Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân laplace và ứng dụng

LèI CÁM ƠN

Lu¾n văn đưoc thnc hi¾n và hoàn thành tai trưòng Đai hoc sư
pham Hà N®i 2 dưói sn hưóng dan cna thay giáo TS. Tr%nh Tuân, ngưòi
thay đã hưóng dan và truyen cho tác giá nhung kinh nghi¾m quý báu
trong hoc t¾p và nghiên cúu khoa hoc. Thay luôn đ®ng viên và khích
l¾ đe tác giá vươn lên trong hoc t¾p, vưot qua nhung khó khăn trong
chuyên môn. Tác giá xin bày tó lòng biet ơn, lòng kính trong sâu sac
nhat đoi vói thay.
Tác giá xin chân thành cám ơn Ban giám hi¾u trưòng Đai hoc Sư
pham Hà N®i 2, phòng Đào tao sau đai hoc, các thay cô giáo trong nhà
trưòng và các thay cô giáo day cao hoc chuyên ngành Toán giái tích đã
giúp đõ, tao đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá trong suot quá trình hoc t¾p.
Tác giá xin chân trong cám ơn Ban giám hi¾u, các thay cô giáo,
ban bè đong nghi¾p trưòng THPT Tam Nông, Phú Tho đã quan tâm,
đ®ng viên và tao đieu ki¾n đe tác giá hoàn thành khóa hoc Thac sĩ và
hoàn thành lu¾n văn này.

Hà N®i , ngày 20 tháng 8 năm 2012

Tác giá

Nguyen Th% Thanh Hòa

i


LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tôi
dưói sn hưóng dan cna Tien sĩ Tr%nh Tuân.

Tôi cũng xin cam đoan rang moi sn giúp đõ cho vi¾c thnc hi¾n
lu¾n văn này đã đưoc cám ơn và các thông tin trích dan trong lu¾n văn
đã đưoc chí rõ nguon goc.

Hà N®i, ngày 20 tháng 8 năm 2012
Tác giá

Nguyen Th% Thanh Hòa

ii


Mnc lnc

Má đau

1

1 M®T SO KIEN THÚC CHUAN B±

5

1.1. M®t so phép bien đoi tích phân và tính chat . . . . . . .

5

1.1.1. Phép bien đoi Fourier, Fourier sine và Fourier cosine

5

1.1.2. Phép bien đoi Laplace . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2. Tích ch¾p và tích ch¾p suy r®ng . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.1. Tích ch¾p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.2. Tích ch¾p suy r®ng vói hàm trong đoi vói các phép
bien đoi tích phân...........................................................12
2 Tích ch¾p suy r®ng vái hàm trong đoi vái phép bien đoi
tích phân Laplace

17

2.1. M®t so không gian hàm............................................................ 17
2.2. Đ%nh nghĩa tích ch¾p suy r®ng vói hàm trong đoi vói phép
bien đoi tích phân Laplace và đang thúc nhân tú hóa . .

19

2.2.1. Đ%nh nghĩa

19

2.2.2. Các đang thúc nhân tú hóa.........................................19

2.3. Các tính chat toán tú cna tích ch¾p suy r®ng vói hàm
trong đoi vói phép bien đoi tích phân Laplace.........................25
iii


2.3.1. Các bat đang thúc........................................................25
2.3.2. Đ%nh lý kieu Titchmarch..............................................33
2.3.3. Các tính chat khác..........................................................35
3 Úng dnng

38

3.1. Úng dung giái phương trình tích phân

. . . . . . . . . .

38

3.2. Úng dung giái h¾ phương trình tích phân................................43
Tài li¾u tham kháo

50

iv


CÁC KÍ HIfiU DÙNG TRONG LU¾N VĂN
F
F −1

: Phép bien đoi Fourier
: Phép bien đoi Fourier ngưoc

Fs

: Phép bien đoi Fourier sine

F s−
1
Fc

: Phép bien đoi Fourier sine ngưoc

F c−
1
K
K−1

: Phép bien đoi Fourier cosine ngưoc

L

: Phép bien đoi Laplace

L−1

: Phép bien đoi Laplace ngưoc

(f ∗ g)

: Tích ch¾p cna hai hàm f và g

(f ∗ g)

: Tích ch¾p có hàm trong cna hai hàm f và g

L1(R)

