Ứng dụng các trạng thái rối kết hợp đa mode trong viễn chuyển lượng tử

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (696.71 KB, 66 trang )

1

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn sâu sắc đến
TS.Trần Thái Hoa, người đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo và cung cấp cho em
những kiến thức nền tảng để em hoàn thành bài luận văn này. Thầy cũng là
người đã giúp em ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt
thời gian được làm việc cùng thầy.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, cô công tác tại phòng sau Đại
Học, Khoa Vật Lý Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các Giáo sư, Tiến sĩ
đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho em những kiến thức quý báu về chuyên
môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua.
Cuối cùng, em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân
trong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho em
trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này.

Hà Nội, ngày 25 tháng 12 năm 2012
Học viên

Vũ Thị Thu Thuỷ

LỜI CAM ĐOAN

Tên tôi là: Vũ Thị Thu Thuỷ, học viên cao học khóa 2010 – 2012
chuyên nghành Vật lý lý thuyết và vật lý toán – Trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2.
Tôi xin cam đoan đề tài: Ứng dụng các trạng thái rối kết hợp đa mode
trong viễn chuyển lượng tử” là kết quả nghiên cứu của riêng tôi. Các luận
cứ, kết quả thu được trong đề tài là trung thực, không trùng với các tác giả

khác. Nếu có gì không trung thực trong luận văn tôi xin hoàn toàn chịu trách
nhiệm trước hội đồng khoa học.

Hà Nội, ngày 25 tháng 12 năm 2012
Học viên

Vũ Thị Thu Thuỷ

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

1

2. Mục đích nghiên cứu

3

3. Nhiệm vụ nghiên cứu

3

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3

5. Phương pháp nghiên cứu

4

6. Cấu trúc luận văn.

4

NỘI DUNG

5

Chương 1: Giới thiệu

5

Chương 2: Các khái niệm cơ bản

12

2.1 Bit lượng tử

12

2.2 Định lý không thể nhân bản trạng thái lượng tử

15

2.3 Rối lượng tử

16

2.4 Tạo rối lượng tử

21

2.5 Trạng thái rối kết hợp

31

Chương 3: Viễn chuyển trạng thái rối kết hợp 2 mode

34

3.1 Viễn chuyểnlượng tử

34

3.2 Viễn chuyển trạng thái rối kết hợp 2 mode

36

3.2.1 Sơ đồ thực hiện

37

3.2.2 Viễn chuyển trọn vẹn

41

Chương 4: Viễn tạo trạng thái lượng tử

44

4.1 Đặt vấn đề

44

4.2 Viễn tạo trạng thái lượng tử

45

4.3 Viễn tạo trạng thái lượng tử trong không gian d chiều

50

KẾT LUẬN

52

TÀI LIỆU THAM KHẢO

53

DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ

Hình 2.1: Quả cầu Bloch có bán kính đơn vị được dùng để biểu diễn hình học
cho

qubit. Vị trí của mỗi qubit được xác định qua hai thông số

θ, φ..................................................................................................16

Hình 2.2: Trạng thái của bit cổ điển chỉ có thể nằm ở hai cực của quả cầu
Bloch còn trạng thái của qubit có thể nằm ở mọi điểm trên quả cầu
Bloch...............................................................................................................17
Hình 2.3: Biểu diễn hình học của cổng Hadamard..........................................25
Hình 2.4: Biểu diễn hình học của cổng CNOT................................................25
Hình 2.5 : Các mode ánh ánh khi tới bộ tách chùm BS(T) thì bị phản xạ một
phần và truyền qua một phần..........................................................27
Hình 2.6: Trạng thái tích |1�䆀|0�c khi đi qua bộ tách chùm cho trạng thái rối
......................................................................................................................... 28
Hình 2.7: Trạng thái |α�䆀 khi đi qua bộ dịch pha cho ra trạng thái αe
Hình 2.8 : Tác dụng của một bộ phận tác chùm B 䆀 c 1⁄2
Pc
π⁄2
α

lên

thái|α�䆀|β�c

trạng

β ⁄√2�䆀 α
β

cho

䆀

�䆀. 29

và hai bộ dịch pha
ra

trạng

thái

⁄√2�c......................................................30

Hình 3.1: Sơ đồ để viễn chuyển một trạng thái hai mode 1 và 2 bất kỳ,
䆀i

π⁄2
Pi
π⁄2

B 䆀 i 1⁄2
䆀

䆀

Pi , D 䆀 ký hiệu một máy đếm
π⁄2
䆀䆀

photon và U 䆀 g

D

g

P

g

π...........................................40

MỞ ĐẦU
1.Lý do chọn đề tài
Sự xuất hiện của vật lý lượng tử và thuyết tương đối là cuộc cách mạng
của ngành Vật lý học vào cuối thế kỷ 19 đầu thế kỷ 20 và là cơ sở khoa học
của nhiều ngành công nghệ cao như: công nghệ điện tử và vi điện tử, công
nghệ viễn thông, công nghệ quang tử, công nghệ tự động hóa, công nghệ
thông tin… Có thể nói rằng, cơ học lượng tử là một trong những lý thuyết
thành công nhất của thế kỷ 20.
Dựa trên các quy luật của vật lý, toán học, khoa học máy tính, kỹ thuật
và sự kết hợp của các chuyên ngành đã tạo nên sự ra đời của khoa học thông
tin lượng tử, một lĩnh vực mới của khoa học. Mục đích của khoa học thông tin
lượng tử là để hiểu làm thế nào để khai thác và cải thiện một cách tối ưu một
số nguyên tắc cơ bản của vậy lý được phát hiện trước đó có thể áp dụng trong
việc truyền tải và xử lý thông tin. Những nguyên tắc cơ bản của lý thuyết
lượng tử được áp dụng vào đó cho phép thông tin được mã hóa trong các
trạng thái lượng tử có tính chất kỳ lạ và phản giác quan. Song, những nghiên
cứu gần đây về lý thuyết này đã mang đến nhiều ngạc nhiên. Có thể nói sự
bùng nổ của khoa học lượng tử thông tin thời gian gần đây là do hai 2 nguyên
nhân cơ bản: Thứ nhất, lý thuyết thông tin cổ điển do Shanmon phát minh ra
năm 1948 là một nhánh của toán học ứng dụng và kỹ thuật điện, tuy đã mở
rộng phạm vi ứng dụng ra nhiều hướng khác nhau như xử lý thông tin, mật
mã học, v..v…và đạt được những thành công không thể phủ nhận song nó vẫn

