Hàm số siêu giải tích trên mặt phẳng phức

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2
****************

BÙI TH± THÙY

HÀM SO SIÊU GIÁI TÍCH
TRÊN M¾T PHANG PHÚC

LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN
HOC
Chuyên ngành: Toán Giái Tích
Mã so : 60 46 01 02

Ngưòi hưóng dan khoa hoc
PGS. TS. Hà Tien Ngoan

Hà N®i, 2013


Lài cám ơn
Tôi xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói PGS. TS. Hà Tien Ngoan, ngưòi
đã đ%nh hưóng chon đe tài và t¾n tình hưóng dan đe tôi có the hoàn
thành lu¾n văn này.
Tôi cũng xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói phòng sau đai hoc, các
thay cô giáo day cao hoc chuyên ngành Toán giái tích, trưòng Đai hoc
Sư pham Hà N®i 2 đã giúp đõ tôi trong suot quá trình hoc t¾p.
Nhân d%p này tôi cũng xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói gia đình,
ban bè đã luôn đ®ng viên, co vũ, tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tôi
trong quá trình hoc t¾p và hoàn thành lu¾n văn.
Hà N®i, ngày 05 tháng 11 năm 2013

Tác giá

Bùi Th% Thùy


Lài cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna PGS. TS. Hà Tien Ngoan,
lu¾n văn Thac sĩ chuyên ngành Toán giái tích vói đe tài “Hàm so siêu
giái tích trên m¾t phang phNc” đưoc hoàn thành bói nh¾n thúc cna
bán thân tác giá.
Trong quá trình nghiên cúu thnc hi¾n lu¾n văn, tác giá đã ke thùa
nhung thành tnu cna các nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn.
Hà N®i, ngày 05 tháng 11 năm 2013
Tác giá

Bùi Th% Thùy


Mnc lnc
Má đau.................................................................................................3
Chương 1. HÀM SO SIÊU GIÁI TÍCH........................................5
1.1. Hàm chính hình............................................................................5
1.1.1. Khái ni¾m hàm chính hình........................................................................................5
1.1.2. Các tính chat cna hàm chính hình.............................................................................6

1.2. Hàm siêu phúc.............................................................................7
1.2.1. So siêu phúc..................................................................................................................7
1.2.2. Hàm so siêu phúc.........................................................................................................9
1.2.3. Toán tú D..........................................................................................................9

1.3. Hàm siêu giái tích......................................................................10
1.3.1. Khái ni¾m hàm so siêu giái tích.............................................................................10
1.3.2. Sn ton tai nghi¾m sinh cna hàm siêu giái tích.......................................................11
1.3.3. Công thúc tích phân Cauchy đoi vói hàm siêu giái tích.........................................14

Chương 2. HÀM SO SIÊU GIÁI TÍCH SUY R®NG . . .

18

2.1. Toán tú Pompieu siêu phúc...........................................................18
2.1.1. Các đ%nh nghĩa và đ%nh lý.....................................................................................18
2.1.2. Toán tú Pompieu siêu phúc......................................................................................21
2.1.3. Các tính chat cơ bán cna toán tú Pompieu siêu phúc............................................24

2.2. Hàm so siêu giái tích suy r®ng. Đ%nh lý Liouville..........................28
2.2.1. Hàm so siêu giái tích suy r®ng...............................................................................28
2.2.2. Không gian Lp,ν (C)....................................................................................................29
2.2.3. Đ%nh lý Liouville.......................................................................................................38

4


2.3. Công thúc tích phân Cauchy đoi vói hàm so siêu giái tích suy
r®ng....................................................................................................40
2.3.1. Công thúc tích phân Cauchy.......................................................................................40
2.3.2. Các ket quá ve tính trơn cna nghi¾m......................................................................46

