ề phạm vi áp dụng của công thức nội suy newton mốc cách đều

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS. Nguyễn Văn Khải. Sự giúp đỡ và
hướng dẫn tận tình song rất nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình
thực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong
cách tiếp cận một vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính
trọng sâu sắc nhất đối với thầy.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường
và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ,
tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập.
Tác giả xin chân thành cảm ơn người thân, gia đình, bạn bè đã
giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa
học Thạc sĩ và hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, ngày 05 tháng 11 năm 2013
Tác giả
Đặng Thị Hương
LỜI CAM ĐOAN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Khải.
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa
những thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự
trân trọng và biết ơn. Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn
trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, ngày 05 tháng 11 năm 2013
Tác giả
Đặng Thị Hương
Mục lục
Mở đầu 1
1 Một số vấn đề về đa thức nội suy 5

1.1. Bài toán nội suy cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Một số công thức biểu diễn . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1. Công thức nội suy Lagrange . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2. Công thức nội suy Newton . . . . . . . . . . . . . 8
2 Phân tích công thức nội suy Newton mốc cách đều 14
2.1. Phân tích định tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2. Phân tích qua các bài toán cụ thể . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.1. Các bài toán lượng giác, lượng giác ngược . . . . 15
2.2.2. Các bài toán mũ, logarit . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.3. Các bài toán căn thức, phân thức hữu tỉ . . . . . 63
2.2.4. Các bài toán dạng chuỗi hàm . . . . . . . . . . . 75
2.2.5. Các bài toán siêu bội . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Kết luận 153
Tài liệu tham khảo 156
iii
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong cuốn sách "Các cơ sở toán học tính toán" (tiếng Nga) của
B.P. Demidovich và I.A. Maron, Matxcova 1963 tại trang 510 có viết:
"Nếu cần tính gần đúng f(x) tại x gần x
0
ta dùng công thức nội suy
Newton tiến, nếu cần tính gần đúng f(x) tại x gần x
n
ta dùng công thức
nội suy Newton lùi sẽ có lợi". Từ ảnh hưởng của cuốn sách này mà rất
nhiều giáo trình về Giải tích số ở Việt Nam cũng có nhận xét tương tự:
Phương pháp tính, Lê Đình Thịnh, Nhà xuất bản khoa học và kỹ
thuật, 1995 tại trang 103 "Các công thức nội suy Newton tiến dùng để
tính các giá trị ở đầu bảng, các công thức nội suy Newton lùi dùng để

tính các giá trị ở cuối bảng".
Giải tích số, Phạm Kỳ Anh, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà
Nội, 2005 tại trang 49 "Nếu cần tính f(x) tại x  x
0
(x  x
n
) ta nên
dùng công thức nội suy Newton tiến (lùi) thì độ chính xác cao hơn."
Giải tích số, Nguyễn Minh Chương - Nguyễn Văn Khải - Khuất Văn
Ninh - Nguyễn Văn Tuấn - Nguyễn Tường, Nhà xuất bản giáo dục, 2009
tại trang 54 "Nếu cần tính f (x) tại x gần x
0
thì nên dùng đa thức nội
suy Newton ở đầu bảng, ý nghĩa tương tự cho đa thức nội suy Newton
ở cuối bảng và giữa bảng."
Phương pháp số, Tôn Tích Ái, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà
Nội, 2001 tại trang 104 "Công thức nội suy Newton tiến được sử dụng để
nội suy và ngoại suy các điểm x nằm gần điểm x
0
đầu tiên của bảng.",
tại trang 105 "Công thức nội suy Newton lùi được sử dụng để nội suy
và ngoại suy các điểm gần với điểm cuối của bảng x
n
."
Toán học tính toán, Doãn Tam Hòe, Nhà xuất bản giáo dục, 2005
tại trang 79 "Với các bảng số liệu quá dài, người ta dùng công thức
2
Newton tiến để nội suy ở đầu bảng, công thức lùi để nội suy ở cuối
bảng".
Giải tích số, Trần Anh Bảo - Nguyễn Văn Khải - Phạm Văn Kiều -

Ngô Xuân Sơn, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, 2003 tại trang 33 "Nếu
cần tính f(x) tại x gần x
0
thì nên dùng công thức nội suy Newton tiến;
ngược lại, nếu cần tính f(x) tại x gần x
n
thì nên dùng công thức nội
suy Newton lùi."
Giải tích số, Phạm Phú Triêm - Nguyễn Bường, Nhà xuất bản Đại
học Quốc gia Hà Nội, 2000 tại trang 110 "Công thức nội suy Gregory -
Newton tiến thường hay được dùng để tìm giá trị của hàm f(x) tại vùng
đầu của bảng. Tuy nhiên, nó cũng có thể dùng được để nội suy ở cuối
bảng, nhưng rất bất tiện", tại trang 114 "Công thức nội suy Gregory -
Newton lùi thường hay được dùng để tìm giá trị của hàm f(x) tại vùng
cuối của bảng."
. . .
Tuy nhiên, có một số giáo trình khác về Giải tích số không đưa ra
nhận xét trên:
Phương pháp tính, Tạ Văn Đĩnh, Nhà xuất bản Giáo dục, 2007.
Phương pháp tính, Dương Thủy Vỹ, Nhà xuất bản khoa học kỹ
thuật, 1999.
Nhằm làm sáng tỏ vấn đề này trong các phân tích định tính cũng
như các phân tích định lượng qua các bài toán cụ thể tôi chọn đề tài cho
luận văn thạc sĩ của mình:
“Về phạm vi áp dụng của công thức nội suy Newton mốc cách
đều”.
3
2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn làm sáng tỏ vấn đề tại sao khi x gần x
0