: là t¾p hop tat cá các hàm f xác đ%nh trên (−∞; +∞)
+∞
¸
sao cho
|f (x)|dx < +∞

γ

: Phép bien đoi Fourier cosine
: Phép bien đoi Kontorovich-Lebedev
: Phép bien đoi Kontorovich-Lebedev ngưoc

∞

e−β dx) vói chuan đưoc đ%nh nghĩa như sau

Lα,
p (R+) ≡ Lp(R+,
β α
x

x

"f (x)"Lα,β
p

(R+)

∞

=

.¸
0

|f (x)|pxα e−βx

d
x .p1


Mé ĐAU
1. Lý do chon đe tài
Phép bien đoi tích phân đưoc ra đòi tù rat sóm và đóng vai trò
quan trong trong toán hoc cũng như trong nhieu lĩnh vnc khoa hoc khác,
đ¾c bi¾t trong vi¾c giái các giái các bài toán vói đieu ki¾n ban đau và
đieu ki¾n biên cna phương trình vi phân, phương trình đao hàm riêng,
phương trình tích phân và các bài toán cna v¾t lý toán. Phép bien đoi
tích phân đau tiên là phép bien đoi Fourier đưoc khai sinh bói nhà toán
hoc và v¾t lý noi tieng ngưòi Pháp là Josepl Fourier (1768-1830), tiep
theo là sn ra đòi cna các phép bien đoi Laplace, Melin, Hankel ...
Tù nhung năm đau cna the kí 20 đã xuat hi¾n m®t hưóng nghiên

cúu mói là xây dnng tích ch¾p đoi vói các phép bien đoi tích phân và
úng dung. L%ch sú cna hưóng nghiên cúu này có the tính bang các moc
thòi gian chính như sau
Tù nhung năm 1951 tró ve trưóc đó đã xây dnng đưoc tích ch¾p
đoi vói các phép bien đoi tích phân Fourier, Laplace, Melin... (xem[11]).
Đen năm 1951 lan đau tiên nhà toán hoc ngưòi My I.N Sneddon đã xây
dnng đưoc tích ch¾p suy r®ng đau tiên đoi vói phép bien đoi Fourier
sine, Fourier cosine (xem [11]). Đen năm 1967 nhà toán hoc ngưòi Nga
V. A. Kakichev đã xây dnng đưoc sơ đo kien thiet tích ch¾p vói hàm
trong (xem[6]) đưoc tóm tat bang sơ đo sau :
γ

K(f ∗ g)(y) = γ(y)(Kf )(y)(Kg)(y)
Đen năm 1998 V. A. Kakichev và Nguyen Xuân Tháo đã xây dnng
đưoc sơ đo kien thiet tích ch¾p suy r®ng đoi vói 3 phép bien đoi tích phân
bat kì K1, K2, K3 (xem [7]) đưoc tóm tat bang sơ đo sau :
γ

K1(f ∗ g)(y) = γ(y)(K2f )(y)(K3g)(y)


2

Tù đó đen nay đã có m®t so ket quá nghiên cúu ve tích ch¾p suy
r®ng vói hàm trong, xem [12], [13], [14], [15], [16]. Sn khác biet rõ r¾t
nhat cna tích ch¾p và tích ch¾p suy r®ng là trong đang thúc nhân tú
hóa cna tích ch¾p suy r®ng có nhieu phép bien đoi tích phân tham gia.
Vì v¾y vi¾c úng dung cna tích ch¾p suy r®ng cũng phong phú hơn.
Cùng vói phép bien đoi tích phân Fourier, phép bien đoi tích phân
Laplace cũng ra đòi rat sóm. Tích ch¾p cna phép bien đoi tích phân

Laplace cũng đã đưoc xây dnng (xem [11], [12])
x

¸
(f

∗
L

g)(x) =

f (x − t)g(t)dt, x > 0
0

Tích ch¾p này thoá mãn đang thúc nhân tú hoá
L(f ∗ g)(y) = (Lf )(y).(Lg)(y).
L
Cho đen thòi điem hi¾n nay van chưa có m®t ket quá nào công bo ve
tích ch¾p suy r®ng đoi vói phép bien đoi Laplace ngoài tích ch¾p co đien
đã nêu ra ó trên
Theo hưóng nghiên cúu đó vói mong muon đưoc tiep tuc đưoc tìm
hieu tích ch¾p suy r®ng cna các phép bien đoi tích phân, dưói sn hưóng
dan cna TS. Tr%nh Tuân tôi đã chon đe tài
“Tích ch¾p suy r®ng vái hàm trong đoi vái phép bien đoi
tích phân Laplace và Nng dnng ” .
Lu¾n văn đưoc trình bày trong 52 trang A4 ngoài phan mó đau.
Lu¾n văn đưoc chia thành 3 chương
Chương 1: Trình bày tóm tat m®t so kien thúc cna các phép bien đoi
tích phân Fourier sine, Fourier cosine, Laplace. Tích ch¾p cna các phép
bien đoi tích phân đó và sơ đo tích ch¾p suy r®ng có ví du minh hoa

