Về phạm vi áp dụng của công thức nội suy newton mốc cách đều

LèI CÁM ƠN
Lu¾n văn đưoc hoàn thành tai trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i
2 dưói sn hưóng dan cna thay giáo TS. Nguyen Văn Khái. Sn giúp đõ
và hưóng dan t¾n tình song rat nghiêm túc cna thay trong suot quá
trình thnc hi¾n lu¾n văn này đã giúp tác giá trưóng thành hơn rat
nhieu trong cách tiep c¾n m®t van đe mói. Tác giá xin bày tó lòng biet
ơn, lòng kính trong sâu sac nhat đoi vói thay.
Tác giá xin trân trong cám ơn Ban giám hi¾u trưòng Đai hoc Sư
pham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc, các thay cô giáo trong nhà trưòng
và các thay cô giáo day cao hoc chuyên ngành Toán giái tích đã giúp
đõ, tao đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá trong suot quá trình hoc t¾p.
Tác giá xin chân thành cám ơn ngưòi thân, gia đình, ban bè đã
giúp đõ, đ®ng viên và tao đieu ki¾n thu¾n loi đe tác giá hoàn thành
khóa hoc Thac sĩ và hoàn thành lu¾n văn này.

Hà N®i, ngày 05 tháng 11 năm 2013
Tác giá

Đ¾ng Th% Hương


LèI CAM ĐOAN
Lu¾n văn đưoc hoàn thành tai trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i
2 dưói sn hưóng dan cna TS. Nguyen Văn Khái.
Tôi xin cam đoan lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng
tôi. Trong quá trình nghiên cúu và hoàn thành lu¾n văn tôi đã ke thùa
nhung thành quá khoa hoc cna các nhà khoa hoc và đong nghi¾p vói
sn trân trong và biet ơn. Tôi xin cam đoan rang các thông tin trích
dan
trong lu¾n văn đã đưoc chí rõ nguon goc.

Hà N®i, ngày 05 tháng 11 năm 2013
Tác giá

Đ¾ng Th% Hương


Mnc lnc

Má đau

1

1

M®t so van đe ve đa thNc n®i suy

5

1.1. Bài toán n®i suy co đien . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2. M®t so công thúc bieu dien . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.1. Công thúc n®i suy Lagrange . . . . . . . . . . . .

7

1.2.2. Công thúc n®i suy Newton . . . . . . . . . . . . .

8

2

Phân tích công thNc n®i suy Newton moc cách đeu

14

2.1. Phân tích đ%nh tính.....................................................................14
2.2. Phân tích qua các bài toán cu the.............................................15
2.2.1. Các bài toán lưong giác, lưong giác ngưoc.................15
2.2.2. Các bài toán mũ, logarit..................................................38
2.2.3. Các bài toán căn thúc, phân thúc huu tí......................63
2.2.4. Các bài toán dang chuoi hàm........................................75
2.2.5. Các bài toán siêu b®i....................................................127
Ket lu¾n

153

Tài li¾u tham kháo

156
iii


Mé ĐAU
1. Lý do chon đe tài
Trong cuon sách "Các cơ só toán hoc tính toán" (tieng Nga) cna

B.P. Demidovich và I.A. Maron, Matxcova 1963 tai trang 510 có viet:
"Neu can tính gan đúng f (x) tai x gan x0 ta dùng công thúc n®i
suy Newton tien, neu can tính gan đúng f (x) tai x gan xn ta dùng
công thúc n®i suy Newton lùi se có loi". Tù ánh hưóng cna cuon sách
này mà rat nhieu giáo trình ve Giái tích so ó Vi¾t Nam cũng có nh¾n
xét tương tn: Phương pháp tính, Lê Đình Th%nh, Nhà xuat bán khoa
hoc và ky thu¾t, 1995 tai trang 103 "Các công thúc n®i suy Newton
tien dùng đe tính các giá tr% ó đau báng, các công thúc n®i suy
Newton lùi dùng đe
tính các giá tr% ó cuoi báng".
Giái tích so, Pham Kỳ Anh, Nhà xuat bán Đai hoc Quoc gia Hà
N®i, 2005 tai trang 49 "Neu can tính f (x) tai x c x0(x c xn) ta
nên dùng công thúc n®i suy Newton tien (lùi) thì đ® chính xác cao
hơn."
Giái tích so, Nguyen Minh Chương - Nguyen Văn Khái - Khuat
Văn Ninh - Nguyen Văn Tuan - Nguyen Tưòng, Nhà xuat bán giáo duc,
2009 tai trang 54 "Neu can tính f (x) tai x gan x0 thì nên dùng đa
thúc n®i suy Newton ó đau báng, ý nghĩa tương tn cho đa thúc n®i
suy Newton ó cuoi báng và giua báng."
Phương pháp so, Tôn Tích Ái, Nhà xuat bán Đai hoc Quoc gia Hà
N®i, 2001 tai trang 104 "Công thúc n®i suy Newton tien đưoc sú dung
đe n®i suy và ngoai suy các điem x nam gan điem x0 đau tiên cna
báng.", tai trang 105 "Công thúc n®i suy Newton lùi đưoc sú dung đe
n®i suy và ngoai suy các điem gan vói điem cuoi cna báng xn."
Toán hoc tính toán, Doãn Tam Hòe, Nhà xuat bán giáo duc, 2005
tai trang 79 "Vói các báng so li¾u quá dài, ngưòi ta dùng công thúc


