Phương pháp tựa tuyến tính hoá giải xấp xỉ một lớp bài toán biên đối với hệ phương trình vi phân thường phi tuyến

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS. Khuất
Văn Ninh, người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo tôi trong suốt quá trình làm
luận văn.
Tôi xin được gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong tổ giải tích,
khoa toán trường ĐHSPHN 2, gia đình, bạn bè, các bạn học viên lớp K14
Toán giải tích đợt 2, những người đã động viên tôi trong suốt quá trình học
và làm luận văn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2012
Tác giả

Nguyễn Thu Thùy


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là do tôi tự làm, dưới sự hướng dẫn của
PGS.TS. Khuất Văn Ninh. Tôi xin cam đoan các tài liệu nghiên cứu trong
luận văn là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Các thông tin
trích dẫn các tài liệu tham khảo trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Luận văn chưa được công bố trên bất kì tạp chí nào.
Hà Nội, tháng 12 năm 2012
Tác giả

Nguyễn Thu Thùy


MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU

1

Chương 1. Kiến thức bổ trợ.

3

1.1 Phương trình vi phân Riccati.

3

1.2 Phương pháp tuyến tính hóa.

3

1.3 Phương pháp Newton.

5

1.4 Trong không gian

8

n

.

1.5 Phương pháp Newton – Katorovich.

9

1.6 Hệ phương trình vi phân thường tuyến tính.

10

1.7 Phương pháp Galerkin.

13

1.8 Môt số kiến thức cơ bản về giải tích hàm.

15

1.9 Đạo hàm Frechét trong không gian định chuẩn.

16

1.10 Phương trình Sturm – Liouville.
1.11 Định lý Tchaplygin về bất đẳng thức vi phân.
Chương 2. Phương pháp tựa tuyến tính hóa giải xấp xỉ bài toán
biên đối với hệ phương trình vi phân thường phi tuyến.

17
18
19

2.1. Xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ của bài toán biên đối với phương
trình vi phân thường phi tuyến.

19

2.1.1.Tính chất đơn điệu.

19

2.1.2. Phương pháp tiếp cận cơ bản.

20

2.1.3. Mối quan hệ giữa nghiệm và các hệ số.

21

2.1.4. Phép nhân tử hóa đối với toán tử vi phân tuyến tính cấp 2.

23

2.1.5. Tính chất dương của nghiệm của phương trình vi phân.

25

2.1.6. Xét quan hệ với phương trình đạo hàm riêng parabolic.

26

2.1.7. Bàn về các giá trị riêng.

28


2.1.8. Sự hoàn thiện của việc đánh giá sự hội tụ.
2.2. Sự hội tụ của dãy nghiệm xấp xỉ.

29
31

2.2.1. Áp dụng tuyến tính hóa đối với hệ.

31

2.2.2. Giải hệ phương trình tuyến tính.

33

2.2.3. Một số ví dụ.

34

2.2.4. Tính toán đồng thời các xấp xỉ.

35

2.2.5. Thảo luận.

37

2.2.6. Tính chất đơn điệu đối với hệ.

38

2.2.7. Tính chất đơn điệu đối với phương trình vi phân tuyến
tính cấp N.

39

2.2.8. Phương trình parabolic.

40

Chương 3. Ứng dụng phương pháp tựa tuyến tính hóa giải một
số bài toán biên đối với hệ phương trình vi phân thường phi
tuyến cấp một.

42

3.1. Đặt vấn đề.

42

3.2. Môt số ví dụ.

43

KẾT LUẬN

53

TÀI LIỆU THAM KHẢO

54

5

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Cho X và Y là không gian tuyến tính định chuẩn và
phi tuyến. Xét phương trình toán tử

Pu = 0

P:X
là toán tử
→
Y
(1)

Đây là trường hợp tổng quát của phương trình toán tử phi tuyến trong
không gian định chuẩn.
*