Chương 2 và chương 3 là n®i dung chính cna lu¾n văn. Trong chương
2 trình bày ve tích ch¾p suy r®ng vói hàm trong đoi vói phép bien đoi
Laplace và nghiên cúu các tính chat cna tích ch¾p suy r®ng này.


Chương 3: Trình bày úng dung cna tích ch¾p suy r®ng vói hàm trong
đoi vói phép bien đoi tích phân Laplace đe giái đóng phương trình và h¾
phương trình tích phân dang ch¾p
Sau moi chương đeu có ket lu¾n và cuoi cùng là ket lu¾n cna lu¾n văn
Đe t%ên cho quá trình theo dõi lu¾n văn chúng tôi có đưa thêm
phan các kí hi¾u toán hoc dùng trong lu¾n văn vào trưóc lòi nói đau

2. Mnc đích nghiên cNu
+ Nghiên cúu các công thúc tích ch¾p suy r®ng vói hàm trong
đoi vói phép bien đoi tích phân bien đoi Laplace. Chúng minh sn
ton tai cna tích ch¾p này trên không gian L1(R+). Tù đó nh¾n đưoc
đang thúc nhân tú hóa cna chúng .
+ Nghiên cúu m®t so tính chat toán tú, tính chat đai so cna các
tích ch¾p suy r®ng này trên m®t so không gian hàm cu the.
+ Úng dung tích ch¾p này đe giái đóng phương trình, h¾ phương
trình tích phân dang ch¾p.

3. Nhi¾m vn nghiên cNu
+ Nghiên cúu các công thúc tích ch¾p suy r®ng vói hàm trong
đoi vói phép bien đoi tích phân Laplace.
+ Trình bày đưoc đ%nh lý ton tai các tích ch¾p suy r®ng này và tù
đó đi chúng minh đang thúc nhân tú hóa cna chúng.
+ Nghiên cúu m®t so tính toán tú và tính chat đai so cna tích
ch¾p này trên m®t so không gian hàm cu the.
+ Úng dung tích ch¾p suy r®ng vói hàm trong đoi vói phép bien

đoi Laplace giái đóng phương trình và h¾ phương trình tích phân dang
ch¾p.


4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Nghiên cúu tích ch¾p suy r®ng vói hàm trong đoi vói phép bien
đoi tích phân Laplace bao gom đ%nh nghĩa, đang thúc nhân tú hoá, tính
chat và úng dung cna tích ch¾p này vào vi¾c giái đóng phương trình và
h¾ phương trình tích phân dang ch¾p.

5. Phương pháp nghiên cNu
+ Sú dung lý thuyet tích ch¾p và tích ch¾p suy r®ng đoi vói các
phép bien đoi tích phân.
+ Sú dung m®t so công cu cna giái tích hàm như các không gian
hàm, lý thuyet toán tú.

6.Đóng góp mái
Lu¾n văn trình bày m®t cách có h¾ thong ve tích ch¾p suy r®ng
vói hàm trong đoi vói phép bien đoi tích phân Laplace và úng dung cna
tích ch¾p suy r®ng mói đe giái đóng phương trình tích phân và h¾
phương trình tích phân dang ch¾p.


Chương 1
M®T SO KIEN THÚC CHUAN B±
Trong chương này chúng tôi trình bày m®t cách tóm tat lai m®t so
kien thúc ve các phép bien đoi tích phân Fourier, Fourier sine, Fourier
cosine và Laplace, tích ch¾p và tích ch¾p suy r®ng cna các phép bien đoi
nói trên. Đ¾c bi¾t là sơ đo kien thiet tích ch¾p và tích ch¾p suy r®ng có
hàm trong. Sau moi sơ đo đó chúng tôi đeu nêu m®t so tích ch¾p, tích

ch¾p suy r®ng làm ví du minh hoa và các tích ch¾p này còn dùng đe
nghiên cúu ó chương 2, chương 3.
N®i dung chính cna chương này đưoc dna vào các tài li¾u [2], [4],
[6], [7], [8],[11].