thì tính gần
đúng f(x) sử dụng công thức nội suy Newton tiến lại tốt hơn so với sử
dụng công thức nội suy Newton lùi; tương tự khi x gần x
n
thì tính gần
đúng f (x) sử dụng công thức nội suy Newton lùi lại tốt hơn so với sử
dụng công thức nội suy Newton tiến.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu phương pháp nội suy Newton một cách chi tiết về lý
thuyết và phân tích công thức nội suy Newton tiến, công thức nội suy
Newton lùi trên những bài toán cụ thể nhằm làm sáng tỏ vấn đề trên.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng: Nghiên cứu về đa thức nội suy Newton mốc cách đều
và ứng dụng.
Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, giáo trình liên quan đến công
thức nội suy Newton. Trình bày cụ thể các bài toán nhằm làm sáng tỏ
mục đích nghiên cứu.
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết: Thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng
hợp để được một nghiên cứu tổng quan về công thức nội suy Newton
mốc cách đều.
Nghiên cứu ứng dụng: Vận dụng công thức nội suy Newton mốc
cách đều vào giải bài toán.
4
6. Dự kiến đóng góp mới
Đề tài nghiên cứu làm sáng tỏ vấn đề nêu trên và làm rõ tại sao
dẫn đến kết quả đó. Luận văn là tài liệu phục vụ cho các bạn sinh viên
học tập và nghiên cứu.
Chương 1
Một số vấn đề về đa thức nội suy

1.1. Bài toán nội suy cổ điển
Trong thực tế, thường gặp những hàm số y = f(x) không biết biểu
thức giải tích cụ thể của chúng; chẳng hạn bằng đo đạc, thực nghiệm
ta chỉ thu được ở dạng một bảng số, nghĩa là biết giá trị y
i
tại điểm x
i
tương ứng (i = 0, 1, . . . , n). Cũng có trường hợp biết quy luật biến đổi
y = f(x) nhưng f(x) có dạng quá phức tạp thì giá trị y = f (x) cũng khó
tính toán được. Trong các trường hợp như vậy người ta tìm cách thay
hàm f(x) bởi hàm P (x) đơn giản, thường P (x) được chọn là đa thức.
Định nghĩa 1.1.1. Hệ n + 1 điểm phân biệt {x
i
} với x
i
∈ [a, b] , i =
0, . . . , n được gọi là n + 1 mốc nội suy.
Sau đây ta kí hiệu P
n
= (1, x, . . . , x
n
) là không gian vecto trên R
sinh bởi hệ các đơn thức 1, x, . . . , x
n
.
Định lý 1.1.1. Cho n + 1 mốc nội suy x
i
và n + 1 giá trị ω
0
, ω

1
, . . . , ω
n
.
Khi đó, tồn tại duy nhất P
n
(x) ∈ P
n
sao cho
P
n
(x
i
) = ω
i
, i = 0, . . . , n (1.1)
Chứng minh. Đa thức P
n
(x) ∈ P
n
có dạng a
0
+a
1
x +. . . + a
n
x
n
với n +1
hệ số a

i
.
5
6
Điều kiện (1.1) tương đương với n + 1 phương trình tuyến tính và
n + 1 ẩn a
i
:
a
0
+ a
1
x
i
+ . . . + a
n
x
i
n
= ω
i
(i = 0, . . . , n) (1.2)
Định thức của hệ là định thức Vandermonde tại x
0
, x
1
, . . . , x
n
:
V (x

0
, x
1
, . . . , x
n
, ) =











1 x
0
x
2
0
··· x
n
0
1 x
1
x
2
1

··· x
n
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1 x
n
x
2
n
··· x
n
n












Để tính V , ta xét hàm dạng định thức
V (x) = V (x
0
, x
1
, . . . , x
n−1
, x) =











1 x
0
x
2
0
··· x
n

0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1 x
n−1
x
2
n−1
··· x
n
n−1
1 x x
2
··· x
n












(1.3)
rõ ràng V (x) ∈ P
n
, đồng thời V (x) triệt tiêu tại x
0
, x
1
, . . . , x
n−1
hay nói
cách khác V (x) có n nghiệm là x
0
, x
1
, . . . , x
n−1
. Do đó
V (x
0
, x
1
, . . . , x
n−1
, x) = A(x − x

0
)(x −x
1
) . . . (x −x
n−1
)
ở đó A là đại lượng chỉ phụ thuộc vào x
0
, x
1
, . . . , x
n−1
.
Để tính A ta khai triển (1.3) theo dòng cuối và ta có hệ số của x
n
là V (x
0
, x
1
, . . . , x
n−1
), vì vậy A = V (x
0
, x
1
, . . . , x
n−1
).
Từ đó ta có
V (x

0
, x
1
, . . . , x
n−1
, x) = V (x
0
, x
1
, . . . , x
n−1
)(x −x
0
) . . . (x −x
n−1
). (1.4)
Đặc biệt
V (x
0
, x
1
, . . . , x
n−1
, x
n
) = V (x
0
, x
1
, . . . , x

n−1
)(x
n
−x
0
)(x
n
−x
1
) . . . (x
n
−x
n−1
)
(1.5)
7
Từ V (x
0
, x
1
) = x
1
− x
0
và (1.5) ta có
V (x
0
, x
1
, x