Giả sử phương trình toán tử dạng Pu = 0 là có một nghiệm duy nhất u = u .
Vấn đề tìm nghiệm của phương trình là vấn đề cơ bản trong việc giải phương
trình. Trong trường hợp tìm nghiệm chính xác của phương trình (1) là rất khó
hoặc không thể tìm được thì người ta nghiên cứu để tìm nghiệm xấp xỉ của
phương trình đó.
Nhà toán học L. Kantorovich đã khái quát phương pháp Newton giải
phương trình vô hướng f(x) = 0 trong không gian để giải phương trình (1).
Trong đó tư tưởng tuyến tính hoá đã được ông phát triển và khái quát rất
thành công cho phương trình toán tử.
Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu một lớp bài toán biên đối với hệ
phương trình vi phân thường phi tuyến. Phương pháp nghiên cứu ở đây là áp

dụng sự tuyến tính hóa và bất đẳng thức vi phân. Thông qua bất đẳng thức vi
phân để xây dựng một dãy nghiệm xấp xỉ (xn ) đơn điệu tăng hội tụ tới
*

nghiệm u của (1). Đề tài chúng tôi nghiên cứu là “Phương pháp tựa tuyến
tính hóa giải xấp xỉ một lớp bài toán biên đối với hệ phương trình vi phân
thường phi tuyến”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu ứng dụng của phương pháp tựa tuyến tính hóa và bất đẳng
thức vi phân vào giải xấp xỉ một lớp bài toán biên đối với hệ phương trình vi


phân thường phi tuyến. Nêu một số ví dụ về giải số bài toán biên đối với hệ
phương trình vi phân thường .
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về phương pháp tựa tuyến tính hóa, nghiên cứu về bất đẳng
thức vi phân.
Xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ hội tụ đơn điệu tới nghiệm của của bài toán
biên.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Phương pháp tựa tuyến tính hóa giải xấp xỉ một lớp bài toán biên đối với
hệ phương trình vi phân thường phi tuyến.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp phân tích và tổng hợp các tài liệu đã có từ đó hệ thống một
số vấn đề lý thuyết liên quan đến đề tài, áp dụng lý thuyết vào bài tập.
6. Những đóng góp mới của đề tài
Luận văn trình bầy một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản về phương
pháp tựa tuyến tính hóa.
Nghiên cứu ứng dụng của phương pháp tựa tuyến tính trong việc giải xấp
xỉ một lớp bài toán biên đối với hệ phương trình vi phân thường phi tuyến .

Chương 1
Kiến thức bổ trợ
1.1 Phương trình vi phân Riccati
Phương trình vi phân Riccati là phương trình vi phân phi tuyến bậc 1 dạng
v′ + v + p(t)v + q(t) = 0 .
2

(1.1)

Nói chung phương trình Riccati không giải được bằng cầu phương và các
hàm cơ bản của giải tích với các hệ số tùy ý p(t) và q(t).
Phương trình (1.1) có mối quan hệ với phương trình vi phân tuyến tính cấp 2.
Ta bắt đầu với phương trình
v ′ + p(t)v′ + q(t)v = 0 ,
ta đặt : u = vdt , khi đó, u′ =
e∫

vd
t

,u′=
v′e∫

ve∫

vdt

(1.2)

2 ∫vdt
+ ve ,

thay u , u′ , u′′ vào phương trình (1.2) thì ta đưa (1.2) về dạng (1.1)
1.2 Phương pháp tuyến tính hóa
a. Xét hàm một biến
Xét phương trình

f (x) = 0

trong đó hàm f xác định trên (a,b) x0 ∈(a,b)
,
Giả sử hàm số f có đạo hàm
tại

x0 . Khi đó ,

f ′(x ) = lim f (x) f (x0 )
.
−
0
x − x0
Đặt:

x→x 0

f (x) − f (x0 ) − f '(x0 )(x − x0 ) = α(x, x0 ) .
(1.3)

Thì
lim

x→x0

α (x, x0 )
x − x0

Từ (1.3) ta có

= 0.
f (x) − f (x0 ) =


f '(x0 )(x − x0 ) + α(x, x0 ) .