Ket lu¾n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
....
52

Tài li¾u tham kháo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
...
53

5


Má đau
1. Lí do chon đe tài
Lý thuyet hàm so chính hình m®t bien phúc đã đưoc hình thành và
phát trien tù lâu. Nhieu tính chat thú v% cna hàm chính hình đã đưoc
nghiên cúu trong Giáo trình hàm so m®t bien phúc.
Trong nhung năm 50-60 cna the ký 20, khái ni¾m hàm chính hình
m®t bien phúc đã đưoc mó r®ng và khái quát thành hàm vectơ siêu giái
tích và sau nua là hàm vectơ siêu giái tích suy r®ng. Nhieu tính chat cna
hàm so loai này tương tn cna các hàm chính hình đã đưoc chúng minh.
Vì v¾y chúng tôi chon đe tài lu¾n văn thac sĩ cna mình là “Hàm so
siêu giái tích trên m¾t phang phNc.” .
N®i dung chính cna lu¾n văn đưoc tham kháo tù chương 1 cna tài li¾u
[2].
Bo cuc cna lu¾n văn gom 2 chương :
Chương 1 trình bày các khái ni¾m, tính chat cna các hàm chính
hình, hàm siêu phúc và hàm siêu giái tích. Công thúc tích phân
Cauchy đoi vói hàm siêu giái tích.
Chương 2 trình bày ve toán tú Pompieu, khái ni¾m hàm siêu giái tích
suy r®ng, đ%nh lý Liouville và công thúc tích phân Cauchy đoi vói hàm
siêu giái tích suy r®ng và các đ%nh lý ve sn ton tai và tính trơn cna hàm
siêu giái tích suy r®ng.

2. Mnc đích nghiên cNu
Mô tá lý thuyet hàm so siêu giái tích trên m¾t phang phúc, các tính
chat cơ bán cna các hàm so này.

3. Nhi¾m vn nghiên cNu
• Tong quan lý thuyet hàm chính hình m®t bien phúc;
• Đưa ra khái ni¾m hàm siêu giái tích và siêu giái tích suy r®ng;
• Phát bieu và chúng minh các tính chat cơ bán cna các hàm so trên.

4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Hàm so siêu giái tích và siêu giái tích suy r®ng cna m®t bien so phúc,
công thúc tích phân Cauchy đoi vói các hàm so loai này.

5. Phương pháp nghiên cNu
Nghiên cúu lý thuyet : thu th¾p tài li¾u, đoc và phân tích, tong hop đe
đưoc m®t nghiên cúu tong quan ve hàm so chính hình m®t bien phúc và
lý thuyet hàm siêu giái tích và siêu giái tích suy r®ng.

6. DN kien đóng góp mái cúa đe tài
Tong quan ve lý thuyet hàm siêu giái tích và siêu giái tích suy r®ng.


Chương 1
HÀM SO SIÊU GIÁI TÍCH
1.1. Hàm chính hình
1.1.1. Khái ni¾m hàm chính hình
Hàm f xác đ%nh trong mien Ω ⊂ C vói giá tr% trong C đưoc goi là chsnh
hình tai điem z0 ∈ Ω neu ton tai r > 0 đe f là hàm C−khá vi tai
moi z ∈ D(z0, r) ⊂ Ω, túc là ton tai giói han
f (z + ∆ z ) − f ( z )

lim
= f r(z),

∆z→0

∆z
trong đó D(z0, r) = {z ∈ C : |z − z0| < r}.
Neu f chính hình tai moi z ∈ Ω thì ta nói f chính hình trên Ω.
Neu ta đ¾t z = x + iy, thì z = x − iy là liên hop cna so phúc z.
Hàm so f (z) là chsnh hình khi và chí khi nó thóa mãn phương trình
∂f
∂z

trong đó

∂
=
∂z

=0

(1.1)

1 ∂
(
∂
2 + i ) là toán tú Cauchy-Riemann.
∂x
∂y

Neu ta đ¾t f = u + iv, trong đó u và v lan lưot là phan thnc
và phan áo cna f, thì phương trình (1.1) tương đương vói h¾ phương
trình


Cauchy-Riemann sau đây



∂u

∂v


=
;

∂x
∂y
∂v
∂u

=− .
∂x
∂y

Nh¾n xét 1.1. Ta có the mó r®ng khái
ni¾m nêu trên tói trưòng hop Ω là mien tùy
ý trong C còn f là ánh xa tù Ω vào C bói
phép ngh%ch đáo. Như v¾y khi z0 huu han

còn f (z0) = ∞ ta nói f chsnh hình tai z0
neu
1
1
chsnh hình tai z0, còn khi z0 = ∞ ta nói
f
f chsnh hình tai z0 neu f ( )
z
chsnh hình tai 0.
1.1.2. Các tính chat cúa hàm chính
hình
Đ%nh lý 1.1. Giá sú Ω ⊂ C là m®t mien
và H(Ω) là t¾p các hàm chsnh hình trên Ω.
Khi đó
(i) H(Ω) là m®t không gian véctơ trên
C;
(ii) H(Ω) là m®t vành;

