Điểm bất động của ánh xạ đa trị trong không gian metric nón

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I
2

NGUYEN ĐÌNH THIEN

ĐIEM BAT Đ®NG
CÚA ÁNH XA ĐA TR±
TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN

LU¾N VĂN THAC SY TOÁN HOC

HÀ N®I, 2013


B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I
2

NGUYEN ĐÌNH THIEN

ĐIEM BAT Đ®NG
CÚA ÁNH XA ĐA TR±
TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN

LU¾N VĂN THAC SY TOÁN
HOC
Chuyên ngành : TOÁN GIÁI TÍCH
Mã so : 60. 46. 01. 02

Ngưài hưáng dan khoa hoc:

TS. HÀ ĐÚC VƯeNG


LèI CÁM ƠN

Lu¾n văn đưoc hoàn thành tai trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2 dưói
sn hưóng dan cna T.S Hà Đúc Vưong.
Tác giá xin bày tó lòng biet ơn sâu sac nhat tói T.S Hà Đúc Vưong,
ngưòi đã đ%nh hưóng chon đe tài và t¾n tình hưóng dan đe tác giá hoàn
thành lu¾n văn này.
Tác giá xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói Phòng Sau đai hoc, các
thay cô giáo day cao hoc chuyên ngành Toán Giái tích, trưòng Đai hoc Sư
pham Hà N®i 2 đã giúp đõ tác giá trong suot quá trình hoc t¾p và hoàn
thành lu¾n văn tot nghi¾p.
Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói gia đình, ban bè, ngưòi
thân đã luôn đ®ng viên, co vũ, tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá
trong quá trình hoc t¾p và hoàn thành lu¾n văn.
Hà N®i, tháng 10 năm 2013
Tác giá

Nguyen Đình Thien


LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna T.S Hà Đúc Vưong, lu¾n văn
Thac sy chuyên ngành Toán Giái tích vói đe tài “Điem bat đ®ng cna ánh
xa đa tr% trong không gian metric nón” do tôi tn làm. Các ket quá và tài
li¾u trích dan đưoc chí rõ nguon goc.
Trong quá trình nghiên cúu thnc hi¾n lu¾n văn, tôi đã ke thùa nhung

thành tnu cna các nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn.
Hà N®i, tháng 10 năm 2013
Tác giá

Nguyen Đình Thien


Mnc lnc

Báng kí hi¾u

1

Má đau

2

1 KIEN THÚC CHUAN B±

6

1.1

Không gian metric.......................................................................6

1.2

Không gian metric Hausdorff.........................................................14

1.3

Không gian compact..................................................................20

1.4

Không gian đ%nh chuan.................................................................23

1.5

Không gian Banach...................................................................27

2 KHÔNG GIAN METRIC NÓN

32

2.1

Đ%nh nghĩa và ví du......................................................................32

2.2

Sn h®i tu trong không gian metric nón.........................................38

3 ĐIEM BAT Đ®NG CÚA ÁNH XA ĐA TR± TRONG
KHÔNG GIAN METRIC NÓN

48

3.1

Các khái ni¾m................................................................................48

3.2

Các đ%nh lý điem bat đ®ng..........................................................52
5


Ket lu¾n

64

Tài li¾u tham kháo

65

5


Báng kí hi¾u
N
N∗
R
R+
C

CB(X)
X
C (X)
∅

int(P )
™p
Q

T¤p so tu nhiên
T¤p so tu nhiên lón hơn 0
T¤p so thuc
T¤p so thuc dương
T¤p so phnc
Ho các t¤p con không rong, đóng, b% ch¤n cúa
Ho các t¤p compact trong X
T¤p rong
Phan trong cúa P
Quan h¾ thn tu theo nón P
Ket thúc chnng minh

