Điểm bất động chung cho sáu xạ co với quan hệ ẩn trong không gian metric xác suất

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (428.17 KB, 91 trang )

LèI CÁM ƠN

Lu¤n văn này đưoc hoàn thành tai trưòng Đai hoc Sư
pham Hà N®i 2 dưói su hưóng dan cúa TS. Hà Đnc Vưong.
Qua đây, cho phép tôi bày tó lòi cám ơn chân thành
đen TS. Hà Đnc Vưong – ngưòi đã giúp đõ, chí báo t¤n tình
đe tôi hoàn thành Lu¤n văn này.
Tôi bày tó lòng biet ơn đoi vói Ban giám hi¾u, Phòng
sau Đai hoc và các thay cô giáo đã t¤n tình quan tâm giáng
day trong suot quá trình hoc t¤p tai trưòng Đai hoc Sư pham
Hà N®i 2.
Hà N®i, tháng 10 năm 2012
Tác giá
Lai Th% Thanh Hu¾

LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Lu¤n văn này do tôi tu làm dưói su
hưóng dan cúa TS. Hà Đnc Vưong.
Trong quá trình nghiên cnu và hoàn thành Lu¤n văn,
tôi đã ke thna nhñng thành quá cúa các nhà khoa hoc vói su
trân trong và biet ơn. Các ket quá trích dan trong lu¤n văn là
trung thuc và đã đưoc chí rõ nguon goc.
Hà N®i, tháng 10 năm 2012
Tác giá
Lai Th% Thanh Hu¾

Mnc lnc

M á đau

1

N®i dung

5

1 Kien thNc chuan b%

5

1.1 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2 Không gian metric đay đú . . . . . . . . . . . . .
.
1.3 Nguyên lý ánh xa co Banach . . . . . . . . . . . .

11

2 Không gian metric xác suat và điem bat đ®ng
2.1 Không gian metric xác suat . . . . . . . . . . . . .

17
21
22

2.2 Không gian metric xác suat Menger . . . . . . . . . 31

2.3 Nguyên lý ánh xa co Banach trong không gian metric
xác suat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3 Điem bat đ®ng chung cho sáu ánh xa co vái quan h¾
an trong không gian metric xác suat

41

3.1 Quan h¾ an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 xa

41

co vói quan h¾

an trong không gian metric xác suat . . . . . . . .
.

44

3.3

Các h¾ quá và ví dn . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

Ket lu¾n

58

Tài li¾u tham kháo

59

1

Má đau
1. Lí do chon đe tài
Cho M là m®t t¤p hop bat kì, T là m®t ánh xa đi tn M
vào chính nó. Điem x ∈ M thóa mãn phương trình T x = x
đưoc goi là điem bat đ®ng cúa ánh xa T trên t¤p hop M .
Vi¾c nghiên cnu ve điem bat đ®ng cúa m®t ánh xa
đã thu hút nhieu nhà toán hoc quan tâm và các ket quá ve lĩnh
vuc này hình thành nên: “Lý thuyet điem bat đ®ng”.
Năm 1922, m®t ket quá kinh đien ve điem bat đ®ng
đưoc công bo, đó là nguyên lý ánh xa co Banach.
Năm 1942, Menger đã đưa ra khái ni¾m “metric xác
suat”. Đó là su mó r®ng “xác suat” cúa khái ni¾m metric thông
thưòng: thay cho vi¾c xét khoáng cách d (x, y), ngưòi ta xét
hàm phân bo Fx,y (t) bieu dien xác suat đe cho d (x, y) < t,
vói t là m®t so thuc nào đó. Khái ni¾m này đã thu hút su quan
tâm cúa nhieu nhà toán hoc, đ¤c
bi¾t là Schweizer và Sklar đã xây dung thành lý thuyet ve không
gian metric xác suat và viet thành sách chuyên kháo xuat bán
năm 1983. Nguyên lý ánh xa co Banach đã đưoc mó r®ng sang
lóp không gian này.