còn rất nhiều hạn chế và chính những hạn chế đó đã đặt nền móng cho sự ra
đời của lý thuyết thông tin lượng tử. Thứ hai, sự phát triển của khoa học công
nghệ kèm theo đó là sự xuất hiện của nhiều phòng thí nghiệm hiện đại, tinh vi

có khả năng thực hiện các thao tác và kiểm chứng các hiệu ứng lượng tử tác
động lên các trạng thái lượng tử đã thực sự có sức lôi cuốn mạnh mẽ các nhà
khoa học tham gia nghiên cứu trên lĩnh vực này. Nổi bật nhất là giải Nobel
Vật lý 2012 giành cho Serge Haroche và David J.Wineland, những người đã
phát minh ra các phương pháp để thực hiện các thao tác cần thiết trên các hạt
hoặc các hệ lượng tử riêng lẻ mà vẫn bảo toàn được bản chất lượng tử của
chúng [9,10], mở ra một kỷ nguyên mới cho các nghiên cứu sâu rộng về
thông tin lượng tử.
Điều mấu chốt khi tìm hiểu lĩnh vực này là sự tách biệt rõ ràng giữa
dấu hiệu hàng ngày của thông tin cổ điển và bản đối ứng lượng tử kém trực
giác của nó. Thông tin cổ điển có thể bị đọc và sao chép lại y nguyên mà
không hề để lại một dấu vết nào về sự đọc trộm và sao chép đó. Trong khi đó,
thông tin lượng tử không thể nào sao chép được nguyên vẹn và bất cứ một sự
đọc trộm nào đều có thể bị phát hiện. Đây là một đặc điểm rất quan trọng của
cơ học lượng tử mà có thể tận dụng để trao đổi thông tin một cách hoàn toàn
tuyệt mật. Các trạng thái rối lượng tử còn có thể tạo ra một mức độ song song
trong tính toán cao hơn hẳn. Đó là các tính toán được thực hiện một cách hoàn
toàn mới, gọi là tính toán lượng tử.
Trong lý thuyết thông tin cổ điển, đại lượng cơ bản của thông tin là bit,
còn trong thông tin lượng tử thì đại lượng cơ bản của nó là bit lượng tử, còn
được gọi là qubit (thuật ngữ này đã được Ben Schuhmacher đưa ra năm
1995). Nói chung thông tin lượng tử có thể xem như sự tổng quát hóa hay sự
mở rộng của thông tin cổ điển. Bất kì một hệ lượng tử nào cũng có thể xem
như là một qubit nếu nó được xác định bởi hai trạng thái độc lập tuyến tính
với nhau. Các photon phân cực, các spin ½, các nguyên tử hai mức, các cấu

trúc chấm lượng tử kép,…đều có thể sử dụng như các qubit.

Mục đích quan trọng trong lý thuyết thông tin lượng tử là làm thế nào
để tạo ra, định hướng và sử dụng rối lượng tử để tạo nguồn tài nguyên cho
việc xử lý thông tin lượng tử như việc mã hóa thông tin lượng tử, giải mã
thông tin lượng tử, truyền thông tin lượng tử,…Trong đó, các trạng thái rối
kết hợp thu hút được sự chú ý của các nhà khoa học bởi khả năng ứng dụng
rỗng rãi và hiệu quả của nó.
Để có hiểu biết tổng quát hơn về khả năng ứng dụng các trạng thái rối
kết hợp, tôi chọn đề tài “Ứng dụng các trạng thái rối kết hợp đa mode trong
thông tin lượng tử”.
2.Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu các ứng dụng của các trạng thái rối kết hợp đa mode trong các
phương pháp thực hiện viễn chuyển trạng thái lượng tử.
3.Nhiệm vụ nghiên cứu
Từ các khái niệm cơ bản: bit lượng tử, rối lượng tử, trạng thái kết hợp,
trạng thái rối kết hợp… và sử dụng các thiết bị quang học tuyến tính, các phép
đo trạng thái giả Bell, toán tử dịch chuyển thích hợp, cổng lượng tử… nghiên
cứu ứng dụng các trạng thái rối kết hợp đa mode để tìm ra phương pháp viễn
chuyển trạng thái viễn chuyển lượng tử đạt xác suất thành công lớn nhất, thực
hiện đơn giản nhất.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Các trạng thái rối kết hợp và ứng dụng các trạng thái rối kết hợp trong viễn
chuyển lượng tử.

- Một số thiết bị quang học tuyến tính như: bộ tách chùm, bộ dịch pha,…;
các toán tử dịch chuyển, các toán tử lượng tử, để tính toán cách viễn chuyển
trạng thái kết hợp đa mode.