1.1.

M®t so phép bien đoi tích phân và tính chat

1.1.1.

Phép bien đoi Fourier, Fourier sine và Fourier

cosine Đ%nh nghĩa 1.1.1. (Xem[5], [11]). Phép bien đoi Fourier
cúa hàm
f ∈ L1(R) là m®t hàm kí hi¾u Ff và đưoc xác đ%nh bói công thúc
+∞

f˜(x) = (F f ) (x) √ 1
2π
=

¸

−∞

e−iy f (y) dy
x

x∈R

(1.1)


5


6

á đó F đưoc goi là phép bien đoi Fourier ho¾c toán tú Fourier
Và F có phép bien đoi Fourier ngưoc F −1 đưoc đ%nh nghĩa
Phép bien đoi Fourier ngưoc cúa m®t hàm đưoc xác đ%nh bói công thúc
+∞
¸
.
1
.
eixy f˜(y) dy x ∈ R
(1.2)
F −1 f˜ (x) = √
2π−∞
.
.
±iyx
Nh¾n xét 1.1. Vì e
= 1 và f ∈ L1(R+) nên tích phân (1.1), (1.2)
.
.
h®i tu vói moi x ∈ R
F, F −1 là các toán tú tuyen tính

Đ%nh nghĩa 1.1.2. (Xem [5], [11]). Phép bien đoi Fourier cosine (Fc)
cúa m®t hàm f thu®c L1(R+) là m®t hàm và đưoc xác đ%nh bói công thúc
f˜(x) = (Fc f )(x)
=

. 2 ¸∞
cosxy.f (y)dy,
π

x>0

(1.3)

0

Phép bien đoi Fourier cosine ngưoc (F −1 ) cúa m®t hàm đưoc xác đ%nh
bói công
thúc

(F c− f˜)(x)
1
=

. 2
¸∞
π

c

cosxy.f˜(y)dy,

x>0

(1.4)

0

Đ%nh nghĩa 1.1.3. (Xem [5],[11]). Phép bien đoi Fourier sine (Fs) cúa
m®t hàm f thu®c L1(R+) là m®t hàm và đưoc xác đ%nh bói công thúc.
f˜(x) = (Fs f )(x)
=

. 2 ¸∞
sinxy.f (y)dy,
π

Phép bien đoi Fourier sine ngưoc (F
công
thúc

(F s− f˜)(x)
1
=

.

0
−1
s

x>0

(1.5)

) cúa m®t hàm đưoc xác đ%nh bói

˜
2 sinxy.f (y)dy,

x>0

(1.6)

¸∞
π

0

Nh¾n xét 1.2. Vì | cos(xy)| ™ 1, | sin(xy)| ™ 1 và f (x) ∈ L1(R+) nên
các


7

tích phân (1.3), (1.4), (1.5), (1.6) đeu h®i tu vói moi x ∈ R


Đ%nh lý 1.1.1. (Xem [5]). Neu f(x) và g(x)∈ L1(R+) thì
+∞

c

−
F=

{(Fcf )(Fcg)}(x)

¸

√1
2π

1

f (ξ)[g(x + ξ) + g(|x − ξ|)]dξ
+∞

0
+∞

¸
Hay
0

¸
f (ξ)[g(x + ξ) + g(|x −
1
{(Fcf )(Fcg)}(y)cos(xy)dy =
ξ|)]dξ

20

Chúng minh. Ta có
¸
F c−
1

+∞

. 2
{(Fcf )(Fcg)}(x) =
=2
π

0

,(Fcf

)(Fcg)

,(y)cos(xy)dy

π
+∞
¸

(1.7)

+∞

¸
cos(xy)(Fcg)(y)dy

0
+∞

+∞

f (ξ)cos(yξ)dξ
0

¸

¸

cos(xy)cos(yξ)(Fcg)(y)dy
=2
f
(ξ)dξ π
0
0
+∞
¸+∞
.
1. 2
f (ξ)dξ. 2 ¸ cos(y(x + ξ))(Fcg)
=
(y)dy
2 π
π

0
+∞

0

.
. 2¸
+
cos(y|x − ξ|)(Fcg)(y)dy
π
0

V¾y

=

+∞

f (ξ)

√
2π
c−

F=

{(Fcf )(Fcg)}(x)

1

1
√ ¸+∞
2
π

Tù (1.7), (1.8) ta có
+∞

¸

¸

{(Fcf )(Fcg)}(y)cos(xy)dy =
0

.

