Phân phối xã suất và hàm đặc trưng

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN
------------------

LÊ NAM TRUNG

PHÂN PHOI XÁC
SUAT VÀ HÀM Đ¾C
TRƯNG

LU¤N VĂN THAC SY KHOA
HOC

Hà N®i, 2015
1


ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

2


------------------

LÊ NAM TRUNG

PHÂN PHOI XÁC
SUAT VÀ HÀM Đ¾C
TRƯNG

Chuyên ngành:
Mã so:

LÝ THUYET XÁC SUAT VÀ THONG KÊ TOÁN HOC
60.46.01.06

LU¤N VĂN THAC SY KHOA HOC

NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC:

PGS. TS. PHAN VIET THƯ


Hà N®i, 2015


Lài cám ơn
Tác giá xin bày tó lòng biet ơn chân thành và sâu sac tói PGS.TS. Phan
Viet Thư, ngưòi thay đã t¾n tình giúp đõ, chí báo, đ%nh hưóng nghiên cúu
cho tôi đe hoàn thành lu¾n văn này. Qua đây, tôi cũng xin chân thành cám
ơn sn giúp đõ cna các thay giáo, cô giáo trong Khoa Toán - Cơ - Tin hoc,
B® môn Xác suat thong kê trưòng Đai hoc Khoa hoc tn nhiên - Đai hoc
quoc gia Hà N®i, nhung ngưòi đã giúp đõ, giáng day và truyen đat kien
thúc cho tác giá trong suot quá trình hoc t¾p và nghiên cúu tai trưòng.
M¾c dù đã có nhieu co gang, do han che ve thòi gian thnc hi¾n nên lu¾n
văn không the tránh khói nhung thieu sót. Tác giá kính mong nh¾n đưoc ý
kien đóng góp quý báu cna quý thay cô và các ban đe lu¾n văn đưoc hoàn
thi¾n hơn.
Xin trân trong cám ơn!
Hà N®i,tháng 06 năm 2015

Lê Nam Trung


Mnc lnc
Mé ĐAU

4

1 TONG QUAN VÀ NHUNG KHÁI NIfiM Mé ĐAU
5
1.1 BIEN NGAU NHIÊN............................................................................... 6
1.2 PHÂN PHOI XÁC SUAT......................................................................... 7
1.2.1 Quan h¾ giua phan tú ngau nhiên và phân phoi xác suat . 7
1.2.2 Phân phoi ròi rac và phân phoi liên tuc..................................11
2 HÀM PHÂN PHOI
14
2.1 CAU TRÚC HÀM PHÂN PHOI...........................................................14
2.2 H®I TU CÚA DÃY HÀM PHÂN PHOI...............................................17
2.2.1 Đ%nh nghĩa và tính compact...................................................17
2.2.2 Khoáng cách Levy.....................................................................22
2.2.3 H®i tu cna dãy tích phân..........................................................27
2.3 ÚNG DUNG HÀM PHÂN PHOI VÀO NGHIÊN CÚU BÀI TOÁN
RÚI RO BÁO HIEM...............................................................................32
2.3.1 Đ¾t van đe.................................................................................32
2.3.2 Các giá thiet cna đ%nh lý Cramer - Lundberg.......................36
2.3.3 Phát bieu đ%nh lý Cramer - Lundberg...................................37
2.3.4 Chú ý...........................................................................................37
3 HÀM Đ¾C TRƯNG
40
3.1 CÁC HÀM QUAN TRONG..................................................................40

3.2 HÀM Đ¾C TRƯNG..............................................................................43
3.2.1 Đ%nh nghĩa và tính chat..........................................................43
3.2.2 Tính chính quy, khai trien hàm đ¾c trưng.............................47
4 QUAN Hfi GIUA HÀM Đ¾C TRƯNG VÀ HÀM PHÂN PHOI 55
4.1 TÍNH QUY LU¾T...................................................................................55


4.2 TÍCH CH¾P CÁC HÀM PHÂN PHOI VÀ PHÉP NHÂN CÁC HÀM
Đ¾C TRƯNG.........................................................................................59


