Các định lý điểm bất động và ứng dụng vào phương trình elliptic á tuyến tính cấp 2

L
ỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
2 dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Hà Tiến Ngoạn. Thầy luôn hướng
dẫn nhiệt tình và truyền đạt cho tác giả những kinh nghiệm trong quá
trình học tập và nghiên cứu khoa học. Tác giả xin bày tỏ lòng kính
trọng, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đối với thầy.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy giáo,
cô giáo trong nhà trường và các thầy, cô giáo giảng dạy chuyên ngành
Toán Giải tích đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và
làm luận văn.
Cuối cùng, tác giả xin được cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng
nghiệp đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn
thành bản luận văn này.

Hà Nội, tháng 10 năm 2012
Tác giả

Đỗ Thị Hương


LỜI CAM ĐOAN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội
2 dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Hà Tiến Ngoạn.
Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa
học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết
ơn.

Hà Nội, tháng 10 năm 2012
Tác giả

Đỗ Thị Hương


Mục lục

Mở đầu

5

Chương 1. MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG

8

1.1. Định lý điểm bất động Brouwer . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2. Định lý điểm bất động Schauder................................................13
1.3. Định lý điểm bất động Leray-Schauder.....................................14
1.3.1. Dạng đặc biệt...................................................................14
1.3.2. Dạng tổng quát.................................................................15
Chương 2. ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ LERAY-SCHAUDER
VÀO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Á TUYẾN TÍNH
CẤP HAI

18

2.1. Bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic á tuyến tính
cấp hai............................................................................................18
2.1.1. Phát biểu bài toán............................................................18
2.1.2. Ví dụ 1: Phương trình Euler-Lagrange..........................19
2.1.3. Ví dụ 2: Phương trình mặt cực tiểu.............................21
2.2. Tính giải được của bài toán Dirichlet cho phương trình
elliptic á tuyến tính cấp hai........................................................ 21
2.2.1. Đánh giá tiên nghiệm Ho¨lder đối với nghiệm bài
toán Dirichlet và các đạo hàm cấp một của nó . .

21

2.2.2. Áp dụng dạng đặc biệt của định lý Leray-Schauder 25
2.2.3. Áp dụng Định lý Leray-Schauder dạng tổng quát

30


4

Tài liệu tham khảo................................................................42


BẢNG KÝ HIỆU

Rnn
R

+

∂S
S¯
C0(Ω)
C 0(Ω¯ )
Ck(Ω)
C k (Ω¯ )
k

không gian Euclidnn-chiều
nửa không gian R = {x ∈

n

|xn > 0}

R
tập của các điểm trên biên của tập S
bao đóng của S, S¯ = ∂S ∪ S
tập các hàm liên tục trên Ω
tập các hàm liên tục trên Ω¯
tập các hàm có đạo hàm liên tục đến cấp ≤ k trong
Ω (k ≥ 0, k ∈ Z hoặc k = ∞)
tập tất cả các hàm trong C k (Ω) có đạo hàm đến cấp ≤
liên tục trong Ω¯
tập các hàm trong

k
(Ω)
(Ω) có giá compact trong Ω
C0

k C
BR(x0)
hình cầu tâm x0 bán kính R trong Rn
C(∗, ..., ∗) hằng số C chỉ phụ thuộc vào các đại lượng bên
trong dấu ngoặc đơn


MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
Lý thuyết điểm bất động là một trong những lý thuyết quan
trọng của ngành giải tích, với rất nhiều thành tựu mà nổi bật là các
nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912), Banach (1922) và Schauder
(1930).
Nguyên lý điểm bất động Brouwer được Brouwer chứng minh
dựa trên lý thuyết bậc tôpô của ánh xạ liên tục trong không gian
hữu hạn chiều. Đây cũng là một định lý được xem là thành tựu sớm
nhất của tôpô đại số và làm nền móng cho các hướng nghiên cứu
tiếp theo của nhiều nhà toán học, dẫn đến các kết quả cơ bản khác.
Định lý điểm bất động Schauder chính là một mở rộng của nguyên lý
điểm bất động Brouwer cho không gian vô hạn chiều (áp dụng cho
không gian Banach). Các kết quả kinh điển này đã được mở rộng ra
các lớp ánh xạ trong các không gian khác nhau, đã được ứng dụng
rộng rãi trong nhiều lĩnh vực và được tập hợp lại dưới một cái tên
chung: lý thuyết điểm bất động. Trong lý thuyết này, ngoài các định
lý tồn tại điểm bất động, người ta còn quan tâm đến cấu trúc của
tập hợp điểm bất động, các phương pháp tìm điểm bất động và các
ứng dụng của chúng.
Mặt khác, trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, các định
lý điểm bất động thường được ứng dụng trong việc chứng minh sự