¸

1

0

g(x + ξ) +
g(|x − ξ|)
.dξ

f (ξ)[g(x + ξ) + g(|x − ξ|)]dξ (1.8)

0

+∞

1
20

f (ξ)[g(x + ξ) + g(|x − ξ|)]dξ


Đ%nh lý 1.1.2. (Xem [5]). Neu f(x) và g(x) ∈ L1(R+) thì
+∞

c

−
F=

{(Fsf )(Fsg)}(x)

1

√1
2π

¸

f (ξ)[g(ξ + x) + g(ξ − x)]dξ
+∞

0
+∞

¸
Hay
0

¸
f (ξ)[g(x + ξ) + g(ξ −
1
{(Fsf )(Fsg)}(y)cos(xy)dy =
x)]dξ
20

Đ%nh lý (1.1.2) ta chúng minh tương tn như đ%nh lý (1.1.1)
1.1.2.

Phép bien đoi Laplace

Đ%nh nghĩa 1.1.4. (Xem [4) Giá sú vói moi hàm f (t) là hàm phúc
cúa
+∞
¸
bien so thnc t sao cho tích phân
f (t)e−stdt h®i tn ít nhat vói m®t so
0

phúc s = a + ib. Hàm F đưoc xác đ%nh bói công thúc sau
+∞

¸

f (t)e−stdt

F (s) =

(1.9)

0

Khi đó F (s) đưoc goi là phép bien đoi Laplace cúa hàm f (t) ( Hay
goi là ánh cúa phép bien đoi Laplace cúa hàm f(t))
Ví dn 1.1.1. Cho hàm f (t) = eat. Khi đó
+∞

F (s)
=

¸

f (t)e
=

0

−st

dt

¸+∞

eate−stdt = −

1
s−
a

e

−(s−a)t

.+∞

..
t=0

=

1

s−a

0

vói res(s − a) > 0
Đ%nh lý 1.1.3. (Xem[4]). Neu hàm F (s) là ánh cúa hàm goc f(t) vói
¸∞
chs so tăng p0. Thì tích phân
f (t)e−stdt h®i tn vói moi s = a + ib
0 có
Res > p0

Đ%nh lý 1.1.4. (Xem [4]).(Tính giái tích cúa phép bien đoi Laplace)
Neu bien đoi Laplace F (s) cúa hàm goc f (t) vói chs so tăng p0 thì
hàm F (s) là hàm giái tích trong núa m¾t phang Res > p0
Đ%nh lý 1.1.5. (Xem[4]).(Mellin) Cho hàm f (t) là hàm goc vói chs
so tăng p0 và F (s) là ánh cúa nó. Khi đó tai moi điem t mà f(t) liên
tnc, hàm f (t) đưoc bieu dien theo công thúc

f (t) =

1

a+ib

a+i∞

¸

¸

estF (s)ds

st
1 e F (s)ds = lim

2πi a−i∞

b→∞

2πi

a−ib

Trong đó tích phân lay doc theo đưòng thang bat kì Res = p > p0

1.2.
1.2.1.

Tích ch¾p và tích ch¾p suy r®ng
Tích ch¾p

Đ%nh nghĩa 1.2.1. (Xem [6], [7], [12]). Cho U1(X), U2(X) là các
không gian tuyen tính, V (Y ) là đai so. Khi đó
(∗) : U1(X) × U2(X) → V (y)
(f, g) → (f ∗ g)(y)
đưoc goi là phép toán tích ch¾p. Kí hi¾u :(*)
Giá sú K là m®t toán tú tuyen tính tù không gian tuyen tính U (X)
vào đai so V (Y )
K : U (X) → V (Y )
Tích ch¾p cna hai hàm f ∈ U1(X), g ∈ U2(X) đoi vói phép bien đoi
K là m®t hàm, kí hi¾u (f ∗ g) sao cho đang thúc nhân tú hóa sau đây
đưoc thóa mãn
K(f ∗ g)(y) = (Kf )(y)(Kg)(y)


Khi đó U (X) cùng vói phép nhân ch¾p như trên xác đ%nh m®t đai so
Cho đen nay hau het các phép bien đoi tích phân đã đưoc xây dnng
tích ch¾p chang han như phép bien đoi Fourier, phép bien đoi Fourier
sine, phép bien đoi Fourier cosine, phép bien đoi Hilbert, phép bien đoi
Stieltjes, phép bien đoi Laplace, phép bien đoi Mellin, phép bien đoi
Kontorovich-Lebedev,...