5

Newton tien đe n®i suy ó đau báng, công thúc lùi đe n®i suy ó cuoi
báng".
Giái tích so, Tran Anh Báo - Nguyen Văn Khái - Pham Văn Kieu Ngô Xuân Sơn, Nhà xuat bán Đai hoc Sư pham, 2003 tai trang 33
"Neu can tính f (x) tai x gan x0 thì nên dùng công thúc n®i suy
Newton tien; ngưoc lai, neu can tính f (x) tai x gan xn thì nên dùng
công thúc n®i suy Newton lùi."
Giái tích so, Pham Phú Triêm - Nguyen Bưòng, Nhà xuat bán Đai
hoc Quoc gia Hà N®i, 2000 tai trang 110 "Công thúc n®i suy Gregory Newton tien thưòng hay đưoc dùng đe tìm giá tr% cna hàm f (x) tai
vùng đau cna báng. Tuy nhiên, nó cũng có the dùng đưoc đe n®i suy
ó cuoi báng, nhưng rat bat ti¾n", tai trang 114 "Công thúc n®i suy
Gregory - Newton lùi thưòng hay đưoc dùng đe tìm giá tr% cna hàm f
(x) tai vùng cuoi cna báng."
...
Tuy nhiên, có m®t so giáo trình khác ve Giái tích so không đưa ra
nh¾n xét trên:
Phương pháp tính, Ta Văn Đĩnh, Nhà xuat bán Giáo duc, 2007.
Phương pháp tính, Dương Thny Vy, Nhà xuat bán khoa hoc ky
thu¾t, 1999.
Nham làm sáng tó van đe này trong các phân tích đ%nh tính
cũng như các phân tích đ%nh lưong qua các bài toán cu the tôi chon
đe tài cho lu¾n văn thac sĩ cna mình:
“Ve pham vi áp dnng cúa công thNc n®i suy Newton moc cách
đeu” .


2. Mnc đích nghiên cNu
Lu¾n văn làm sáng tó van đe tai sao khi x gan x0 thì tính gan
đúng f (x) sú dung công thúc n®i suy Newton tien lai tot hơn so vói
sú dung công thúc n®i suy Newton lùi; tương tn khi x gan xn thì tính
gan đúng f (x) sú dung công thúc n®i suy Newton lùi lai tot hơn so

vói sú dung công thúc n®i suy Newton tien.

3. Nhi¾m vn nghiên cNu
Nghiên cúu phương pháp n®i suy Newton m®t cách chi tiet ve lý
thuyet và phân tích công thúc n®i suy Newton tien, công thúc n®i suy
Newton lùi trên nhung bài toán cu the nham làm sáng tó van đe trên.

4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Đoi tưong: Nghiên cúu ve đa thúc n®i suy Newton moc cách đeu
và úng dung.
Pham vi nghiên cúu: Các tài li¾u, giáo trình liên quan đen công
thúc n®i suy Newton. Trình bày cu the các bài toán nham làm sáng tó
muc đích nghiên cúu.

5. Phương pháp nghiên cNu
Nghiên cúu lý thuyet: Thu th¾p tài li¾u, đoc và phân tích, tong
hop đe đưoc m®t nghiên cúu tong quan ve công thúc n®i suy Newton
moc cách đeu.
Nghiên cúu úng dung: V¾n dung công thúc n®i suy Newton moc
cách đeu vào giái bài toán.


6. DN kien đóng góp mái
Đe tài nghiên cúu làm sáng tó van đe nêu trên và làm rõ tai sao
dan đen ket quá đó. Lu¾n văn là tài li¾u phuc vu cho các ban sinh
viên hoc t¾p và nghiên cúu.