Khi x gần x0 thì

f (x)
≅

f (x0 ) f '(x0 )(x − x0 ) .
+

(1.4)

Từ (1.4) ta nhận thấy vế trái của (1.4) là biểu thức phi tuyến và vế phải là
biểu thức bậc nhất đối với x.
Dựa vào (1.4) người ta thay thế biểu thức phi tuyến bởi biểu thức bậc nhất

đối với x.
Ý tưởng của phương pháp tiếp tuyến của Newton là giải xấp xỉ phương
trình phi tuyến thông qua việc giải một dãy những phương trình tuyến tính.
b. Xét hàm hai biến
Xét phương trình:
f (x, y) = 0
(x0 , y0 )
∈U

trong đó f xác định trên tập mở U
⊂

(1.5)

2

,
Giả sử hàm số f có đạo hàm tại
điểm
f (x,
y)
Trong đó,
h
f (x, y)
≅

(x0 , y0 ) ∈U . Khi đó,

= f (x0 , y0 f x′(x0 , y0 )(x x0 ) f y′(x0 , y0 )( y − y0 ) + ο (
h)

)+
+
= (x − x0 , y − y0 ) , vì thế nếu h đủ nhỏ, khi đó ta
có
f (x0 , y0
)+

f x′(x0 , y0 )(x x0 ) f y′(x0 , y0 )( y
+
− y0 )

(1.6)

Từ (1.6) nhận thấy vế trái của (1.6) là biểu thức phi tuyến vế phải là biểu
thức bậc nhất đối với x, y.
Dựa vào (1.6) người ta thay thế biểu thức phi tuyến bởi biểu thức bậc nhất
đối với x, y.
c. Xét hàm n biến
Xét phương trình


f (x) = 0
trong đó f xác định trên tập U
⊂

n

, và
x

= (x , x , , x ) ,
1

2

n


Giả sử hàm số f có đạo hàm tại
điểm
đó:

U.
x(0) = (x(0) , x(0) ,, x(0) ∈
Khi
) 1
2
n

(0)

f (x)
=

f (x ) f ′ (x (0) )(x
+
−
x1

x(0) )

+

1
(0)

1

(0)
+ f ′ (x )(x − x ) + ο
xn

trong đó,

h = (x1
− x1

f (x)
≅

n

(0)

n

(0)

f ′ (x )
(x

− x )+
+

(0)

x2

( )

(0)

2

2

h

(0)

, x2 − , , xn − ) . Nếu h đủ nhỏ khi ta có
x2
xn

f (x ) f ′ (x )(x
+
−
(0)

(0)

x(0) )

1
(0)

x1

1

+ f ′ (x )(x − x ) + f ′ (x )
(x
+
(0)

x2

2

(0)

2

xn

−
x(0) )
n

.

(1.7)

n

Từ (1.7) nhận thấy vế trái của (1.7) là biểu thức phi tuyến vế phải là biểu
thức bậc nhất đối với các ẩn

xi
,

i =1, 2, , n .

Dựa vào (1.7) người ta thay thế biểu thức phi tuyến bởi biểu thức bậc nhất
đối với các ẩn

xi
,

i =1, 2, , n .

1.3 Phương pháp Newton
Giải phương trình đại số một biến số
f (x) = 0 ,
trong đó f (x) là hàm xác định trên
điều kiện sau:
i) Phương trình
ii) f ∈C 2 [a,b]
và

, ta giả thiết hàm f (x) thỏa mãn các

f (x) = 0 có nghiệm duy nhất ξ trên [a,b].
không đổi dấu trên [a,b].
f ′(x), f
′′(x)

Định nghĩa: Điểm x ∈[a,b] được gọi là điểm Fourier, f ′′(x) f (x) > 0
nếu
.
Không giảm tính tổng quát ta giả sử


f (x) có đạo hàm

f ′′(x) > 0 ,
nếu

không ta xét phương trình g(x)
=0
Chọn xấp xỉ ban
đầu

với g := − f .

x0 là điểm Fourier, nếu f ′′(x ) f (x ) > 0.
Phương
0

trình tiếp tuyến của đường cong y = f tại điểm M (x0 f (x0 ))
(x)

,
y = f ′(x )(x
0
0
− x )+

f (x0 )


Hoành độ giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành là:
f (x0 ) + ′
f (x0 )(x −0 x ) = 0 ,

(1.8)

Gọi x1 là nghiệm của phương trình (1.8), khi đó,
x = x − f (x0 )
.
1
0
f ′(x0 )
Tiếp tục như vậy, tổng quát ta được
xn+1