tồn tại nghiệm của các bài toán, như bài toán biên, bài toán Cauchy
hoặc bài toán biên-giá trị ban đầu. Các đánh giá tiên nghiệm đối với
nghiệm của các phương trình hoặc các bài toán sẽ được dùng để
kiểm tra các giả thiết của các định lý điểm bất động. Một đánh giá
tiên nghiệm là một đánh giá đối với nghiệm u(x) thông qua các hệ
số, vế phải của phương


7

trình và các dữ kiện của bài toán, trên cơ sở giả thiết nghiệm tồn tại.
Việc nghiên cứu các định lý điểm bất động và ứng dụng của
nó là một vấn đề có ý nghĩa quan trọng. Trong luận văn này tôi đã
chọn đề tài: “Các định lý điểm bất động và ứng dụng vào phương
trình elliptic á tuyến tính cấp hai”.
Nội dung cơ bản của luận văn được dựa trên chương 11 của tài
liệu
[5].
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu các kiến thức cơ bản của định lý điểm bất động, sau
đó nêu ra ứng dụng của nó vào việc nghiên cứu tính giải được của bài
toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Việc nghiên cứu hoàn thiện luận văn với nhiệm vụ hệ thống
làm sáng tỏ nội dung của các định lý điểm bất động và ứng dụng cho
phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Các kết quả về các định lý điểm bất động, một số ứng dụng của
nó cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai. Cụ thể luận văn
gồm 2 chương:

Chương 1: Một số định lý điểm bất động.
Chương 2: Ứng dụng Định lý Leray-Schauder vào phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai.
5. Phương pháp nghiên cứu
Tìm hiểu tài liệu, sử dụng các phương pháp của Giải tích hàm,


8

Phương trình đạo hàm riêng để nghiên cứu một số định lý điểm
bất động và ứng dụng vào phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai.
6. Những đóng góp mới của đề tài
Trình bày hệ thống các vấn đề nghiên cứu.
Chi tiết hoá các chứng minh trong tài liệu.


Chương 1
MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT
ĐỘNG

1.1.

Định lý điểm bất động Brouwer
Định lý điểm bất động Brouwer là một định lý quan trọng

về điểm bất động. Nó khẳng định một ánh xạ từ tập lồi đóng, bị
chặn trong không gian hữu hạn chiều vào chính nó thì có một điểm
bất động. Định lý điểm bất động dưới đây được xét trong không gian
Rn. Để chứng minh ta cần có bổ đề:
Bổ đề 1.1. Cho f là một hàm véc tơ cột khả vi vô hạn của n+1
biến (x0, ..., xn) với những giá trị thuộc Rn. Kí hiệu Di là đạo hàm

riêng của định thức n cột fx0 , ..., fxi−1 , fxi+1 , ..., fxn. Khi đó:
n
.
∂
i
(−1)
Di = 0.
∂xi

(1.1)

i=0

Chứng minh. Với ∀ (i, j) ∈ N, 0 ≤ i, j ≤ n, i ƒ= j, ký hiệu Cij là
định thức mà cột đầu là fxixj và các cột còn lại là fx0 , ..., fxn sắp xếp
theo thứ tự tăng dần và fxi , fxj bị bỏ qua khi liệt kê. Rõ ràng Cij =
Cji, do phép lấy vi phân các cột của định thức được hoán vị cho nhau
nên ta có:
∂ Di =
∂xi

.

j

(−1) Cij +

j
(−1)

i

∂
∂ xi

.
Di

j−1

(−1)

j>i
n

Hơn nữa

.

i=0

=
i+j

(−1)

Cij

Cij.