2
) = (x
1
− x
0
)(x
2
− x
0
)(x
2
− x
1
)
Vậy
V (x
0
, x
1
, . . . , x
n
) =
n

i>j
(x
i
− x
j
). (1.6)

Vì các điểm x
0
, x
1
, . . . , x
n
phân biệt nên V = 0, định lí được chứng
minh.
Định nghĩa 1.1.2. Đa thức nội suy P
n
(x) tồn tại duy nhất theo định lí
1.1.1 được gọi là đa thức nội suy.
Bài toán nêu trong định lí 1.1.1 được gọi là bài toán nội suy cổ điển.
1.2. Một số công thức biểu diễn
Định lí 1.1.1 mục 1.1 đã chứng minh đa thức nội suy tồn tại và
duy nhất. Tuy nhiên, để tìm đa thức nội suy từ hệ phương trình (1.2)
theo phương pháp Cramer nêu trong định lí là khá cồng kềnh, phức tạp.
Trong mục này, ta tìm cách tính nhanh đa thức nội suy mà không cần
giải hệ (1.2).
1.2.1. Công thức nội suy Lagrange
Đặt Φ
j
(x) =
n

i=j
(x −x
i
)
n


i=j
(x
j
− x
i
)
j = 0, . . . , n.
Khi đó Φ
j
(x) là một đa thức của ẩn x và deg Φ
j
(x) = n với mọi
j = 0, . . . , n, hơn nữa,
Φ
j
(x
i
) =

1 i = j
0 i = j
8
với j = 0, . . . , n.
Đặt
L
n
(x) =
n


j=0
y
j
Φ
j
(x) (1.7)
thì deg L
n
(x) ≤ n và L
n
(x
i
) = y
i
với i = 0, . . . , n.
Đa thức L
n
(x) ở (1.7) thỏa mãn bài toán nêu trong định lí 1.1.1, nó
được gọi là đa thức nội suy Lagrange. Đa thức nội suy Lagrange được
cho ở dạng công thức nên cũng gọi là công thức nội suy Lagrange.
Đặt ω
n+1
(x) =
n

i=0
(x −x
i
) thì ω


n+1
(x
j
) =
n

i=j
(x
j
− x
i
) j = 0, . . . , n.
Thay ω
n+1
(x) và ω

n+1
(x
j
) vào biểu thức của L
n
(x) ta có
L
n
(x) =
n

j=0
y
j

ω
n+1
(x)
(x −x
j
)ω

n+1
(x
j
)
. (1.8)
Ta cũng nói đa thức L
n
(x) cho bởi (1.8) là đa thức nội suy Lagrange.
Nhận xét 1.1. Đa thức nội suy Lagrange có ưu điểm là đơn giản, dễ
tính nhưng nhược điểm là nếu thêm mốc nội suy thì lại phải tính lại từ
đầu, không sử dụng được kết quả tính toán cũ.
1.2.2. Công thức nội suy Newton
1.2.2.1. Khái niệm tỷ sai phân và một số tính chất
Định nghĩa 1.2.1. Cho hàm số y = f(x) xác định trên đoạn [a; b] và
n + 1 mốc nội suy {x
i
}, i = 0, 1, . . . , n. Khi đó:
Tỷ số
y
i+1
− y
i
x

i+1
− x
i
được gọi là tỷ sai phân cấp 1 của hàm số y = f (x)
tại x
i
và kí hiệu là f (x
i
; x
i+1
).
Tỷ số
f(x
i+1
; x
i+2
) −f (x
i
; x
i+1
)
x
i+2
− x
i
được gọi là tỷ sai phân cấp 2 của
hàm số y = f(x) tại x
i
và kí hiệu là f (x
i

; x
i+1
; x
i+2
).
Tỷ số
f(x
i+1
; . . . ; x
i+k
) −f (x
i
; . . . ; x
i+k−1
)
x
i+k
− x
i
được gọi là tỷ sai phân
cấp k của hàm số y = f(x) tại x
i
và kí hiệu là f (x
i
; x
i+1
; . . . ; x
i+k
).
9

Tính chất 1.
f(x
0
; . . . ; x
k
) =
k

i=0
f(x
i
)
ω

(x
i
)
(1.9)
trong đó ω(x) =
k

j=0
(x −x
j
).
Chứng minh. Với k = 1, ta có f (x
0
, x
1
) =

f(x
0
)
x
0
− x
1
+
f(x
1
)
x
1
− x
0
.
Giả sử ta chứng minh được với k ≤ n. Khi đó
f(x
0
; x
1
; . . . ; x
n+1
) =
f(x
1
; . . . ; x
n+1
) −f (x
0

; . . . ; x
n
)
x
n+1
− x
0
=
1
x
n+1
− x
0

n+1

i=1
f(x
i
)
ω

1
(x
i
)
−
n

i=1

f(x
i
)
ω

0
(x
i
)

với ω
1
(x) =
ω(x)
x −x
0
; ω
0
(x) =
ω(x)
x −x
n+1
và ω(x) = (x − x
0
) . . . (x − x
n+1
).
Như vậy
f(x
0

; x
1
; . . . ; x
n+1
) =
f(x
0
)
ω

0
(x
0
)(x
0
− x
n+1
)
+
f(x
n+1
)
ω

1
(x
n+1
)(x
n+1
− x

0
)
+
n

i=1
f(x
i
)
x
n+1
− x
0

1
ω

1
(x
i
)
−
1
ω

0
(x
i
)


.
Ta có
ω

1
(x
i
) =
ω

(x
i
)
x
i
− x
0
; ω

0
(x
i
) =
ω

(x
i
)
x
i

− x
n+1
.
Suy ra
1
ω

1
(x
i
)
−
1
ω

0
(x
i
)
=
x
n+1
− x
0
ω

(x
i
)
.