= x f (xn ) .
f ′(xn )
n −

Giả thiết rằng f ′′(x) > 0 , ta chỉ xét trường
hợp

f ′(x0 )
>0

0

f ′(x )
<0

(trường hợp

hoàn toàn tương tự). Khai triển f (xn tại điểm xn theo công thức
−1
)

Taylor, ta có:

f ''(ξ
)
n−1
(x − x
)(x − ) +
x

)+ f
′(x

f (x ) f
(x
=
n

n−1

n

n−1

n

2

n−1

)

2

n−1

Từ (1.8) ta suy ra
f (x ) =
n

Mặt khác,

f ''(ξ
n −1)

(x − x )
n

2

2

n−1

2

x − x

= −
(xn )

f

= −

fn ''(ξ
)

) ≥0

(x

− x
n

Do đó, dãy
xn

n−1

f ′(xn )
)

2 f '(x

n

là đơn điệu không giảm, nếu có xn
>

ξ

f (xn ) <

n−1

thì do f
′(x)<0

nên


f (ξ )
Điều này mâu thuẫn với bất đẳng thức f (xn ) ≥ 0 . Như vậy suy ra
tồn tại
giới hạn

lim xn = ξ

n→∞

Ta có
f (xn )
=

f '(xn xn+1
)
− xn

.

≤ M xn+1 − xn ,


trong
đó,

M = Sup{ f '(xn ) , x ∈[ a,b]} .

Cho n →∞ ta được f(ξ ) = 0.
Để đánh giá sai số của phương pháp Newton, ta giả thiết rằng
f
''(x)

≤ M1
và

=

f '(x) ≥
M2

với mọi x ∈[a,b]. Một mặt ta có

f ′(xn+1 )(x − ξ ) .

f (xn+1 ) f (xn+1 ) − f
(ξ ) =

n
+

Từ đây suy ra
xn+1 − ξ ≤

f (xn1 )
M

(1.9)

2

Mặt khác, sử dụng (1.8) và khai triển Taylor ta có:
) = f (x ) f ′(x )
− x
+
) + f ''(ξn )

(x
f (x
(x
n+1

n

=

f ''(ξ )n

n
n

n+1

− x)

2

2

− x)

n+1

2

n

(x
n+1

2
Từ đẳng thức cuối cùng ta suy ra

n

f (x 1 ) ≤ M1 x − x.
n+
n+1
n
2
2

Áp dụng (1.8) ta được
2

x

− ξ ≤M 1 x −
2M 2 x
n+1

n+1

Khi n lớn thì độ lệch x
n+1
− xn
vì xn+1

− ξ

.

(1.10)

n

khá bé, từ (1.10) ta suy ra xn+1 rất gần

ξ

= Ο( xn+1 − xn )


2

. Khác với có bậc hội tụ
phép lặp đơn bậc 1 vì
xn+1
−

ξ

=
Ο( xn+1

thì phương pháp Newton có bậc hội tụ bậc 2. Như

− xn )

vậy, phương pháp Newton hội tụ rất nhanh và sau đó thường được sử dụng
trên bước giải kiện toàn phương trình f(x) = 0.


1.4.

Trong không gian

n

Cho hệ phương trình phi tuyến :
 f1 (x1 , x2,..., xn ) = 0

 f2 (x1 , x2,..., xn ) = 0


 f (x , x ..., x ) = 0
 n 1 2,
n

Hệ này có thể được viết dưới dạng:
F(x) = 0,
nếu ta coi

x = (x1 ,
x2,..., xn )

(1.11)

và F(x) = ( f1 (x), f2 (x),...., fn (x)) , ta xét ma
trận

Jacobian của các hàm fi (x), ( i = 1, n ), được giả thiết là hàm khả vi liên
tục:
f1 (x)
∂f1
... xn
(x)
f2 (x)
f1 (x)
x1
∂x2
... xn .
(1.12)
...
J (x) = f2 (x)
∂f2
fn (x)
x1
(x)
xn
...
fn (x) ∂x2
x1
...
...
∂fn (x) ...
∂x2
Giả sử cho trước xấp xỉ đầu tiên

x(0) , thay vì giải hệ phương trình (1.11)

ta giải hệ phương trình sau:
(0)
(0)
(0)
F(x ) + J (x )(x − x ) = 0 .
Nếu det J (x (0) )
≠0

