Khai triển tiệm cận của tích phân loại Laplace và ứng dụng giải quyết một số bài toán trong lĩnh vực vật lý

Lài cám ơn
Tôi xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói TS. Nguyen Văn Hào, ngưòi đã
đ%nh hưóng chon đe tài và t¾n tình hưóng dan đe tôi có the hoàn thành
lu¾n văn này.
Tôi cũng xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói phòng sau đai hoc, các
thay cô giáo day cao hoc chuyên ngành Toán giái tích, trưòng Đai hoc
Sư pham Hà N®i 2 đã giúp đõ tôi trong suot quá trình hoc t¾p.
Nhân d%p này tôi cũng xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói gia đình,
ban bè đã luôn đ®ng viên, co vũ, tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tôi
trong quá trình hoc t¾p và hoàn thành lu¾n văn.
Hà N®i, tháng 12 năm 2012
Tác giá

Nguyen Biên Giái


Lài cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna TS. Nguyen Văn Hào, lu¾n
văn Thac sĩ chuyên ngành Toán giái tích vói đe tài “Khai trien ti¾m
c¾n cúa tích phân loai Laplace và Nng dnng giái quyet m®t so
bài toán trong lĩnh vNc V¾t lý” đưoc hoàn thành bói nh¾n thúc cna
bán thân tác giá.
Trong quá trình nghiên cúu thnc hi¾n lu¾n văn, tác giá đã ke thùa
nhung thành tnu cna các nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn.
Hà N®i, tháng 12 năm 2012
Tác giá

Nguyen Biên Giái


Mnc lnc

Má đau.................................................................................................2
Chương 1. M®T SO KIEN THÚC VE GIÁI TÍCH TIfiM
C¾N.............................................................................................. 5
1.1. Các khái ni¾m ve b¾c và m®t so ví du...........................................5
1.1.1. Lòi dan...............................................................................................................5
1.1.2. Các khái ni¾m ve “không” b¾c....................................................................................7
1.1.3. Chú ý.................................................................................................................9
1.1.4. M®t so ví du ve b¾c......................................................................................................9
1.1.5. Nh¾n xét.......................................................................................................................10

1.2. Dãy ti¾m c¾n và khai trien ti¾m c¾n..........................................10
1.2.1. Khái ni¾m và ví du ve dãy ti¾m c¾n...............................................................10
1.2.2. Khái ni¾m ve khai trien ti¾m c¾n.............................................................................11
1.2.3. M®t so ví du và nh¾n xét ve khai trien ti¾m c¾n cna tích phân.......................13
1.2.4. M®t so tính chat cna khai trien ti¾m c¾n................................................................15

1.3. Hàm Gamma..............................................................................19
1.4. Hàm Gamma không hoàn chính................................................23
Chương 2. PHƯƠNG PHÁP LAPLACE..................................25
2.1. Ý tưóng khai trien ti¾m c¾n đoi vói tích phân loai Laplace

25

2.1.1. Ý tưóng chung.................................................................................................25
2.1.2. Ý tưóng cna phương pháp Laplace................................................................26

2.2. Phương pháp tích phân tùng phan...........................................27
2.2.1. M®t so ví du.....................................................................................................27
2.2.2. Đ%nh lý (Bo đe tích phân tùng phan)..............................................................29
1

2.3. Bo đe Watson.............................................................................32
2.3.1. Ví du phán chúng............................................................................................32
2.3.2. Đ%nh lý (Bo đe Watson)..............................................................................................34
2.3.3. Ví du................................................................................................................36

2.4. Phương pháp Laplace.................................................................37
2.4.1. Ý tưóng cna phương pháp Laplace................................................................37
2.4.2. Đ%nh lý (Phương pháp Laplace)......................................................................39
2.4.3. M®t so ví du.....................................................................................................42

Chương 3. ÁP DUNG ĐOI VéI M®T SO VAN ĐE V¾T LÝ
– TOÁN.......................................................................................50
3.1. Phương trình Scho¨tdinger........................................................50
3.2. Bài toán Burgers........................................................................53
Ket lu¾n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
...
59
Tài li¾u tham kháo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..
60