7


Má đau
1. Lý do chon đe tài
Cho X là m®t t¾p hop bat kì, ánh xa T : X → 2X là m®t ánh xa đa
tr% đi tù t¾p X vào ho các t¾p con cna nó. Điem x ∈ X thóa mãn x ∈
Tx đưoc goi là điem bat đ®ng cna ánh xa đa tr% T trên t¾p X. Vi¾c
nghiên cúu van đe này đã góp phan giái quyet đac lnc hàng loat các bài
toán quan trong. Các ket quá cna vi¾c nghiên cúu lĩnh vnc này đã hình
thành nên “Lý thuyet điem bat đ®ng” (fixed point theory) và gan lien vói
tên tuoi cna các nhà toán hoc lón như Banach, Brouwer, Shauder,
Tikhonov, Sadovski, Kyfan,. . .
Năm 2007, Huang Long Guang và Zhang Xian đã giói thi¾u khái ni¾m

không gian metric nón bang cách thay t¾p so thnc trong đ%nh nghĩa metric
bói m®t nón đ%nh hưóng trong không gian Banch thnc. Các tác giá đã giói
thi¾u các khái ni¾m ve sn h®i tu cna dãy, tính đay đn cna không gian.
Đong thòi các tác giá đã giói thi¾u ket quá ve điem bat đ®ng cho lóp ánh
xa đơn tr% trong các không gian này.
Sau đó nhieu nhà toán hoc đã quan tâm và các ket quá ve điem bat


đ®ng trong không gian metric nón đã đưoc công bo.
Năm 2009, Sh. Rezapour and R. H. Haghi đã công bo ket quá ve điem
bat đ®ng trong lóp không gian này cho các ánh xa đa tr% qua bài báo
“fixed point of multifunction on cone metric spaces”.
Vói mong muon tìm hieu sâu hơn ve điem bat đ®ng cna ánh xa đa tr%
trong không gian metric nón, đưoc sn giúp đõ và hưóng dan t¾n tình cna
TS. Hà Đúc Vưong, tôi manh dan chon đe tài nghiên cúu:
“Điem bat đ®ng cúa ánh xa đa tr% trong không gian metric
nón”
2. Mnc đích nghiên cNu
Tong hop các ket quá ve điem bat đ®ng cna ánh xa đa tr% trong không
gian metric nón.
3. Nhi¾m vn nghiên cNu
Nghiên cúu ve điem bat đ®ng cna ánh xa đa tr% trong không gian metric
nón.
4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Nghiên cúu ve “ Không gian metric nón và điem bat đ®ng cna ánh xa
đa tr% trong lóp không gian metric nón” qua hai bài báo:


- Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings
(2007) cna Huang Long Guang, Zhang Xian.

- Fixed point of multifunctions on cone metric spaces (2009) cna Sh.
Rezapour and R. H. Haghi.
5. Phương pháp nghiên cNu
- D%ch, đoc và nghiên cúu tài li¾u.
- Tong hop, phân tích, v¾n dung kien thúc cho muc đích nghiên cúu.
6. DN kien đóng góp
Đây là m®t bài tong quan ve điem bat đ®ng cna ánh xa đa tr% trong
không gian metric nón. Lu¾n văn giúp ngưòi đoc hieu sâu hơn ve không
gian metric, không gian metric nón và điem bat đ®ng cna ánh xa đa tr%
trong không gian metric nón.
Lu¾n văn đưoc trình bày gom ba chương.
Chương 1 trình bày các khái ni¾m cơ bán ve không gian metric, không
gian metric Hausdorff, không gian compact, không gian đ%nh chuan, không
gian Banach.
Chương 2 trình bày khái ni¾m ve nón, metric nón, không gian metric
nón và sn h®i tu trong không gian metric nón.


Chương 3 trình bày m®t so ket quá ve điem bat đ®ng cna ánh xa đa tr%
trong không gian metric nón.


Chương 1

KIEN THÚC CHUAN B±
Trong chương này chúng tôi trình bày m®t so khái ni¾m cơ bán ve không
gian metric, không gian metric Hausdorff, không gian compact, không gian
đ%nh chuan và cuoi cùng là không gian Banach. Sau moi khái ni¾m là các
ví du minh hoa.
1.1

Không gian metric

Đ%nh nghĩa 1.1.1 [1]. M®t t¾p hop X ƒ= ∅ . M®t ánh xa d : X × X →
R
thóa mãn các đieu ki¾n sau:
1. d(x, y) “ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y, ∀x, y ∈ X;
2. d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X;
3. d(x, y) ™ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X.
Ánh xa d goi là m®t metric trên X, d(x, y) goi là khoáng cách giua hai
phan tú x và y. Các phan tú cna X goi là các điem.
T¾p hop X cùng vói ánh xa d đưoc goi là không gian metric. Ký hi¾u là


(X, d).