Chương 1
M®t so van đe ve đa thNc n®i suy

1.1.

Bài toán n®i suy co đien
Trong thnc te, thưòng g¾p nhung hàm so y = f (x) không biet

bieu thúc giái tích cu the cna chúng; chang han bang đo đac, thnc
nghi¾m ta chí thu đưoc ó dang m®t báng so, nghĩa là biet giá tr% yi
tai điem xi tương úng (i = 0, 1, . . . , n). Cũng có trưòng hop biet
quy lu¾t bien đoi y = f (x) nhưng f (x) có dang quá phúc tap thì
giá tr% y = f (x) cũng khó tính toán đưoc. Trong các trưòng hop
như v¾y ngưòi ta tìm cách thay hàm f (x) bói hàm P (x) đơn gián,
thưòng P (x) đưoc chon là đa thúc.
Đ%nh nghĩa 1.1.1. H¾ n + 1 điem phân bi¾t {xi} vói xi ∈ [a, b] , i
= 0, . . . , n đưoc goi là n + 1 moc n®i suy.
Sau đây ta kí hi¾u Pn = (1, x, . . . , xn) là không gian vecto trên
R
sinh bói h¾ các đơn thúc 1, x, . . . , xn.
Đ%nh lý 1.1.1. Cho n + 1 moc n®i suy xi và n + 1 giá tr% ω0, ω1, .
. . , ωn. Khi đó, ton tai duy nhat Pn(x) ∈ Pn sao cho
Pn(xi) = ωi, i = 0, . . . , n

(1.1)

Chúng minh. Đa thúc Pn(x) ∈ Pn có dang a0 + a1x + . . . + anxn vói
n+1
h¾ so ai.


5

10

Đieu ki¾n (1.1) tương đương vói n + 1 phương trình tuyen tính và
n + 1 an ai:
a0 + a1xi + . . . + anxin = ωi (i = 0, . . . , n)

(1.2)

Đ%nh thúc cna h¾ là đ%nh thúc Vandermonde tai x0 , x1 , . . . , xn :
n
... 1 x0 x2 · · · x ..
0
2

x

.1
x
V (x0, x1, . . . , xn, ) =
.
.
.

1

.

0
n

· · · x ..

1

.

. .. .. ..
. 1 xn x2
n

Đe tính V , ta xét hàm dang đ%nh thúc
.. 1 x0
..
.
.
..
.
V (x) = V (x0, x1, . . . , xn 1, .x) = ..
−
.. 1 xn−1
.
. 1 x

1

.

. .
.. ...

· · · xn
.
n
x2
0
.
..

.
· · · xn .
0 ..
..
. .

2
xn−1
· · · xnn−1..
.
x2 · · · xn .

.

(1.3)

rõ ràng V (x) ∈ Pn, đong thòi V (x) tri¾t tiêu tai x0, x1, . . . , xn−1 hay
nói
cách khác V (x) có n nghi¾m là x0, x1, . . . , xn−1. Do đó
V (x0, x1, . . . , xn−1, x) = A(x − x0)(x − x1) . . . (x − xn−1)
ó đó A là đai lưong chí phu thu®c vào x0, x1, . . . , xn−1.
Đe tính A ta khai trien (1.3) theo dòng cuoi và ta có h¾ so cna xn

là V (x0, x1, . . . , xn−1), vì v¾y A = V (x0, x1, . . . ,
xn−1). Tù đó ta có
V (x0, x1, . . . , xn−1, x) = V (x0, x1, . . . , xn−1)(x − x0) . . . (x − xn−1).
(1.4)
Đ¾c bi¾t


11

V (x0, x1, . . . , xn−1, xn) = V (x0, x1, . . . , xn−1)(xn−x0)(xn−x1) . . .
(xn−xn−1)
(1.5)


Tù V (x0, x1) = x1 − x0 và (1.5) ta có
V (x0, x1, x2) = (x1 − x0)(x2 − x0)(x2 − x1)
V¾
y

n

V (x0, x1, . . . , xn) =

Y

(xi − xj ).

(1.6)

i>j

Vì các điem x0, x1, . . . , xn phân bi¾t nên V ƒ= 0, đ%nh lí đưoc
chúng
minh.
Đ%nh nghĩa 1.1.2. Đa thúc n®i suy Pn(x) ton tai duy nhat theo đ%nh
lí
1.1.1 đưoc goi là đa thúc n®i suy.
Bài toán nêu trong đ%nh lí 1.1.1 đưoc goi là bài toán n®i suy co
đien.

