Phương pháp hệ số phản xạ, khúc xạ cải tiến cho môi trường phân lớp trực hướng

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN
—————————

Trương Th% Thùy Dung

PHƯƠNG PHÁP Hfi SO PHÁN XA, KHÚC XA CÁI TIEN
CHO MÔI TRƯèNG PHÂN LéP TRUC HƯéNG

LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC

Hà N®i - 2015



ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN
————————–

Trương Th% Thùy Dung

PHƯƠNG PHÁP Hfi SO PHÁN XA, KHÚC XA CÁI TIEN
CHO MÔI TRƯèNG PHÂN LéP TRUC HƯéNG

Chuyên ngành: Cơ hoc v¾t ran
Mã so: 60440107

LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC

NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC:
TS. TRAN THANH TUAN

Hà N®i - 2015


LèI CÁM ƠN
Lòi đau tiên em muon gúi lòi cám ơn chân thành tói thay hưóng dan Tran
Thanh Tuan - ngưòi đã truyen cho em niem đam mê khoa hoc và đã hưóng dan
em tí mí, t¾n tình trong suot quá trình làm lu¾n văn.
Em cũng xin bày tó lòng biet ơn tói nhóm Seminar tai b® môn Cơ hoc
do GS. TS Pham Chí Vĩnh chn trì, thay và các anh ch% đã trang b% cho em kien
thúc nen táng và là nguon đ®ng lnc đe chúng em theo đuoi nghiên cúu khoa
hoc. Đ¾c bi¾t, các công thúc trong muc 2.1 hoc viên thu nh¾n đưoc tù bài
giáng cna nhóm seminar thay Pham Chí Vĩnh trình bày. Em xin cám ơn toàn
the các thay cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin hoc, Đai hoc Khoa Hoc Tn
Nhiên - Đai Hoc Quoc Gia Hà N®i đã truyen đat kien thúc giúp em hoàn thành
lu¾n văn.
Bên canh đó, em cám ơn gia đình đã luôn đ®ng viên, tao đieu ki¾n tot
nhat cho em trong suot quá trình hoc t¾p và thnc hi¾n lu¾n văn.
Hà N®i, tháng 12 năm
2015

Trương Th% Thùy Dung


Mnc lnc

Lài má đau

4

1 Phương pháp ma tr¾n h¾ so phán xa, khúc xa tong quát hóa
R/T

6

1.1

Dang ma tr¾n cna các phương trình cơ bán.............................................7

1.2

Ma tr¾n h¾ so phán xa, khúc xa tong quát hóa.....................................15

1.3

1.2.1

Sóng qSH......................................................................................15

1.2.2

Sóng qP-SV..................................................................................20

Phương trình tán sac cna sóng Rayleigh..............................................23

2 Phương pháp h¾ so R/T trong bài toán tìm band-gaps cúa sóng
m¾t

26

2.1

Công thúc tính v¾n toc sóng trong môi trưòng trnc hưóng................27

2.2

Bài toán pho band-gaps........................................................................30

2.3

Band-gaps cna sóng qSH và sóng qP-SV............................................32

2.4

Tính toán so pho band-gaps cna sóng qP............................................34

