Biểu diễn Wigner liên kết với biến đổi tuyến tính của mặt phẳng thời gian - tần số

LèI CÁM ƠN
Lu¾n văn này đưoc thnc hi¾n và hoàn thành tai trưòng Đai hoc Sư pham Hà
N®i 2 dưói sn hưóng dan nhi¾t tình cna Tien sĩ Bùi Kiên Cưòng, ngưòi thay đã
hưóng dan và truyen cho tác giá nhung kinh nghi¾m quý báu trong hoc t¾p và
nghiên cúu khoa hoc. Thay luôn đ®ng viên và khích l¾ đe tác giá vươn lên trong
hoc t¾p và vưot qua nhung khó khăn trong chuyên môn. Tác giá xin bày tó lòng
biet ơn, lòng kính trong sâu sac nhat đoi vói thay.
Tác giá xin chân thành cám ơn ban giám hi¾u trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i
2, phòng Sau đai hoc, khoa Toán và to Giái tích cùng các quý thay cô đã tao moi
đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá ket thúc tot đep chương trình Cao hoc và hoàn
thành lu¾n văn tot nghi¾p.

Hà N®i, tháng 6 năm 2012
Tác giá


LèI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan Lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tôi dưói sn
hưóng dan trnc tiep cna tien sĩ Bùi Kiên Cưòng.
Trong quá trình nghiên cúu, tôi đã ke thùa thành quá khoa hoc cna các nhà
khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn.

Hà N®i, tháng 6 năm 2012
Tác giá


3

Mnc lnc
Báng kí hi¾u và viet tat

v

Má đau

viii

N®i dung

1

1 M®t so khái ni¾m và ket quá chuan b%

1

1.1

Bien đoi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1

Đ%nh nghĩa và tính chat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2

Các toán tú cơ bán

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.3 Bien đoi Fourier và đao hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.4 Hàm Gauss và đ%nh lý Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2 Giái tích thòi gian – tan so và nguyên lý không chac chan..........................11
1.2.1 Giái tích thòi gian–tan so......................................................................11
1.2.2 Nguyên lý không chac chan.................................................................13
1.3 Bien đoi Fourier thòi gian ngan........................................................................19
1.4 Ánh pho và phân bo Wigner.............................................................................27
1.4.1 Ánh pho...................................................................................................27
1.4.2 Phân bo Wigner.....................................................................................28
1.4.3 Lóp phân bo Cohen...............................................................................34
1.5 Bieu dien thòi gian - tan so kieu τ -Wigner....................................................36
1.5.1 Các đ%nh nghĩa.........................................................................................36
1.5.2 Các đ%nh lý và tính chat cna bieu dien τ -Wigner...........................37
1.5.3 Bieu dien bang hình ve.........................................................................46
2 Bieu dien Wigner liên ket vái bien đoi tuyen tính cúa m¾t phang thài
gian – tan so

49

2.1 Bieu dien W igU và tính chat cna nó...............................................................49

4

2.1.1 Han che cna hàm suy r®ng Wigner co đien......................................49
2.1.2 Bieu dien W igU.......................................................................................50
2.1.3 Tính chat.................................................................................................51
2.2 Giái thích nhieu bang đo th% và úng dung trong mã hóa tín hi¾u.............60
Ket lu¾n

65

Tài li¾u tham kháo

66


Báng kí hi¾u và viet tat

Z+ : T¾p hop các so nguyên dương.
n
R : T¾p hop các so thnc.
Rn : Không gian Ơclit n chieu.
C : T¾p hop các so phúc.
Rez : Phan thnc cna so phúc
z. Imz : Phan áo cna so phúc
z.
z : So phúc liên hop cna so phúc z.
|z| : Mô đun cna so phúc z.
C∞ :

Không gian các hàm khá vi vô han.
p

"f"Lp : Chuan trong không gian L (Ω),
1


p
n
¸ |f (x)|p
dx , Ω ⊂ R .
"f" p = 
L

Ω

Lp : Không gian các hàm đo đưoc Lebesgue, có chuan Lp huu
han.
n
.
|α| : B¾c cna α, |α| =
αi, α = (α1, ..., αn) ∈+ Zn .
i=1
α

D f : Đao hàm cap α cna f .
suppf : Giá cna hàm f ∈ Lp(Ω).
Ck (Ω) : Là t¾p hop các hàm liên tuc khá vi k lan trong Ω.