σ (i, j) ,


10

ở đó σ (i, j) = 1 nếu j < i, σ (i, j) = 0 nếu i = j, σ (i, j) = −1 nếu j
> i.
Khi đó
.
n

i=0

n

σ (i, j) .

.

i

(−1)
∂

i

∂xi

D

=
i+j

(−1)

Cij

i,j=0

Đổi chỗ các chỉ số i, j trong biểu thức cuối cùng và sử dụng σ (i,
j) =
−σ (j, i), ta có
n
n
.
.
i+j
(−1) Cijσ (i,
j) =

(−1)

j+i

Cijσ (j, i)

i,j=0

i,j=0
n

.

= (−1)

i+j

(−1)

Cijσ (i, j) .

i,j=0

Từ đây, ba biểu thức bằng nhau trong các đẳng thức trên phải bằng
0, ta suy ra công thức (1.1) được chứng minh.

Định lý 1.1. (Brouwer) Nếu φ là một ánh xạ liên tục từ hình cầu
đơn vị đóng B = {x ∈ X, |x| ≤ 1} trong Rn vào chính nó thì có
một điểm
bất động, tức là ∃y ∈ B : φ (y) = y.
Chứng minh. Ta xét ánh xạ trong không gian hữu hạn chiều Rn, theo
định lý xấp xỉ Weierstrass cho các hàm liên tục của n biến nói
rằng, với mỗi ánh xạ φ liên tục của B vào chính nó là giới hạn đều
của một dãy (φk) của các ánh xạ khả vi vô hạn lần của B vào chính
nó. Giả sử định lý này được chứng minh với các ánh xạ khả vi vô
hạn lần thì với mỗi số nguyên k có một điểm yk ∈ B thoả mãn φk

11

(yk) = yk. Từ B là compact, với mỗi dãy con (yki ) hội tụ tới một
điểm y trong B. Khi đó lim φki (x) = φ(x) đều trên B thì
i→∞

φ (y) = lim φki (yki ) = lim yki = y.
i→∞

i→∞


Định lý này cũng đúng trong trường hợp φ là hàm khả vi vô hạn lần.
Giả sử φ là ánh xạ khả vi vô hạn lần của B vào chính nó và φ (x) ƒ=
x, x ∈ B Đặt a = a (x) là nghiệm rộng hơn của phương trình bậc hai
2

|x + a( x − φ (x))| = 1
Ta
có:

1 = (x + a (x − φ (x)) , x + a (x − φ (x)))
2

2

= |x| + 2a (x, x − φ (x)) + a2 |x − φ (x)| .
Áp dụng công thức bậc hai
2

a (x) |x − φ (x)| = (x, φ (x) − x)
1

2

2

+ ,(x, x − φ (x)) + .1 − |x| . |x − φ (x)|

2

,2

(1.2)

Khi |x − φ (x)| ƒ= 0 với x ∈ B thì biệt thức:
2

2

2

(x, x − φ (x)) + .1 − |x| . |x − φ (x)| > 0
khi |x| ƒ=
1.
Trường hợp còn lại, nếu |x| = 1 thì (x, x − φ (x)) ƒ= 0, với các giá
trị khác thì (x, φ (x)) = 1 và tích trong của hai véc tơ nhỏ hơn hoặc
bằng
1. Độ dài của chúng bằng nhau khi và chỉ khi chúng bằng nhau. Từ đó
biệt thức khác 0 với x ∈ B.

1

Do hàm t 2 là hàm khả vi vô hạn lần theo t với t > 0 và |x − φ (x)|
ƒ=
0, x ∈ B kéo theo từ công thức (1.2) có a (x) = 0 với |x| = 1 là
hàm khả vi vô hạn lần của x ∈ B. Ngoài ra theo công thức (1.2) có a
(x) = 0 với |x| = 1. Bây giờ với mỗi t ∈ R đặt f (t; x) = x + ta (x)
(x − φ (x)),


thì f là hàm khả vi vô hạn lần của n + 1 biến t, x1, ....., xn ∈ B.
Từ a (x) = 0 với |x| = 1 ta có ft (t, x) = 0 với |x| = 1. Trong trường
hợp còn lại f (0, x) = x và từ định nghĩa của a ta có |f (1, x)| = 1 với
∀x ∈ B.
Kí hiệu cột của định thức là véc tơ fx1 (t, x) , ......., fxn (t, x)
bởi
D0 (t, x) và xét tích phân
I(t) =

¸

(1.3)

D0(t, x)dx.