5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp nghiên cứu của vật lý lý thuyết và vật lý toán,
thông tin lượng tử để nghiên cứu ứng dụng các trạng thái rối kết hợp đa mode
trong viễn chuyển lượng tử.
6. Bố cục luận văn
Chương 1: Giới thiệu
Chương 2: Các khái niệm cơ bản
Chương 3: Viễn chuyển lượng tử trạng thái rối kết hợp sử dụng các
thiết bị quang học
Chương 4: Viễn tạo lượng tử trạng thái rối kết hợp sử dụng toán tử
lượng tử

CHƯƠNG 1:
GIỚI THIỆU

Thế kỷ 20 đã chứng kiến sự bùng nổ của vật lý học, trong đó cơ học
lượng tử có thể coi là một thành tựu trí tuệ tột đỉnh của thời kỳ này. Từ khi
khởi đầu cách đây hơn 100 năm về trước, cơ học lượng tử đã trở thành một
phần cơ bản và cốt yếu trong hành trang của các nhà vật lý. Chính xác nguyên
lý của nó đã đặt nền móng cho sự vận hành laser, transistor, hiển vi điện tử
hay đi-ốt là các thiết bị điện tử không thể thiếu trong xã hội ngày nay. Tuyệt
vời hơn nữa là các tính toán của nó đã tiên đoán về tính chất của các hạt cơ
bản phù hợp với những phép đo thực nghiệm với độ chính xác cao đến kinh
ngạc. Tuy vậy, ngay từ đầu không phải cơ học lượng tử đã được công nhận là
một lý thuyết đầy đủ với tất cả các nhà vật lý. Einstein – nhà vật lý vĩ đại của
mọi thời đại – đã phủ nhận tính đầy đủ của lý thuyết này. Đối với ông, luôn
luôn tồn tại một hiện thực khách quan, độc lập với nhận thức của chúng ta, dù
ở cấp độ nào vĩ mô hay vi mô. Ông phủ nhận tính xác suất của sự tồn tại các
trạng thái lượng tử với quan điểm “ Chúa không chơi xúc xắc”. Đặc biệt năm

1935 cùng 2 đồng nghiệp của mình là Podolsky và Rosen, ông đã công bố bài
báo “ Can quantum-mechanical description of physical reality be considered
complete?” [1], trong đó đã vạch ra cái mà tác giả coi như một lỗi lầm có thể
chứng minh trong cơ học lượng tử. Sự phân tích của EPR yêu cầu chúng ta
xét hai hạt xuất hiện từ một sự kiện nào đó sao cho một số tính chất của chúng
tương quan với nhau, sau đó bay ra xa nhau. Nếu đó một tính chất nào đó của
một trong hai hạt ấy thì ngay lập tức sẽ biết tính chất của hạt còn lại. Einstein,
Podolsky và Rosen lập luận rằng vì điều đó cho phép nhận được sự hiểu biết

10

của hạt mà không cần trực tiếp quan sát, đo đạc nó nên tính chất của hạt phải
thuộc nội tại của nó, nghĩa là nó đã được cố định từ trước như tư duy cổ điển
quy định chứ không phải bất định như trong cơ học lượng tử. Mãi đến năm
1964, John Bell mới đưa ra được một bất đẳng thức Bell [2] và thật ngạc
nhiên nó lại kiểm chứng được tính đúng đắn trong lập luận của EPR trái với
mục đích ban đầu của Bell là bảo vệ quan điểm của Einstein. Nói tóm lại, cơ
học lượng tử là một thuyết đã được kiểm nghiệm rất chi tiết, hữu ích một cách
toàn diện và đồng thời rất đáng tin cậy. Mặc dù đã quen thuộc đến thấu đáo
như vậy nhưng đa phần các nhà vật lý đều thừa nhận rằng họ vẫn chưa hoàn
toàn nắm bắt được những điều bí ẩn còn tồn tại trong cơ học lượng tử và sự
vận hành nội tại của nó. Những thập niên cuối thế kỷ 20 người ta hay nhắc
đến thuật ngữ như rối lượng tử (quantum entanglement) [3], viễn chuyển
trạng thái lượng tử ( quantum teleportation) [4-7] hay mật mã lượng tử
(quantum cryptography)[8],… Chúng được nhắc đến như những điều kì lạ
xuất hiện trong khoa học và công nghệ thông tin lượng tử, một lĩnh vực đang
thực dự thu hút đông đảo các nhà khoa học trên thế giới trong những thập
niên gần đây.
Dựa trên các quy luật của vật lý, toán học, khoa học máy tính và kỹ

thuật và sự kết hợp của các chuyên ngành đã tạo nên sự ra đời của khoa học
thông tin lượng tử, một lĩnh vực mới của khoa học. Mục đích của khoa học
thông tin lượng tử là để hiểu làm thế nào để khai thác và cải thiện một cách
tối ưu một số nguyên tắc cơ bản của vậy lý được phát hiện trước đó có thể áp
dụng trong việc truyền tải và xử lý thông tin. Những nguyên tắc cơ bản của lý
thuyết lượng tử được áp dụng vào đó cho phép thông tin được mã hóa trong
các trạng thái lượng tử có tính chất kỳ lạ và phản giác quan. Song, những
nghiên cứu gần đây về lý thuyết này đã mang đến nhiều ngạc nhiên. Có thể
nói gần đây, khoa học thông tin bùng nổ là do hai yếu tố cơ bản. Thứ nhất, lý

