bất đảng thức (rất hay)

Họ Và Tên : Bùi Duy Chuân
Gv: THCS Lai Vu – Kim Thành - Hải Dương

MỘT PHƯƠNG PHÁPCHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC – CHỨNG
MINH BẤT ĐẲNG THỨC RIÊNG
( Bài viết tiếp theo bài đã được đăng trên tạp chí T1/2012)
Một bất đẳng thức có thể mang trong nó những vẻ đẹp của toán học.Cũng
vậy, một ý tưởng được sử dụng trong việc chứng minh một bất đẳng thức có thể
giúp ta khám phá một phương pháp hay để chứng minh nhiều bất đẳng thức khác .
1/Bất đẳng thức có các phân thức mà tử là đa thức bậc 2 và mẫu là đa thức
bậc 1
Bài toán 1.Cho a,b>0
a 2 b2
Chứng minh rằng : + �a+b (*)
b a
a/Phân tích
Ta nhận thấy các phân thức trong bất đẳng thức trên đều là phân thức mà tử là đa
thức bậc 2 và mẫu là đa thức bậc 1 do đó vế phải của bất đẳng thức riêng là đa thức
bậc nhất .
2
a2
�ax+by ; b �bx+ay .
Ta cần tìm x,y để xảy ra 2 bất đẳng thức riêng sau:
b
a
Khi đó ta cộng từng vế của hai bất đẳng thức trên ta được:
�
a2
�ax+by � 2
2
b

b
� a
(x+y)(a+b)
�  +
2
b
a
b
�bx+ay �
�
a
�
Như vậy so sánh bất đẳng thức (*) ta có x+y=1
a2
Mặt khác : �ax+by .
b
2
� a �abx+b2y (do b>0) .
� a2-abx-b2y �0.
bx 2 b2 x 2 2
� (a) -b y �0.
2
4
x2
b2 x 2 2

Ta lựa chọn y=
để cho biểu thức -b y=0.
4
4

�x  2
x2
Ta thay y= 
vào x+y=1 giải ra ta được �
4
�y  1
�a 2
�b �2a-b
�
Khi đó ta có các bất đẳng thức riêng: � 2
�b
�2b-a
�
�a
b/Lời giải
Chứng minh bất đẳng thức riêng
-3-


a2
�2a-b với a,b>0
b
a2
�2a-b
Ta có
b
۳ a 2 2ab-b2
� a 2  2ab+b 2 �0
2
� (a-b) �0 ( bất đẳng thức luôn đúng )

a2
�2a-b (1)
Do đó ta có
b
2
b
Chứng minh tương tự : �2b-a (2)
a
2
a b2
Từ (1) và (2) ta có + �a+b
b a
Bài toán 2 .Cho a,b,c>0
a2
b2
c2 a+b+c


�
Chứng minh rằng
a+b b+c c+a
2
a/ Phân tích
Ta nhận thấy các phân thức trong bất đẳng thức trên đều là phân thức mà tử là đa
thức bậc 2 và mẫu là đa thức bậc 1 do đó vế phải của bất đẳng thức riêng là đa thức
bậc nhất .
Mặt khác: ta cần xác định vế phải của bất đẳng thức riêng một đa thức bậc nhất
hợp lý, sao cho khi lựa chọn x,y một cách nhanh nhất .
�
a2

�ax+(a+b)y �
a+b
�
2
2
2
b2
�
�bx+(b+c)y �� a  b  c � x+2y   a+b+c 
b+c
� a+b b+c c+a
2
�
c
�cx+(c+a)y �
c+a
�
1
So sánh bất đẳng thức cần chứng minh ta có x+2y = (1)
2
2
a
�ax+(a+b)y
Mặt khác : từ bất đẳng thức
a+b
2
۳ a 2 ax(a+b)+(a+b) y
� a 2  ax(a+b)-(a+b)2 y �0
2

2

2

2
� x(a+b) � x (a+b)
��
a
-(a+b) y �0
�
2 �
4
�
2
2
x2
2
x
(a+b)
Ta lựa chọn y=  để cho biểu thức 
-(a+b) y =0.
4
4

1
x2
Ta thay y= 
vào x+2y = giải ra ta được
2
4

-4-

�x  1
�
�
1
y
�
�
4


�a 2
a+b
�a+b �a- 4
� 2
b+c
�b
Ta được các bất đẳng thức riêng � �b4
�b+c
2
�c
c+a
�c�
4
�c+a

b/Việc chứng minh các bất đẳng thức riêng rất đơn giản, sau đó ta cộng các bất
đẳng thức riêng ta được bất đẳng thức cần phải chứng minh .