B

Rõ ràng I (0) là tập của B và hơn nữa I (0) ƒ= 0. Từ f (1, x) là
hàm phụ thuộc thoả mãn |f (1, x)| = 1 kéo theo định thức Jacobian
D0(1, x) đồng nhất bằng 0, hơn nữa I (1) = 0. Điều này mâu

thuẫn, yêu cầu
′

chứng minh sẽ đạt được nếu I(t) là số không đổi, nghĩa là I (t) =
0.
Từ chứng minh này biểu thức dưới dấu tích phân và biểu thức (1.1) kết
′

luận rằng I (t) là tổng của tích phân
±¸

∂ D
(t, x) dx
∂xi

i
B

ở đó Di (t, x) là các cột của định thức véc tơ
ft (t, x) , fx1 (t, x) , ..., fxi−1 (t, x) , fxi+1 (t, x) , ..., fxn (t, x)
Áp dụng định lý Gauss ta có
¸

∂
∂x
i

D

(t, x) dx = Di (t, x) ηidω.

¸

i
B

∂B

Với x ∈ ∂B, |x| = 1 và
ft(t, x) = a(x)(x − φ(x))
ta chỉ ra rằng ft(t, x) = 0 với x ∈ ∂B, hơn nữa Di (t, x) = 0. Khi đó ta
′


cũng chỉ ra rằng I (t) = 0, I là hằng số, I(1) = 0 ƒ= I(0). Điều này
mâu
thuẫn, chứng tỏ x ∈ B sao cho φ(x) = x.


Mệnh đề 1.1. Cho B = B¯ (0, r) ⊂ Rn là hình cầu đóng với bán kính
r
và gj : B → R là các ánh xạ liên tục, j = 1, 2, ..., n.
Nếu ∀x = (ξ1, ξ2, ..., ξn) ∈ Rn, ||x|| = r và
n
.
gj (x)ξj ≥ 0
(1.4)
j=1

thì hệ phương
trình

(1.5)

gj (x) = 0, j = 1, 2, .., n

có một nghiệm với ||xˆ|| ≤ r.
xˆ
Chứng minh. Cho g(x) = (g1(x), ..., gn(x)) và giả thiết g(x) ƒ= 0
với
∀x ∈ B. Định nghĩa
f (x) = − rg(r)
||g(x)||
với f là một ánh xạ liên tục của tập lồi compact B vào chính nó.
Khi
đó tồn tại một điểm bất động x˜ của f với "x˜" = "f (x˜)" = r.
Ngoài ra

.
= −

gj (x˜)ξj

1
||g(x˜) || .

.

.
r
= − 1 ||g(x˜) || .

r

j

fj (x˜)ξj
ξ 2 < 0.

Điều này mâu thuẫn với công thức (1.4) do đó mệnh đề được
chứng minh.
Hệ quả 1.1. Cho C là một tập lồi compact trong Rn, f : C → C là ánh
xạ liên tục thì f có một điểm bất động.
Chứng minh. Cho r > 0, sao cho B¯ (0, r) ⊃ C. Giả f˜ : Rn → Rn là
sử
một mở rộng liên tục của f với f˜(Rn) ⊂ coC thì
. .
f˜ B¯ 0, r)) ⊂ coC = C ⊂ B¯ (0, r) ,
trong đó coC là bao lồi của tập C.


trong C, bởi vì f (xˆ) = xˆ ∈ C.
Khi đó f˜ có một điểm bất
Thật
động xˆ
vậy, theo Định lý 1.1 thì ∃ ∈ B (0, r) sao
f˜ (xˆ) xˆ. Song
xˆ
cho
do
=
f˜(Rn ) ⊂ coC = C, nên xˆ ∈ C và f˜ (xˆ) = f (xˆ) = xˆ.