Ví dn 1.1.2. Cho C [a, b] là không gian các hàm so nh¾n giá tr% thnc
xác đ%nh và liên tuc trên đoan [a, b] , (−∞ < a < b < +∞) . Vói hai
hàm so bat kỳ x = x (t) , y = y (t) thu®c C [a, b] ta đ¾t:
d (x, y) = max |x (t) − y (t)|.
a≤t≤b

Khi đó (C [a, b] , d) là m®t không gian metric.
Chúng minh. Ta có d(x, y) xác đ%nh trên C [a, b].
Th¾t v¾y, vì các hàm so x (t) , y (t) liên tuc trên đoan [a, b] nên hàm
so
|x (t) − y (t)| cũng liên tuc trên đoan [a, b].
Do đó, hàm so này đat giá tr% lón nhat trên đoan [a, b]. Suy ra h¾ thúc cna
d(x, y) xác đ%nh m®t ánh xa tù C [a, b] × C [a, b] vào t¾p so
thnc R. Ta có

|x (t) − y (t)| ≥ 0 vói ∀x (t) , y (t) ∈ C [a, b].
Suy ra
max |x (t) − y (t)| ≥ 0 vói ∀x (t) , y (t) ∈ C [a, b].
t∈[a,b]

V¾y d (x, y) ≥ 0 vói ∀x, y ∈ C [a, b].
Neu max |x (t) − y (t)| = 0 thì ta có
t∈[a,b]

|x (t) − y (t)| = 0, ∀t ∈ [a, b].


Suy ra
x (t) = y (t) , ∀t ∈ [a, b].
Do đó
x = y.
V¾y d (x, y) = 0 ⇔ x = y vói ∀x, y ∈ C [a, b].
Tiep theo, ta có
d (x, y) = max |x (t) − y (t)| = max |y (t) − x (t)| =
d (y, x).
t∈[a,b]

t∈[a,b]

V¾y d (x, y) = d (y, x) vói ∀x, y ∈ C [a, b].
Cuoi cùng ∀t ∈ [a, b] ta có
|x (t) − y (t)| = |x (t) − z (t) + z (t) − y (t)|
≤ |x (t) − z (t)| + |z (t) − y (t)|
≤ max |x (t) − z (t)| + max |z (t) − y (t)|.
t∈[a,b]

t∈[a,b]

Suy ra
max |x (t) − y (t)| ≤ max |x (t) − z (t)| + max |z (t) − y
(t)|.
t∈[a,b
]

t∈[a,b
]

t∈[a,b]

Do đó
d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) vói ∀x, y, z ∈ C [a, b].


V¾y (C [a, b] , d) là m®t không gian metric.

Đ%nh nghĩa 1.1.3[1]. Cho không gian metric (X, d) , điem x0 thu®c X
và r > 0.
T¾p S (x0, r) = {x ∈ X : d (x, x0) < r} đưoc goi là hình cau mó tâm
x0,
bán kính r.
T¾p S [x0, r] = {x ∈ X : d (x, x0) ≤ r} đưoc goi là hình cau đóng tâm
x0,
bán kính r.

Đ%nh nghĩa 1.1.4[1]. Cho không gian metric (X, d), lân c¾n cna điem

x0 ∈ X là moi hình cau mó tâm x0 bán kính r > 0.

Đ%nh nghĩa 1.1.5[1]. Cho không gian metric (X, d), m®t t¾p hop G ⊂
X
và điem x0 ∈ X.
Điem x0 ∈ X đưoc goi là m®t điem trong cna t¾p G neu ton tai m®t lân
c¾n cna nó nam tron trong t¾p G, túc là lân c¾n đó chí chúa toàn nhung
điem cna G.
Điem x0 ∈ X đưoc goi là m®t điem ngoài cna t¾p G neu ton tai m®t lân
c¾n cna nó nam tron ngoài t¾p G, túc là lân c¾n đó hoàn toàn không chúa
điem nào cna t¾p G.


Đ%nh nghĩa 1.1.6[1]. Cho không gian metric (X, d), m®t t¾p hop G ⊂
X.
T¾p G đưoc goi là t¾p mó trong không gian X neu moi điem thu®c G đeu
là điem trong cna G.
T¾p G đưoc goi là t¾p đóng trong không gian X neu moi điem không
thu®c
G đeu là điem ngoài cna G.