thuyết thông tin cổ điển đã mở rộng phạm vi ứng dụng ra nhiều hướng khác
nhau như xử lý thông tin, mật mã học, v..v…và đạt được những thành công
không thể phủ nhận song nó vẫn còn rất nhiều hạn chế và chính những hạn
chế đó đã đặt nền móng cho sự ra đời của lý thuyết thông tin lượng tử. Thứ
hai, sự phát triển của khoa học công nghệ kèm theo đó là sự xuất hiện của
nhiều phòng thí nghiệm hiện đại, tinh vi có khả năng thực hiện các thao tác và
kiểm chứng các hiệu ứng lượng tử tác động lên các trạng thái lượng tử đã
thực sự có sức lôi cuốn mạnh mẽ các nhà khoa học tham gia nghiên cứu trên
lĩnh vực này. Nổi bật nhất là giải Nobel Vật lý 2012 giành cho Serge Haroche
và David J.Wineland, những người đã phát minh ra các phương pháp để thực
hiện các thao tác cần thiết trên các hạt hoặc các hệ lượng tử riêng lẻ mà vẫn
bảo toàn được bản chất lượng tử của chúng [9,10], mở ra một kỷ nguyên mới
cho các nghiên cứu sâu rộng về thông tin lượng tử.
Theo lý thuyết thông tin cổ điển, đơn vị cơ bản của thông tin là bit một hệ vật lý chỉ tồn tại ở một trong hai trạng thái biểu diễn hai giá trị logic
không hoặc có, đúng hoặc sai hay đơn giản là 0 hoặc 1. Thông tin bất kỳ đều
có thể biểu diễn bằng các bit dưới dạng một dãy số 0 và 1. Trong các máy
tính, bit được biểu diễn giống như trạng thái vật lý của một hệ vật lý nhất định
nào đó. Khi thông tin được truyền đi dưới dạng các bit cổ điển thì nó có thể dễ
dàng bị đọc và sao chép trộm một cách y nguyên mà không bị phát hiện. Vì

vậy sự truyền thông tin cổ điển là một cách không an toàn. Đến năm 1985
[12] David Deutsch dựa vào tính chất lượng tử song song [13] đã chỉ ra sự tồn
tại của máy tính lượng tử với việc xử lý thông tin được mã hóa trong các bit
lượng tử một cách hoàn hảo, giải quyết những hạn chế của máy tính cổ điển.
Hơn thế nữa, lý thuyết lượng tử còn cho phép tồn tại một trạng thái đặc biệt
của các qubit đó là trạng thái rối lượng tử, một tính chất lạ, một mối tương
quan phi định xứ vô cùng tinh tế giữa các phần của một hệ lượng tử, điều mà

trong lý thuyết cổ điển không có được. Nhờ vào tính chất lỳ lạ đó mà các hạt
lượng tử trở nên tương quan mật thiết với nhau đến nỗi mà chúng chia sẻ
cùng nhau tính chất rất đặc biệt: một phép đo trên hạt này ngay lập tức ảnh
hưởng đến hạt kia cho dù chúng ở cách xa nhau bao xa. Cách đây vài thập
niên, rối lượng tử trở thành một chủ đề nghiên cứu sâu của các nhà khoa học
quan tâm tới lý thuyết lượng tử và gần đây hơn nữa, nó không những trở
thành công cụ để bộc lộ sự huyền bí của cơ học lượng tử mà còn là một nguồn
tài nguyên vô cùng có giá trị được các nhà khoa học khai thác một cách hữu
ích, đóng vai trò là điều kiện để hoàn thành nhiều nhiệm vụ mang tính chất
không tưởng, ví dụ như: viễn chuyển trạng thái lượng tử [4-7], mật mã lượng
tử [8],…
Xử lý thông tin lượng tử như đã nói ở trên là một lĩnh vực hoàn toàn
mới có tính chất rộng lớn và bao phủ nhiều vấn đề. Bảo mật và truyền tải
thông tin là vô cùng quan trọng, nó ảnh hưởng trực tiếp tới sự phát triển kinh
tế - chính trị - xã hội của đất nước. Chính vì thế con người phải tìm ta những
cách thức để thông tin được bảo vệ và truyền đi một cách an toàn nhấ. Sự ra
đời của máy tính lượng tử đang trở thành một ngành có khả năng thương mại
hóa lớn. Ngày nay những hệ thống này đã được thí nghiệm thành công trên
sợi quang học với độ dài 120km và đã được áp dụng vào các thiết bị bảo vệ
dữ liệu nhạy cảm bằng loại mật mã này vào năm 2004. Đó là những thành tựu
trong công cuộc bảo vệ thông tin, tuyền tải thông tin cũng đã cho kết quả

không ngờ. Đầu năm 2012, các nhà nghiên cứu châu Âu đã sử dụng laser để
truyền thành công một photon từ hòn đảo này tới hòn đảo khác cũng nằm
trong quần đảo Canary. Đúng vào lúc một chùm laser mất đi ở quần đảo này
thì một chùm laser giống hệt nó lại xuất hiện ở một quần đảo khác cách đó
143km, mặc dù chùm sáng không hề được di chuyển nhưng vì hai chùm sáng
đó giống nhau nên người ta thấy rằng chùm sáng đã được di chuyển tức thời.