1

(iii) Neu f ∈ H(Ω) và f
∈ H(Ω);
f
(z) ƒ= 0, ∀z ∈ H(Ω)
thì


(iv) Neu f ∈ H(Ω)
và f chs nh¾n
giá tr% thnc thì f

là không đoi.
Chúng minh. Ta chí
chúng minh (iv), vì f
chí nh¾n giá tr% thnc
nên
∂
f cũng chí nh¾n giá tr%
thnc. Hơn nua, do f
∂ chính hình nên tù h¾
f
,
∂
x
∂
y
phương
trình
CauchyRiemann ta
có V¾y f
= const.

∂f
∂f .
=
iT
∂x ù
∂y đó

∂f
∂f =

=
∂x
∂y 0
.


Đ%nh lý 1.2. (ve hàm hop) Neu f : Ω −→ Ω∗ và g : Ω∗ −→ C là
các
hàm chsnh hình, ó đây Ω và Ω∗ tương úng là các mien trong m¾t phang
(z) và (ω), thì hàm g ◦ f : Ω −→ C cũng chsnh hình.
Đ%nh lý 1.3. Giá sú chuoi lũy thùa
.∞

Cnzn

n=0

có bán kính h®i tn R > 0. Khi đó tong f (z) cúa nó chsnh hình tai
moi điem z mà |z| < R và đao hàm phúc cúa nó là
.∞
nCn z n−1 .
n=1

1.2. Hàm siêu phNc
1.2.1. So siêu phNc
Giá sú r ∈ N và e là ma tr¾n vuông cap (r + 1) sau đây
0 · · · 0 0

1
.



.. 0 0

e :=
.
. ..
.
. .

 .. . . .. 



(r+1)
0 · · · 1 0 (r+1)
×

(1.2)


Khi đó


 0 0

··


·


k
e = 0 0


 1 0


· · ·

0 0


···

0 ···
···

0





··· 0


··· 0



· · ·

···
0 (r+1)×(r+1)

0
···

0

···
··· 1

Giá sú a0, a1, · · · , ar
là các so phúc. Xét ma
tr¾n


a0
··
·
0





0

r



a1

...
0


.
.

.



.0
.. ..
a
= =
.
.




(1.3
)
k=
0


.





(r
(+1
+
)
1)
×

v
ói
a

húc cúa a và là phan

k

là
cá
c
so
p
h
ú

c,

r

ake

lũy linh, ak goi là
.

.

.
k

thành phan thú k cúa goi
k=1

a.

Đ¾
t

r

|a| :=
.
|
ak|.
k
=

0

Đ%nh
nghĩa
1.1.
Ma
tr¾n a
như
trên
goi là
m®t so
siêu
phúc.
Ma
tr¾n

Chú ý rang e là lũy linh
cap r + 1, túc là er+1 =
0 và do đó, t¾p hop các
so siêu phúc là m®t đai
so là giao hoán. De thay
|ab| ≤
|a||b|
và |a

đơn

l

v%

à

+ b|
≤ |a|

van
đưoc

p

ký

h

hi¾u

a

là 1;

n

a0
goi

p

+ |b|.
Neu a0 ƒ= 0, khi đó so

siêu phúc a có ngh%ch đáo

−

a

−1

ho¾c

1
a

r

.
=
1

A

.k


.
( ,a
0

1
)

k

a
0

k
=
0


trong đó A là phan lũy linh cna a.
1.2.2. Hàm so siêu phNc
Giá sú ta có r + 1 hàm so vói bien so phúc và nh¾n giá tr% phúc
w0(z), w1(z), · · ·, wr(z).
Đ%nh nghĩa 1.2. Hàm so bien so phúc và nh¾n giá tr% so siêu phúc
w(z) =

r
.

wk(z)ek

(1.4)

k=0

đưoc goi là m®t hàm siêu phúc.
1.2.3. Toán tN D
Giá sú q(z) là m®t hàm siêu phúc
r

q(z) =

.


qk(z)ek
k=0

q0(z)

···




 q1(z) · · ·
=
 0· · ·


0
0




.