Ta xét bài toán ở mức độ mạnh hơn .
Bài toán 3. Cho a,b,c>0
a2
b2
c2 a+b+c


�
Chứng minh rằng :
b+c c+a a+b
2
a/Phân tích
Dựa theo phương pháp chứng minh bất đẳng thức riêng và con đường đi tìm bất
đẳng thức riêng ta đặt bất đẳng thức riêng như sau :
�
a2
�ax+(b+c)y �
b+c
�
2
2
2
b2
�
�bx+(c+a)y �� a  b  c �(x+2y)(a+b+c)
c+a
� b+c c+a a+b
�
c2
�ax+(a+b)y �

a+b
�
So sánh bất đẳng thức cần chứng minh ta có x+2y =

1
(1)
2

Ta xét một trong ba bất đẳng thức trên
a2
�ax+(b+c)y
Ta có
b+c
۳ a 2 ax(b+c)+(b+c)2 y
� a 2 -ax(b+c)-(b+c)2 y �0
2

� x(b+c) � x 2 (b+c) 2
��
a-(b+c)2 y �0
�
2
4
�
�
2
2
x2
2
để cho biểu thức - x (b+c) -(b+c) y =0.

4
4
�x=1
1
�
x2
Ta thay y= 
vào x+2y = giải ra ta được � 1
2
4
�y=- 4
�
2
�a
b+c
�b+c �a- 4
� 2
c+a
�b
Khi đó ta có các bất đẳng thức riêng � �b4
�c+a
2
�c
a+b
�a�
4
�a+b

Ta lựa chọn y= 

-5-


b/ Chứng minh: Tương tự các bài toán trên .
Bài toán 4
Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác
Chứng minh rằng
a2
b2
c2


�a+b+c
-a+b+c a-b+c a+b-c
a/Phân tích
Ta tìm bất đẳng thức riêng
�
a2
�ax  (-a+b+c)y �
-a+b+c
�
b2
�
a2
b2
c2
�bx  (a-b+c)y ��


�(x+y)(a+b+c)

a-b+c
� -a+b+c a-b+c a+b-c
�
c2
�cx  (a+b-c)y
�
a+b-c
�
So sánh bất đẳng thức cần chứng minh, ta có x+y=1
Mặt khác: Ta xét một trong các bất đẳng thức riêng
a2
�ax  (-a+b+c)y
-a+b+c
� a 2 �ax(-a+b+c)  (-a+b+c) 2 y
� a 2 - ax(-a+b+c)  (-a+b+c) 2 y �0
2

� x(-a+b+c) � x 2 (-a+b+c) 2
��
a
 (-a+b+c) 2 y �0
�
2
4
�
�
2
x
x 2 (-a+b+c)2



 (-a+b+c)2 y =0.
Ta lựa chọn y=
để cho biểu thức
4
4
2
�x=2
x
Ta thay y= 
vào x+y =1 giải ra ta được �
4
�y=-1
� a2
�-a+b+c �2a - (-a+b+c)
� 2
�b
�2b - (a-b+c)
Khi đó ta có các bất đẳng thức riêng �
�a-b+c
� c2
�2c - (a+b-c)
�
�a+b-c

b/Lời giải
Chứng minh tương tự các bài trên
Bài toán 5. Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác .
(a+b)2 (b+c) 2 (c+a) 2



�4(a+b+c)
Chứng minh rằng :
a+b-c -a+b+c a-b+c
a/Phân tích
Ta tìm bất đẳng thức riêng