0 (Ω) : T¾p các hàm trong
C
k C
0
∞

(Ω) :

C
=

k

(Ω) có giá compact.

∞
k

∩ Ck (Ω).

=0

o

X[a,b] : Hàm đ¾c trưng trên [a, b].
D (Ω) : Không gian các hàm cơ bán.
Dt (Ω) : Không gian hàm suy r®ng.
S (Rn) : Không gian các hàm giám nhanh.
St (Rn) : Không gian các hàm suy r®ng tăng ch¾m.

¸ f (x) e−2πixω dx.
fˆ, F (f ) :
Bien đoi Fourier cna hàm f vói
fˆ(ω) =
Rn

F−1 (f ) : Bien đoi Fourier ngưoc cna hàm f .
F2 : Bien đoi Fourier riêng theo bien thú hai
¸
−2πitω
2n
dt.
cna hàm f trên R vói F2 = f (x, t) e
Rn

Txf : Phép t%nh tien theo x cna hàm f và Txf (t) = f (t − x).
Mωf : Sn đieu bien theo ω cna hàm f
và Mωf (t) = e2πiωtf
(t).
ϕa (x) : Là hàm Gauss vói ϕa (x) = πx2 a
.
e−
Ta : Phép bien đoi toa đ® không đoi
xúng vói Taf (x, t) = f (t, t − x).
Ts : Phép bien đoi toa đ® đoi xúng
.
.
vói Tsf (x, t) = x + t , x − t .
2
2

f


vii

Vgf : Bien đoi Fourier thòi gian ngan cna hàm f đoi vói
¸
hàm cúa so g, Vgf (x, ω) = f (t) g (t − x)e−2πitωdt.
Rn

f ⊗ g : Tích ten sơ cna hàm f và g, (f ⊗ g) (x, t) = f (x) g
(t).
f ∗ g : Tích ch¾p cna hàm f và g.
W ig (f ) :Phân bo Wigner cna hàm f .
W ig (f, g) : Phân bo Wigner chéo cna hàm f và g.
Qσf : Lóp phân bo Cohen.
W igτ (f ) : Phân bo τ -Wigner cna hàm f .
W igτ (f, g) : Phân bo τ -Wigner chéo cna hàm f và g.
R (f, g) : Bieu dien Rihaczek cna hai hàm f , g.
R∗ (f, g) : Bieu dien Rihaczek liên hop cna hai hàm f , g.
SPEC g f, Sp g f : Ánh pho cna hàm f đoi vói hàm cúa so g.
Spφ,ψ (f, g) : Ánh pho tong quát cna hàm f , g đoi vói hàm cúa so φ,
ψ.


8

Má đau
1. Lí do chon đe tài
Bien đoi Fourier chúa tat cá các thông tin ve m®t tín hi¾u,

nhưng m®t vài thông tin, ví du thòi gian mà tan so xuat hi¾n trong tín
hi¾u, đưoc an đi trong nhung pha phúc tap. M®t trong nhung muc đích
chính cna giái tích thòi gian-tan so trong 50 năm cuoi đã đưoc xác đ
%nh thích hop nhung sn đieu chính “hai bien” cna bien đoi Fourier mà
thông tin ve cá thòi gian và tan so chúa trong tín hi¾u đưoc tao ra
chi tiet. Chúng là nhung hàm ho¾c hàm suy r®ng Q (f ) (x, w) phu
thu®c vào thòi gian x ∈ Rn và tan so ω ∈ Rn, phu thu®c theo b¾c
hai trên tín hi¾u f và có giái thích theo v¾t lý như phân bo năng
lưong ho¾c tín hi¾u trông không gian thòi gian-tan so Rn × Rn . M®t
van đe chính trong phân tích