(1.5)

0
···


qr(z) · · · q1(z) q0(z)
Ta xét toán tú D sau đây
∂
∂
D := + q ,
∂z
∂z
trong đó

(1.6)
∂

1 ∂
= (


∂z

∂x

2

∂
∂

+ i ),
∂y ∂z

1 ∂
= (
2 ∂x

∂

−i

∂y
).


Khi q = 0 thì toán tú D chính là toán tú Cauchy-Riemann. Do đó
toán tú D đưoc goi là toán tú Cauchy-Riemann suy r®ng.
Tù tính lũy linh cna e và tù (1.4), (1.6) ta suy ra công thúc sau
Dw =

r.

k=0

r

r

k

e wkz +

.

k=1 j=
r

e j+kq kwjz,

k−1

0 r

.
.
k
=.
e wkz +
k
e
qk
k=0

.

k=0

−jwj
z

.

(1.7)

j=0

1.3. Hàm siêu giái tích
1.3.1. Khái ni¾m hàm so siêu giái tích
Đ%nh nghĩa 1.3. Hàm siêu phúc w ∈ C1(Ω) là nghi¾m cúa phương trình
Dw(z) = 0, z ∈ Ω

(1.8)

đưoc goi là m®t hàm so siêu giái tích trong mien Ω.
Khái ni¾m hàm siêu giái tích là sn mó r®ng khái ni¾m hàm chính
hình. Hai tính chat sau cna hàm siêu giái tích có the de dàng kiem tra
: giá sú u và v là các hàm siêu giái tích. Khi đó
(i) D(uv) = uDv + vDu và do đó hàm uv cũng là siêu giái tích;
(ii) Neu u =

r
.
k=0

ekuk và u0 ƒ= 0, thì D(u−1v) = 0.

Đ%nh lý 1.4. (Gilbert và Hile, 1974)
Neu w(z) là hàm siêu giái tích và w(z) ƒ= 0 trong Ω, thì các không
điem cúa w(z) là cô l¾p.

Chúng minh. Đ¾t w(z)
=

r
.

ekwk(z), trong đó wp(z) là thành phan

đau
k=p

tiên không đong nhat 0. Vì Dw = 0, theo
(1.7) suy ra
p−1

w = 0,

−

p
z

+
.

q
p
m

w
m
z
m=0

và do đó wpz = 0 vì wm ≡ 0 vói m ≤ p −
1. Vì v¾y wp là giái tích trong
Ω và do đó các không điem cna nó b% cô
l¾p (chú ý rang cnc điem cũng b% cô l¾p).
Bây giò chúng ta giói thi¾u khái ni¾m
nghi¾m sinh.
1.3.2. SN ton tai nghi¾m sinh cúa hàm
siêu giái tích
Cho Bk(Ω) là không gian các hàm siêu phúc
liên tuc và b% ch¾n cùng vói các đao hàm
tói cap k trong Ω.


Cho Bk,α(Ω) là không
gian các hàm siêu phúc
thu®c Bk(Ω) và có đao
hàm cap k cna nó liên
tuc Ho¨lder vói chí so
α trong Ω.
Đ%nh nghĩa 1.4.
(Douglis, 1953)
M®t hàm so siêu phúc
t(z) đưoc goi là nghi¾m
sinh vói toán tú D neu
r

(i) t có dang t(z) =
.
z+
ektk(z)
:= z + T (z);
k=1

(ii) T ∈ B1((C));
(iii) Dt = 0 trong C.
Đe mô tá nghi¾m
sinh t(z), đau tiên ta
giói thi¾u toán tú
Pompieu vói mien Ω b%
ch¾n như sau
¸ ¸ f (ζ)
dξdη
1
,
(
ζ−z
(
−
Ω


trong đó ζ = ξ + iη. Hai tính chat sau cna JΩf là rat can thiet :
(i) Neu f ∈ Bn,α(Ω) vói 0 < α < 1, n ≥ 0, và f ∈ Lp(Ω)
vói
1 ≤ p < 2, thì JΩf ∈ Bn+1,α(Ω);

∂
(ii) JΩf (z) = f (z), z ∈ Ω.
∂z
Bây giò ta chí ra rang, đe ton tai nghi¾m sinh, ta can phái có thêm các
giá thiet các hàm qk, k = 1, · · · , r thu®c B0,α(Ω) vói 0 < α < 1,
và có the thác trien lên C theo nghĩa chúng thu®c B0,α(C) và tri¾t
tiêu bên ngoài m®t hình tròn đn lón.
Đ¾t

k−1

t0(z) := z, tk(z) =

. .