2


Chương 1
Má đau
1. Lí do chon đe tài
Khi giái quyet nhieu van đe trong lĩnh vnc V¾t lý dan đen vi¾c giái m®t

so các phương trình Toán hoc mà nghi¾m cna nó đưoc bieu dien dưói
dang các tích phân. Có khá nhieu các tích phân như v¾y đưoc gan vói
nhung hàm đ¾c bi¾t như hàm Bessel, các hàm siêu hình hoc, . . . .
Ngoài ra, cũng phái ke đen m®t công cu rat quan trong đe giái quyet
các bài toán ve phương trình vi phân thưòng và phương trình đao
hàm riêng tuyen tính là các phép bien đoi tích phân. Chang han,
nghi¾m cna bài toán Cauchy đoi vói phương trình Scho¨tdinger
iΦt + Φxx=0
đưoc cho bói công thúc
1
Φ(x, t) =
2π

¸
+∞
Φˆ 0 (k)e

2

ikx−ik t

dk,

−∞

ó đó Φˆ 0 (k) là bien đoi Fourier cna du ki¾n đau Φ(x, 0). M¾c dù, các
tích phân như v¾y cho ta nghi¾m chính xác cna bài toán, nhưng ve m¾t đ
%nh lưong cna chúng là không han đưoc rõ ràng. Đe giái thích đưoc ý
nghĩa cơ bán ve khía canh V¾t lý, cũng như ve m¾t Toán hoc đoi vói

nhung nghi¾m này, ngưòi ta thưòng phái nghiên cúu dáng đi¾u cna
chúng khi


các bien x và t khá lón. Thông thưòng, như đoi vói các bài toán ve
chuyen đ®ng sóng, quá trình giói han đưoc quan tâm đen là khi t → ∞
x
mà c = van đưoc giu co đ%nh. Như trưòng hop cna phương trình trên,
t
ngưòi ta can nghiên cúu phương trình
+∞

¸
Φ(x, t) = Φˆ 0 (k)eitφ(k)dk; t → ∞
−∞

ó đó φ(k) = kc − k2.
M®t trong nhung phương pháp xú lý các bài toán thu®c ve lĩnh vnc
này phái ke đen đó là lý thuyet xap xí ti¾m c¾n đoi vói tích phân.
Điem khói đau mang tính trnc giác, ngưòi ta có the thay ngay đó là
vi¾c dùng phương pháp tích phân tùng phan. Tuy nhiên, tù sn han
che nhat đ%nh cna phương pháp này, các nhà toán hoc đã tìm ra m®t
so các phương pháp đe khac phuc các nhưoc điemó đây. M®t trong
nhung điem noi b¾t đó, ta phái ke đen phương pháp Laplace trong
vi¾c xú lý các tích phân dang này. Đe hoàn thành lu¾n văn tot nghi¾p
chương trình b¾c đào tao Thac sĩ khoa hoc Toán hoc, em chon đe tài
“Khai trien ti¾m c¾n cúa tích phân loai Laplace
và Nng dnng giái quyet m®t so bài toán trong lĩnh vNc V¾t lý”.
Lu¾n văn đưoc cau trúc thành 03 chương. Chương 1 đưoc dành đe đưa

ra m®t so kien thúc căn bán ve lý thuyet ti¾m c¾n. Trong chương 2 cna
lu¾n văn, chúng tôi trình bày m®t cách có h¾ thong m®t so phương pháp
ưóc lưong xap xí tích phân loai Laplace. é chương cuoi cna lu¾n văn,
chúng tôi minh hoa m®t so áp dung cna các phương pháp xap xí trên
đây trong vi¾c giái quyet m®t so bài toán liên quan đen lĩnh vnc V¾t lý.

4


2. Mnc đích, nhi¾m vn, đoi tưang và pham vi nghiên
cNu
Lu¾n văn trình bày m®t cách có h¾ thong ve lý thuyet xap xí ti¾m c¾n;
trình bày m®t so phương pháp xap xí ti¾m c¾n đoi vói tích phân loai
Laplace và úng dung cna các phương pháp này trong vi¾c giái quyet m®t
so bài toán trong lĩnh vnc V¾t lý.