Vậy
f(x
0
; x
1
; . . . ; x
n+1
) =
n+1

i=0
f(x
i
)
ω

(x
i
)
.
Điều phải chứng minh.
Tính chất 2. Tỷ sai phân là hàm đối xứng với các x
i
,
f(x
0
; x
1
; . . . ; x
n

) = f (x
1
; x
0
; . . . ; x
n
) = . . . =
n

i=0
f(x
i
)
ω

(x
i
)
.
10
Tính chất 3. Tỷ sai phân cấp m +1 của đa thức bậc m đồng nhất bằng
0.
Chứng minh. Giả sử P (x) là đa thức bậc m. Ta phải chứng minh
P (x; x
0
; x
1
; . . . ; x
m
) ≡ 0 ∀x ∈ [a; b] ở đó (m + 2) số x, x

0
, x
1
, . . . , x
m
là
đôi một khác nhau.
Ta có P (x; x
0
) =
P (x) −P(x
0
)
x −x
0
là đa thức bậc m −1 vì
P (x) −P(x
0
)
x −x
0
=
m

i=1
P
(i)
(x
i
)

i!
(x −x
0
)
i−1
.
Tương tự P(x; x
0
; x
1
) =
P (x; x
0
) −P (x
0
; x
1
)
x −x
1
là đa thức bậc m −2.
Bằng phương pháp quy nạp ta có P (x; x
0
; x
1
; . . . ; x
k
) là đa thức bậc
m −(k + 1).
Vậy P (x; x

0
; x
1
; . . . ; x
m−1
) là đa thức bậc 0. Từ đó ta có điều phải
chứng minh.
1.2.2.2. Công thức nội suy Newton với mốc bất kì
Gọi L
n
(x) là đa thức nội suy Lagrange của hàm số thực y = f(x)
xác định trên đoạn [a; b] và kí hiệu L
n
(x; x
0
), L
n
(x; x
0
; x
1
), . . . là các tỷ
sai phân của L
n
(x) tại x.
Khi đó ta có
L
n
(x; x
0

) =
L
n
(x) −L
n
(x
0
)
x −x
0
.
Vậy nên
L
n
(x) = L
n
(x
0
) + L
n
(x; x
0
)(x −x
0
).
Lại có
L
n
(x; x
0

; x
1
) =
L
n
(x; x
0
) −L
n
(x
0
; x
1
)
x −x
1
.
Từ đó rút ra:
11
L
n
(x; x
0
) = L
n
(x
0
; x
1
) + L

n
(x; x
0
; x
1
)(x −x
1
).
Tương tự ta có
L
n
(x; x
0
; . . . ; x
i
) =
L
n
(x; x
0
; . . . ; x
i−1
) −L
n
(x
0
; . . . ; x
i
)
x −x

i
.
Từ đó rút ra
L
n
(x) = L
n
(x
0
) + L
n
(x
0
; x
1
)(x − x
0
) + L
n
(x
0
; x
1
; x
2
)(x − x
0
)(x − x
1
) +

. . . + L
n
(x
0
; x
1
; . . . ; x
n
)(x −x
0
)(x −x
1
) . . . (x −x
n−1
).
Mặt khác L
n
(x
i
) = y
i
= f(x
i
), L
n
(x
0
; x
1
; . . . ; x

k
) = f (x
0
; x
1
; . . . ; x
k
)
(∀k = 1, . . . , n).
Vậy ta có
P
n
(x) = f (x
0
) + f (x
0
; x
1
)(x −x
1
) + f (x
0
; x
1
; x
2
)(x −x
0
)(x −x
1

) + . . .
. . . + f (x
0
; x
1
; . . . ; x
n
)(x −x
0
) . . . (x −x
n−1
) (1.10)
Công thức (1.10) được gọi là công thức nội suy Newton với mốc bất
kì.
Nhận xét 1.2. Nếu thêm một vài mốc nội suy thì để tìm công thức nội
suy Newton ta chỉ phải tính thêm một vài số hạng cuối, không phải tính
lại từ đầu, đây là ưu điểm của công thức nội suy Newton so với công
thức nội suy Lagrange.
1.2.2.3. Khái niệm về sai phân và một số tính chất
Giả sử f : R → R là một hàm số cho trước, h là hằng số khác 0. Ta
gọi
∆
0
f(x) = f (x) là sai phân cấp 0 của f (x) tại x.
∆f(x) = f (x + h) − f(x) là sai phân cấp 1 của f(x) tại x.
∆
n
f(x) = ∆

∆

n−1
f(x)