∂
qk− ∂z

.
tj (z)

, k = 1, · · · , r.

j

JC
j=0

Tù (i) ó trên T
:=

r
.

ektk(z) ∈ B1,α(C). Cũng tù (1.7) ta có

k=1

∂
∂
Dt =
t+ qt
∂z
∂z

k−1

r

r

. ∂
=

∂z
k=0

k

e +

tk .

.

ek

q

k=1

j=0

∂
k−j

∂z

tj

=0.
Tù đó t(z) là m®t nghi¾m sinh, ta cũng thay rang t(z) + E, vói E là
lũy linh cũng là nghi¾m sinh.


Các tính chat sau cna t se thưòng đưoc sú dung:
Vói hang so M, thì

.
.
≤

.t(ζ) −
1 t(z)..
.

.

M , ζ ƒ= z.
|ζ − z|

(1.9)


Nhó lai rang

1
t(ζ) −
t(z)

−1

là ký hi¾u khác (t(ζ) − t(z)) . Ngh%ch đáo này
ton tai cùng vói ζ − z, phan phúc cna t(ζ) −
t(z) là (ζ − z) và khác 0.
Bat đang thúc
ra tù
. (1.9) de suy
.
.k
1r | T (ζ ) − T (z)|
1

.
..
.

|ζ

t(ζ) −
−

k
=
0

..

.
.
|ζ − z|

z|

t(z)
.≤
Vì T ∈ B1,α(C), ket quá này thu đưoc tù
công thúc Taylor.
Đ%nh lý 1.5. (Douglis, 1953) (Công thúc
Green)
Cho Ω là mien b% ch¾n và biên ∂Ω đưoc phú
bói huu han các đưòng cong đóng khá vi tùng
khúc. Khi đó, neu u, v ∈ C1(Ω) là các hàm

siêu phúc, thì

¸¸
¸

uvdt(z),
2i
tz (uDv (1.10)
+ vDu)dxdy
=
Ω
∂Ω

trong đó t là
nghi¾m sinh và

dt
t .

tz :=


∂t th
. ì
∂t
, tz
tù
:=
.(
∂z

∂z
1.
1
Chúng
1
minh. Áp
dung công )
thúc Green
vói bat kỳ ¸¸
hàm giá tr%
phúc w
D
ta có
¸¸
¸¸
2w
wd
dxz
dyv
=à
2
i

w(
ddz
−
yqd
z).
=

1

+

¸
w
z

d
x
d
y
=
−
Ω
∂Ω
Ω
∂Ω

Neu ta đ
%nh nghĩa
toán tú liên
hop
D+w = wz
+ (qw)z ;

w

¸

2
w
i
Ω
dd
∂
z
Ω
. x
(
1
.
1
1
)


Vì Dt = tz + qtz = 0, ta có
dt = tzdz + tzdz = tz (dz − qdz).
Vì v¾y, sú dung đong nhat thúc
D+(w1w2) = w2Dw1 + w1D+w2,
ta thu đưoc
¸ uvdt =1
2i
1
2i

¸

(uvtz )(dz − qdz)

∂Ω

∂Ω

¸¸
=

(tzvDu + uD+(tzv))dxdy

Ω

¸¸
=

(tz (vDu + uDv) + uvD+tz )dxdy.

Ω

Vì
∂
∂
D+tz = ∂(tz ) + ∂
Dt = 0,
∂z
(qtz )
(tz + qtz ) ∂z
∂z
∂z
=

=
đieu này cho ta đang thúc đưoc mô tá trong đ%nh lý.
1.3.3. Công thNc tích phân Cauchy đoi vái hàm siêu giái tích
Đ%nh lý 1.6. (Douglis, 1953)(Công thúc tích phân Cauchy đoi vói hàm
siêu giái tích)
Cho Ω, ∂Ω, và t như Đ%nh lý 1.5. Cho u ∈ C1(Ω) là hàm siêu phúc và
cho z0 ∈ Ω. Khi đó
u
z

) 1
=

¸

2πi
∂Ω

u(z)dt(z)


t(z) − t(z0

¸ )
1
¸

−

π

Ω

Du

tz

t(z)
t(z0 −

)

dxdy.

(1.12)