x

ω

tín hi¾u là trong sn bieu dien cna chúng thưòng xuyên có vài loai hi¾n
tưong giá (cũng đưoc biet như “nhieu” ho¾c “tan so ma”) xuat hi¾n
trong nhung vùng cna m¾t phang thòi gian-tan so, ó đó tín hi¾u chúa
trong năng lưong không thnc. Ta mong muon loai trù ho¾c ít nhat rút
gon m¾t han che này, can thiet đưa ra đa dang các phương pháp và đ
%nh nghĩa trong nhieu cách bieu dien khác nhau.
Trong thnc te, m®t trong nhung tró ngai chính cna giái tích
thòi gian-tan so đưoc liên ket vói nguyên lý bat đ%nh co đien, sn phân
bo năng lưong cna nhung tan so m®t tín hi¾u không the đưoc t¾p
trung trong nhung t¾p quá nhó trên m¾t phang thòi gian-tan so. Vì
nguyên


lý bat đ%nh, trong sn thành l¾p các công thúc khác nhau cna nó, se là
không khá thi đe xây dnng sn bieu dien tot nhat, đieu đó có the đưoc

hình thúc hóa trong rat nhieu cách. M®t công thúc de dàng là, đưa ra
m®t tín hi¾u f (t), m®t sn bieu dien thòi gian-tan so b¾c hai Q (f )
(x, ω) đã xác đ%nh, không the thóa mãn cùng lúc tính dương, tính
chat giá và đieu ki¾n phân phoi biên. Bên canh hàm suy r®ng Wigner
co đien,
xem xét nhung bieu dien khác cna kieu Wigner, ví du dang τ−Wigner.
Nhung bieu dien τ−Wigner đã đưoc nghiên cúu trong sn ket noi vói
nhung toán tú giá vi phân Weyl, kieu Wigner co đien là m®t trưòng hop
đ¾c bi¾t vói τ =2

1

. Tat cá nhung sn bieu dien kieu Wigner này thóa

mãn tính chat giá và đieu ki¾n phân phoi biên nhưng không dương. Đ
%nh lý Hudson trong trưòng hop đ¾c bi¾t mà kieu Wigner co đien là
dương chí trên nhung tín hi¾u kieu Gausian.
Xác đ%nh m®t sn bieu dien kieu Wigner mói mà thóa mãn
tính chat giá vói m®t b¾c đã biet cna xap xí nhưng có đ¾c điem là
nhung tan so ma có the di chuyen đưoc trong nhung vùng khác cna
m¾t phang thòi gian-tan so là m®t van đe hap dan, vì the tôi lna chon
đe tài:
"Bieu dien Wigner liên ket vái bien đoi tuyen tính cía m¾t
phang thài gian-tan so"
2. Mnc đích nghiên cNu
Nghiên cúu ve các bieu dien Wigner khi liên ket vói nhung
bien đoi tuyen tính cna m¾t phang thòi gian-tan so và tính chat cna
nó.
3. Nhi¾m vn nghiên cNu

Đưa ra đưoc m®t sn bieu dien kieu Wigner mói mà thóa mãn
tính chat giá vói m®t b¾c đã biet cna xap xí nhưng có đ¾c điem là
nhung


tan so ma có the di chuyen đưoc trong nhung vùng khác cna m¾t
phang thòi gian-tan so.
4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Nghiên cúu các bieu dien Wigner liên ket vói bien đoi tuyen
tính cna m¾t phang thòi gian-tan so.
5. Phương pháp nghiên cNu
Sú dung phương pháp nghiên cúu đ¾c trưng cna giái tích
hàm. Phương pháp phân tích, tong hop.
6. DN kien đóng góp mái
Đ%nh nghĩa m®t sn bien đoi cna kieu Wigner phu thu®c vào
m®t bien đoi tuyen tính cna m¾t phang thòi gian-tan so và đưa ra
các tính chat tương úng.
Giái thích sn xuat hi¾n cna tan so ma trong tín hi¾u bang
hình hoc tn nhiên bói sn bieu dien Wigner b¾c hai.