1.2.

M®t so công thNc bieu dien
Đ%nh lí 1.1.1 muc 1.1 đã chúng minh đa thúc n®i suy ton tai và

duy nhat. Tuy nhiên, đe tìm đa thúc n®i suy tù h¾ phương trình (1.2)
theo phương pháp Cramer nêu trong đ%nh lí là khá cong kenh, phúc
tap. Trong muc này, ta tìm cách tính nhanh đa thúc n®i suy mà không
can giái h¾ (1.2).
1.2.1.

Công thNc n®i suy Lagrange
n
Q

Đ¾t Φj (x)
=

(x −
x i)

j = 0, . . . , n.

iƒ=j
n
Q

(xj −
x i)
iƒ=j

Khi đó Φj (x) là m®t đa thúc cna an x và deg Φj (x) = n vói
moi


j = 0, . . . , n, hơn nua,
Φj (xi) =

.
1 i = j
0 i ƒ= j


vói j = 0, . . .
, n.
Đ¾t

Ln(x) =

n

.

yj Φj (x)

(1.7)

j=0

thì deg Ln(x) ≤ n và Ln(xi) = yi vói i = 0, . . . , n.
Đa thúc Ln(x) ó (1.7) thóa mãn bài toán nêu trong đ%nh lí 1.1.1,
nó đưoc goi là đa thúc n®i suy Lagrange. Đa thúc n®i suy Lagrange
đưoc
cho ó dang công thúc nên cũng goi là công thúc n®i suy Lagrange.
n
n
Q
Đ¾t ωn+1(x) Q
r
(xj − xi) j = 0, . . .
(x − xi) thì ω
n+ (xj )
=
i=0
1 =
, n.
iƒ=j


n+
1

Thay ωn+1(x) và ωr


(xj ) vào bieu thúc cna
Ln(x) ta có
n.

Ln(x) =
yj

j=0

ωn+ (x
1
)

.

(1.8)

(x − xj )ωrn+1(xj )

Ta cũng nói đa thúc Ln(x) cho bói (1.8) là đa thúc n®i suy
Lagrange. Nh¾n xét 1.1. Đa thúc n®i suy Lagrange có ưu điem là
đơn gián, de tính nhưng nhưoc điem là neu thêm moc n®i suy thì lai
phái tính lai tù
đau, không sú dnng đưoc ket quá tính toán cũ.
1.2.2.

Công thNc n®i suy Newton

1.2.2.1. Khái ni¾m tý sai phân và m®t so tính chat
Đ%nh nghĩa 1.2.1. Cho hàm so y = f (x) xác đ%nh trên đoan [a; b]
và
n + 1 moc n®i suy {xi} , i = 0, 1, . . . , n. Khi đó:
yi+1 − yi
Tý
đưoc goi là tý sai phân cap 1 cúa hàm so y = f
xi+1 −
so
(x)
xi
tai xi và kí hi¾u là f (xi; xi+1).
f (xi+1; xi+2) − f
đưoc goi là tý sai phân cap 2 cúa
Tý so
(xi; xi+1)
xi+2 − xi
hàm so y =
(x)
xi và
f (x
; xi;i+1
x
). f tai
; . kí
. . hi¾u
; xi+klà
)−

f i(x
. .;. goi là tý sai phân
; i+2
xfi+k−1
)(xi+1
Tý
đưoc
xi+k −
so
xi
cap k cúa hàm so y = f (x) tai xi và kí hi¾u là f (xi; xi+1; . . . ;
xi+k).


f
(xi)
f (x0; . . . ; xk) = r
. ω (xi

Tính chat 1.

k

k

trong đó ω(x)
=

i=0

Q
j=0

(1.9)

)

(x − xj ).
f (x0)

Chúng minh. Vói k = 1, ta có f (x0,
x1) =

x0 −

+

f (x1)
.
x1 − x0

x1
Giá sú ta chúng minh đưoc vói k ≤ n. Khi đó
f (x1; . . . ; xn+1) − f (x0; . . . ; xn)
f (x0; x1; . . . ;
xn+1 − x0
xn+1) =
.
.
n+1

n f (x )
i
1
. f
=
(xi) −.
r
r
xn+1 −
i=1 ω 1(xi)
i=1 ω 0(xi)
ω(x)
x
0

vói ω1(x)
=

ω(x)