, n ≥ 1 là sai phân cấp n của f (x) tại x.
Tính chất 4. ∆ là toán tử tuyến tính, nghĩa là ∀α, β ∈, ∀f, g thì
∆(αf + βg) = α∆f + β∆g.
12
Tính chất 5.
i, ∆(c) = 0 với mọi hằng số c.
ii, ∆(x
n
) là đa thức bậc n −1.
iii, ∆
m
(x
n
) = 0 với m > n.
iv, ∆
n
(x
n
) = c.
Tính chất 6. f (x + nh) =
n

i=0
C
i
n
∆

i
f(x).
Chứng minh. Ta có f (x + nh) = f(x) + ∆f(x) = (1 + ∆)f(x) với 1 là
toán tử đơn vị.
f(x + 2h) = f ((x + h) + h) = (1 + ∆)f(x + h).
Từ đó ta có f(x + 2h) = (1 + ∆)
2
f(x).
Theo quy nạp toán học ta có f(x + nh) = (1 + ∆)
n
f(x).
Khai triển Newton của (1 + ∆)
n
có f(x + nh) =
n

i=0
C
i
n
∆
i
f(x).
Tính chất 7. ∆
n
f(x) =
n

i=0
(−1)

i
C
i
n
f[x + (n −i)h] .
Chứng minh. Ta có ∆
n
f(x) = [(1 + ∆) −1]
n
f(x)
=
n

i=0
(−1)
i
C
i
n
(1 + ∆)
n−i
f(x)
=
n

i=0
(−1)
i
C
i

n
f[x + (n −i)h]
Công thức nội suy Newton tiến
Giả sử rằng mốc nội suy x
0
< x
1
< . . . < x
n
, x
i+1
− x
i
= h
∀i = 0, . . . , n − 1. Ta tìm đa thức nội suy P
n
(x) ở dạng
P
n
(x) = a
0
+a
1
(x−x
0
)+a
2
(x−x
0
)(x−x

1
)+. . .+a
n
(x−x
0
) . . . (x−x
n−1
).
Ta có P
n
(x
i
) = f(x
i
) = y
i
với i = 0, . . . , n. Thay x lần lượt bằng
x
0
, x
1
, . . . , x
n
ta thu được
a
0
= y
0
, a
1

=
∆y
0
h
, . . . , a
i
=
∆
i
y
0
i!h
i
.
13
Vậy ta có
P
n
(x) = y
0
+
∆y
0
1!h
(x −x
0
) +
∆
2
y

0
2!h
2
(x −x
0
)(x −x
1
) + . . .
. . . +
∆
n
y
0
n!h
n
(x −x
0
) . . . (x −x
n−1
).
Dùng phép biến đổi x = x
0
+ th, x
j
= x
0
+ jh, j = 0, . . . , n −1 ta
thu được
P
n

(x
0
+th) = y
0
+
∆y
0
1!
t +
∆
2
y
0
2!
t(t −1)+. . . +
∆
n
y
0
n!
t(t −1) . . . (t −n +1).
(1.11)
Công thức (1.11) là công thức nội suy Newton tiến hoặc đa thức
nội suy Newton ở đầu bảng.
Công thức nội suy Newton lùi
Giả sử rằng mốc nội suy x
n
> x
n−1
> . . . > x

0
, x
i+1
− x
i
= h
∀i = 0, . . . , n − 1. Ta tìm đa thức nội suy

P
n
(x) ở dạng

P
n
(x) = a
0
+a
1
(x−x
n
)+a
2
(x−x
n
)(x−x
n−1
)+. . .+a
n
(x−x
n

) . . . (x−x
1
).
Ta có

P
n
(x)(x
i
) = f (x
i
) = y
i
với i = 0, . . . , n. Thay x lần lượt bằng
x
0
, x
1
, . . . , x
n
ta thu được
a
0
= y
n
, a
1
=
∆y
n−1

h
, . . . , a
i
=
∆
i
y
n−i
i!h
i
.
Vậy ta có

P
n
(x) = y
n
+
∆y
n−1
1!h
(x −x
n
) +
∆
2
y
n−2
2!h
2

(x −x
n
)(x −x
n−1
) + . . .
. . . +
∆
n
y
0
n!h
n
(x −x
n
) . . . (x −x
1
).
Dùng phép biến đổi x = x
n
+ th, t =
x −x
n
h
ta thu được

P
n
(x
n
+th) = y

n
+
∆y
n−1
1!
t+
∆
2
y
n−2
2!
t(t+1)+. . .+
∆
n
y
0
n!
t(t+1) . . . (t+n+−1).
(1.12)
Công thức (1.12) là công thức nội suy Newton lùi hoặc đa thức nội
suy Newton ở cuối bảng.
Nhận xét 1.3. Công thức nội suy Newton tiến, công thức nội suy New-
ton lùi cũng chỉ là cách viết khác của công thức nội suy Lagrange.
Chương 2
Phân tích công thức nội suy
Newton mốc cách đều
Trong chương này, tác giả tiến hành phân tích định tính và phân
tích định lượng công thức nội suy Newton tiến, công thức nội suy Newton
lùi trên các bài toán cụ thể thông qua đánh giá số phép toán cần thực
hiện và sai số mắc phải nhằm làm sáng tỏ vấn đề luận văn đưa ra, đó

là: "Nếu cần tính gần đúng f(x) tại x gần x
0
ta nên dùng công thức nội
suy Newton tiến, nếu cần tính gần đúng f(x) tại x gần x
n
ta nên dùng
công thức nội suy Newton lùi thì độ chính xác cao hơn."
2.1. Phân tích định tính
Xét lại công thức nội suy Newton tiến
P
n
(x
0
+th) = y
0
+
∆y
0
1!
t +
∆
2
y
0
2!
t(t −1)+. . . +
∆
n
y
0

n!
t(t −1) . . . (t −n +1),
công thức nội suy Newton lùi

P
n
(x
n
+th) = y
n
+
∆y
n−1
1!
t+
∆
2
y
n−2
2!
t(t+1)+. . .+
∆
n
y
0
n!
t(t+1) . . . (t+n−1).
Công thức nội suy Newton tiến và công thức nội suy Newton lùi
đều là các đa thức có bậc cao nhất bằng n.
14