Ket lu¾n

37

Danh mnc các bài báo khoa hoc

38

2


MUC LUC

Tài li¾u tham kháo

38


3


Lài má đau
Trong lóp bài toán phán xa và khúc xa cna sóng m¾t truyen qua môi
trưòng phân lóp, các h¾ so phán xa và khúc xa can tìm se đưoc tìm thông qua
các h¾ so phán xa và khúc xa cna sóng tói đi qua tùng m¾t phân cách giua
các lóp bang cách sú dung các đieu ki¾n biên liên tuc cna chuyen d%ch và úng
suat. Cách làm này tương tn như phương pháp ma tr¾n chuyen và đưoc giói
thi¾u trong m®t so sách chuyên kháo ve sóng như là cna Achenbach (1975) [11],
Brekhovskikh (1973) [2]. Cách làm này khá thu¾n ti¾n trong l¾p trình tính toán
so đoi vói môi trưòng đang hưóng và cũng đưoc goi là phương pháp ma tr¾n
chuyen hay "T-matrix" và đưoc sú dung trong các nghiên cúu ve h¾ so phán xa
và khúc xa như là trong Golub và các c®ng sn (2012) [7, 8] khi đi kháo sát pho
band-gaps cna các sóng m®t thành phan SH , và sóng hai thành phan P − SV .
Tuy nhiên, phương pháp này có m®t nhưoc điem co huu cna phương pháp ma
tr¾n chuyen đó là ket quá tính toán so có the không on đ%nh đoi vói sóng tói
có tan so cao như đã đưoc phân tích ky trong bài báo cna Chen (1993) [21],
và phương pháp này không phán ánh đưoc rõ ràng các tính chat v¾t lý cna bài
toán phán xa khúc xa khi các đ¾c trưng cna sóng tói, sóng phán xa, khúc xa (ví
du như biên đ®, góc tói, góc phán xa, khúc xa) đưoc chuyen qua các đai lưong
chuyen d%ch và úng suat tai các be m¾t đe áp dung đieu ki¾n biên liên tuc. Đieu
này làm cho các hình ánh v¾t lý ve tính phán xa và khúc xa cna sóng trong các
lóp không còn đưoc tưòng minh.
Trong bài báo cna Chen (1993) [21] ve phương pháp phán xa và khúc xa
tong quát hóa, hai nhưoc điem đe c¾p ó trên đã đưoc khac phuc. Phương pháp

cna Chen đã sú dung trnc tiep các h¾ so phán xa và khúc xa tong quát hóa
(là các h¾ so phán xa, khúc xa tai m®t m¾t phân cách giua hai bán không gian
nhưng chí thông qua m®t sóng tói) bang cách sú dung trnc tiep các tham so biên


MUC LUC

đ® cna các sóng trong tùng lóp, tương tn như trong Kennett (1983) [12] nhưng
sú dung công thúc cna Luco và Apsel (1983) [14] đe loai trù các h¾ so tăng theo
hàm mũ, là các h¾ so gây mat on đ%nh tính toán so đoi vói tan so cao. Do đó,
phương pháp này không nhung đã khac phuc đưoc nhưoc điem mat on đ%nh so
đoi vói mien tan so cao mà còn cung cap m®t hình ánh rõ ràng ve sn phán xa
và khúc xa trong tùng lóp. Vói nhung ưu điem này, phương pháp cna Chen đã
đưoc viet thành m®t phan mem tính toán ve sóng và đưoc sú dung m®t cách
r®ng rãi.
Trong lu¾n văn này, phương pháp cna Chen đưoc nghiên cúu phát trien
cho lóp v¾t li¾u bat đang hưóng, cu the là v¾t li¾u trnc hưóng. Các phương
trình cna Chen, ví du như các công thúc cna các h¾ so phán xa, khúc xa
tong quát hóa, các công thúc truy hoi đe tính toán chúng, đưoc viet lai phù
hop đoi vói môi trưòng v¾t li¾u trnc hưóng. Các phương trình này se đưoc sú
dung đe thiet l¾p phương trình tán sac cna sóng m¾t Rayleigh truyen trong
môi trưòng phân lóp, và đưoc sú dung đe nghiên cúu bài toán phán xa, khúc
xa cna sóng truyen trong môi trưòng này. Lu¾n văn se t¾p trung đi vào tính
toán so pho band-gaps cna sóng qSH (kí hi¾u q là quasi) và sóng qP − SV ,
(hay còn goi là sóng tna SH và sóng tna P − SV ), là các sóng tương tn như
sóng SH và P − SV trong môi trưòng đang hưóng, khi truyen qua môi trưòng
phân lóp trnc hưóng.
N®i dung cna lu¾n văn ngoài phan mó đau và ket lu¾n gom hai chương.
Chương 1 se đi thiet l¾p các phương trình cơ bán cna phương pháp ma tr¾n h¾
so phán xa, khúc xa tong quát hóa R/T và se đi thiet l¾p phương trình tán sac

cna sóng m¾t Rayleigh truyen trong môi trưòng phân lóp trnc hưóng. Chương 2
se đi sú dung các ket quá cna Chương 1 đe kháo sát bài toán tìm pho band-gaps
cna sóng m¾t qSH và qP − SV truyen qua môi trưòng phân lóp trnc hưóng.