-6-


�
(a+b)2
�x(a+b)+(a+b-c)y �
a+b-c
�
2
2
2
(b+c)2
�
�x(b+c)+(-a+b+c)y �� (a+b)  (b+c)  (c+a) �(2x+y)(a+b+c)
-a+b+c
� a+b-c -a+b+c a-b+c
2
�
(c+a)
�x(c+a)+(a-b+c)y �
a-b+c
�
So sánh bất đẳng thức cần chứng minh , ta có 2x+y=4

Mặt khác: Ta xét một trong cac bất đẳng thức riêng
(a+b)2
�x(a+b)+(a+b-c)y
a+b-c
� (a+b)2 �x(a+b)(a+b-c)+(a+b-c) 2 y
� (a+b)2  x(a+b)(a+b-c)-(a+b-c) 2 y �0
2
x(a+b-c) � x 2 (a+b-c)2
�
��
(a+b)-(a+b-c)2 y �0
�
2

�

Ta lựa chọn y= 

�

4

x
x 2 (a+b-c)2
-(a+b-c)2 y =0.
để cho biểu thức 
4
4
2

�x  4
x2
vào 2x+y =4 giải ra ta được �
4
�y  4
2
�(a+b)
�a+b-c �4(a+b)- 4(a+b-c)
�
�(b+c)2
�4(b+c)- 4(-a+b+c)
Khi đó ta có các bất đẳng thức riêng : �
�-a+b+c
�(c+a)2
�4(c+a)- 4(a-b+c)
�
a-b+c
�
b/Lời giải
Chứng minh bất đẳng thức riêng .
(a+b)2
�4(a+b)- 4(a+b-c) với a,b,c là ba cạnh của tam giác
a+b-c
(a+b)2
�4(a+b)- 4(a+b-c)
Ta có
a+b-c
� (a+b) 2 �4(a+b)(a+b-c)-4(a+b-c) 2
� (a+b)2  4(a+b)(a+b-c)+4(a+b-c) 2 �0

Ta thay y= 

2

۳ �
(a+b)-2(a+b-c) �
�
� 0 ( bất đẳng thức luôn đúng )

Do đó ta có

(a+b)2
�4(a+b)- 4(a+b-c) (1)
a+b-c

(b+c)2
�4(b+c)- 4(-a+b+c)
(2)
-a+b+c
(c+a)2
�4(c+a)- 4(a-b+c)
(3)
a-b+c
(a+b)2 (b+c)2 (c+a) 2


�4(a+b+c)
Từ (1) , (2) và (3) ta có
a+b-c -a+b+c a-b+c
-7-

2/Bất đẳng thức có các phân thức mà tử là đa thức bậc 3 và mẫu là đa thức
bậc 1
Bài toán 6.Cho a,b,c>0
a 3 b 3 c3
+ + �ab+bc+ca
Chứng minh rằng:
b c a
a/Phân tích
Ta dựa vào các phân thức để nhận định vế phải của bất đẳng thức riêng là đa thức
bậc 2.
�
a3
�a 2 x+yab+zb 2 �
b
�
b3
� a 3 b 3 c3
�b 2 x+ybc+zc 2 �� + + �(x+z)(a 2 +b 2 +c 2 )+y(ab+bc+ca)
c
� b c a
3
�
c
�c 2 x+yca+za 2 �
a
�
Đối chiếu bất đẳng thức cần chứng minh, ta có : y  1; x  z  0
a3

�a 2 x+yab+zb 2
Mặt khác: từ bất đẳng thức
b
3
a
�a 2 x+yab+zb 2
b
۳ a 3 a 2 bx+yab 2 +zb3
۳ a 3 - a 2 bx-yab 2 - zb3 0
Ta lựa chọn sao cho hệ số của a3 và hệ số của b3 bằng nhau, tức là -z=1 kết hợp với
x+z=0 ta được x=1, z=-1
Khi đó ta có các bất đẳng thức riêng
�a 3
2
2
�b �a +ab - b
�3
�b
2
2
� �b + bc - c
�c
�c3
2
2
� �c +ca - a
�a
b/ Lời giải
Chứng minh bất đẳng thức riêng
a3

�a 2 +ab - b 2 với a,b>0
b
a3
�a 2 +ab - b 2
Ta có
b
3
۳ a a 2 b+ab 2 - b3
۳ a 3 - a 2 b - ab 2 + b3