15
Ta quy ước số phép toán thực tế cần tính toán bằng tổng số phép
toán nhân và chia của biến t trong biểu thức, chẳng hạn trong biểu thức
∆
n
y
0
n!
t(t − 1) . . . (t − n + 1) ta bỏ qua phép tính nhân chia với các hằng
số ∆
n
y
0
, n! và trong biểu thức t(t −1) . . . (t −n + 1) có (n −1) phép toán
nhân.
Khi tính gần đúng giá trị f(x) sử dụng công thức nội suy Newton
tiến và công thức nội suy Newton lùi ta thấy hai công thức trên có số
phép toán thực hiện với hằng số là bằng nhau và số phép toán nhân chia
cần thực hiện với biến t đều là
n(n −1)
2
.
Kết luận. Về mặt định tính số phép toán cần thực hiện khi sử dụng
công thức nội suy Newton tiến và công thức nội suy Newton lùi để tính
gần đúng giá trị f(x) khi x gần x
0
hoặc x gần x
n
là bằng nhau.
Như vậy, nhận xét "Nếu cần tính gần đúng f (x) tại x gần x

0
ta
nên dùng công thức nội suy Newton tiến, nếu cần tính gần đúng f(x)
tại x gần x
n
ta nên dùng công thức nội suy Newton lùi thì độ chính xác
cao hơn." về lý thuyết là chưa thuyết phục.
2.2. Phân tích qua các bài toán cụ thể
Trong mục này, tác giả sử dụng phần mềm Maple 16 để tính gần
đúng giá trị của f(x) bằng công thức nội suy Newton tiến và công thức
nội suy Newton lùi. Từ đó đánh giá sai số của công thức trong từng
trường hợp cụ thể. Trong các bài toán sau, các kết quả được làm tròn
đến 15 chữ số sau dấu chấm thập phân.
2.2.1. Các bài toán lượng giác, lượng giác ngược
Bài toán 2.1. Cho f(x) = sin(πx) trên [0; 1] với 15 mốc nội suy cách
đều x
i
= 0 + ih, h =
1
15
, i = 0, . . . , 15.
16
1) Tính gần đúng f

1
100

, f

99

100

trực tiếp từ biểu thức f (x) =
sin(πx).
2) Xây dựng đa thức nội suy Newton tiến P (x) với 15 mốc nội suy cách
đều ở trên.
3) Xây dựng đa thức nội suy Newton lùi

P (x) với 15 mốc nội suy cách
đều ở trên.
4) Tính gần đúng f

1
100

bằng cách áp dụng:
a) Công thức nội suy Newton tiến P (x) và chỉ ra sai số ∆P .
b) Công thức nội suy Newton lùi

P (x) và chỉ ra sai số ∆

P .
5) Tính gần đúng f

99
100

bằng cách áp dụng:
a) Công thức nội suy Newton tiến P (x) và chỉ ra sai số ∆P .
b) Công thức nội suy Newton lùi


P (x) và chỉ ra sai số ∆

P .
Lời giải.
1) Ta có f

1
100

≈ 0.031410759078128
f

99
100

≈ 0.031410759078128.
2) Lập đa thức nội suy Newton tiến P (x) của hàm số f(x) = sin(πx)
với 15 mốc nội suy cách đều trên [0; 1]:
P (x) = P

t
15

= −3.474640026 ×10
−21
t
14
+ 3.648372031 × 10
−19

t
13
−2.921120157 ×10
−18
t
12
− 8.042480059 × 10
−16
t
11
−5.72660740 ×10
−16
t
10
+ 2.141909957 × 10
−12
t
9
−3.41862489 ×10
−14
t
8
− 3.507183876 × 10
−9
t
7
−6.36185 ×10
−13
t
6

+ 0.000003358242421t
5
−3.19587 ×10
−12
t
4
− 0.001531174155t
3
−1.5625 ×10
−12
t
2
+ 0.2094395102t.
3) Lập đa thức nội suy Newton lùi

P (x) của hàm số f (x) = sin(πx) với
15 mốc nội suy cách đều trên [0; 1]:
17

P (x) =

P

1 +
t
15

= −3.474640026 ×10
−21
t

14
−3.648372028 ×10
−19
t
13
− 2.921120118 × 10
−18
t
12
+8.042480076 ×10
−16
t
11
− 5.72660699 × 10
−16
t
10
−2.141909957 ×10
−12
t
9
− 3.41862364 × 10
−14
t
8
+3.507183876 ×10
−9
t
7
− 6.36185 × 10

−13
t
6
−0.000003358242421t
5
− 3.19587 × 10
−12
t
4
+0.001531174155t
3
− 1.5625 × 10
−12
t
2
− 0.2094395102t.
4) Tính gần đúng f

1
100

bằng cách áp dụng:
a) P

1
100

= 0.031410759072201.
Sai số mắc phải ∆P = 10
−12

× 5.927.
b)