(1.13)

thì (1.13) có nghiệm duy nhất, ta kí hiệu là x(1) . Để

thuận lợi, ta giải (1.13) đối với
ẩn

∆x

(0)

= x − x , sau đó
tính
(0)


x = x + ∆x
phương trình
(1)

(0)

(0)

fi (x) = 0 , ( i = 1,
n ) bởi

. Như vậy ta đã thay hệ

hệ phương trình (1.13) đơn giản hơn nhiều, vì (1.13) tuyến tính đối với x.
(m)

Nếu x
số gia

(m+1)

tìm được thì x

( m)

∆x =
(∆x1

( m)

( m)

,

∆
x2
F(x

tính theo công thức:
( m)

,...,
∆xn
( m)

) tìm được từ hệ

) + J (x

( m)

)(x − x

( m)

( m+1)

= x
m)
, véctơ
x

)= 0,

( m)

+ ∆x

(

(1.14)


hay chính là hệ


m
m
)
∂f ) ∆xm = 0
∂f1 f(x(x ) +
m
m (x
1
∆x +
... +

n
1




 (x m )

f
+n


∂x1
∂

∂xn

1

m

(1.15)

∂
)
m
fn
∆x
= 0
n
(x
∂
xn
m

)

m

fn
∆x
1
(x
∂ + ... +
x1

Phương pháp Newton sẽ hội tụ nếu các xấp xỉ ban đầu được chọn tốt và
ma trận J(x) không suy biến, hơn thế nữa tốc độ hội tụ là tốc độ bình phương.
Người ta chứng minh được rằng phép lặp chỉ dừng tại khi thỏa mãn bất
đẳng thức
x( k +1) − x∗ ≤ c∗ x
−x ,

(k)

c là hằng số.

1.5. Phương pháp Newton – Kantorovich
Xét phương trình toán tử dạng
P(x) = 0.

(1.16)

Giả sử toán tử P xác định trong hình cầu S
S = S(x0 ,r)
x − ≤ r},
={ x ∈ X :
x0
và có đạo hàm

Frechét Nghĩa là,

P
'(x)

thỏa mãn điều kiện Lipsít trong S.

P'(x) − P ≤ L x
'( y)
−y,

x, y ∈ S .

Giả thiết rằng tồn tại toán tử ngược [P′(x)]1 , với x ∈ S(x0 , r)
mọi
Tương tự như phương pháp Newtơn, các xấp xỉ liên tiếp được xây dựng
như sau.
Thay thế phương trình (1.16) bởi phương trình tương đương sau:
P(x) − P(x0 ) = −P(x0 ) ,


*

gọi x là nghiệm đúng của phương trình (1.16), giá trị P(x) −
P(x0 )
thay bởi giá trị gần đúng
phương trình:

được

P '(x0 )(x − x0 ) . Có thể suy luận rằng nghiệm
của


P'(x0 )(x − x0 ) = −P(x0 ) ,
∗

sẽ gần nghiệm x .
Vì vậy, xấp xỉ đầu tiên x1 được chọn là nghiệm của phương trình nói trên,
tức là:

P'(x0 )(x1 − x0 ) = −P(x0 ) .

Tương tự như vậy, thay phương trình :
P(x) − P(xn ) = −P(xn ) ,
bởi phương trình :

n
=1,2,....,

P'(xn )(x − xn ) =
−P(xn ) ,

(1.17)

Giả sử xn+1 là nghiệm của phương trình (1.17), khi
đó:
P'(xn )(xn+1 − xn ) = −P(xn )
⇔
x

n+1
n
= x −[P
−1
'(x )]

P(xn , n
=1,2,....,
)

(1.18)

Phương pháp xây dựng các xấp xỉ như trên gọi là phương pháp Newton –
Kantorovich.
*

*

Nếu dãy{xn} hội tụ đến x và x0 được chọn gần nghiệm x thì các toán tử
P '(xn )
và