Ví dn 1.2.1. (Xem[11). Cho f, g ∈ L1(R+). Tích ch¾p đoi vói phép
bien đoi tích phân Fourier cosine (1.3) cna hai hàm f và g kí hi¾u .f ∗
g.(x),
Fc

đưoc xác đ%nh bói công thúc
¸∞
.f

∗ g.(x) = √

f (y)[g(x + y) + g(|x − y|)]dy
(1.10)

1
2π

Fc

x>0

0

Tích ch¾p (1.10) thu®c không gian L1(R+) và thóa mãn đang thúc nhân
tú hóa :
Fc.f ∗ g.(y) = (Fcf )(y)(Fcg)(y)

(1.11)

Fc

Ví dn 1.2.2. (Xem [11], [12]).Cho f, g ∈ L1(R+). Tích ch¾p đoi vói
phép bien đoi tích phân Laplace (1.9) cna hai hàm f và g đưoc xác đ
%nh bói công thúc
.f

¸x

∗ g.(x)

f (x − y)g(y)dy, x > 0

(1.12)

0

=
L

Tích ch¾p này giao hoán đưoc và thu®c không gian L1(R+), đong thòi
thoá mãn đang thúc nhân tú hóa
L.f ∗ g.(y) = (Lf )(y)(Lg)(y), y > 0

(1.13)

L

Tuy nhiên trưóc nhung năm 50 cna the kí trưóc, các tích ch¾p đã
đưoc biet đen là các tích ch¾p không có hàm trong. Đen năm 1967,
V.A.

Kakichev
đã đưa
ra phương
pháp
kienkíthiet
tích
đoi vói phép bien
đoi tích phân
K vói
hàm trong
γ(y),
hi¾u
.f ch¾p
∗
γ g. và thoá mãn đang


γ

thúc nhân tú hóa K.f ∗ g.(y) = γ(y)(Kf )(y)(Kg)(y).
Nhò phương pháp này m®t so tích ch¾p vói hàm trong đã đưoc
xây dnng và nghiên cúu ( xem [6])
Ví dn 1.2.3. (xem[6], [12]).Cho f, g ∈ L1(R+). Tích ch¾p có hàm trong
γ1(y) = siny cna hai hàm f và g đoi vói phép bien đoi tích phân Fourier
sine (Fs) (1.5) đưoc xác đ%nh như sau
.

1 ¸
√
f (x)[g(x + 1 + t) + sign(x + 1 − t)g(|x + 1

2 2π
0
− t|)]
∞

γ1

f ∗ .(x)
g =
Fs

+ sign(x − 1 + t)g(|x − 1 + t|) + sign(x − 1 − t)g(|x − 1 − t|)]dt, x
>0
(1.14)
Tích ch¾p (1.14) thu®c không gian L1(R+) và thoá mãn đang thúc
nhân tú hóa
γ1

Fs.f ∗ g.(y) = siny(Fsf )(y)(Fsg)(y), y > 0

(1.15)

Fs

Chú ý rang cho đen nay tích ch¾p đoi vói phép bien đoi tích phân
Fourier sine cna hai hàm f và g van chưa đưoc xây dnng khi không có
hàm trong γ(y) tham gia vào.
Ví dn 1.2.4. (Xem [6]).Cho f, g ∈ L1(R+). Tích ch¾p có hàm trong
γ2(y) = cosy cna hai hàm f và g đoi vói phép bien đoi tích phân Fourier
cosine (Fc) (1.3) đưoc xác đ%nh như sau

1 ¸
√
f (x)[g(x + 1 + t) + g(|x + 1 − t|)
2 2π
∞

. γ2
f ∗ g .(x)
Fc

=

0

+ g(|x − 1 + t|) + g(|x − 1 − t|)]dt, x > 0

(1.16)

Tích ch¾p (1.16) thu®c không gian L1(R+) và thóa mãn đang thúc nhân
tú hóa

γ2

Fc.f ∗ g.(y) = cosy(Fcf )(y)(Fcg)(y), y > 0
Fc

(1.17)