P

1
100

= 0.031410753331442.
Sai số mắc phải ∆

P = 10
−9
× 5.746686.
5) Tính gần đúng f

99
100

bằng cách áp dụng:
a) P

99
100

= 0.031410753289691.
Sai số mắc phải ∆P = 10
−9
× 5.788437.
b)


P

99
100

= 0.031410759072201.
Sai số mắc phải ∆

P = 10
−12
× 5.927.
Nhận xét 2.1. Sử dụng công thức nội suy Newton tiến, công thức nội
suy Newton lùi để tính gần đúng f(x) = sin(πx) với 15 mốc nội suy cách
đều trên [0; 1] ta thấy:
- Với x =
1
100
gần x
0
thì công thức nội suy Newton tiến cho ta kết
quả có độ chính xác cao hơn công thức nội suy Newton lùi.
- Với x =
99
100
gần x
15
thì công thức nội suy Newton lùi cho ta kết
quả có độ chính xác cao hơn công thức nội suy Newton tiến.
Như vậy, trong bài toán này để tính gần đúng f(x) khi x gần x

0
sử
dụng công thức nội suy Newton tiến tốt hơn công thức nội suy Newton
18
lùi, tương tự để tính gần đúng f(x) khi x gần x
15
sử dụng công thức nội
suy Newton lùi tốt hơn công thức nội suy Newton tiến.
Bài toán 2.2. Cho f (x) = cos(πx) trên [0; 1] với 15 mốc nội suy cách
đều x
i
= 0 + ih, h =
1
15
, i = 0, . . . , 15.
1) Tính gần đúng f

1
100

, f

99
100

trực tiếp từ biểu thức f (x) =
cos(πx).
2) Xây dựng đa thức nội suy Newton tiến P (x) với 15 mốc nội suy cách
đều ở trên.
3) Xây dựng đa thức nội suy Newton lùi


P (x) với 15 mốc nội suy cách
đều ở trên.
4) Tính gần đúng f

1
100

bằng cách áp dụng:
a) Công thức nội suy Newton tiến P (x) và chỉ ra sai số ∆P .
b) Công thức nội suy Newton lùi

P (x) và chỉ ra sai số ∆

P .
5) Tính gần đúng f

99
100

bằng cách áp dụng:
a) Công thức nội suy Newton tiến P (x) và chỉ ra sai số ∆P .
b) Công thức nội suy Newton lùi

P (x) và chỉ ra sai số ∆

P .
Lời giải.
1) Ta có
f


1
100

≈ 0.999506560365732
f

99
100

≈ −0.999506560365732.
2) Lập đa thức nội suy Newton tiến P (x) của hàm số f(x) = cos(πx)
với 15 mốc nội suy cách đều trên [0; 1]:
19
P (x) = P

t
15

= 4.869354448 ×10
−23
t
15
−5.478024786 ×10
−21
t
14
+ 4.80880813 × 10
−20
t

13
+1.400517347 ×10
−17
t
12
+ 1.15564540 × 10
−17
t
11
−4.486962438 ×10
−14
t
10
+ 8.97847882 × 10
−16
t
9
+9.181704978 ×10
−11
t
8
+ 2.37842 × 10
−14
t
7
−1.172247952 ×10
−7
t
6
+ 1.983241 × 10

−13
t
5
+0.00008017209102t
4
+ 5.5547 × 10
−13
t
3
−0.02193245425t
2
+ 3.621704000 × 10
−12
t + 1.
3) Lập đa thức nội suy Newton lùi

P (x) của hàm số f(x) = cos(πx) với
15 mốc nội suy cách đều trên [0; 1]:

P (x) =

P

1 +
t
15

= 4.869354448 ×10
−23
t

15
+5.478024786 ×10
−21
t
14
+ 4.80880809 × 10
−20
t
13
−1.400517350 ×10
−17
t
12
+ 1.15564538 × 10
−17
t
11
+4.486962439 ×10
−14
t
10
+ 8.97847882 × 10
−16
t
9
−9.181704978 ×10
−11
t
8
+ 2.37842 × 10

−14
t
7
+1.172247952 ×10
−7
t
6
+ 1.983238 × 10
−13
t
5
−0.00008017209102t
4
+ 5.5547 × 10
−13
t
3
+0.02193245425t
2
+ 9.376685 × 10
−12
t −1.
4) Tính gần đúng f

1
100

bằng cách áp dụng:
a) P


1
100

= 0.999506560365706.
Sai số mắc phải ∆P = 10
−14
× 2.6.
b)

P

1
100

= 0.999506566761575.
Sai số mắc phải ∆

P = 10
−9
× 6.395843.
5) Tính gần đúng f

99
100

bằng cách áp dụng:
a) P

99
100


= −0.999506566842824.
20
Sai số mắc phải ∆P = 10
−9
× 6.477092.
b)

P

99
100

= −0.999506560366569.
Sai số mắc phải ∆

P = 10
−13
× 8.37.
Nhận xét 2.2. Sử dụng công thức nội suy Newton tiến, công thức nội
suy Newton lùi để tính gần đúng f(x) = cos(πx) với 15 mốc nội suy
cách đều trên [0; 1] ta thấy:
- Với x =
1
100
gần x
0
thì công thức nội suy Newton tiến cho ta kết
quả có độ chính xác cao hơn công thức nội suy Newton lùi.
- Với x =