5


Chương 1
Phương pháp ma tr¾n h¾ so phán
xa, khúc xa tong quát hóa R/T
Mô hình tong quát cna môi trưòng phân lóp đưoc nghiên cúu trong lu¾n
văn bao gom N lóp song song đong nhat, trnc hưóng đ¾t giua hai bán không
gian (Hình ve 1). Các truc chính cna bán không gian và các lóp đưoc giá thiet
là cùng phương. Sóng phang truyen trong mô hình có tan so góc ω và có so sóng
theo phương ngang k. Chon h¾ truc toa đ® sao cho truc Ox song song vói các
lóp và có chieu hưóng theo phương truyen sóng cũng là phương cna m®t hưóng
chính cna v¾t li¾u. Truc Oz có chieu dương hưóng xuong dưói và có goc toa đ®
nam tai m¾t biên cna lóp trên cùng. Trong m®t so trưòng hop, đe cho công thúc
đơn gián h¾ toa đ® (x, y, z) có the đưoc thay bang (x1, x2, x3). Các lóp có
tham
(j)
(j)
(j)
(j)
(j)
so(j)v¾t li¾u là c , c , c , c , c , và ρ(j), trong đó j = 1, . . . , N là so thú
tn
c
11

13

33

55

44

66

cna lóp. Bán không gian bên trên đưoc coi là lóp thú (0) và bán không gian bên
dưói đưoc coi là lóp thú (N + 1). Chương này se trình bày các h¾ thúc cơ
bán cna phương pháp h¾ so phán xa, khúc xa tong quát hóa trong mô hình phân
lóp đang xét này. Cu the là các h¾ so phán xa và khúc xa tong quát hóa se
đưoc nh¾n tai m¾t phân cách giua hai lóp thú (j) và thú (j + 1). Các công
thúc h¾ so này se đưoc sú dung đe kháo sát bài toán truyen sóng m¾t
Rayleigh và bài toán phán xa, khúc xa đưoc trình bày trong các chương còn
lai. Các n®i dung cna chương này đưoc thnc hi¾n tương tn như trong bài
báo cna Chen (1993) [21] nhưng phát trien cho v¾t li¾u trnc hưóng, thay vì
v¾t li¾u là đang hưóng, vói các bien đoi chi tiet.
6


CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP MA TR¾N Hfi SO PHÁN XA, KHÚC XA TONG
QUÁT HÓA R/T

1.1

Dang ma tr¾n cúa các phương trình cơ bán

Xét m®t môi trưòng đàn hoi trnc hưóng đ¾c trưng bói các hang so v¾t
li¾u c11, c13, c33, c55, c44, c66 và m¾t đ® khoi cna môi trưòng là ρ. Giá
thiet các sóng phang truyen trong môi trưòng nam trong m¾t phang (0, x1, x3).
Do đó các

Hình 1.1: Mô hình và h¾ toa đ® cna môi trưòng trnc hưóng phân lóp. Các lóp và bán
không gian có các hưóng chính cna v¾t li¾u trùng nhau

thành phan chuyen d%ch cna sóng phang trong môi trưòng đang xét là các hàm
phu thu®c vào (x, z, t) hay (x1, x3, t) và có dang
(1.1)

ui = ui(x1, x3, t)

trong đó, i = 1, 2, 3, ui là các thành phan cna vector chuyen d%ch.
Đoi vói sóng phang qP − SV ta có
uj = uj (x1, x3, t) và

(1.2)

u2(x1, x3, t) = 0

trong đó, j = 1, 3.
Phương trình trang thái bieu dien moi liên h¾ giua các thành phan cna
úng suat và các thành phan cna gradient chuyen d%ch (ui,j =