P '(x0 sẽ gần nhau hơn, điều đó làm cơ sở cho việc thay thế công
)

thức (1.18) bằng công thức sau , đơn giản hơn:
yn+1 = n y −[P0 '( P( yn )
−1
y )]
,

n =1,2,....,

Phương pháp xây dựng dãy {yn} như trên gọi là phương pháp Newton –
Kantorovich cải biên.
Kantorovich đã chứng minh được công thức đánh giá tốc độ hội tụ
xn − x * ≤ , (c là hằng số, 0 < q < 1).
2
cq n
1.6. Hệ phương trình vi phân thường tuyến tính :


a. Hệ phương trình vi phân thường tuyến tính thuần nhất
Hệ phương trình vi phân thường tuyến tính thuần nhất là hệ phương trình
có dạng:


 dy1
y + p + ..... + p y
= p
y
 dx
11 1
12 2
1n n

+ ..... + p y
 dy2 = p + p

y

y
21 1
22 2
2n n
 dx
.
...............................................

+ +p y
 dyn =
y p + py
n1 1
n2
nn n
.....
 dx
2
Ta giả thiết các hàm

pij , n =1,2,...., , liên tục trên khoảng (a,b).

Khi đó, với mỗi x0∈(a,b),
duy nghiệm
y(x)
=

(1.19)

( y1 (x), y2 (x), ..., yn
(x))

(y
1

0

0

, y ,..., y

2

0

)∈

n

, thì tồn tại

n

của hệ (1.19) xác định trên khoảng (a, b) và

thỏa mãn điều kiện ban đầu:
0

y1 (x0 ) = y1 , y2 (x0 )
=

0

0

y2 , ..., yn (x0 ) yn .
=

*> Hệ (1.19) có thể viết dưới dạng véctơ như sau:
Đặt:
 y1 
 
dY
y
y
2
= 
,
...  dx

 

 yn 

 dy1 
 
dx
 dy2 


 p11

(x)

=
p(x)
(x)

= d
,
x
p



 dy

 n
 dx 

p12 (x) ...
p (x) ...

 21
 ...


p
(x)
 n1

22

...

...

p (x) ...
n

p1n (x) 

p (x)

2n

...

p (x)
nn






2

Khi đó, hệ (1.19) tương đương với phương trình:

dY
dx

*> Toán tử vi phân
tuyến tính của hệ


(1.19)

= p(x)Y

Để đơn giản cách viết và thuận lợi cho nghiên cứu ta đưa ra toán tử vi
phân tuyến tính sau:
L[Y ] = dY − p(x)Y .
dx
Khi đó hệ (1.19) viết được dưới
dạng:

L[ y] = 0


b. Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất
*> Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất có dạng:
 dy1 = p + p
+ . p y
f (x)
y
y
.. + +
 dx
11 1
12 2

1n n
1

+ ... + + f (x)
 dy2 = p + p

y
y
p y
2
21 1
22 2
2n
.
n
 dx
...............................................

+ y+ p
+f x
 dyn =
y p + py
( )
...
nn n
n
 dx
n1 1
n2 2

(1.20)

 f1 (x)

 (x) 
dY
f
, Y như ở phần hệ phương
F
 , p(x)
(x) =
,
 2
 ... 
dx


 fn (x) 
trình vi phân tuyến tính thuần nhất, thì hệ (1.18) có thể viết dưới dạng vectơ
Nếu ta kí hiệu:

như sau:
dY
p(x)Y + F (x) ,
dx =
hoặc viết dưới dạng toán tử L như sau:

L[ y]
=

F(x)

Ta giả thiết các hàm p fi (x), i, j =1,2,...,n , liên tục trên khoảng (a,
ij
b).
,
Khi đó, bằng cách lý luận tương tự như đối với hệ phương trình tuyến tính
thuần nhất với mỗi

x0 ∈(a,b) , , y2 ,..., yn )
∈
(y
0

0

0

n

, thì tồn tại duy nhất

1

y(x) = ( y1 (x), y2 (x),..., của hệ (1.20) xác định trên khoảng (a, b) và thỏa
yn (x))
mãn điều kiện ban đầu y (x ) = y , y (x ) = y ,..., y (x ) = y .
0

1

0
2

1

2

0

0

n

0

0

n