99
100
gần x
15
thì công thức nội suy Newton lùi cho ta kết
quả có độ chính xác cao hơn công thức nội suy Newton tiến.
Như vậy, trong bài toán này để tính gần đúng f(x) khi x gần x
0
sử
dụng công thức nội suy Newton tiến tốt hơn công thức nội suy Newton
lùi, tương tự để tính gần đúng f(x) khi x gần x
15
sử dụng công thức nội
suy Newton lùi tốt hơn công thức nội suy Newton tiến.
Bài toán 2.3. Cho f(x) = tan(x) trên [0; 1] với 15 mốc nội suy cách
đều x
i
= 0 + ih, h =
1
15
, i = 0, . . . , 15.
1) Tính gần đúng f

1
1000

, f

999
1000


trực tiếp từ biểu thức f(x) =
tan(x).
2) Xây dựng đa thức nội suy Newton tiến P (x) với 15 mốc nội suy cách
đều ở trên.
3) Xây dựng đa thức nội suy Newton lùi

P (x) với 15 mốc nội suy cách
đều ở trên.
4) Tính gần đúng f

1
1000

bằng cách áp dụng:
a) Công thức nội suy Newton tiến P (x) và chỉ ra sai số ∆P .
b) Công thức nội suy Newton lùi

P (x) và chỉ ra sai số ∆

P .
5) Tính gần đúng f

999
1000

bằng cách áp dụng:
a) Công thức nội suy Newton tiến P (x) và chỉ ra sai số ∆P .
21
b) Công thức nội suy Newton lùi


P (x) và chỉ ra sai số ∆

P .
Lời giải.
1) Ta có
f

1
1000

≈ 0.001000000333333
f

999
1000

≈ 1.553987531329528.
2) Lập đa thức nội suy Newton tiến P (x) của hàm số f (x) = tan(x) với
15 mốc nội suy cách đều trên [0; 1]:
P (x) = P

t
15

= 1.561286677 ×10
−18
t
15
− 1.5056778 × 10

−16
t
14
+6.72570 ×10
−15
t
13
− 1.82522 × 10
−13
t
12
+ 3.34965 × 10
−12
t
11
−4.3747157 ×10
−11
t
10
+ 4.18758541 × 10
−10
t
9
− 2.96065471 × 10
−9
t
8
+1.58512 ×10
−8
t

7
− 5.98637 × 10
−8
t
6
+ 3.41433 × 10
−7
t
5
−3.18260 ×10
−7
t
4
+ 0.00009916195t
3
− 2.8383 × 10
−7
t
2
+0.06666675331581t.
3) Lập đa thức nội suy Newton lùi

P (x) của hàm số f(x) = tan(x) với
15 mốc nội suy cách đều trên [0; 1]:

P (x) =

P

1 +

t
15

= 1.561286677 ×10
−18
t
15
+ 2.0072097 × 10
−16
t
14
+1.199173 ×10
−14
t
13
+ 4.43656 × 10
−13
t
12
+ 1.1448165 × 10
−11
t
11
+2.2067026 ×10
−10
t
10
+ 3.33835509 × 10
−9
t

9
+ 4.139700443 × 10
−8
t
8
+4.397372 ×10
−7
t
7
+ 0.0000041907803t
6
+ 0.000037463668t
5
+0.000324793967t
4
+ 0.00279892817t
3
+ 0.02370997856t
2
+0.2283676829394t + 1.55740772465490.
4) Tính gần đúng f

1
1000

bằng cách áp dụng:
a) P

1
1000


= 0.001000001570902.
Sai số mắc phải ∆P = 10
−9
× 1.237569.
b)

P

1
1000

= 0.000998274752347.
22
Sai số mắc phải ∆

P = 10
−6
× 1.725580986.
5) Tính gần đúng f

999
1000

bằng cách áp dụng:
a) P

999
1000


= 1.553987534809942.
Sai số mắc phải ∆P = 10
−9
× 3.480414.
b)

P

999
1000

= 1.553987534726090.
Sai số mắc phải ∆

P = 10
−9
× 3.396562.
Nhận xét 2.3. Sử dụng công thức nội suy Newton tiến, công thức nội
suy Newton lùi để tính gần đúng f(x) = tan(x) với 15 mốc nội suy cách
đều trên [0; 1] ta thấy:
- Với x =
1
1000
gần x
0
thì công thức nội suy Newton tiến cho ta
kết quả có độ chính xác cao hơn công thức nội suy Newton lùi.
- Với x =
999
1000

gần x
15
thì công thức nội suy Newton tiến và công
thức nội suy Newton lùi cho ta kết quả có độ chính xác tương đương.
Như vậy, trong bài toán này để tính gần đúng f (x) khi x gần
x
0
sử dụng công thức nội suy Newton tiến tốt hơn công thức nội suy
Newton lùi; để tính gần đúng f(x) khi x gần x
15
sử dụng công thức nội
suy Newton lùi hoặc công thức nội suy Newton tiến thì độ chính xác là
tương đương.
Bài toán 2.4. Cho f(x) = cot(x) trên [1; 2] với 15 mốc nội suy cách
đều x
i
= 1 + ih, h =
1
15
, i = 0, . . . , 15.
1) Tính gần đúng f

1001
1000

, f

1999
1000


trực tiếp từ biểu thức f(x) =
cot(x).
2) Xây dựng đa thức nội suy Newton tiến P (x) với 15 mốc nội suy cách
đều ở trên.
3) Xây dựng đa thức nội suy Newton lùi

P (x) với 15 mốc nội suy cách
đều ở trên.