0
-8-


۳ (a+b)(a 2 -ab+b 2 )-ab(a+b) 0
� (a+b)(a-b)2 �0 ( bất đẳng thức luôn đúng )
a3
�a 2 +ab - b 2 (1)
b
b3
�b 2 + bc - c 2 (2)
Chứng minh tương tự:
c
c3
�c2 +ca - a 2 (3)
a
Từ (1),(2) và (3) ta cộng từng vế của các bất đẳng thức ta được
a 3 b 3 c3
+ + �ab+bc+ca
b c a

Bài toán 7 . Cho a,b,c >0
3a 3  7b3 3b3  7c3 3c3  7a 3


�3(a 2 +b 2 +c 2 )-(ab+bc+ca)
Chứng minh rằng :
2a+3b
2b+3c
2c+3a
a/Phân tích
Ta đi tìm bất đẳng thức riêng .
�
3a 3  7b3
�xa 2  yab+zb 2 �
2a+3b
�
3
3
3b  7c
�
�xb 2  ybc+zc 2 ��
2b+3c
�
3
3
�
3c  7a
�xc2  yca+za 2 �
2c+3a
�

Do đó ta có

3a 3  7b3 3b3  7c3 3c3  7a 3


�(x+z)(a 2 +b 2 +c 2 )+y(ab+bc+ca)
2a+3b
2b+3c
2c+3a
Dựa vào bất đẳng thức cần chứng minh ta được x+z=3,y= -1
Mặt khác: từ bất đẳng thức riêng ta có
3a 3  7b3
�xa 2  yab+zb 2
2a+3b
� 3a 3  7b3 �(xa 2  yab+zb 2 )(2a+3b)
� 3a 3  7b3 �2xa 3  3xa 2b  2a 2by  3ab 2 y+2zab 2 +3zb 3
۳ (3-2x)a 3 +(7-3z)b3 3xa 2b  2a 2by  3ab 2 y+2zab 2
Ta lựa chọn sao cho hệ số của a3 và hệ số của b3 bằng nhau, tức là 3-2x=7-3z
hay 3z-2x=4 kết hợp với x+z=3 ta được z=2, x=1
Khi đó ta có các bất đẳng thức riêng :

-9-


�3a 3  7b3
2
2
� 2a+3b �a  ab+2b
� 3
�3b  7c3

�b 2  bc+2c 2
�
� 2b+3c
�3c3  7a 3
�c 2  ca+2a 2
�
� 2c+3a
b/Lời giải: Chứng minh bất đẳng thức riêng
3a 3  7b3
�a 2  ab+2b 2 với a,b>0
2a+3b
3a 3  7b3
�a 2  ab+2b 2
Ta có
2a+3b
3
� 3a  7b3 �(2a+3b)(a 2  ab+2b 2 )
� 3a 3  7b3 �2a 3  2a 2 b+4ab 2  3a 2 b -3ab 2 +6b3
� a 3  b3 - a 2 b - ab 2 �0
۳ (a+b)(a 2 -ab+b 2 )-ab(a+b) 0
� (a+b)(a-b)2 �0 ( bất đẳng thức luôn đúng )
3a 3  7b3
�a 2  ab+2b 2 (1)
2a+3b
Chứng minh tương tự
3b3  7c3
�b 2  bc+2c 2 (2)
2b+3c
3c3  7a 3
�c 2  ca+2a 2 (3)

2c+3a
Từ (1),(2) và (3) ta cộng từng vế của các bất đẳng thức ta được
3a 3  7b3 3b3  7c3 3c3  7a 3


�3(a 2 +b 2 +c 2 )-(ab+bc+ca)
2a+3b
2b+3c
2c+3a
Do đó ta có

Các bài tương tự
1/ Cho a,b,c>0
Chứng minh rằng:

a 3 b 3 c3
+ + �ab+bc+ca
b c a

2/ Cho a,b,c >0
3a 3  7b3 3b3  7c3 3c3  7a 3


�3(a 2 +b 2 +c 2 )-(ab+bc+ca)
Chứng minh rằng :
2a+3b
2b+3c
2c+3a

- 10 -