cap b¾c k.
Chú ý : Bieu thúc f (x, y) đưoc goi là đang cap b¾c k neu f (mx, my) = mkf (x,
y) .


Phương pháp giái:
- Xét y = 0 (ho¾c x = 0) thay vào h¾ phương trình tìm nghi¾m.
- Xét y ƒ= 0. Đ¾t x.= ty, khi đó ta có

f (ty, y) = y kf (t, 1)
⇒
g (ty, y) = y kg (t, 1)

.

y kf (t, 1) = a
y kg (t, 1) = b.
a
Chia theo ve hai phương trình cna h¾ ta đưoc: f (t, 1) = g (t, 1) .
b
Giái phương trình tìm t roi thay ngưoc lai ta tìm đưoc nghi¾m (x, y).


Ví dn 1.3. (Trích đe thi đe ngh% Olympic 30/4/2009)
Giái h¾ phương trình
.
x3 + 8y3 − 4xy2 = 1

(x, y ∈ R).

2x4 + 8y4 − 2x − y = 0

Giái.
- Xét y = 0.. Thay vào h¾ phương trình ta đưoc:
x3 = 1

2x4 − 2x = 0

⇔ x = 1.

Suy ra (1; 0) là m®t nghi¾m cna h¾.
- Xét y ƒ= .0. Đ¾t x = ty, khi đó ta có:

⇔

t3y3 + 8y3 − 4ty3 =
1 2t4y4 + 8y4 − 2ty
−y=0
.
 3.3
 y t + 8 − 4t = 1

 y3 .2t4 + 8. = 2t + 1 (Do y ƒ= 0).

Chia theo ve
hai phương trình cna h¾ ta đưoc:
3
t +8−

1
4t
=
2t4 + 8
2t + 1
⇔ t.3 − 8t2 + 12t = 0
t=0
t
=2
⇔
t = 6.
1
Vói t = 0 ta có (x; y) = .0; . .
2
1
Vói t = 2 ta có (x; y) = .1; . .
2
.√ ; √ ..
3
Vói t = 6 ta có (x; y)
25 21 25
=
3

3

V¾y h¾ phương trình có bon nghi¾m là
(x; y) = (1; 0) ; .0;

1

2
1.1.4

. ; .1;

1

2

1
..
√3
√3
25 2 25
.; .

3

;

H¾ phương trình dang hoán v% vòng quanh

H¾ phương trình dang hoán v% vòng quanh là h¾ có dang:

f (x1) = g (x2)

 f (x ) = g (x )

2

3


...
f (xn

1)
−

= g (xn)




f (xn) = g (x1) .


(Khi ta hoán v% vòng quanh các bien thì h¾ phương trình không
đoi). Cu the, ta xét h¾ hoán v% vòng quanh ba an sau đây.
.
x = f (y)
y = f (z)
z = f (x) .

Phương pháp
giái:
Giá sú f là hàm so xác đ%nh trên t¾p D và có t¾p giá tr% là T , T ⊆ D và f
là
hàm so đong bien trên D.
- Cách 1 : Đoán nghi¾m và chúng minh nghi¾m duy nhat. Đe chúng minh

h¾ có nghi¾m duy nhat ta thưòng c®ng theo ve ba phương trình cna h¾,
sau đó suy ra x = y = z.
- Cách 2 : Tù T ⊆ D ta suy ra f (x), f (f (x)) và f (f (f (x))) thu®c D. Đe (x, y,
z) là
nghi¾m cna h¾ thì x ∈ T.
Neu x > f (x) thì do f tăng trên D nên f (x) > f (f
(x)). Do đó, f (f (x)) > f (f (f (x))). Suy ra:
x > f (x) > f (f (x)) > f (f (f (x))) = x.

Đieu này mâu thuan. Chúng tó không the có x > f (x).
Tương tn ta cũng chúng minh đưoc rang không the có x < f (x) .
Do đó, x = f (x).
Vi¾c giái h¾ phương trình ban đau đưoc quy ve vi¾c giái phương trình x = f
(x).
Hơn nua ta
.
.
. có:
x=f
(y)
y=f
(z)
z=f
. (x)
x=f
(y)
y=f
⇔
(z)
z=f

(z)

x = f (y)
y = f (z)
z = f (f
(y))

⇔

.