1

Chương 1
M®t so khái ni¾m và ket quá chuan
b%
1.1

Bien đoi Fourier

1.1.1

Đ%nh nghĩa và tính chat
n
.
Ta kí hi¾u x.ω =
xiωi, ∀x, ω ∈ Rn là tích vô hưóng trên Rn và
viet

i=1

√
tat x2 = x.x, ∀x ∈ Rn, chuan Euclide là |x| = x.x.
Đ%nh nghĩa 1.1.1. Bien đoi Fourier cna hàm f ∈ L1 (Rn ), kí hi¾u
là fˆ ho¾c Ff , là m®t hàm đưoc xác đ%nh bói
¸
ˆ
f (ω) = f (x) e−2πix.ωdx , ω ∈ Rn.
(1.1)
Rn

Nh¾n xét 1.1.1.
1. Tù (1.1), ta có f

™ "f" .

ˆ

1

L∞

L

2. Ta dùng kí hi¾u F (f ) khi muon nhan manh rang phép bien đoi
Fourier
là m®t toán tú tuyen tính tác đ®ng trên m®t không gian hàm f ∈ L1
(Rn).
3. Ngoài cách đ%nh nghĩa bien đoi Fourier như trên, ta còn có the đ%nh


nghĩa bien đoi Fourier theo m®t cách khác như sau:
n¸
−
ˆ
f (ω) = (2π)
f (x) e−ix.ωdx.
2

Rn

ho¾c
fˆ(ω) =

¸

f (x) e−ix.ωdx.

Rn

4. Neu f là m®t tín hi¾u, đoi vói kĩ sư, thì ω là tan so và fˆ(ω) đưoc
hieu là biên đ® cna tan so ω cna tín hi¾u f . Trong v¾t lý, ω đưoc goi
là bien
đ®ng
là m¾t đ® xác suat đoi vói đ®ng lưong.
Do lưong và f −2..f (ω).2
.
ˆ
.ˆ .
đó f −2 ¸ .
2
.2 L
.
dω là xác suat cna chat điem trong trang thái f có
.
ˆ
ˆ
L2 I f (ω).
đ®ng lưong cna nó trong mien I ⊂ Rn.
Bo đe 1.1.1 (Bo đe Riemann-Lebesgue). Neu f ∈ L1 (Rn ) thì fˆ liên
tnc

đeu và lim
(ω).. = 0.
.. ˆ
.
.f

|ω|→∞

Nh¾n xét 1.1.2.
1. Vói C0 (Rn) là không gian Banach cna các hàm liên tuc tri¾t tiêu
tai vô cnc. Khi đó, bo đe Riemann – Lebesgue 1.1.1 dien đat tính chat
ánh xa cna bien đoi Fourier như sau
F : L1 (Rn) → C0 (Rn) .
2. Neu chúng ta bó đi đieu ki¾n mà bien đoi Fourier đưoc xác đ%nh
theo tùng điem bói công thúc 1.1, chúng ta có the thác trien phép
bien đoi Fourier ra không gian hàm tot hơn đó là không gian L2. Ket
quá cơ bán là đ%nh lý Plancherel mà chúng ta se nghiên cúu sau.
Đ%nh lí 1.1.3 (Đ%nh lí Hausdorff - Young). Giá sú 1 ™ p ™ 2 và so
pr


thóa
mãn

1
1
+
p
pr

=1
thì

F : Lp (Rn) → Lpr (Rn)


và

fˆ

r

Lp

™ "f "Lp .

Chú ý 1.1.4.
1. Beckner và Brascamp Lieb đã phát bieu hình thúc khác cna Đ%nh lý
Hausdorff-Young như sau:
Kí hi¾u Ap là Hang so Babenko-Beckner
. .
1/p
p
Ap = .
1/2
(pr)1/

(1.2)

pr

Khi đó

"fˆ "pr ≤ Adp "f"p , ∀f ∈ p(R ), 1 ™ p ™ 2.

(1.3)

n

L
2. Bat đang thúc (1.3) goi là bat đang thúc Hausdorff-Young.
1.1.2

Các toán tN cơ bán

Đ%nh nghĩa 1.1.2. Vói x, ω, y, t ∈ Rn và f ∈ S (Rn), ta đ%nh nghĩa
các toán tú sau đây:
1. Phép t%nh tien theo x cna f , kí hi¾u Txf là m®t "sn d%ch chuyen
thòi gian" đưoc xác đ%nh bói:
Txf (t) = f (t − x) .
2. Sn đieu bien theo ω cna f , kí hi¾u Mωf đưoc xác đ%nh bói:
Mωf (t) = e2πit.ωf (t) .
3. Phép đoi hop cna f , kí hi¾u f ∗ đưoc đ%nh nghĩa bói:
f ∗ (x) = f (−x).
4. Toán tú đoi xúng cna f , kí hi¾u f˜ đưoc xác đ%nh bói:
f˜(x) = f (−x) .