Mé ĐAU
Hàm phân phoi xác suat và hàm đ¾c trưng là nhung khái ni¾m nhat cna
lý thuyet xác suat và thong kê toán hoc. Vói sn ra đòi cna tác pham "Nhung
khái ni¾m cơ bán cna lý thuyet xác suat"(Kolmogorov, 1933) thì nhung nen
móng vung chac cho hai khái ni¾m trên đưoc hình thành. Cho đen nay
nhieu ket quá liên quan đã thu đưoc và m®t lý thuyet hi¾n đai ve XSTK đã
đưoc xây dnng và phát trien. Ý nghĩa cna các khái ni¾m trên se đưoc trình
bày trong phan Tong quan cna chương I. Lu¾n văn đưoc trình bày gom 4
chương:
Chương I: Giói thi¾u tong quan và nhung khái ni¾m cơ bán ve bien ngau
nhiên và hàm phân phoi, trong đó có đe c¾p đen m®t khang đ%nh quan
trong cna Kolmogorov ve phân phoi huu han chieu.
Chương II: Trình bày ve lý thuyet hàm phân phoi; cau trúc và sn h®i tu,
khoáng cách Levy và úng dung nghiên cúu bài toán rni ro báo hiem.
Chương III: Nói ve hàm đ¾c trưng, đ%nh nghĩa, tính chat, tính chính quy
và khai trien hàm đ¾c trưng.
Chương IV: Trình bày moi liên quan giua hàm phân phoi và hàm đ¾c
trưng, nêu tính quy lu¾t, quan h¾ giua tích ch¾p cna hàm phân phoi và
phép nhân cna hàm đ¾c trưng.

Chương 1
TONG QUAN VÀ NHUNG KHÁI
NIfi

Mé ĐAU

Trong chương này trình bày vài nét tong quan ve nhung van đe can nghiên
cúu và nhung khái ni¾m mó đau can dùng cho các chương sau.
Khác vói the giói tat đ%nh, trong pham trù ngau nhiên ngưòi ta làm vi¾c
vói các đai lưong lay nhung giá tr% ngau nhiên. Ta không the coi nhung giá
tr% ngau nhiên đó như giá tr% cna m®t tham so tat đ%nh bien đoi tùy ý
đưoc. Đoi vói m®t bien ngau nhiên, ngưòi ta can biet cái lu¾t phân phoi
cna nó. Đoi vói nhung bien ngau nhiên ròi rac, ta can biet nó có the lay
nhung giá tr% nào và nó lay moi giá tr% đó vói xác suat bao nhiêu; đoi vói
nhung bien ngau nhiên liên tuc, ta can biet nó lay giá tr% trong m®t khoáng
nào đó vói xác suat bao nhiêu? Nhung xác suat đó the hi¾n lu¾t phân phoi
cna các bien ngau nhiên. Lu¾t phân phoi lai đưoc bieu dien qua hàm phân
phoi. Biet hàm phân phoi cu the cna m®t bien ngau nhiên cu the là coi như
ta xác đ%nh đưoc bien ngau nhiên đó.
Ta lai có m®t cách khác đe the hi¾n lu¾t phân phoi cna bien ngau nhiên
đó là dna trên hàm đ¾c trưng. Biet đưoc hàm đ¾c trưng, ta biet bien ngau
nhiên đó là bien ngau nhiên gì. V¾y van đe đ¾t ra là hàm phân phoi và hàm
đ¾c trưng liên quan đen nhau như the nào? Ve m¾t toán hoc, thnc ra hàm
đ¾c trưng là m®t bien đoi Fourier cna hàm phân phoi. Ngưoc lai neu biet
hàm đ¾c trưng thì ta tính đưoc hàm phân phoi nhò đ%nh lý đáo cna bien
đoi Fourier. Trong nhieu bài toán thnc te, sú dung hàm đ¾c trưng thì thu¾n
loi hơn hàm phân phoi. Đóng góp vào vi¾c xây dnng các đ%nh lý đáo có
các công trình cna Levy, Gurland, Gil

- Palaez, Shiely ...


V¾y trong lu¾n văn này sau khi nêu các khái ni¾m mó đau chúng tôi se
trình bày 3 van đe:


1. Hàm phân phoi
2. Hàm đ¾c trưng
3.
Quan h¾ giua hàm đ¾c trưng và hàm phân phoi.
Trong đó có trình bày m®t úng dung ve nghiên cúu "bài toán rúi ro
báo hiem."