Ví dn 1.1.7. Không gian metric (X, d) vói X = R và metric d là
khoáng cách thông thưòng, d (x, y) = |x − y|. Khi đó
a. (−1; 1) là m®t lân c¾n cna điem 0.
b. (−1; 1) là m®t t¾p mó cna R.
c. [−1; 1] là m®t t¾p đóng cna R.

Đ%nh lí 1.1.8[1]. Cho không gian metric (X, d), T là ho tat cá các t¾p
mó trong X thì T là m®t tôpô trên X.
Chúng minh. Ta có X và φ là các t¾p mó nên X ∈ T , φ ∈ T .

Giá sú (Gα)α∈I ⊂ T vói I là t¾p chí so.
Ta đ¾t
E=

S
α∈I

Lay phan tú bat kỳ x ∈ E thì ta có

G α.


x∈

S

G α.

α∈I

Suy ra

x ∈ G α0
, α0 ∈ I.
Vì Gα0 là t¾p mó nên ton tai lân c¾n
S (x, r) ⊂ Gα0 .
Suy ra
S (x, r) ⊂ E.
Do đó E là t¾p mó.
Giá sú G1, G2, ..., Gm là

ho huu han các phan tú
thu®c T . Ta đ¾t
m

F =

T Gj .

j=1

Lay m®t phan tú bat kỳ y ∈ F thì ta
có
m

y∈

T

j=1

Gj

Suy ra
y ∈ Gj vói ∀j = 1, 2, ..., m.
Do Gj là t¾p mó nên vói moi j ton
tai lân c¾n


S
j

=
S
(
y
,
r
j

)
.


Đ¾t r = min {r1, r2, ..., rm} > 0 ta có lân c¾n S (y, r) thóa mãn
m
S (y, r) ⊂ T
Sj
j= ⊂
1

m

T
j=
1

Gj = F .

Do đó F là t¾p mó.
V¾y T là m®t tôpô trên X.

Đ%nh nghĩa 1.1.9[1]. Ho T tat cá các t¾p mó trong không gian metric
(X, d) đưoc goi là tôpô sinh bói metric d.

Ví dn 1.1.10. Cho X = R vói metric thông thưòng d (x, y) = |x −
y|. Khi đó, ho các khoáng trên R là m®t tôpô trên R và đưoc goi là
tôpô tn nhiên trên R.
Chúng minh. Th¾t v¾y,
∅ là t¾p con cna moi t¾p hop nên ∅ ∈ T .
R = (−∞; +∞) nên R ∈ T .
Hop các khoáng là m®t khoáng và giao huu han các khoáng là m®t
khoáng. Do đó ho T các khoáng trên R là m®t tôpô trên R.

Đ%nh nghĩa 1.1.11[1]. Dãy {xn} trong không gian metric (X, d) đưoc
goi
là h®i tu đen x0

X, neu lim d(x , x ) = 0.
n
0
∈
n→∞


Khi đó, viet lim xn = x0 ho¾c xn → x0 khi n → ∞ ; điem x0 đưoc goi là
n→∞

giói han cna dãy {xn}.

Nh¾n xét 1.1.12. Dãy h®i tu trong không gian metric

có giói han duy nhat.
Chúng minh. Th¾t v¾y, xn = a, x = b. Khi đó,
n
giá sú lim lim
n→∞

n
→
∞

0 ≤ d(a, b) ≤ d(a, xn) + d(xn, b),
∀n .
Suy ra
0 ≤ d(a, b) ≤ lim d(a, xn) d(xn, b).
+ lim
n
→∞
n→∞

Hay
0 ≤ d(a, b) ≤ 0.
V¾y
d(a, b) = 0 hay a = b.

Nh¾n xét 1.1.13.
Neu lim
n→∞

lim
n→∞

xn = a y = b, thì
và lim n
n→∞

d(xn, yn) = d(a, b).


) ≤ d(a, xn) + d(xn, yn) + d(yn,
b).