5. Tích ch¾p cna hai hàm f, g ∈ L1 (Rn), kí hi¾u là f ∗ g đưoc xác đ
%nh
bói:

¸
(f ∗ g) (x)

f (y)g (x − y) dy.

=

Rn

Chú ý 1.1.5. Nhung toán tú có dang TxMω ho¾c MωTx đưoc goi là
chuyen d%ch thòi gian – tan so. Ta có h¾ thúc giao hoán chính tac
TxMω = e−2πix.ωMωTx.
Đong nhat trên đưoc suy ra tù tính toán đơn gián
TxMω = (Mωf ) (t − x) = e2πiω.(t−x)f (t − x)
= e−2πix.ωe2πiω.tf (t − x) = e−2πix.ωMωTx.
H¾ quá là Tx và Mω giao hoán khi và chí khi x.ω ∈ Z.
Tính chat: Vói x, ω ∈ Rn và f ∈ S (Rn) ta có các tính chat sau:
1)"Tx Mω f"Lp = "f"Lp .
2) (Tx f )ˆ= M−x fˆ.
3) (Mω f )ˆ= Tω fˆ.

(1.4)
(1.5)
2πix.ω

4) (Tx Mω f )ˆ= M−xTω fˆ
Tω M−xfˆ.
−
g.
=e
5) "f ∗ g "L1 ≤ "f"L1 "g"L1 , (f ∗ g)ˆ= fˆ.ˆ
ˆ
˜
6) fˆ∗ = f ˜ = f ˆ.
fˆ,

(1.6)

(1.7)

7) (f ∗ g)(x) = (f, Txg∗) (neu cá 2 ve đeu xác đ%nh).
Nh¾n xét 1.1.6.
1. Công thúc (1.5) giái thích tai sao sn đieu bien theo ω cna f đưoc goi
là chuyen d%ch tan so.
2. Ket hop công thúc (1.4) và (1.5), ta đưoc công thúc (1.6), m®t trong
nhung công thúc quan trong nhat cna giái tích thòi gian – tan so.


3. Đánh giá trong (1.7) chí ra L1 (Rn) là m®t đai so Banach vói
tích ch¾p. Đang thúc trong (1.7) cùng vói bo đe Riemann – Lebesgue
1.1.1 chí ra bien đoi Fourier ánh xa L1 (Rn) vào m®t đai so con (trù
m¾t) cna Co (Rn). Cũng như đ%nh nghĩa cna bien đoi Fourier, tích
ch¾p có the đưoc mó r®ng tói nhung không gian hàm khác.
Đ%nh lí 1.1.7 (Đ%nh lý Young). Neu f ∈ Lp (Rn) và g ∈ Lq (Rn)
và
n
1

1

1

r

n

+ q = 1 + r thì f ∗ g (R ) và "f ∗ g"r ™
(ApAqArr )

∈L
là hang so Babenko - Beckner.

"f"p "g"q , Ap

p

1.1.3

Bien đoi Fourier và đao hàm

Cho m®t đa chí so α = (α1, α2, . . . , αn) ∈ Nn.
Ta viet như thông thưòng
n
.
|α|
αj .
trong đó ω = (ω1, ω2, ..., ωn) .
=
j=
1
n

ωα
=

Q ωαj
j

j=1

α
D
∂ 1 =

α

∂x

α1
1

∂α2 ...
∂
αn αn
α
∂x 2
∂x

đoi vói đao hàm riêng cap α.

n

2

X α f (x) = xαf (x) đoi vói toán tú nhân.
Lay bien đoi Fourier cna đao hàm cap α cna f ta đưoc:
. α .
D f (ω) = (2πiω)ˆαf (ω)
ˆ

và

.