1.2.

Định lý điểm bất động Schauder
Định lý điểm bất động Schauder được mở rộng từ định lý

điểm bất động Brouwer từ không gian hữu hạn chiều lên không gian
Banach.

Định lý 1.2. Cho S là một tập lồi compact trong không gian Banach B
và cho T là một ánh xạ liên tục của S vào chính nó. Khi đó T có một
điểm bất động, nghĩa là Tx = x với x ∈ S.
Chứng minh. Cho k là một số nguyên dương (k ∈ N ∗). Do S là
compact, tồn tại một tập hợp hữu hạn điểm x1, x2, ..., xN ∈ S, ở
đó N = N (k) sao cho hình cầu
Bi = B 1 (xi) ⊂ S, i = 1, 2, ..., N.
k

Cho Sk ⊂ S là bao lồi của {x1, x2, ..., xN } và định nghĩa ánh xạ
Jk :
S → Sk xác định bởi
.
.
.
dist x, S − B i xi
.
Jk x = .
dist (x, S − Bi)
Rõ ràng Jk là liên tục với .

mỗi x ∈ .S ta có:
.
dist x, S − B i ||xi − x||
.
.
||Jkx − x||
i
k
dist (x, S − B )
≤
<

1

(1.6)

Ánh xạ Jk.T khi bị hạn chế trên Sk là ánh xạ liên tục của Sk vào
chính nó, hơn nữa theo định lý điểm bất động Brouwer có một điểm
bất động x(k). Do S là compact, một dãy con của dãy x(k) hội tụ tới
x ∈ S. Với
áp dụng (1.6) cho T x(k) ta có:
..
.. ..
..
.. (k)
..
(k) ..
(k)
(k) .. 1
x

−
T
x
=
J
.T
x
−
T
x
< ,
k
..
.. ..
..
k


và do T là liên tục, ta kết luận rằng Tx = x.


Hệ quả 1.2. Cho S là một tập lồi đóng trong không gian Banach B và
cho T là một ánh xạ liên tục của S vào chính nó sao cho ảnh T S
là tiền compact. Khi đó T có một điểm bất động.

1.3.
1.3.1.

Định lý điểm bất động Leray-Schauder
Dạng đặc biệt

Định lý 1.3. Cho T là một ánh xạ compact của một không gian Banach
B vào chính nó và giả sử tồn tại một hằng số M sao cho
||x||B < M

(1.7)

với ∀x ∈ B và σ ∈ [0, 1] thoả mãn x = σ.T x. Khi đó T có một điểm
bất động.
Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta giả sử M = 1. Ta đưa
vào ánh xạ T ∗ được định nghĩa bởi
T ∗ x = .T x

nếu ||T x|| ≤

(1.8)

1,
Tx
||T x||

nếu ||T x|| ≥

1.
Khi đó T ∗ là một ánh xạ liên tục của hình cầu đơn vị
B¯
vào chính nó. Do T
B¯

trong B

là tiền compact của T ∗ B¯ , hơn nữa bởi Hệ quả
1.2

ánh xạ T ∗ có một điểm bất động x. Ta chứng minh x cũng là điểm
bất
động của T . Giả sử ||T x|| ≥ 1 thì x = T ∗x = σT x, với σ =||T1x|| và
||x|| = ||T ∗x|| = 1. Theo (1.7) với M = 1, hơn nữa ||T x|| < 1 ta có
x = T ∗x = T x.
Hệ quả 1.3. Định lý 1.3 chỉ ra rằng nếu T là một ánh xạ compact
của một không gian Banach vào chính nó, trong đó điều kiện (1.7)


có thể không cần được thoả mãn thì với σ ∈ (0, 1] nào đó, ánh xạ σT
có một điểm bất động. Hơn nữa, nếu đánh giá (1.7) được thoả mãn
thì σT có một điểm bất động ∀σ ∈ [0, 1] .


Chứng minh. Cho T là ánh xạ compact
a) Giả sử (1.7) không được thoả mãn thì ∃σ ∈ (0, 1] và ∃x ∈ B sao cho
σT x = x.
Thật vậy, giả sử ∀σ ∈ (0, 1] và ∀x ∈ B thì
σT x ƒ= x.