Các tích ch¾p (1.10), (1.12), (1.14), (1.16) đeu có m®t đ¾c điem

chung là trong đang thúc nhân tú hóa chí có m®t phép bien đoi tích phân
tham gia . Do đó các tích ch¾p này không phái là các tích ch¾p suy r®ng,
đieu đó ít nhieu làm han che úng dung cna nó. Năm 1998, V.A.Kakichev
và Nguyen Xuân Tháo đã xây dnng đưoc sơ đo kien thiet tong quát nhat
cna tích ch¾p suy r®ng vói hàm trong đoi vói ba phép bien đoi tích phân
bat kì(xem[8]). Trong phan tiep theo chúng tôi se trình bày m®t so tích
ch¾p suy r®ng như nhung ví du minh hoa cho sơ đo tích ch¾p suy r®ng
(1.18) đong thòi các tích ch¾p này còn đưoc sú dung trong chương 2,
chương 3.
1.2.2.

Tích ch¾p suy r®ng vái hàm trong đoi vái các phép bien
đoi tích phân
Năm 1998, V.A.Kakichev và Nguyen Xuân Tháo (xem[8]) đã cho

ket quá xây dnng tích ch¾p suy r®ng vói hàm trong đoi vói 3 phép bien
đoi tích phân và đưoc tóm tat như sau:
Xét các phép bien đoi tích phân
Kj : Uj (Xj ) → V (Y ), j = 1, 2, 3
¸
˜
f j (y) = (Kj fj )(y) kj (y, xj )fj (xj )dxj ∈ V (Y )
=
Xj

é đó Uj (Xj ) là các không gian tuyen tính, V(Y) là đai so
Đ%nh nghĩa 1.2.2. Tích ch¾p tong quát đoi vói các phép bien đoi tích
phân K1, K2, K3 vói hàm trong γ1 cúa hai hàm f và g là bieu
thúc
. γ .

1 g sao cho thóa mãn:
∗
f
γ1 .
K1 . ∗ g (y) = γ1(y)(K2f )(y)(K3g)(y), ∀y ∈ Y
f

(1.18)


Tương tn có các tích ch¾p tong quát vói hàm trong:


.

.
2 g , thóa đang thúc nhân tú hóa:
∗

γ

f

γ2 .
K2 . ∗ g (y) = γ2(y)(K1f )(y)(K3g)(y)

.f γ

(1.19)

.

f
∗ g thóa mãn đang thúc nhân tú hóa

3

.
K3 .f ∗ g (y) = γ3(y)(K1f )(y)(K2g)(y)
γ3

Khi K1 ≡ K2, thì có :
. γ .
1 g , thóa mãn đang thúc nhân tú hóa
∗
f
. γ1 . (y) = γ1(y)K1f )(y)(K3g)(y)
K1 f ∗ g
.f γ

.
∗ g thóa mãn đang thúc nhân tú hóa

2

.
K1
.f γ

. (y) = γ2(y)K1f )(y)(K3g)(y)

f ∗g
2

γ

.
∗ g , thóa mãn đang thúc nhân tú hóa

3

.
K3

. (y) = γ3(y)(K1f )(y)(K1g)(y)
f ∗g
3

γ

Khi K1 ≡ K2 ≡ K3, thì có tích ch¾p vói hàm
trong đang thúc nhân tú hóa

.

γ

f ∗g
., thóa mãn

.

K1 .f ∗ g (y) = γ(y)(K1f )(y)(K1g)(y)
γ

Tong so có 24 tích ch¾p tong quát và 3 tích ch¾p (chưa ke đen các hàm
trong). Đe minh hoa cho các sơ đo ve tích ch¾p suy r®ng vói hàm trong
đoi vói các phép bien đoi tích phân khác nhau sau đây ta xét m®t so ví
du:
Ví dn 1.2.5. (Xem[8])Cho f, g ∈ L1(R+) . Tích ch¾p suy r®ng đoi vói
phép bien đoi tích phân Fourier cosine (Fc) (1.3) và Fourier sine (Fs)


(1.5) cna hai hàm f và g, kí hi¾u (f ∗ g), đưoc xác đ%nh bói công thúc
2

(f ∗ g)(x)
=
2

+∞

¸

√1
2
x>
π0

f (u)[sign(u − x)g(|u − x|) + g (u + x) ]du,

0

(1.20)

Tích ch¾p suy r®ng (1.20) thu®c không gian L1(R+) và thóa mãn
đang thúc nhân tú hóa:
Fc(f ∗ g)(y) = (Fsf ) (y) (Fsg) (y) , ∀y > 0.