.
(−2πix)α f ˆ(ω) = Dα fˆ(ω).
.

Ho¾c viet dưói dang toán tú
α

FD = (2πi)
=

|α|

α

X F và FX

i

.|α|

α

2π

D α F.

(1.8)

(1.9)


Vói nhung hàm kiem tra thích hop, ví du f ∈ C ∞ (Rn) có giá
compact,
(1.8) và (1.9) đưoc chúng minh de dàng bói các phép tính trnc tiep. Ví


du, chúng minh (1.9):

. −2πix.ω.
α
f
D
e
dx
(x)
¸
Dα fˆ(ω) =
Rn

.

¸
= f (x)
Dα

n

. xk ωk
−2π

k=1

.
dx

i

e
Rn

¸

n

=

f (x)

Y

α

(−2πixk) k e−2πix.ωdx

k=1

R¸n

α

(−2πix) f (x)e−2πix.ωdx

=
Rn

.
.
α
= (−2πix) f ˆ(ω).
Đ%nh nghĩa 1.1.3. Cho f ∈ L1 (Rn). Bien đoi Fourier ngưoc cna hàm
f , kí hi¾u F −1 (f ), đưoc đ%nh nghĩa bói
¸
−1
F (f )
f (ω) e2πix.ωdω ,x ∈ Rn.

(1.10)

=
Rn

Đ%nh lí 1.1.8. Neu f ∈ L1 (Rn)
và

fˆ ∈ L1 (Rn ) thì

¸
f (x) =

fˆ(ω) e2πix.ω dω, ∀x ∈ Rn.
Rn

Túc là F−1

F˜, trong đó phép phán

=

xa

f˜(x) = f (−x).

Đ%nh nghĩa 1.1.4. Cho f ∈ S r (Rn), bien đoi Fourier cna hàm suy
r®ng
f , kí hi¾u là Ff , là hàm suy r®ng tăng ch¾m xác đ%nh bói
(Ff, ϕ) = (f, Fϕ) , ϕ ∈ S(Rn).


Bien đoi Fourier ngưoc cna hàm f , kí hi¾u là F−1 f là hàm suy r®ng
tăng ch¾m xác đ%nh bói
.

.
.
.
F−1f, ϕ = f, F −1 ϕ , ϕ ∈ S (Rn) .

M®t quan h¾ trung tâm cna giái tích Fourier co đien là liên ket các
tính chat cna m®t hàm ho¾c hàm suy r®ng f tói tính chat cna ˆ
f . Như
m®t quy tac ngón tay cái trong v¾t lý, tính trơn cna f suy ra m®t sn
suy giám cna fˆ và ngưoc lai.
Bo đe 1.1.2. Dαf ∈ L2 (Rn) vói moi |α| ™ k khi và chs khi
¸ .
.2 .
.k
.
.
.fˆ(ω). 1 + | 2 dω < ∞.
ω|
Rn
1.1.4

Hàm Gauss và đ%nh lý Plancherel

Đ%nh nghĩa 1.1.5. Hàm Gauss chưa đưoc chuan hóa vói đ® r®ng a >
0
trên Rn, kí hi¾u là ϕa (x) đưoc xác đ%nh bói:
ϕa (x) = e− πx

2

a

.

Bo đe 1.1.3 (Bien đoi Fourier cna hàm Gauss). Vói moi a > 0
n

ϕa (ω) = a 2 ϕ 1 (ω) .
ˆ

(1.11)

a

Đ¾c bi¾t là, vói a = 1 thì .e−πx2 .ˆ(ω) = e−πω2 .
Chúng minh.
i)

Vói n = 1, sú dung đao hàm cna ϕa (x) =
e−
ϕr

a (x) =
−2πxa

πx2
a

−1

ϕa (x) .

ta lay đao hàm cna bien đoi Fourier cna hàm ϕa (ω)

d

ˆϕa (ω) = (2πiXϕa )ˆ(ω) (do (1.9) và (1.12))
.
.
dω
dϕ
= ia dx
ˆ(ω) (do (1.12))
a

ϕa (ω) (do (1.8)).
= ia (2πiω) ˆ

(1.12)


d ϕa (ω) =
−2πaω ˆ

Tù đó suy ra

(ω) .