3. Phương pháp nghiên cNu
Đoc sách, nghiên cúu tài li¾u, tong hop kien thúc, v¾n dung cho muc
đích nghiên cúu.

4. DN kien đóng góp cúa đe tài
H¾ thong hóa chi tiet, căn bán ve lý thuyet khai trien ti¾m c¾n.
Trình bày m®t so phương pháp xap xí tích phân loai Laplace.
Minh hoa m®t so úng dung cna phương pháp xap xí ti¾m c¾n đoi vói
tích phân loai Laplace qua vi¾c giái quyet hai bài toán xáy ra trong lĩnh
vnc V¾t lý.


Chương 2
M®T SO KIEN THÚC VE GIÁI

TÍCH TIfiM C¾N
Giái tích ti¾m c¾n đưoc hình thành khói nguon tù m®t so các công trình
tính toán cna L. Euler. Đen năm 1886, lý thuyet ti¾m c¾n mói đưoc xây
dnng m®t cách h¾ thong bói Stieltjes [6] và Poincaré [5]. é đây, ngưòi ta
nghiên cúu các chuoi mà nó đưoc bieu dien bói các dãy hàm ti¾m c¾n.
Thông thưòng các hàm đó đưoc bieu dien dưói dang tích phân, chuoi
lũy thùa ho¾c dưói dang như nghi¾m cna phương trình vi phân. Trong
chương này, chúng tôi se trình bày vói múc đ® can thiet và căn bán nhat
ve lý thuyet giái tích ti¾m c¾n.

2.1. Các khái ni¾m ve b¾c và m®t so ví dn
2.1.1. Lài dan
Các ký hi¾u O, o và ∼ đưoc sú dung đau tiên bói E. Landau và P. D.
B. Reymond. Trưóc khi giói thi¾u các khái ni¾m này, chúng ta xét đen
m®t bài toán thưòng g¾p trong thnc te. Tính giá tr% cna tích phân
¸∞
I(ε) =

0

e−t
1+
εt

dt; vói ε > 0đn nhó.


Như đã trình bày trong phan mó đau, chúng tôi se trình bày m®t phương
pháp xap xí cna tích phân I(ε) bang phương pháp de tiep c¾n nhat
(phương pháp tích phân tùng phân). Lay tích phân tùng phan lan thú

nhat ta thu đưoc

¸

e−t
dt.
2
I(ε) = 1 − ε (1 + εt)
∞

0

L¾p lai quá trình này N lan, ta nh¾n đưoc
I(ε) = 1 − ε + 2!ε2 − 3!ε3 + ... +

e−t

(−1)N N !εN
¸∞

+ (−1)N +1(N + 1)!εN +1
(2.1)
N +2
(1 + εt)

dt.

0

Ve phái cna phương trình này, đưoc goi là m®t khai trie ti¾m c¾n cna I(ε)

tói so hang (N + 1). So hang này nhó hơn rat nhieu so vói so hang
thú N . Đieu này cũng đương nhiên đúng đoi vói tat cá n = 0, 1, 2, ...,
N − 1. Ta chí ngay ra đieu đó vói n = N . Bói vì ε là so dương đn
nhó, nên 1 + εt ≥ 1 và ta có đánh giá
¸∞

e−t

dt
≤
N +2
(1 + εt)

¸∞

e−tdt = 1.

0

0

Tù đieu này suy ra rang
.
∞
.

e

−t

..

¸

N +1
.(−1)
(N + 1)!εN +1
ε. N +1.

N +1

dt. ≤ .(−1)
.
εt
(1 +

(N + 1)!
N +2
)


.

0

.
..

.
.

.
.
.
.
≤
. (−1)

N
+1

N !εN. . .
.

Đieu quan trong là ta thay rang khai trien chuoi dưói dang phương trình
(1.1) là không h®i tu. Ta có the thay ngay nh¾n xét này rang khi ε co


đ%nh thì so hang

(−1)N +1N !εN → ∞; khi N → ∞.