; ω0(x)
=

x−

x−

x0

n+

1

và ω(x) = (x − x0) . . . (x −
xn+1).

x

Như v¾y
f (x0; x1; . . . ;
xn+1) =

(x0)
r (x f)(x
ω
0 0
0−
xn+1)
.

n

+

f (xn+1)
r
+ω
x0)1(xn+1)(xn+1 −
1

. f (xi)

i=1

xn+1 − x0

i)
ωr (x
ω

1
−

1

Ta có

Suy
ra

ωr(xi)

ωr
1(xi)
=

1
V¾y

r

xi − x0

.

r

0(xi)

ωr(xi)
.
; ω0 (xi)
xi − n+1
=
x
1 = xn+1 − x0
.− r
ωr1(xi)
ω 0(xi)

.


ωr(xi
)

n+1

f (x0; x1; . . . ; xn+1) =

.

i=0

f (xi)
.ωr(xi)

Đieu phái chúng minh.
Tính chat 2. Tý sai phân là hàm đoi xúng vói các xi,
n

f (x )
f (x0; x1; . . . ; xn) = f (x1; x0; . . . ; xn) = . . . ωr(xii) .
.
=
i=0


Tính chat 3. Tý sai phân cap m + 1 cna đa thúc b¾c m đong nhat
bang
0.
Chúng minh. Giá sú P (x) là đa thúc b¾c m. Ta phái chúng minh
P (x; x0; x1; . . . ; xm) ≡ 0 ∀x ∈ [a; b] ó đó (m + 2) so x, x0, x1, .
. . , xm là đôi m®t khác nhau.
−P
Ta có P (x; x0) P (x)
(x0)
=
x − x0
P (x) − P
(x0)
x − x0

Tương tn P (x; x0;
x1 ) =

b¾c

là đa thúc b¾c m − 1 vì
(i) (xi)

m

=
P

.

(x −

x
i!

i=1

P (x; x0) − P
(x0; x1)

)

i−1

.

0

là đa thúc b¾c m −
2.

x − x1
Bang phương pháp quy nap ta có P (x; x0; x1; . . . ; xk) là đa thúc

m − (k + 1).
V¾y P (x; x0; x1; . . . ; xm−1) là đa thúc b¾c 0. Tù đó ta có đieu
phái chúng minh.
1.2.2.2. Công thNc n®i suy Newton vái moc bat kì
Goi Ln(x) là đa thúc n®i suy Lagrange cna hàm so thnc y = f
(x) xác đ%nh trên đoan [a; b] và kí hi¾u Ln(x; x0), Ln(x; x0; x1), .
. . là các tý sai phân cna Ln(x) tai x.
Khi đó ta có
Ln(x; x0)
=

Ln(x)
Ln−
(x0) x
− x0 .

V¾y
nên
Ln(x) = Ln(x0) + Ln(x; x0)(x − x0).
Lai có

Ln (x; x0 ; x1 ) =


; x
Tù đó rút ra:

0
n(xx01;
x)1 )−xL−

.


Ln(x; x0) = Ln(x0; x1) + Ln(x; x0; x1)(x − x1).
Tương tn ta có

Ln(x; x0; . . . ; xi−1) − Ln(x0; . .

Ln(x; x0; . . . ;
x i) =

. ; xi)

.
x − xi

Tù đó rút ra
Ln(x) = Ln(x0) + Ln(x0; x1)(x − x0) + Ln(x0; x1; x2)(x − x0)(x
− x1 ) +
. . . + Ln(x0; x1; . . . ; xn)(x − x0)(x − x1) . . . (x − xn−1).

M¾t khác Ln(xi) = yi = f (xi), Ln(x0; x1; . . . ; xk) = f (x0;
x1; . . . ; xk) (∀k = 1, . . . , n).
V¾y ta có
Pn(x) = f (x0) + f (x0; x1)(x − x1) + f (x0; x1; x2)(x − x0)
(x − x1) + . . .
. . . + f (x0; x1; . . . ; xn)(x − x0) . . . (x − xn−1)
(1.10)
Công thúc (1.10) đưoc goi là công thúc n®i suy Newton vói moc
kì. bat
Nh¾n xét 1.2. Neu thêm m®t vài moc n®i suy thì đe tìm công thúc n®i
suy Newton ta chs phái tính thêm m®t vài so hang cuoi, không phái
tính lai tù đau, đây là ưu điem cúa công thúc n®i suy Newton so vói
công thúc n®i suy Lagrange.
1.2.2.3. Khái ni¾m ve sai phân và m®t so tính chat
Giá sú f : R → R là m®t hàm so cho trưóc, h là hang so khác 0.
Ta
goi

∆0f (x) = f (x) là sai phân cap 0 cna f (x) tai x.
∆f (x) = f (x + h) − f (x) là sai phân cap 1 cna f (x) tai x.
.
.
n
n−1
∆ f (x) = ∆ ∆
f (x) , n ≥ 1 là sai phân cap n cna f (x)
tai x.