Năm 1993, Singh giói thi¾u khái ni¾m các ánh xa giao
hoán yeu trong không gian metric xác suat qua bài báo “Fixed
points of weakly commuting mappings on Menger spaces”.
Sn dnng khái ni¾m các ánh xa R-giao hoán yeu tnng
điem
(pointwise R-weakly commuting) và các ánh xa liên tnc ngh%ch
đáo (reciprocally continuous), Kumar và Chugh đã công bo m®t
so ket quá ve điem bat đ®ng chung cho các ánh xa này trong
không gian metric.
Năm 2005, Mihet đã có ket quá mó r®ng ve điem bat
đ®ng cho lóp ánh xa co xác suat, công bo trong bài báo: “A
generalization of a contraction principle in probabilistic metric
spaces, Part II”.
Năm 2010, m®t ket quá ve điem bat đ®ng chung cho
sáu ánh xa co xác suat vói quan h¾ an cúa các tác giá thu®c
trưòng Đai hoc Delhi cúa An Đ®: J. K. Kohli, Sachin Vashistha
và Durgesh Kumar đưoc công bo trong bài báo: “A Common
Fixed Point Theorem for Six Mappings in Probabilistic Metric
Spaces Satisfying Contrac- tive Type Implicit Relations”.
Vói mong muon tìm hieu sâu hơn ve van đe này, nhò
su hưóng dan t¤n tình cúa TS. Hà Đnc Vưong, tôi manh dan
chon đe tài nghiên cnu:
“Điem bat đ®ng chung cho sáu ánh xa co vái quan h¾
an trong không gian metric xác suat” .
Lu¤n văn đưoc trình bày vói 3 chương n®i dung và m®t
danh mnc tài li¾u tham kháo.

Chương 1: trình bày ve không gian metric, không gian metric
đay đú và nguyên lý ánh xa co Banach.
Chương 2: trình bày ve không gian metric xác suat, không
gian metric xác suat Menger và su mó r®ng nguyên lý ánh xa co
Banach trong lóp không gian này.
Chương 3: trình bày ve điem bat đ®ng chung cho sáu ánh xa
co vói quan h¾ an trong không gian metric xác suat, các h¾ quá
và ví dn.
2. Mnc đích nghiên cNu
Mnc đích cúa đe tài là nghiên cnu ve điem bat đ®ng
chung cho sáu ánh xa co vói quan h¾ an trong không gian
metric xác suat. Công trình nghiên cnu dua trên ket quá cúa J.
K. Kohli, Sachin Vashistha và Durgesh Kumar trong bài báo: “A
Common Fixed Point Theorem for Six Mappings in Probabilistic
Metric Spaces Satisfying Contractive Type Implicit Relations”,
đăng trên tap chí Int. Journal of Math. Analysis, năm 2010.
3. Nhi¾m vn nghiên cNu
H¾ thong các ket quá đã đat đưoc ve điem bat đ®ng
chung cho sáu ánh xa co vói quan h¾ an trong không gian
metric xác suat.
4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Nghiên cnu ve điem bat đ®ng chung cho sáu ánh xa co
vói quan h¾ an trong không gian metric xác suat.

5. Phương pháp nghiên cNu
- D%ch, đoc, nghiên cnu tài li¾u.
- Tong hop kien thnc, v¤n dnng cho mnc đích nghiên cnu.
6. DN kien đóng góp
Đây se là m®t bài tong quan ve điem bat đ®ng chung

cho sáu ánh xa co vói quan h¾ an trong không gian metric xác
suat. Giúp ngưòi đoc hieu nhñng khái ni¾m và tính chat cơ bán
ve không gian metric xác suat, đ¤c bi¾t là điem bat đ®ng chung
cho sáu ánh xa co vói quan h¾ an trong không gian metric xác
suat.

Chương 1
Kien thNc chuan b%
Cho M là m®t t¤p hop bat kì, T là m®t ánh xa đi tn M
vào chính nó. Điem x ∈ M thóa mãn phương trình T x = x
đưoc goi là điem bat đ®ng cúa ánh xa T trên t¤p hop M .
Vi¾c tìm điem bat đ®ng cúa m®t ánh xa đã góp phan
đac luc cho vi¾c giái quyet hàng loat bài toán quan trong trong
Toán hoc nói riêng, trong khoa hoc kĩ thu¤t nói chung.
Trong chương này chúng tôi h¾ thong lai m®t so kien
thnc cơ bán ve không gian metric và ket quá kinh đien ve điem
bat đ®ng, đó là nguyên lý ánh xa co Banach.