The nhưng, vói N co đ%nh thì
(−1)N +1N !εN → 0; khi ε → 0.
Đây chính là nguyên nhân cho thay rang khai trien trên là m®t xap xí
tot đoi vói tích phân I(ε) khi ε → 0. M®t cách tn nhiên xuat phát tù sn
nh¾n xét có tích trnc giác trên đây, phương trình (1.1) đưa đen vi¾c giói
thi¾u m®t so khía ni¾m quan trong trong lý thuyet Giái tích ti¾m c¾n.
Giá sú ε là so dương nhó tùy ý, chúng ta sú dung m®t so thu¾t ngu
(i) −ε có cùng b¾c vói ε và 4!ε4 có cùng b¾c vói ε4. Các phát

bieu này đưoc ký hi¾u tương úng bói −ε = O(ε) và 4!ε4 = O .ε4.;
(ii) 2!ε2 là có b¾c nhó hơn ε, nó đưoc ký hi¾u bói 2!ε2 = o(ε)
ho¾c
2!ε2

ε;

(iii) Neu xap xí I(ε) bói I(ε) = 1 − ε + 2!ε2, thì xap xí này có
đ® chính xác đen b¾c ε2.
Tiep theo, chúng ta se chính xác hóa các khái ni¾m đã nói trên đây. Các
ký hi¾u O, o và ∼ đưoc sú dung đau tiên bói E. Landau và P. D. B.
Reymond.
2.1.2. Các khái ni¾m ve “không” b¾c
Cho f (z) và g(z) là hai hàm so xác đ%nh trên m®t t¾p D trong
m¾t phang phúc C và cho z0 là m®t điem giói han cna D (có the là
điem vô cùng). Ta nói

9


(i) O b¾c lán. Hàm f (z) đưoc goi là có “ O b¾c lón” đoi vói hàm
g(z) khi z → z0 (ho¾c f (z) có cùng b¾c g(z) khi z → z0) và ký hi¾u là
f (z) = O(g(z)); z → z0,
neu ton tai m®t hang so dương M và m®t lân c¾n U cna z0 sao cho
|f (z)| ≤ M |g(z)| ; vói moi z ∈ U ∩ D.
Đơn gián hơn, neu hàm g(z) không tri¾t tiêu trên D, thì
f (z) = O(g(z)); khi z → z0
nghĩa là ton tai hang. so dương
M và m®t lân c¾n U cna z0 sao cho
.

.f (z). ≤ M ; vói moi z ∈ U ∩ D.
. .g(z) ..
Trưòng hop đ¾c bi¾t, hàm
f (z) = O(1); khi z → z0.
Đieu đó, nghĩa là hàm f (z) b% ch¾n khi z tien tói z0.
Trong các khái ni¾m trên, hàm g(z) thương đưoc goi là “hàm cõ” bói vì
hàm đó xác đ%nh dáng đi¾u cna hàm f (z) khi z → z0.
(ii) o b¾c nhó. Hàm f (z) đưoc goi là có “o b¾c nhó” đoi vói
hàm g(z) khi z → z0 (ho¾c f (z) là ti¾m c¾n nhó hơn đoi vói hàm
g(z) khi z → z0) và ký hi¾u là
f (z) = o (g(z)) ; khi z → z0
neu vói moi ε > 0 nhó tùy ý, ton tai m®t lân c¾n U cna z0 sao cho
|f (z)| ≤ ε |g(z)| ; vói moi z ∈ U ∩ D.


Cũng đơn gián hơn, neu g(z) không tri¾t tiêu trong lân c¾n cna z0
có the trù ra tai điem này, thì f (z)
. = .o (g(z)) nghĩa là
f (z)
lim
z→z0 .
. g(z) ..
.
. = 0.
(iii) B¾c tương đương. Ta nói f (z) có b¾c tương đương vói hàm
g(z) khi z → z0 và ký hi¾u là f (z)
. ∼ .g(z) khi z → z0 neu
f (z)
..
lim .