1.1

BIEN NGAU NHIÊN

Đ%nh nghĩa: Cho không gian xác suat (Ω, F, P). Không giám tính tong quát
ta có the giá thiet (Ω, F, P) là không gian xác suat đn túc là neu A là bien co
có xác suat 0 (P(A)=0) thì moi t¾p con B ⊂ A cũng là bien co.
1. Giá sú E là không gian metric, ánh xa X : Ω −→ E đưoc goi là m®t
bien ngau nhiên vói giá tr% trên E neu vói moi t¾p Borel cna E ta có
X−1(B) ∈ F .
2. Neu X là bien ngau nhiên nh¾n giá tr% trên E = Rn ta nói X là vectơ
ngau nhiên n - chieu.
3. Neu X là bien ngau nhiên nh¾n giá tr% trên t¾p so thnc R ta nói X là
bien ngau nhiên.
M¾nh đe 1. a, X : Ω −→ R là đai lưong ngau nhiên khi và chs khi
X−1(∞, x) = {ω : X(ω) < x} ∈ F, ∀§ ∈ R

b,
= (X1 , X2 , . . . , Xn ) : Ω −→ Rn là véc tơ ngau nhiên khi và chs khi moi toa
˙
X

đ®

Xk(k = 1, . . . , n) cúa nó là đai lưong ngau nhiên.

Chúng minh. Ta de suy ra a,. Đe chúng minh b, ta xét phép chieu πk : Rn −→
R, πk ˙x = xk (toa đ® thú k cna ˙x), πk liên tuc nênπk đo đưoc (đoi vói (B n ,
B 1 )).
Do đó, neu là véc tơ ngau nhiên, thì Xk =
là đai lưong ngau nhiên.
X˙

πk .X˙

Ngưoc lai, giá sú moi Xk là đai lưong ngau nhiên. Đe đơn gián hơn, ta xét
trưòng hop n = 2 và chú ý rang: R2 = R × R, B2 = B1 × B1 (σ - đai so tích).
Khi đó, vói B1, B2 ∈ B1 ta có:
X˙

−1

(B1 × B2 ) = X −1 (B1 ) ∩ X −1 (B2 ) ∈ A

Do đó ta có X˙ −1 (B 2 ) ∈ A túc
là X˙

1

2

là véc tơ ngau nhiên.


1.2

PHÂN PHOI XÁC SUAT

Đ%nh nghĩa: 1. Cho X là bien ngau nhiên E - giá tr%. Xét hàm t¾p µX xác đ
%nh trên σ - đai so Borel cna E theo cách sau:
µX (B) = P (X−1(B)), ∀B ∈ B.

De kiem tra đưoc µX là m®t đ® đo xác suat trên E. µX đưoc goi là phân bo
xác suat trên (E, B) cna bien ngau nhiên X.
2. Giá sú X = (X1, . . . , Xn) là véc tơ ngau nhiên n - chieu. Hàm so F (x)
=
F (x1, x2, . . . , xn) xác đ%nh bói công thúc:
F (x1, x2, . . . , xn) = P (X1 < x1, X2 < x2, . . . , Xn
< xn )

đưoc goi là hàm phân bo xác suat cna vectơ ngau nhiên X

1.2.1

Quan h¾ giÑa phan tN ngau nhiên và phân phoi xác suat

M¾nh đe 2. Neu ν là xác suat trong (E, «) thì ton tai ít nhat m®t không gian

xác suat cơ bán (Ω, A, P) và m®t phan tú ngau nhiên E - giá tr% X, sao cho ν
là
phân phoi cúa nó: PX = ν
Chúng minh. Lay Ω = E, A = «, P = ν và X là ánh xa đong nhat tù R lên R:
X(x) = x, ∀x ∈ R.

Khi đó,

PX (B) = P {ω : X(ω) ∈ B} = ν{x : x ∈ B}, ∀B ∈ «

M¾nh đe 3. Neu X là đai lưong ngau nhiên, thì hàm phân phoi cúa nó:
FX (x) = P {ω : X(ω) < x}

có các tính chat sau:
1. Không giám: FX (x1) ≤ FX (x2) vói x1 ≤ x2.
2. Liên tnc bên trái : FX (x) = FX (x − 0).
3. Nh¾n giá tr% 0 tai −∞ và 1 ta% +∞:
Ngưoc lai, neu cho trưóc hàm F (x) có ba tính chat trên thì ton tai ít nhat
m®t không gian xác suat cơ bán (Ω, A, P) và m®t đai lưong ngau nhiên X sao
cho F
là hàm phân phoi cúa nó: FX = F.