1.1

Không gian metric

Đ%nh nghĩa 1.1.1. [1]. Không gian metric là m®t t¤p hop X ƒ=
∅ cùng vói m®t ánh xa d tn tích Descartes X × X vào t¤p
hop so thuc R thóa mãn các tiên đe sau đây:
1) d (x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X, d (x, y) = 0 ⇔ x = y.

2) d (x, y) = d (y, x) , ∀x, y ∈ X.

3) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) , ∀x, y, z ∈ X .
Ánh xa d goi là metric trên X , so d (x, y) goi là khoáng
cách giña hai phan tn x và y. Các phan tn cúa X goi là các
điem.
Ví dn 1.1.1. Cho không gian Rn, vói moi x = (x1, x2....,
xn), y = (y1, y2, ..., yn) thu®c Rn, ta đ¤t:

d (x, y) = max| x−i yi .
1≤i≤n
|

Ta có d là m®t metric trên Rn.

Chúng minh. Ta kiem tra 3 tiên đe metric:
Hien nhiên ta có |xi − yi| ≥ 0, ∀i = 1, 2,

..., n. Suy ra
max |xi − yi| ≥ 0.
1≤ ≤
i
n

V¤y d (x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ Rn.
Neu max| x−
i yi = 0 thì ta
|
có:
1≤i≤n

|xi − yi| = 0, ∀i = 1, 2, ..., n.

max |xi − yi| ≤ max |xi − zi| + max |zi − yi| .

1≤i≤n

1≤i≤n

1≤i≤n

Do đó d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) , ∀x, y, z

∈ Rn. V¤y 3 tiên đe metric đưoc thóa mãn.
Suy ra d là m®t metric trên Rn.

Ví dn 1.1.2. Cho t¤p hop các hàm so thuc liên tnc trên đoan

[a, b], kí hi¾u C[a,b], vói hai phan tn bat kỳ x (t) , y (t) ∈
C[a,b] ta đ¤t:
d1 (x, y) = max
x−(t) y (t) .
|
a≤t≤b
|
Ta có d1 là m®t metric trên C[a,b].
Chúng minh. Ta kiem tra 3 tiên đe metric:
Vói hai hàm so bat kì x (t) , y (t) ∈ C[a,b], ta có:

|x (t) − y (t)| ≥ 0, ∀t ∈ [a, b] .
Suy
ra

V¤y 3 tiên đe metric đưoc thóa
mãn. Suy ra d1 là m®t metric trên

C[a,b].

Ví dn 1.1.3. Trong t¤p hop C[a,b] nói trên, neu lay khoáng
cách giña hai phan tn x (t) , y (t) ∈ C[a,b] bang:
¸b

d2 (x, y) = |x (t) − y (t)| dt
a

thì d2 cũng là m®t metric trên C[a,b].
Th¤t v¤y, ta kiem tra ba tiên đe
metric:
Vói hai hàm so bat kì x (t) , y (t) ∈ C[a,b], ta có

|x (t) − y (t)| ≥ 0, ∀t ∈ [a, b] .
Suy
ra

¸b

|x (t) − y (t)| dt ≥ 0.
a

Do đó d2 (x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ C[a,b].
b

=

b

¸

|x (t) − z (t)| dt

b

|z (t) − y (t)|

+

dt.
a
a

Do đó d2 (x, y) ≤ d2 (x, z) + d2 (z, y) , ∀x, y, z ∈ C[a,b].
V¤y 3 tiên đe metric đưoc thóa mãn.
Như v¤y d2 cũng là m®t metric trên C[a,b].
L
T¤p hơp C[a,b] vói metric d2 đưoc kí hi¾u là
.
[a,bC
]

Nh¾n xét 1.1.1. Trên cùng m®t t¤p hop ta có the xác đ%nh
đưoc các metric khác nhau. Chang han như trong các ví dn 1.1.2

và ví dn
1.1.3, trên cùng t¤p hop C[a,b], có the xác đ%nh các metric khác nhau
là
b

d1 (x, ¸y) = max |x (t) − y (t)| và d2 (x, |x (t) − y (t)|
y) =
dt.
a≤t≤b

a

Nh¾n xét 1.1.2. Không gian Metric là m®t không gian tôpô.
Vói m®t điem x bat kỳ trong không gian metric X ta đ%nh nghĩa
m®t

hình cau mó bán kính r > 0, tâm x là t¤p hop
B (x; r) = {y ∈ X : d (x, y) < r} .
Ho hình cau mó này sinh ra m®t tôpô trên X (tôpô sinh bói
metric). Khi đó X tró thành không gian tôpô.