z→z0
g(z) =
.
.
1
hay
f (z) = g(z) + o (g(z)) khi z → z0.
2.1.3. Chú ý
Khái ni¾m O- b¾c cho ta nhieu thông tin hơn o- b¾c ve dáng đi¾u cna
các hàm liên quan trong quá trình z → z0. Chang han
sin z = z + o(z2); khi z → z0,
cho ta biet sin z − z tien tói 0 nhanh hơn z2. Tuy nhiên
sin z = z + O(z3); khi z → z0,
cho ta biet rang sin z − z tien tói 0 gan như z3 khi z → z0.
2.1.4. M®t so ví dn ve b¾c
Đoi vói hàm so f (t) = 5t2 + t + 3, ta có các so sánh ve b¾c trong
m®t so quá trình dưói đây
f (t) = o(t3), f (t) = O(t2) và f (t) ∼ 5t2; khi t →
∞.
10


f (t) ∼ 3; khi t → 0
. .
f (t) = 1
; khi t → ∞.
o
t

2.1.5. Nh¾n xét

Các ký hi¾u O, o và ∼ cũng dùng đưoc đoi vói các hàm vói bien ròi
rac. Chang han, như vói dãy so thnc (nghĩa là hàm cna các so nguyên
(i)

dương n). Đoi vói dãy so xn = 5n2 − 6n + 9 ta thay rang
xn = o(n3), xn = O(n2) và xn ∼ 5n2; khi n → ∞.
(ii)

Ngưòi ta cũng thưòng sú dung ký hi¾u f (k)

g(k); khi k →

k0
đong nghĩa vói f (k) = o(g(k)); khi k → k0.

2.2. Dãy ti¾m c¾n và khai trien ti¾m c¾n
2.2.1. Khái ni¾m và ví dn ve dãy ti¾m c¾n
M®t dãy hàm {φn(k)} đưoc goi là m®t dãy ti¾m c¾n khi k → k0 neu
có m®t lân c¾n cna k0 sao cho trong lân c¾n này không m®t hàm nào
tri¾t tiêu (ngoai trù tai k0) và vói moi n ta có
φn+1 = o(φn); khi k → k0.
n

Chang han, neu k0 huu han thì {(k − k0) } là m®t dãy ti¾m c¾n
khi
k → k0, còn {k−n} là m®t dãy ti¾m c¾n khi k → ∞.


2.2.2. Khái ni¾m ve khai trien ti¾m c¾n
Chuoi hình thúc

∞
.
anφn(k) = a0φ0(k) + a1φ1(k) + ... + anφn(k) +
...
n=0

đưoc goi là m®t khai trien ti¾m c¾n cna hàm f (k) tương úng vói
dãy ti¾m c¾n {φm(k)} neu vói moi m = 0, 1, 2, . . .
m
.
f (k) −
anφn(k) = o(φm(k)); khi k → k0.
n=0

Tù đó ta nh¾n
đưoc

m−1

f (k) −
m−
1

.

anφn(k) = amφm(k) + o(φm(k))

n=0

tong riêng . anφn(k) là m®t xap xí cna hàm f (k) vói sai so O (φm)

n= khi
0

k → k0, b¾c cna sai so này có cùng đ® lón vói so hang đau tiên cna phan
dư. Neu khai trien ti¾m c¾n ton tai thì nó là duy nhat và các h¾ so cna
nó đưoc cho bói

..

am = lim
k→k0

m−1

f (k) −

.

anφn(k)

.

n=0

.

1

φm(k)

.

.

Neu m®t hàm có khai trien ti¾m c¾n theo nghĩa này ta viet
∞
.
f (k) ∼
anφn(k).
n=0

Tong riêng cna m®t chuoi có dang này thưòng đưoc goi là m®t xap xí
ti¾m c¾n cna hàm f (k). So hang đau tiên đưoc goi là so hang tr®i
và chúng ta thưòng viet f (k) ∼ a0φ0(k). Đieu đó có nghĩa là
f (k)


φ0(k)

→ a0; khi k → k0.