(1.21)

2

Trong đó:K1 = Fc, K2 = K3 = Fs, γ = 1
Trong nhung năm gan đây nhò kĩ thu¾t [8] cũng đã có m®t so ket
quá công bo trên các tap chí trong nưóc và quoc te ve tích ch¾p suy
r®ng đoi vói các phép bien đoi tích phân Fourier sine, Fourier cosine và
Kontorovich-Lebedev (xem [12], [13, [14], [15], [16] )
Nh¾n xét 1.3. Các tích ch¾p suy r®ng (1.20) và trong các ket quá [12],
[13, [14], [15], [16] hoàn toàn khác bi¾t rõ ràng so vói các tích ch¾p
(1.10), (1.12), (1.14) ó cho là trong đang thúc nhân tú hoá cna chúng
có nhieu phép bien đoi tích phân tham gia. Các tích ch¾p này không có
tính chat giao hoán và ket hop.
Trong quá trình làm lu¾n văn chúng tôi sú dung thêm tích ch¾p
suy r®ng đoi vói phép bien đoi Fourier sine và Fourier cosine. Đây cũng
chính là tích ch¾p suy r®ng đau tiên đưoc I.N. Sneddon công bo năm
1951 (xem [11]).
Ví dn 1.2.6. (Xem [11]). Cho f, g ∈ L1(R+). Tích ch¾p suy r®ng đoi
phép bien đoi tích phân Fourier sine (Fs)(1.5) và Fourier cosine (Fc)
(1.3) cna hai hàm f và g, kí hi¾u (f ∗ g), đưoc xác đ%nh bói công thúc
sau
1

(f ∗ g)(x)
=
1

¸∞ f (u)[g(|x − u|) − g(x + u)]du, x > 0 (1.22)
√1
2π
0


Ho¾c cũng có the viet
∞
1 ¸

(f ∗
g)(x) = √
1
2π

g(y)[f (x + y) + sign(x − y)f (|x − y|)]dy, x > 0
0

(1.23)

Tích ch¾p (1.22) thu®c không gian L1(R+) và thóa mãn đang thúc
nhân tú hóa
Fs(f ∗ g)(y) = (Fsf )(y)(Fcg)(y), ∀y > 0
1

(1.24)


KET LU¾N CHƯƠNG I
Trong chương 1 chúng tôi đã trình bày m®t so kien thúc cna các
phép bien đoi tích phân dùng trong lu¾n văn đó là phép bien đoi tích
phân Fourier sine, Fourier cosine, Laplace, sơ đo xây dnng tích ch¾p vói
hàm trong và tích ch¾p suy r®ng vói hàm trong cna các phép bien đoi
tích phân. Đong thòi trình bày m®t so ví du ve tích ch¾p và tích ch¾p
suy r®ng liên quan đen các phép bien đoi tích phân này. Qua đó chúng
tôi cũng muon nhan manh sn khác bi¾t rõ ràng giua tích ch¾p và tích
ch¾p suy r®ng.


Chương 2
Tích ch¾p suy r®ng vái hàm trong
đoi vái phép bien đoi tích phân
Laplace
Sú dung kĩ thu¾t xây dnng tích ch¾p suy r®ng vói hàm trong cna 3
phép bien đoi tích phân K1, K2, K3 (xem [7]). Trong chương này
chúng tôi trình bày các tích ch¾p suy r®ng vói hàm trong đoi vói
phép bien đoi Laplace. Chúng minh sn ton tai cna tích ch¾p (2.1), (2.2)
trong m®t so không gian hàm cu the đó là rL1 (R+), Lα,β (R+) và tù đó
nh¾n đưoc đang thúc nhân tú hoá cna chúng. Đong thòi nghiên cúu
m®t so tính chat toán tú, tính chat đai so cna các tích ch¾p này trên
m®t so không gian hàm cu the. N®i dung chính cna chương dna vào tài
li¾u [15]

2.1.

•

M®t so không gian hàm

L1 (R) là t¾p hop tat cá các hàm f xác đ%nh trên (−∞; +∞) sao cho
+∞
¸
|f (x)|dx < +∞.
−∞

17