(1.9)

Khi đó (1.7) được thoả mãn. Theo định lý 1.3 thì ∃x ∈ B sao cho
Tx = x. Do đó mâu thuẫn với (1.9) do nó được thoả mãn với σ = 1.
b) Giả sử (1.7) được thoả mãn.
Ta chứng minh: ∀σ ∈ [0, 1] và ∃x ∈ B sao cho

σT x = x.
Đặt S = σT . Khi đó S là ánh xạ compact. Ta chứng minh S thoả
mãn (1.7).
Thật vậy, ta chứng minh ∃M1 > 0 sao cho ∀x ∈ B, σ1 ∈ [0, 1] : x =
σ1Sx
||x||B < M1.
Ta có

x = σ1Sx = σ1 (σT ) x = σ2T x

với σ2 ∈ [0, 1].
Từ (1.7) suy ra

||x||B < M
tức là M1 = M .
1.3.2.

Dạng tổng quát

Định lý 1.4. Cho B là một không gian Banach và cho T là một ánh xạ
compact của B × [0, 1] vào B sao cho T (x, 0) = 0 với ∀x ∈ B. Giả
sử


tồn tại một hằng số M thoả mãn
||x||B < M

(1.10)

với ∀(x, σ) ∈ B × [0, 1] sao cho x = T (x, σ). Khi đó ánh xạ T1 của B

vào chính nó xác định bởi T1x = T (x, 1) có một điểm bất động.
Nhận xét 1.1. Định lý 1.4 chứa Định lý 1.3 như là trường hợp đặc biệt,
trong đó vai trò của T (x, σ) là σT x.
Bổ đề 1.2. Giả sử B = B1(0) là hình cầu đơn vị trong B và cho T
là một ánh xạ liên tục của
vào B sao cho T là tiền compact và
B¯
B¯
T ∂B ⊂ B. Khi đó T có một điểm bất động.
Chứng minh. Ta định nghĩa ánh xạ T ∗ là:
.
T ∗x = T x

nếu ||T x|| ≤

(1.11)

1,
Tx
||T x||

nếu ||T x|| ≥

1.
Rõ ràng T ∗ là ánh xạ liên tục từ
B¯

vào chính nó và do T
B¯

là tiền

compact, cùng giá của T ∗ B¯ , hơn nữa bởi hệ quả 1.2, T ∗ có một
điểm bất động x và từ T ∂B ⊂ B ta có ||x|| < 1 và có x = T x.
Chứng minh Định lý 1.4: Giả sử cho M = 1 với 0 < ε ≤ 1, ta
định nghĩa ánh xạ T ∗ từ vào B là:
B¯
1−||x||
T ∗ x = T ∗x
.
||x||
=
ε
.T . ,
.x x 1,. ε
T
1−ε

,1

nếu 1 − ε ≤ ||x|| ≤

nếu ||x|| ≤ 1 − ε.

(1.12)


Ánh xạ T ∗ rõ ràng là liên tục, T
∗ ¯
B

là tiền compact. Do tính com-

pact của T và T ∗ ∂B = 0, hơn nữa bởi Bổ đề 1.2 ánh xạ T ∗ có một
.
điểm
bất động x (ε). Bây giờ ta có tập: ε = 1 , xk = x 1 ,
≤ ||xk|| ≤
k
.k (1 − ||xk||) nếu 1 − 1,
(1.13)
1
k
σk =
k.
1
nếu ||xk|| < 1 − k1 ,


ở đó k = 1, 2, .... Do tính compact của T ta có thể giả thiết dãy {(xk,
σk)}
hội tụ trong B × [0, 1] tới (x, σ). Từ đó kéo theo σ = 1.
Nếu σ < 1 ta có "xk" ≥ 1 với k đủ lớn và hơn nữa "x" = 1, x
k
=
−1
T (x, σ). Điều này mâu thuẫn với
(1.10).
Vì
∗ σ = 1 và T là liên tục nên T

x

→ T (x, 1) và x cũng là điểm

1
k

bất động của T1.

k