Neu điem giói han x0 là huu han, R có the là m®t khoáng mó cna x0, x0
có the là điem trong ho¾c điem biên và m®t lân c¾n cna x0 là m®t
khoáng mó |x − x0| < δ. Nhưng neu x0 là điem vô cùng, chúng ta
phái phân bi¾t giua x → +∞, trong trưòng hop này R có the coi là
m®t khoáng vô han x > a và x → −∞, trong trưòng hop này R có the
coi là x < b. Có m®t so trưòng hop khi R là m®t t¾p riêng bi¾t,
chang han nó có the là đieu ki¾n can đe tìm m®t khai trien ti¾m c¾n
cna tong riêng thú n cna m®t chuoi vô han khi n là đn lón, sao cho

nhung bài toán này ton tai, theo nghĩa bên ngoài cna mien này nó
không h®i tu.
Bieu thúc cna khai trien ti¾m c¾n phu thu®c vào cách chon dãy ti¾m
∞ thì
∞
c¾n. Chang han, khi k → ∞
1
1
1
k+1
˜.
k−1

kn
và

n=1

.
˜
.
k − 1 n= k2n
1

Trong các ví du này, các khai trien ti¾m c¾n là các chuoi h®i tu. Hơn
nua, hai hàm có the có cùng khai trien ti¾m c¾n. Ví du neu
1
− π + δ ≤ ph(k)
2
≤

hai hàm

1
k+
1

,

1
k+
1

1
1
π − δ; vói 0 < δ < π
2
2

+ e−k có cùng khai trien ti¾m c¾n
.

∞(−1) n−
1
n
k
n=1

; khi k → ∞,

vì kn và e−k → 0 khi k → ∞ trong mien đã cho.

2.2.3. M®t so ví dn và nh¾n xét ve khai trien ti¾m c¾n cúa tích
phân
Ví dn 2.1. Tìm khai trien ti¾m c¾n cna tích phân
¸∞
J (k)
=
1

r

Đ¾t t = kt và ε
=

k

0

e−kt dt; khi k → ∞.
1
+t

, chúng ta thay rang
¸

r

e−t
1+

∞

J=ε

dtr
.

εtr

0

1

Tù phương trình (1.1), bang vi¾c thay ε =
J (k)
=

1
1!
−
k

+

k2

k3

k

ta nh¾n đưoc ngay
(N − + RN (k)

2 − ... +
!
N −1
(−1)

1)!
kN

¸∞

e−tdt

RN (k) = (−1)N N !
kN +1

0

(1 + t/k)

N

.

(2.2)

+1

Như cách đánh giá đã giói thi¾u trên, ta thay rang
|RN (k)| ≤ N !
kN +1

1
kN

.

Lưu ý rang phương trình (1.2) là m®t bieu dien chính xác. Khi k → ∞
dãy hàm

1 1! 2!
, ...
, 2 , k3
k k


chính là dãy ti¾m c¾n và phương trình (1.2) cho ta m®t khai trien ti¾m
c¾n cna I(k) vói k nh¾n giá tr% lón. M®t lan nua nhac lai rang, khai
trien
trên không h®i tu khi N → ∞ và k co đ%nh chuoi không h®i tu; nhưng
khi k → ∞ và N co đ%nh RN → 0.


Ví dn 2.2. Tìm khai trien ti¾m c¾n cna tích phân
¸∞ −t
e
I(k) =

dt; khi k → ∞.
t
k
Lay tích phân tùng phan N lan chúng ta de dàng tính đưoc
+ RN (k);
.
1
2 − ... +
−k
(
N
−
!
I(k) = e 1
!
N −1
.
k −
(−1)
1)
!
+
k2

kN

k3
¸

∞

e−t dt.

(2.3)

N
N
RN (k) = (−1) N ! t
k

+1

Khi k → ∞ các so hang e−k e−k e−k
, 2
k
, ... l¾p thành m®t dãy ti¾m c¾n.
k
,
k3
Chúng ta cũng de dàng thay rang
¸
N!
e−k
N! ∞
−k
t
e
|RN (k)|
<

k N +1

k

e− dt
=

kN +1

kN

.