1.2

Không gian metric đay đú

Đ%nh nghĩa 1.2.1. [1]. Cho không gian metric (X, d), dãy điem

{xn} ⊂ X, điem x0 ∈ X . Dãy điem {xn} goi là h®i tn tói

điem x0 trong không gian metric X khi n → ∞, neu ∀ε > 0,

∃n0 ∈ N∗ sao cho ∀n ≥ n0 ta có d (xn, x) < ε, kí hi¾u
n

lim xn = x0 hay

→∞

xn → x0 khi n → ∞.

Đ%nh nghĩa 1.2.2. [1]. Cho không gian metric (X, d). Dãy điem

{xn} ⊂ X goi là dãy cơ bán trong X , neu ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗
sao
cho ∀n, m ≥ n0 ta có d (xn, xm) < ε. Hay

lim

d (xn, xm) =
0.

m,n→∞

Nh¾n xét 1.2.1. Cho không gian metric (X, d). Moi dãy điem

{xn} ⊂ X h®i tn trong X đeu là dãy cơ bán.
Đ%nh nghĩa 1.2.3. [1]. Không gian metric (X, d) goi là không
gian metric đay đú, neu moi dãy cơ bán trong X đeu h®i tn tói
m®t phan tn cúa X .

Ví dn 1.2.1. Trong không gian Rn xét trong ví dn 1.1.1, su h®i
tn
.
.
(m)
(m)
cúa dãy điem x(m) = ,x , x , ..., x(m), , m = 1, 2,
... tói
1

2

n

điem x = (x1, x2, ..., xn) có nghĩa là:
.
max ..x (m
.
. ) − xi. → 0 khi m → ∞.
1≤i≤n

Suy ra .
.x
.

(m
)
i

.

−.
xi

i

→ 0 khi m → ∞, đieu này tương đương vói

.

→ xi, (i = 1, 2, ..., n).

(m

xi
)

V¤y su h®i tn trong Rn là su h®i tn theo toa
đ®. Ta có không gian Rn là không gian metric
đay đú.
. (m).
(m)
(m)
Th¤t v¤y, giá sn x
= ,x , x , ..., x(m), , m = 1, 2,
... là
1

2

n

dãy cơ bán tùy ý trong Rn.
Theo đ%nh nghĩa dãy cơ bán ∀ε > 0, ∃m0 ∈ N∗, ∀m, p ≥ m0
ta có
. (m) (p).
d x ,x
< ε hay

max ..x (m − x
1≤i≤n

Suy
ra
..

.

)

i

i

(p)

..

.<

ε.

.

(m)

.x i

(p).

−

. < ε, ∀m, p ≥ m0, ∀i = 1, 2, ..., n. (1.1)

xi

Các bat đang thnc (1.1) chnng tó, vói moi i = 1, 2, ..., n dãy
i
,x

(m)

,

là dãy so thuc cơ bán, nên ton tai giói han

lim

(m
m→∞ )
xi

= xi, i = 1, 2, ..., n.
.

Đ¤t x = (x1, x2, ..., xn) thì ta có dãy x

.

(m)

⊂ Rn đã cho

h®i tn
theo toa đ® tói x trong không gian Rn.
Mà su h®i tn trong không gian Rn là su h®i tn theo toa đ®, nên
dãy

cơ bán .x(m). ⊂ Rn đã cho h®i tn tói x trong không gian Rn.
V¤y Rn là không gian metric đay đú.
L
Ví dn 1.2.2. Trong không gian C[a,b
su h®i tn cúa dãy xn (t) tói
]

x (t) có nghĩa là

¸b

|xn (t) − x (t)| dt → 0.
a

Su h®i tn này goi là “h®i tn trung bình”.
Ta có không gian

là không gian metric không đay đú.

CL

Th¤t v¤y, cho [a, b] = [0, 1] và xét dãy xn (t) như sau:

1
khi 0 ≤ t ≤1

2

1
1 1
xn (t)

n + 1 − 2nt

=


0

khi
khi
1



2
1

2 2n
+

2

< t ≤ 1.