Chúng minh. 1, Suy ra tù đang thúc
(−∞, x2) = (−∞, x1) + [x1 + x2).

2, 3, suy ra tù tính liên tuc cna PX và tù các nh¾n xét:
1

(−∞, x −

) = Bn ↑ B = (−∞, x),
n
(−∞, −n) = C−n ↓ ∅, (−∞, n) = Cn ↑ (−∞, +∞)

Cuoi cùng, giá sú F là hàm so có ba tính chat 1, 2, 3,. Khi đó, đ® đo
Lebesgue- Stieltjes µF tương úng là xác suat trên đưòng thang.Tù m¾nh đe
2 suy ra đieu phái chúng minh.

Chú ý Phân phoi PX chính là đ® đo Lebesgue-Stieltjes sinh ra tù hàm
phân phoi FX.
Đe mó r®ng m¾nh đe trên cho trưòng hop vec tơ ngau nhiên, ta phái đưa
vào
n
R m®t quan h¾ thú tn.
Giá sú ˙a = (a1 , . . . , an ), ˙b = (b1 , . . . , bn ). Ta quy ưóc viet ˙a < ˙b(˙a ≤
˙b), neu ak < bk(ak ≤ bk) vói ∀k = 1, 2, . . . , n. Rõ ràng, vói quan h¾ thú tn
đó Rn tró thành t¾p đưoc sap thú tn m®t phan.Ta viet a ↑ b neu ak ↑ bk vói
moi ∀k = 1, 2, . . . , n.
Bây giò ta nhac lai đ%nh nghĩa cna sai phân.Giá sú F (x) là hàm m®t bien
so, sai phân cap 1 cna F là
∆
1

hF

(a) = F (a + h) − F (a), a

∈ R1

Chính xác hơn ,ta goi
∆1

h

, h > 0.

là toán tú sai phân cap 1 vói bưóc h. Tiep theo, giá sú

F (˙x) = F (x1 , . . . , xn ) là hàm n bien so. Đ¾t
1
1
∆n F (˙a) = ∆
+ h1 , . . . , an + hn )
h.
h1 . . . ∆hn F (a1 , . . . , an ) = F (a1.
−
F (a1 + h1, . . . , aj, . . . , an + hn) +
F (a1 + h1, . . . , aj, . . . ,
an + hn)
− . . . + (−1)nF (a1, . . . , an)
và goi ∆n là toán tú sai phân cap n vói bưóc ˙h = (h1 , . . . , hn ) > 0. Chang
hh

han,
vói n=2 ta có:

h F (˙a) = F (a1 + h1 , a2 + h2 ) − F (a1 , a2 + h2 ) − F (a1 + h1 , a2 ) + F
∆(a , a ).
n

1

2

Ta nói F (˙x) là hàm n bien không giám, neu
∆n

h F (˙a) ≥ 0, ∀˙a
∈R

n

n
˙
˙
, ∀h > 0, h ∈ R .


tiep theo ta nói rang F (˙x) liên tuc bên trái tai ˙x0 khi và chí khi F (˙x) liên
tuc bên trái theo moi bien tai ˙x0 .
Bang nhung l¾p lu¾n tương tn như khi chúng minh m¾nh đe 3 ta có
m¾nh đe sau:


TÀI LIfiU THAM KHÁO
Tieng Vi¾t
1. Nguyen Viet Phú - Nguyen Duy Tien (2004), Cơ só lý thuyet xác suat,
NXB Đai hoc Quoc Gia Hà N®i.
2. Tran Hùng Thao (2009), Nh¾p môn toán hoc tài chính, NXB Khoa hoc và

ky thu¾t.
3. Đ¾ng Hùng Thang (2013), Xác suat nâng cao, NXB Đai hoc Quoc Gia
Hà N®i.
4. Nguyen Duy Tien - Vũ Viet Yên (2013), Lý thuyet xác suat, NXB Giáo
dnc Vi¾t Nam.
Tieng Anh
1. Leda D. Minkova (2010), Insurance Rish Theory, Lecture Notes,
2. Asmussen S.(2000), Ruin Probabilities Singapore, World Scientifie Publishing Co.

67