Chúng minh.
Th¾t v¾y, vói
moi n, ta có
d
(
a
,
b


Suy ra
d(a, b) − d(xn, yn) ≤ d(a, xn) + d(yn, b).
Tương tn, ta có
d(xn, yn) − d(a, b) ≤ d(a, xn) + d(yn, b).
Vì v¾y,
0 ≤ |d(xn, yn) − d(a, b)| ≤ d(a, xn) + d(yn, b).
Bói vì lim
n→∞

d(a, xn) = 0, và d(yn, b) = 0, ta suy ra
lim
n→∞

|d(xn, yn) − d(a, b)| = 0.
Ta có đieu phái chúng minh.
1.2

Không gian metric Hausdorff

Đ%nh nghĩa 1.2.1 [10]. Cho (X, d) là m®t không gian metric. CB(X)
là ho các t¾p con khác rong, đóng, b% ch¾n cna X. Khi đó:
1. Khoáng cách tù m®t điem đen m®t t¾p hop đưoc xác đ%nh bói
d (x, A) = inf {d (x, y) : y ∈ A}.
2. Khoáng cách tù t¾p hop A đen t¾p hop B trong X đưoc xác đ%nh bói
HA(B) = sup {d (x, B) : x ∈ A}.


3. Khoáng cách Hausdorff giua t¾p A và t¾p hop B trong X đưoc xác đ%nh
bói:
H(A, B) = max {HA(B), HB (A)}
.

.

= max sup inf d (x, y) , sup inf d (x, y)
x∈A y∈B

y∈B x∈A

Đ%nh lý 1.2.2 [10]. Cho (X, d) là m®t không gian metric,
A, B, C ∈ CB(X). Khi đó ta có:
1. HA(B) = 0 khi và chí khi A ⊂ B.
2. B ⊂ C thì HA(C) ≤ HA(B).
3. HA∪B (C) = max {HA(C), HB (C)}.
4. HA(B) ≤ HA(C) + HC (B).
Chúng minh. Th¾t v¾y,
1. Neu ta có HA(B) = 0 thì sup {d (x, B) : x ∈ A}
= 0. V¾y d (x, B) = 0, ∀x ∈ A.
Do đó ton tai {yn} ⊂ B sao cho lim d (x, yn) = 0.
n →∞

Hay
lim

yn = x. Do B ∈ CB(X) nên B là t¾p đóng, do đó x ∈ B.
n→∞

V¾y

A ⊂ B.
Ta có HA(B) = 0 khi và chí khi A ⊂ B.
2. Giá sú B, C ∈ CB(X) và B ⊂ C, vói x ∈ X ta có

.


d (x, B) = inf d (x, y), d (x, C) = inf d (x, z).
y∈B

z∈C

Vì y ∈ B ⊂ C nên y ∈ C nên ta
có
inf d (x, y) ≥ inf d (x, z).
y∈B

z∈C

Suy ra d (x, B) ≥ d (x, C), ∀x ∈
X.
V¾y A ⊂ X nên ta có d (x, B) ≥ d (x, C), ∀x ∈ A.
Ta suy ra sup d (x, B) ≥ sup d (x, C).
x∈A

x∈A

Hay HA(B) ≥
HA(C).
3. Theo đ%nh nghĩa ve khoáng cách giua hai t¾p hop ta có:
HA∪B (C) = sup {d (x, C) : x ∈ A ∪ B}
= max {sup {d (x, C) : x ∈ A} , sup {d (x, C) : x ∈
B}}
= max {HA(C), HB (C)}.
4. Vói a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C ta luôn có
d (a, b) ≤ d (a, c) + d (c, b).
Ta suy ra
inf d (a, x) ≤ d (a, c) +
d (c, x).
x∈B

inf
x∈B

Do đó ta có
d (a, B) ≤ d (a, c) + d (c, B).


Hay d (a, B) ≤ d (a, c) + sup d (c, B).
c∈C

Suy ra d (a, B) ≤ d (a, c) + HC (B).
Do c là tùy ý trong C nên ta có
d (a, B) ≤ d (a, C) + HC (B).
Tương tn, do a lay tùy ý trong A nên ta có
HA(B) ≤ HA(C) + HC (B).

Đ%nh lý 1.2.3 [10]. Cho (X, d) là m®t không gian metric, CB(X) là
ho các t¾p con khác rong, đóng, b% ch¾n cna X.
Khi đó (CB(X), H) là m®t không gian metric.
Chúng minh. Ta đi kiem tra H là m®t metric.
Th¾t v¾y,
1. Ta có
H (A, B) = max {HA(B), HB (A)} ≥ 0, ∀A, B ∈ CB(X).
Neu H (A, B) = 0 thì ta có
HA(B) = HB (A) = 0.