Tính chat 4. ∆ là toán tú tuyen tính, nghĩa là ∀α, β ∈, ∀f, g thì

∆(αf + βg) = α∆f + β∆g.


Tính chat 5.
i, ∆(c) = 0 vói moi hang so
c. ii, ∆(xn) là đa thúc b¾c n
− 1. iii, ∆m(xn) = 0 vói m
> n.
iv, ∆n(xn) = c.

n

.

Tính chat 6. f (x + nh) =
i=0

n

C i ∆if (x).

Chúng minh. Ta có f (x + nh) = f (x) + ∆f (x) = (1 + ∆)f
(x) vói 1 là toán tú đơn v%.
f (x + 2h) = f ((x + h) + h) = (1 + ∆)f (x + h).
Tù đó ta có f (x + 2h) = (1 + ∆)2f (x).
Theo quy nap toán hoc ta có f (x + nh) = (1n + ∆)nf (x).
.
n
Khai trien Newton cna (1 + ∆) có f (x + nh) =n
C i ∆if (x).

i=0

n

Tính chat 7. ∆ f (x) =

n.

i i
(−1)
n C f [x + (n − i)h] .

i=0

Chúng minh. Ta có ∆nf (x) =n [(1 +−∆) 1]nf (x)
.
i i
n−i
=
(−1)
f (x)
n C (1 + ∆)
=

i=
0
.
n

i=0

i i
(−1)
n C f [x + (n − i)h]

Công thNc n®i suy Newton tien
Giá sú rang moc n®i suy x0 < x1 < . . . < xn, xi+1 − xi =
h
∀i = 0, . . . , n − 1. Ta tìm đa thúc n®i suy Pn(x) ó dang
Pn(x) = a0 +a 1 (x−x0 )+a 2 (x−x 0 )(x−x1 )+. . .+a n (x−x0 ) . . .
(x−xn−1).
Ta có Pn(xi) = f (xi) = yi vói i = 0, . . . , n. Thay x lan lưot
bang
x0, x1, . . . , xn ta thu đưoc
a0 = y 0 , a1
=

∆y0

,...,a
=

h

i


∆ iy 0

i!hi

.


∆ 2 y0

V¾y ta có
Pn(x) = y0
+

∆y0

(x − x ) 2!h2

+
1!h

(x − x0)(x − x1) + . . .

∆ n y0

...+

n! (x − x0) . . . (x − xn−1).
hn
Dùng phép bien đoi x = x0 + th, xj = x0 + jh, j = 0, . . . , n −

1 ta
thu đưoc

Pn(x0 + th) =
y0 +

∆2y
∆ n y0
∆y0
t(t −1) . . . (t n +
t
0
1).
1!
t(t − 1) + . . n!
+
.+
(1.11)
2!

Công thúc (1.11) là công thúc n®i suy Newton tien ho¾c đa thúc
n®i suy Newton ó đau báng.
Công thNc n®i suy Newton lùi
Giá sú rang moc n®i suy xn > xn−1 > . . . > x0, xi+1 − xi = h
∀i = 0, . . . , n − 1. Ta tìm đa thúc n®i suy P˜n (x) ó dang
P˜n (x) = a0 +a1 (x−xn )+a2 (x−xn )(x−xn−1 )+. . .+an (x−xn ) . . .
(x−x1 ).
Ta có P˜n (x)(xi ) = f (xi ) = yi vói i = 0, . . . , n. Thay x
lan lưot bang
x0, x1, . . . , xn ta thu đưoc
a0 = y n , a1
=

∆yn−1

V¾y ta
có

i
, . . . , a ∆ yn−i .
i!hi
=
i

h
2

∆ yn−2
(x x )
(x − xn)(x − xn−1) + . . .
+
1!h n −
2!h2
∆ y0
(x − xn) . . . (x − x1).
...+
n!
x − xn
hn
ta thu đưoc
Dùng phép bien đoi x = xn + th, t
h
=

P˜n (x) =
yn +

∆yn−1

∆yn−1

∆
yn−2

∆ ny 0