∂ui
∂x
j

7

) trong môi


Tài li¾u tham kháo
[1] Aki, K. and Richards, P. G (1980), Quantitative Seismology: Theory
and Methods, W. H. Freeman, San Francisco.
[2] Brekhovskikh, L. M. Waves in stratified media. Izd. Akad. Nauk SSSR,
Mos (1973).
[3] Brillouin, L. (1946). "Wave Propagation in Periodic Structures:

Electric

Filters and Crystal Lattices, ser". International Series in Pure and
Applied Physics.
[4] Chattopadhyay and Rajneesh (2006). "Reflection and refraction of waves
at the interface of an isotropic medium over a highly anisotropic medium",
Acta Geophysica, 54 (3), pp. 239-249.
[5] Fomenko, S. I., Golub, M. V., Zhang, C., Bui, T. Q., and Wang, Y. S. (2014).
"In-plane elastic wave propagation and band-gaps in layered functionally
graded phononic crystals". International Journal of Solids and
Structures, 51 (13), 2491-2503.
[6] Goffaux, C., Vigneron, J.P. (2001). "Theoretical study of a tunable phononic
band gap system". Physical Review B 64, 075118.
[7] Golub, M.V., Fomenko, S.I., Bui, T.Q., Zhang, C., Wang, Y.S. (2012). "Transmission and band gaps of elastic SH waves

in functionally graded

periodic laminates". International Journal of Solids and Structures

49, 344–354.

39


TÀI LIfiU THAM KHÁO

[8] Golub, M.V., Zhang, C., Wang, Y.S. (2012). "SH-wave propagation and
scattering in periodically layered composites with a damaged layer". Journal
of Sound and Vibration 331, 1829–1843.
[9] G. R. Liu and Z. C. Xi. (2002). Elastic waves in anisotropic laminates.
CRC press.
[10] Haskell, N. A., (1953). "The dispersion of surface waves on multilayered
media", Bull. seism. Soc. Am., 43, 17-34.
[11] J. D. Achenbach (1975). Wave Propagation in Elastic Solids, NorthHolland publishing company Amsterdam, New York, Oxford .
[12] Kennett, B. L. N. (1983), Seismic Wave Propagation in Stratified
Media, Cambridge University Press, New York.
[13] Kushwaha, M.S. (1999). "Band gap engineering in phononic crystals". Recent Research Developments in Applied Physics 2, 743–855.
[14] Luco, J. E. and Apscl, R. J., (1983). "On the Green’s function for a layered
half-space, Part I", Bull. seism. SOC. Am., 73, 909-929.
[15]

Maldovan,

M.,

Thomas,

E.L.

(2009).

Periodic

Materials

and

Interference Lithography for Photonics, Phononics and Mechanics.
Wiley-VCH Verlag GmbH and Co. KGaA, Weinheim, Germany.
[16] Thomson, W. T., (1950). "Transmission of elastic waves through a stratified
solid medium", J. uppl. Phys., 21, 89-93.
[17] Ting.T.C.T. (1996). Anisotropic Elasticity: Theory and Applications,
Ox- ford Unversity Press NewYork.
[18] Vinh, P. C., Tung, D. X. (2010). "Homogenized equations of the linear
elasticity in two-dimensional domains with very rough interfaces".
Mech. Res. Comm. 37, pp. 285-288.
[19] Wang, Y.Z., Li, F.M., Kishimoto, K., Wang, Y.S., Huang, W.H. (2009).
"Elastic wave band gaps in magnetoelectroelastic phononic crystals".
Wave Motion 46, pp. 47–56.
40


TÀI LIfiU THAM KHÁO

[20] Wu, M.L., Wu, L.Y., Chen, L.W. (2009). "Elastic wave band gaps of onedimensional phononic crystals with functionally graded materials". Smart
Materials and Structures 18, 115013.
[21] Xiaofei Chen (1993), "A systematic and efficient method of computing normal modes for multilayered half-space", Geophys. J. Int. 115, pp. 391-409.

41