2n

Ta có vói moi m >
n:
¸

1 +1
2
2n

1

d (xn, xm)

dt+
1
2

cho nên ta phái có
1

¸2

¸1

|xn (t) − x (t)| dt →
0,

|xn (t) − x (t)| dt → 0.
1
2

0

Nhưng ta lai có
1

¸2

¸1

|xn (t) − 1| dt →
0,

|xn (t) − 0| dt → 0.
1
2

0

V¤y x (t) và 1 cùng là giói han cúa xn (t) trong C L ; x (t) và
[0,
0
1

L

cùng là giói han cúa nx (t) trong C .

]2

[2 ,1]

Do tính duy nhat cúa giói han ta 1suy ra :
.
.

x (t) =
1

0≤t 1 ,
0
2

≤

x (t) =

.

1
2

.

≤ t ≤ 1.

Như v¤y x (t) không liên tnc trên [0, 1], và do đó x (t) không
thu®c

C[0,1].
L

Suy ra, dãy xn (t) không the có giói han nào trong không gian
[0,

CL

1]

.

V¤y không gian C L là không gian metric không đay đú.

[a,b
]

Ví dn 1.2.3. Cho X là m®t t¤p hop nào đó và (Y, d) là m®t
không gian metric. Kí hi¾u B là t¤p tat cá các hàm b% ch¤n f

: X→ Y .

Vói các hàm b% ch¤n f và g bat kỳ thu®c B, ta đ¤t

d0 (f, g) = sup d (f (x) , g (x))
x∈X

thì (B, d0) là m®t không gian metric. Neu (Y, d) là không
gian metric đay đú, thì (B, d0) cũng se là không gian metric
đay đú.
Chúng minh. Trưóc tiên ta chí ra (B, d0) là m®t không gian
metric. Th¤t v¤y, ta kiem tra 3 tiên đe metric:
Do d là metric trên Y nên d (f (x) , g (x)) ≥ 0, vói moi f, g

∈ B,
và moi x thu®c X. Khi đó:

sup d (f (x) , g (x)) ≥ 0.
x∈X

Suy ra d0 (f, g) ≥ 0, ∀f, g ∈ B.
Neu sup d (f (x) , g (x)) = 0 thì ta có
x∈X

d (f (x) , g (x)) = 0, ∀x ∈ X.
Suy ra f (x) = g (x) , ∀x ∈ X.
Hay f = g.
Suy ra d0 (f, g) = 0 ⇔ f = g, ∀f, g ∈

B. Ta lai có
d0 (f,
g)

= sup d (f (x) , g
(x))
= x∈X
x∈X d (g (x) , f
sup
= d0 (g, f ) .

Suy ra d0 (f, g) = d0 (g, f ) , ∀f, g ∈ B.

Cuoi cùng ta xét vói moi f, g, h ∈ B, ∀x ∈ X ta có

d (f (x) , g (x)) ≤ d (f (x) , h (x)) + d (h (x) , g (x))
≤ sup d (f (x) , h (x)) + sup d (h (x) ,
g (x)) .
Suy
ra

x∈
X

x∈X

sup d (f (x) , g (x)) ≤ sup d (f (x) , h (x)) + sup d (h
(x) , g (x)) .
x∈
X

x∈
X

x∈X

Do đó d0 (f, g) ≤ d0 (f, h) + d0 (h, g) , ∀f, h, g ∈ B.
Như v¤y (B, d0) là không gian metric.
Neu Y là không gian metric đay đú, ta chnng minh B cũng là
không gian metric đay đú.
Th¤t v¤y, giá sn {fn} là dãy cơ bán trong không gian B, khi đó
vói
moi x ∈ X dãy {fn (x)} là dãy cơ bán trong không gian Y .
Do Y là không gian đay đú nên dãy {fn (x)} h®i tn tói hàm f

(x) trong Y , tnc là ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ sao cho ∀n ≥ n0 ta
có:

d (fn (x) , f (x)) < ε, ∀x ∈ X.
Suy
ra

sup d (fn (x) , f (x)) < ε.

x∈X

Do đó

d0 (fn, f ) < ε.
Như v¤y dãy hàm {fn} h®i tn tói hàm f trong B.

Điểm bất động chung cho sáu xạ co với quan hệ ẩn trong không gian metric xác suất

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về