ˆ
ϕa
dω
Phương trình trên là m®t phương trình vi phân tuyen tính b¾c nhat đoi
vói ˆ

ϕa (ω) =
Ce−πaω

đưoc xác đ%nh bói đieu ki¾n ban đau
+∞

C = ϕ (0) =
a
e−
ˆ

a

−∞
−
2

ϕ (ω) = a e
ˆ

⇒

2

√
dx = a.

1

= a2 ϕ 1

(ω) .

a
πaω

a

V¾y (1.11) đúng vói n = 1.
ii)

, hang so C

πx2

¸

1

2

Vói n > 1, chúng ta nh¾n xét rang bien đoi Fourier trên Rn báo toàn

tích, nghĩa là
F

Vì ϕa (x)
=

n

πx2
j

Q

a

.

.

n

n
Y

Ffj (ωj ) .
fj (xj ) = Y

j=
1

j=
1

trên Rn và (1.11) đúng vói n = 1 nên (1.11) đúng

e−
j=1

vói n bat kì.
Bo đe đưoc chúng minh.
Chú ý 1.1.9. Neu đ%nh nghĩa hàm Gauss ϕc vói m®t tham so phúc
2

c ∈ C . Viet c−1 = a0 + ib0 ta thu đưoc ϕc (x) = e−πib0x

2

. Tính

e−πa0x
toán trong bo đe 1.1.3 đưoc mó r®ng cho hàm Gauss vói tham so phúc
n

ϕc (ω) = c 2 ϕ 1 (ω) , trong đó căn b¾c hai
đưoc
c = a + ib , a > 0 , khi đó
ˆ
c
chon đe có phan thnc dương.
Bo đe 1.1.4 (Sn d%ch chuyen thòi gian tan so cna hàm Gauss). Vói moi
a > 0 và vói moi x, u, ω, η ∈ Rn thì
.a .n


(TxMωϕa, TuMηϕa)
=

2

2

eπi(u−x).

(η+ω)

ϕ2a (u − x) ϕa 2 (η − ω) .


Chúng minh.

¸

(ϕa, MωTxϕa) =
Rn

πt2

e− a
e−
¸

πx2

= e− 2a

π(t−x)

2

a

e−2πiω.tdt

2π(t− x
2

)

2

e− a e−2πiω.tdt
Rn .
.
= ϕ2a (x) T x ˆϕ a (ω)
2 2
. .n
a 2
ϕ (x) ϕ 2 (ω) (Theo (1.4) và Bo đe
= e −πix.ω
2a 1.1.3).
2
a
Trưòng hop tong quát đưoc suy ra tù tính toán

chúng ta suy ra

M−ωTu−xMη =
−

e

2πiη.(u−x)

M

η−

T

u−x

ω

(TxMωϕa, TuMηϕa) = (ϕa, M−ωTu−xMηϕa)
−ω u−xϕa)

= e2πiη.(u−x) (ϕa, T

Mη
. .n
a 2 2πiη.(u−x) −πi(u−x).(η−x)
e
e
=
2aϕ

x) ϕ 2 − ω)
(η a

(u
2
. . n
= a 2 eπi(u−x).(η+ω)ϕ2a (u − x) ϕ 2 (η − ω) .
a
2
Bo đe đưoc chúng minh.

Bo đe 1.1.5 (Tính trù m¾t). Vói moi a > 0, bao tuyen tính cúa t¾p
{TxMωϕa : x, ω ∈ Rn} sinh ra m®t không gian con trù m¾t cúa L2
(Rn), nói cách khác
span {TxMωϕa : x, ω ∈ Rn} = L2 (Rn) .
Đ%nh lí 1.1.10 (Đ%nh lý Plancherel). Neu f ∈ L1 (Rn) ∩ L2 (Rn) thì
"f" 2 = "fˆ " 2 .
L

L

Do đó có the mó r®ng tói m®t toán tú unita trên L2 (Rn) và thóa
mãn đang thúc Parseval
(f, g) =

.f ˆ, g.
ˆ

, ∀f, g ∈ L2


(Rn) .