⇔

.

x=f

(y)
z=y
⇔
z=f
(z)

⇔

Ví dn 1.4. (Trích đe thi HSG QG 2006)
Giái h¾ phương trình
√

x = f (y)

y = f (z)
z = f (f (f (z)))

x=y=z
z = f (z) .


x2 − 2x + 6log3 (6 − y)
= x,
y2 − 2y + 6log3 (6 −
z) = y
√ 2
z − 2z + 6log3 (6 − x) = z



(x, y, z ∈ R).

Giái
.
Đe (x, y, z) là nghi¾m cna h¾ phương trình thì đieu ki¾n là x, y, z <
6. H¾ phương trình đã cho tương đương vói




x

 log (6 − y) = √
x2 y2x + 6



−
log3 (6 − z) =,
y 2 − 2y + 6

z
 log (6 − x) =
3
− 2z + 6
√
.z 2
log (6 − y) = f
(x) 3log3 (6 − z)
hay
= f (y) log3 (6 −
x) = f (z) .
x
vói f (x) = x2 − 2x + ; g (x) =
(6 − x) .
log3
√
6
6−x
Ta có f t (x) =
√
> 0; ∀x < 6.
(x2 − 2x + 6) x2 − 2x
+6

Suy ra f (x) là hàm tăng còn g(x) là hàm giám vói x < 6.
Neu (x, y, z) là m®t nghi¾m cna h¾ phương trình, ta chúng minh x = y = z.
Không mat tính tong quát, giá sú x = max(x, y, z). Ta xét hai trưòng hop sau:
Trưòng hop 1 : x ≥ y ≥ z.
Do f (x) là hàm tăng nên f (x) ≥ f (y) ≥ f (z) .
Suy ra log3 (6 − y) ≥ log3 (6 − z) ≥ log3 (6 − x) .
Do g(x) giám nên
6 − y ≤ 6 − z ≤ 6 − x ⇔ x ≤ z ≤ y ⇒ x = y = z.
Trưòng hop 2 : x ≥ z ≥ y.
Tương tn như trên ta suy ra x = y = z.

Phương trình f (x) = g(x) có nghi¾m duy nhat x = 3.
V¾y h¾ phương trình có nghi¾m duy nhat (x, y, z) = (3, 3, 3).

1.2
1.2.1

Phương pháp cơ bán
Phương pháp c®ng đai so

Đe giái h¾ phương trình bang phương pháp c®ng đai so, ta có the ket
hop hai phương trình trong h¾ bang các phép toán c®ng, trù, nhân, chia đe
thu đưoc phương trình h¾ quá đơn gián hơn, de giái hơn.
Ví dn 1.5. (Trích đe thi đai hoc an ninh nhân dân năm 1999)
Giái
, phương trình
,
. h¾
x2 + x + y + 1 + x + y2 + x + y + 1 + y = 18

,

,

x2 + x + y + 1 − x + y2 + x + y + 1

−y=2

Giái. Đieu ki¾n: x2 + x + y + 1 ≥ 0; y2 + x + y + 1
≥ 0.

C®ng, trù theo ve hai phương trình cna h¾ ta đưoc

(x, y ∈ R).


Tài li¾u tham kháo
[1] Nguyen Tài Chung (2015), Sáng tao và giái phương trình, h¾ phương
trình, bat phương trình, NXB Tong hop TPHCM.
[2] Hà Văn Chương (2012), Tuyen chon và giái h¾ phương trình, h¾ bat
phương trình, phương trình, bat phương trình không mau mnc, NXB
ĐHQGHN.
[3] Nguyen Văn L®c (2012), Tuyen chon các bài thi vô đ%ch Toán ó các đ
%a phương, NXB ĐHQGHN.
[4] Nguyen Vũ Lương (Chn biên)- Pham Văn Hùng - Nguyen Ngoc Thang
(2006), H¾ phương trình và phương trình chúa căn thúc, NXB ĐHQGHN.
[5] Nguyen Văn M¾u, Phương pháp giái phương trình và bat phương trình,
NXB GD.
[6] Đ¾ng Thành Nam (2014), Nhung đieu can biet luy¾n thi Đai hoc ky

thu¾t giái nhanh h¾ phương trình, NXB ĐHQGHN.
[7] Lê Xuân Sơn (2014), Phương pháp hàm so trong giái Toán, NXB
ĐHQGHN. [8] Mai Xuân Vinh (Chn biên) - Pham Kim Chung - Pham Chí
Tuân - Đào
Văn Chung - Dương Văn Sơn (2015), Tư duy logic tìm tòi lòi giái h¾ phương
trình, NXB ĐHQGHN.
[9] Ban to chúc kỳ thi, Tuyen t¾p đe thi Olympic 30 tháng 4, NXB GD.

78