Các nhà khoa học gọi đó là sự viễn chuyển trạng thái lượng tử, một khái niệm
khi được đã được chứng minh rõ ràng, gây chấn động khoa học hiện đại.
Đồng thời họ cũng đã khai thác một hiện tượng kỳ lạ của cơ học lượng tử, đó
là rối lượng tử với sự tác động của một kiểu tương quan mà nó còn mang
nhiều bí hiểm chờ đợi các nhà khoa học khám phá.
Viễn chuyển trạng thái lượng tử là một giao thức lần đầu tiên được đề
xuất vào năm 1993 bởi Bennett cùng 5 cộng sự của ông [4]. Đây là ví dụ điển
hình nhất về vai trò của rối lượng tử trong công nghệ truyền thông. Bài toán
đặt ra là: Alice và Bob là hai người sống ở hai nơi khác biệt, họ không gặp
nhau kể từ khi tạo được với nhau một cặp rối. Nhiều năm sau đó Alcie được
giao nhiệm vụ chuyển cho Bob một trạng thái lượng tử một cách an toàn và
nguyên vẹn khi hai người đều không được biết thông tin về nó. Đó là một bài
toán thực sự khó bởi theo lý thuyết cơ học lượng tử, một trạng thái lượng tử
không biết không thể đọc và cũng không thể sao chép được, Alice không thể
đọc trạng thái này để gửi thông tin về nó cho Bob. Mặt khác, nếu trạng thái
này trực tiếp được gửi đi trong không gian thì nó hoàn toàn có khả năng bị
thất lạc hoặc đánh cắp rồi làm giả trạng thái, v.v… May mắn rằng họ đã được
tạo với nhau một cặp rối từ trước nên nhiệm vụ này có thể được hoàn thành
chỉ bằng việc Alice gửi đi một lượng nhỏ bit cổ điển thông báo kết quả phép
đo trên các qubit của mình để Bob thu được trạng thái gốc chỉ bằng các thao
tác địa phương. Đây là bài toán cổ điển sử dụng rối lượng tử trong việc truyền
tải thông tin lượng tử đảm bảo an toàn, chính xác và bảo mật.

Việc chuyển thông tin lượng tử khi mà người gửi được biết trạng thái
gốc gọi là viễn tạo trạng thái lượng tử (Remote state preparation) [14-17].
Trong trường hợp này Alice sẽ thực hiện phép đo của cô ấy trong hai phương
thức viễn chuyển trạng thái lượng tử và viễn tạo trạng thái lượng tử khi cùng

gửi một trạng thái lượng tử thì trong trường hợp viễn tạo trạng thái lượng tử
đòi hỏi ít hơn. Tuy nhiên trong viễn tạo trạng thái lượng tử, Alice hoàn toàn
biết bí mật thông tin đã được mã hóa trong trạng thái lượng tử. Nhưng nếu
như Alice là người không đáng tin cậy, cô ấy có thể đem thông tin đó cho
người khác biết. Vậy làm thế nào để có thể đảm bảo cho việc thông tin cần
truyền đi được bảo mật, thậm chí ngay cả với người được giao trách nhiệm
gửi? Phương án đưa ra để giải quyết vấn đề rất đơn giản, chỉ cần đưa thêm
vào ít nhất một người nữa có nhiệm vụ gửi thông tin, hay cụ thể là quá trình
truyền tin này cần có ít nhất hai người gửi thông tin. Thông tin nằm trong một
bộ thông số của các trạng thái cần gửi sẽ được tách ra làm nhiều phần theo
một quy luật bí mật nào đó do người giao nhiệm vụ quyết định, và mỗi người
được gửi cho phép chỉ biết duy nhất một phần thông tin đó nhờ vậy tránh
được sự mất toàn bộ thông tin. Những giao thức những thực hiện theo ý tưởng
này được gọi là đồng viễn tạo trạng thái lượng tử (Joint remote state
prepatation) [18-34]. Từ đây, chúng ta có một bài toán truyền tin mới hấp dẫn
các nhà khoa học nghiên cứu tìm ra lời giải.
Để hoàn thành bài toán truyền tin theo phương thức đồng viễn
tạo trạng thái lượng tử, những người gửi và người nhận ban đầu chia sẻ cùng
nhau những trạng thái rối giống như nguồn tài nguyên không thể thiếu cho
quá trình thực hiện. Bài toán đòi hỏi chúng ta tìm ra những phương pháp giải
để chuyển một trạng thái lượng tử từ một nơi này đến một nơi khác với nguồn
rối ban đầu đơn giản, dễ làm và ít tốn kém nhất. Tuy nhiên mục đích lớn nhất
vẫn là đạt được xác suất thành công cực đại. Các nguồn rối rất phong phú, họ
có thể tạo với nhau các cặp rối EPR [1], trạng thái rối GHZ (GreenbergerHorne-Zeilinger) [35] hay trạng thái W [36], v.v… việc tạo ra và phân phối

rối lượng tử là một vấn đề khó và thực sự tốn kém. Bởi vì chúng ta không thể
tránh khỏi những nguy hiểm khi luôn có kẻ cố tìm cách để phá hỏng trạng thái

rối cần tạo, điều đó buộc chúng ta phải có những quy trình nghiêm ngặt để
kiểm tra sự chia sẻ các trạng thái cho những người gửi và người nhận. Việc
tạo rối đôi đơn giản và dễ thực hiện hơn rất nhiều so với việc tạo ra các bộ rối
nhiều thành phần hơn, bởi các thao tác kiểm tra khi phân phối cho hai người
đơn giản hơn và ít tốn kém hơn do đó việc sử dụng nó là đơn giản nhất và có
lợi ích hơn về kinh tế.
Các trạng thái rối kết hợp được sử dụng trong thông tin lượng tử rộng rãi,
hiệu quả vì các trạng thái này dễ tạo rối, chi phí đầu tư ít, phù hợp với nhiều
phương thức truyền trạng thái lượng tử. Trong khuôn khổ luận văn này, chúng
tôi chỉ tìm hiểu, nghiên cứu ứng dụng của trạng thái rối kết hợp đa mode
trong viễn chuyển lượng tử và viễn tạo lượng tử.