Như v¾y, phương trình (1.3) là m®t khai trien ti¾m c¾n cna tích phân
đã cho khi k → ∞. Khi N → ∞ vói moi k co đ%nh thì |RN | → ∞, nên
chuoi phân kỳ. Khi k → ∞ và N co đ%nh, thì RN → 0 (chúng ta nh¾n
đưoc m®t khai trien ti¾m c¾n cna tích phân đó).
Chuoi ti¾m c¾n thưòng cho nhung xap xí tot. Chang han, khi k = 10
và N = 2, sai so giua giá tr% chính xác và hai so hang đau tiên cna
chuoi là R2(10) đưoc đánh giá như sau
|R2(10)| < 0, 002 × e−10.


Rõ ràng sai so này là rat nhó. Thnc te, ngay cá khi k = 3 và N =
2, chúng ta có

2
|R2(3)| ≤
(3e)

−3
3

= 3.7 × 10

.


Tuy nhiên, ta không the lay quá nhieu so hang trong dãy bói vì m®t lúc
nào đó phan tư se giám, th¾m chí còn tăng khi N tăng. Ve m¾t nguyên
tac, ta có the tìm giá tr% "toi ưu" cna N đe vói k co đ%nh, thì phan dư
là nhó nhat (xap xí tot nhat). Trong khuôn kho cna lu¾n văn, chúng tôi
không đe c¾p chi tiet ve van đe này. Trong hau het nhung áp dung trong
lu¾n văn, vi¾c thu đưoc m®t vài so hang đau tiên cna khai trien ti¾m
c¾n là đn cho vi¾c trìn bày van đe đ¾t ra.
2.2.4. M®t so tính chat cúa khai trien ti¾m c¾n
Tính duy nhat. Cho m®t dãy ti¾m c¾n {φn(x)}, dãy khai trien ti¾m
c¾n cna f (x) là duy nhat, nghĩa là an đưoc xác đ%nh duy nhat như
sau

f (x)
a1 = lim
x→x0 φ1(x)
f (x) − a1φ1(x)
a2 = lim
x→x0
φ2(x)
...
N− anφn(x)
f (x) 1

.
.
−
aN =
n=
lim
1

x→x0

φN (x)

Tính không duy nhat. Vói m®t hàm f (x) có the có nhieu khai
trien ti¾m c¾n khác nhau. Chang han, khi x → 0,
1 3
2 +···
tan x ∼ x + x +
3
x5
15
1
3
+ (sin
+ · · ·.
∼ sin x + (sin x) x)53
2
8


Tính tr®i nhó. M®t khai trien ti¾m c¾n có the là khai trien cna nhieu

hơn m®t hàm. Chang han, neu
∞

f (x) ∼

.

n=0

n

an(x − x0) ; khi x → x0,


thì

∞

1

−

f (x) + e

(x−x0)2

∼

.

n

an(x − x0) ; khi x → x0

n=0

.∞

1

−

n

2

(do e (x−x0) = o ((x − x0) ) khi x → x0 vói moi n).
Hơn nua

n=
0

an(x −
n
x 0)

là ti¾m c¾n khi x → x0 cna m®t hàm bat kỳ khác f (x) bói m®t hàm
g(x) sao cho g(x) → 0 khi x → x0 nhanh hơn moi lũy thùa cna x → x0.
M®t hàm g(x) như the đưoc goi là tr®i nhó hơn m®t chuoi lũy thùa ti¾m
c¾n, chuoi lũy thùa ti¾m c¾n cna g(x) có the là

∞

g(x) ∼

.

0 · (x −
n

x0 ) .
n=0

Vì v¾y m®t khai trien ti¾m c¾n là ti¾m c¾n cna m®t lóp các hàm, chúng
khác nhau bói các hàm trôi nhó. Chang han, hàm e−x là tr®i nhó so vói
m®t chuoi ti¾m c¾n có dang
∞
.

anx−n; khi x →
+∞

n=0

và vì v¾y neu f (x) có m®t khai trien ti¾m c¾n thì f (x) + e−x cũng
v¾y,
nghĩa là f (x) có m®t khai trien chuoi lũy thùa ti¾m c¾n sai khác hàm
mũ nhó.
Tính bang nhau cúa các h¾ so. Neu ta viet
∞
∞

.
.
n
n
an · (x − x0) ∼
bn · (x − x0)
n=0

thì chúng ta nói đen lóp các hàm
∞

(2.4)