CHƯƠNG 2
MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN
2.1 Bit lượng tử
Bit lượng tử (quantum bit) hay còn gọi là qubit là khái niệm cơ bản và
quan trọng nhất trong lĩnh vực khoa học thông tin lượng tử. khái niệm này
được đưa ra lần đầu tiên vào năm 1995 [37] do Benjamin Schuhmacher đề
xuất. Qubit được sử dụng như một đối tượng dung để truyền tải, lưu dữ và xử
lý thông tin trên cơ sở lý thuyết lượng tử.
Trạng thái lượng tử của qubit là một vecto trong không gian Hibert hai
chiều được biểu diễn dưới dạng
|ψ�

α|0� β|1�

với các thông số α, β là các số phức thỏa mãn điều kiện αg

(2.1)
βg

1 và

|0�, |1� làm thành một hệ cơ sở trực chuẩn trong không gian đó.
Bit cổ điển chỉ có thể ở một trong hai trạng thái là |0�, |1� nhưng
trạng thái của qubit lại là chồng chập tuyến tính của cả hai trạng thái |0�, |
1� do vậy qubit có thể lưu trữ thông tin trong các bit cổ điển và các bit
lượng tử đã dẫn đến sự khác nhau về chất ngay từ đầu giữa việc xử lý thông
tin của các máy tính cổ điển với các máy tính lượng tử. Với việc tìm ra các
thừa số nguyên tố của một số nguyên dài hàng trăm chữ số, máy tính cổ
điển phải mất hàng tỉ năm nhưng máy tính lượng tử hoàn thành công việc
đó trong vài giây. Khi quan sát hay đo một bit cổ điển ta luôn thu được giá
trị xác định nhưng khi đo một qubit ta sẽ nhận được ngẫu nhiên một trong
hai kết quả với xác suất nhất định nào đó. Cụ thể, khi ta đo trạng thái (2.1)
trên hệ cơ sở |0�, |1� ta

thu được ngẫu nhiên một trong hai kết quả |0� với xác suất

g

hoặc |1�

với xác suất βg. Để xác định toàn bộ thông tin về α, β ta phải trạng thái
(2.1) nhiều lần vì sau mỗi lần đo trạng thái ban đầu bị hủy. Mọi cố gắng để

giải mã toàn bộ thông tin nằm trong trạng thái gốc đều thất bại vì ta không
thể tạo ra một trạng thái giống hệt trạng thái ban đầu do có sự ngăn chặn
của định lý không thể nhân bản một trạng thái lượng tử bất kỳ. Như vậy
qubit chứa một lượng thông tin khổng lồ nhưng ta chỉ có thể biết hai giá trị
cơ sở của nó, còn các thông tin khác mặc định đã bị ẩn đi. Một phép đo lượng
tử giống như một “hộp đen” mà bên trong nó đã xử lý toàn bộ thông tin bị
ẩn nhưng ta không thể tiếp cận mà chỉ có thể biết hai kết quả ở đầu ra.
Do thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa và các trạng thái lượng tử chính xác
tới một thừa số pha nên ta có thể biểu diễn qubit (2.1) dưới dạng:
| �

cos |0�
g

sin e 䆀 |1�
g

(2.2)

với các thông số θ, φ là những số thực.
Các tham số θ, φ xác định một điểm trên quả cầu đơn vị gọi là quả cầu
Bloch. |ψ� là vecto r xuất phát từ tâm đến một điểm nằm trên quả cầu
đó. Vecto r được xác định nhờ thông số φ là góc hợp bởi hình chiếu của nó
trên mặt phẳng x y với trục x và thông số θ là góc của nó với trục z (hình
2.1)

Hình 2.1: Quả cầu Bloch có bán kính đơn vị được dùng để biểu diễn hình học
cho qubit. Vị trí của mỗi qubit được xác định qua hai thông số 䆀,
Về bản chất, mỗi điểm trên mặt cầu biểu diễn cho một trạng thái của

qubit. Mà mặt cầu thì có vô hạn điểm, do đó, ta thấy ngay khả năng biểu diễn
thông tin lượng tử lên đến vô hạn chứ không phải chỉ là 0 hoặc 1 như bit cổ
điển. Trong khi đó, xét theo mô hình này, bit cổ điển chỉ có thể là một điểm
nằm trên cực của mặt cầu này thôi (hình 2.2)

Hình 2.2: Trạng thái của bit cổ điển chỉ có thể nằm ở hai cực của quả cầu
Bloch còn trạng thái của qubit có thể nằm ở mọi điểm trên quả cầu Bloch.

Ngoài ra ta cũng có thể biểu diễn trạng thái của qubit dưới dạng ma trận
tọa độ:
ρ
với I là ma trận đơn vị, σ 䆀

䆀
g

I

rσ 䆀

(2.3)

σ , σ , σ trong đó σ , σ , σ là các ma trận

Pauli.
Bất kỳ hệ lượng tử nào cũng có thể dung để biểu diễn các qubit trong
thực tế. Ví dụ: trong quang học lượng tử, đối tượng nghiên cứu là các photon
thì qubit được biểu diễn bởi trạng thái phân cực của chúng; trong vật lý
nguyên tử qubit được biểu diễn bởi trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích

(n=2) của electron trong nguyên tử hydrogen.
2.2 Định lý không thể nhân bản trạng thái lượng tử
Định lý không thể nhân bản trạng thái lượng tử được đưa ra lần đầu tiên
vào năm 1982 bởi Wootter và Zurek [38]. Nguyên nhân của hiện tượng này là
do tính chất chồng chập của các trạng thái lượng tử.
Định lý không thể nhân bản trạng thái lượng tử được phát biểu như sau:
Không thể coppy chính xác một trạng thái lượng tử bất kỳ.
Định lý này có ý nghĩa quan trọng trong quá trình xử lý thông tin lượng
tử. Không thể coppy một trạng thái lượng tử làm cho việc sao chép thông tin
lượng tử không thể thực hiện được, dẫn đến quá trình chuyển nó từ nơi này
sang nơi khác được bảo mật. sự bảo mật phân phối khóa lượng tử trong thể
thức BB84 đã nói ở trên cũng dựa trên tính chất này. Alice gửi cho Bob ngẫu
nhiên một trong bốn trạng thái không hoàn toàn trực giao |0�, |1�, | �, |
� họ có thể tin tưởng rằng không có một phép đo nào có thể lấy được thông
tin mà không làm nhiễu loạn nó. Tuy nhiên, điều đáng nói là cho tới năm
1982 định

20

lý mới chỉ ra nhưng nó lại hoàn toàn phù hợp với mọi quy luật của thuyết
lượng tử đã tồn tại trước đó. Nếu có thể coppy được một trạng thái lượng tử
thì ta sẽ có vô số bản sao của nó và thực hiên các phép đo lên nó mà không
làm mất đi trạng thái gốc. Như vậy ta có thể xác định được tất cả các thông tin
của một trạng thái lượng tử. Định lý trên cho thấy ta chỉ có thể được một phần
giới hạn thông tin về trạng thái lượng tử bất kỳ, nó khác hoàn toàn với lý
thuyết cổ điển vì thông tin cổ điển có thể được đọc và sao chép hoàn toàn mà
không hề ảnh hưởng tới trạng thái gốc, vì vậy mà ta chỉ cần một bản sao cổ
điển là có thể giải mã đầy đủ thông tin của trạng thái ban đầu. Đặc biệt, nếu
có thể sao chép một trạng thái lượng tử bất kỳ thì ta hoàn toàn có thể truyền

thông tin đi nhanh hơn vận tốc ánh sáng trong chân không thông qua việc sử
dụng các rối lượng tử, điều này mâu thuẫn với thuyết tương đối của Einstein.
Sự phù hợp của định lý với thuyết tương đối đã được chỉ ra trong các bài báo
[39-41]. Định lý không nhân bản một trạng thái lượng tử cũng ngăn cản các
kỹ thuật sửa lỗi cổ điển trên một trạng thái lượng tử vì không thể sao chép để
tạo ra một bản sao trong quá trình xử lý và tính toán để đem ra sử dụng và sửa
lỗi. Đến năm 1995 Shor đã cung cấp giải pháp sửa lỗi lượng tử đầu tiên để
phát hiện và sửa lỗi một trạng thái lượng tử [42].
2.3 Rối lượng tử
Rối lượng tử là điều bí ẩn tuyệt vời của cơ học lượng tử. Nó là một
trong những nguyên nhân của sự khác nhau giữa cơ học lượng tử và cơ học cổ
điển. Rối lượng tử là sự tồn tại trạng thái chung của hai hay nhiều hệ lượng tử
con có mối liên hệ rằng buộc với nhau. Khi các hạt lượng tử được rối với
nhau thì ta không thể biết được trạng thái riêng của từng hạt mà ta chỉ có thể
biết trạng thái tồn tại chung của chúng. Để có thể xác định trạng thái riêng của
từng hạt ta phải thực hiên các phép đo lên nó. Trong lý thuyết cổ điển, các hệ

con sẽ hoàn toàn độc lập với nhau nếu chúng không có sự tác động của bên
ngoài liên kết chúng lại, tính chất này cũng đúng với các hệ lượng tử khi mà
chúng nằm trong những trạng thái hoàn toàn tách rời. Tuy nhiên nếu các hệ
lượng tử bị rối với nhau thì chúng sẽ không còn tồn tại độc lập nữa, Mỗi tác
động lên hệ con này sẽ ảnh hưởng tức thời tới các hệ con khác. Mỗi phép đo
trên một hệ con bất kỳ có thể cho nhiều kết quả với xác suất nhất định, từ đó
ta xác định được trạng thái của hạt còn lại. Điều thú vị là quá trình này không
phụ thuộc vào khoảng cách giữa các hệ con.
Ta sẽ xem xét một hệ lượng tử như thế nào sẽ được gọi là rối? Ta xét
trạng thái lượng tử N N

2 qubit xác định trong không

| 䆀�

|Φ 䆀 �

…

|Φ � với | 䆀 �

(2.5)

thì trạng thái |Φ 䆀 g.. � được gọi là trạng thái tích hay trạng thái rời của N
qubit.
Nếu ngược lại:

|Φ 䆀 g.. �

| 䆀�

|Φ 䆀 �

…

|Φ �

(2.6)

thì |Φ 䆀 g.. � gọi là trạng thái rối của N qubit.
Sau đây ta xét trường hợp cụ thể đối với hai qubit A và B trong không
gian Hilbert 4 chiều

. Chọn một cơ sở gồm 4 vecto trực chuẩn

|00�, |01�, |10, |11� , khi đó trạng thái tổng quát của hai qubit được viết
dưới dạng:
|ψ�䆀 h

α|00�䆀 h

β|01�䆀 h

γ|10�䆀 h

δ|11�䆀 h

(2.7)

với các α, β, γ, δ là các số phức bất kỳ thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa:
αg

βg

γg

δg

•

Nếu αδ

βγ thì trạng thái trên là trạng thái tích hay trạng thái rời

•

Nếu αδ

βγ thì trạng thái trên là trạng thái rối của hai hạt A và

1. Ở đây ta có thể dễ dàng chứng minh được:

B Thật vậy, nếu αδ βγ thì với mọi số phức bất kỳ ta có
hay

α

β

γ

δ

Từ đó trạng thái (2.7) sẽ được viết thành:
|ψ�䆀 h

β|00�䆀 h
β|0�䆀

β|01�䆀 h

|0� |1� h

β|0� |1� 䆀

δ|10�䆀 h
δ|0�䆀

δ|11�䆀 h

|0� |1� h

|0� |1� h

(2.8)

Đây là trạng thái tích của hai qubit A và B.
Ngược lại, nếu αδ

βγ thì |ψ�䆀 h

β|0� |1� 䆀

|0� |1� h, trong

trường hợp này, hai qubit A và B rối với nhau.
Nếu công thức trên α
|Ψ�䆀 h
h

β

|Ψ �䆀 h

|B

,

�䆀

h

|Ψ �䆀 h

|B 䆀, �䆀

h

䆀
√g
䆀
√g

䆀
√g

|00�

|11� 䆀 h

(2.10)

|01�

|10� 䆀 h

(2.11)

|01�

|10� 䆀 h

(2.12)

Bốn trạng thái EPR có thể được viết tổng quát như sau:
|B , �䆀 h
với phép

䆀
√g

∑

|l�
|l
䆀

1

n�h

(2.13)

là phép cộng trong hệ nhị phân. Đồng thời ta cũng tim được công

thức tổng quát biểu diễn ngược lại như sau:
|mn�䆀 h
n�h

|m�䆀|

䆀䆀
√g∑

1

B

,

�䆀 h với m, n

0,1

(2.14)

Xem xét các công thức trên ta thấy rằng các trạng thái EPR thỏa mãn là
các trạng thái rối. Một trạng thái EPR được đặc trưng bởi hai bit thông tin, bit
chẵn lẻ (Φ hay Ψ và bít pha (+ hay − ). Khi hai hạt lượng tử được chia
nhau một trong bốn cặp rối trên thì không thể biết trạng thái rối của cả hệ
nếu chỉ thực hiện phép đo địa phương lên từng hạt bởi mỗi phép đo chỉ có
thể xác định một phần thông tin của trạng thái, chẵn lẻ hoặc pha. Điều này có

ý nghĩa rất quan trọng bởi thông tin được mã hóa trong các trạng thái đó mang
ý nghĩa bảo mật tuyệt đối, ngăn chặn hoàn toàn sự đánh cắp thông tin khi
mà hai hạt được rối với nhau không lại gần nhau.
Giả sử Alice muốn chuyển cho Bob hai bit cổ điển thay vì phải chuyển
đi hai qubit thì Alice chỉ phải gửi đi một qubit khi hai người tạo với nhau một

trong bốn trạng thái EPR, |Φ �

4

chẳng hạn. Ở đây qubit A của Alcie, B

của Bob. Alice có thể dùng các toán tử địa phương để chuyển đổi qua lại các
trạng thái EPR cho nhau.
Sau đây chúng tôi xin giới thiệu thêm về các trạng thái rối khác như
trạng thái rối GHZ và trạng thái rối W, đó là các trạng thái rối của ba hạt
lượng tử trở lên.
Đối với rối ba, GHZ và W có dạng như sau:
|GHZ�䆀 hZ
|W�䆀 hZ

䆀

|000�

√g
䆀
√l

|100�

|111�

(2.15)

䆀 hZ

|010� |001�

䆀 hZ

(2.16)

Các trạng thái rối 3 GHZ có thể được viết dưới dạng tổng quát sau:
G

, ,

�䆀

hZ

䆀䆀
√g∑

1

|k, k

m, k n�䆀 hZ

(2.17)

tạo thành tám vecto cơ sở cho phép đo GHZ.
Đối với rối nhiều thành phần hơn GHZ và W có dạng:
|GHZ�䆀 g…

䆀

|00 … 0� |11 … 1� 䆀 g…

(2.18)

√g

|W�䆀 g…

䆀
√

|10. . .0� |01 … 0�

|00 … 1� 䆀 g…

(2.19)

Tuy nhiên người ta có thể chứng minh được rằng các trạng thái trên đều
được tạo ta từ các trạng thái rối EPR.
Một vấn đề được đặt ra khi hai hay nhiều trạng thái rối với nhau là làm

thế nào để xác định xem chúng rối với nhau nhiều hay ít? Có nhiều độ đo để
xác định độ rối của các qubit. Cho tới này việc xác định độ rối của hệ lượng
tử mới chỉ dừng lại ở việc nghiên cứu thấu đáo độ rối của một hệ lượng tử

gồm hai qubit. Việc xác định độ rối đối với trạng thái lượng tử rối nhiều thành
phần như rối ba (GHZ,W) hay trạng thái khóm (cluster states) hay các trạng
thái qudit (một hệ lượng tử trong không gian d chiều),… là rất khó và chưa
được giải quyết triệt để.
Bây giờ ta xác định độ rối lượng tử của một trạng thái hai qubit a và b
trong không gian Hilbert hai chiều 䆀 và

c

bằng một đại lượng “độ dồng quy”

C (concurrence). Gọi |0 䆀 � , |1 䆀 � |0c�, |1c� là hai vecto cơ sở trực
chuẩn trong

(

. Trạng thái của hai qubit a và b trong

c

|Ψ�䆀 c

c |00�䆀 c

với điều kiện chuẩn hóa ∑䆀

Ứng dụng các trạng thái rối kết hợp đa mode trong viễn chuyển lượng tử

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về