Áp dụng bất đẳng thức tích phân giải các bài toán tích phân nâng cao – phạm minh tuấn

BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN

Bài 1 [ĐỀ MH 2018]. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn
f  1  0 ,

1

1

  f '  x  dx  7 và

2
 x f  x  dx 

2

0

0

A.

7
5

1
. Tính
3

B. 1

1

 f  x  dx
0

C.

7
4

D. 7

Hướng dẫn giải:
1

Xét I   x 2 f  x  dx 
0

1
.
3

du  f '  x 
1
1
1
u  f  x 
x3
1 3
1


3


I

.
f
x

x
f
'
x
dx


x 3 f '  x dx  1
Đặt 





x


2
3
30

3
dv  x dx v 
0
0
3

2

b
b
b

 Chứng minh BĐT tích phân sau:   f  x  g  x  dx    f 2  x dx. g 2  x dx


a
a
a


Với mọi t 

* 

ta có: 0  tf  x   g  x   t 2 f 2  x   2tf  x  g  x   g 2  x 
2

Lấy tích phân 2 vế theo biến x ta được:
b

b

b

a

a

a

h  t   t 2  f 2  x dx  2t  f  x  g  x  dx   g 2  x dx  0
h  t  là tam thức bậc 2 luôn không âm nên ta có điều kiện:
2

2

b
b
b
2
b
 b 2
b


t  0
2
2
2


f
x
g
x
dx

f
x
dx
.
g
x
dx

0

f
x
g
x
dx

f
x
dx
.
           g  x dx

           


a
a
a
 '  0
a
 a
a

Dấu ‚=‛ xảy ra khi tf  x   g  x 

2

1
1
1 3

2
1
6
 Áp dụng: 1    x f '  x dx    x dx.  f '  x   dx  .7  1


7
0
0
 0

Biên soạn: Phạm Minh Tuấn

Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi f '  x   kx 3 .
1

Mặc khác:

 x f '  x dx  1  k  7  f '  x   7 x
3

0

Mà f  1  0 nên C 

3

7
 f  x    7 x 3dx   x 4  C
4

7
 7
7
7
  f  x  dx     x 4   dx 
4
4
4
5
0
0
1

1

NHẬN XÉT: Thật ra BĐT (*) chính là hệ quả BĐT Holder về tích phân
BĐT Holder về tích phân phát biểu như sau:
1

b


a

1

b
p  b
q
p
q
1 1
f  x  g  x  dx    f  x  dx  .   g  x  dx  với p , q  1 thỏa   1

 

p q
a
 a


Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi tồn tại hai số thực m, n không đồng thời bằng 0 sao cho

m f  x  n g  x
p

q

Hệ quả: Với p  q  2 thì BĐT trở thành

  f  x  g  x  dx    f  x  dx. g  x  dx
2

BTAD: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn

2

1

2

 1  x 

2

0

1
f '  x dx   .
3

1

 f  x  dx là:
3 f 0  2
2

Giá trị nhỏ nhất của tích phân
A.

0

f 0  2

B.

3

3

C.

3 f 0  2
3

D.

f 0  2
3

Bài 2. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f  0   0 ,
max f '  x   6 và

0;1

1


0

f  x  dx 

1
. Gọi M là giá trị lớn nhất của tích phân
3

Khẳng định nào sau đây đúng?
 3
 1
A. M   1; 
B. M   0; 
 2
 2

1 
C. M   ;1 
2 

Hướng dẫn giải:

Biên soạn: Phạm Minh Tuấn

1

 f  x  dx .
3

0

3 
D. M   ; 2 
2 


Ta có: f '  x   6, x  0;1  f '  x  f  x   6 f  x  , x  0;1 (1)
Lấy tích phân hai vế BĐT (1) ta được:



f 2 t 
2

f 2  x

x



2

0



f 2 0
2

x

x

0

0

 f '  t  f  t dt  6  f  t dt , x  0;1

x

 6  f  t dt  f

x

2

0

1

Lấy tích phân hai vế BĐT (2) ta được:


0

x

 x   12 f t dt  f  x   12 f  x   f t dt
3

0

(2)

0

1
x


f 3  x dx  12   f  x   f  t dt dx
0 
0

I

x

Đặt u   f  t dt  du  f  x  .x ' dx  f  x  dx
0

1

 f t dt

Suy ra I 

0


0

2

2

1
1


1
1
1 1 1
udu    f  t dt     f  x dx   . 




20
20
2 9 18



1

Vậy

1 2
 f  x dx  12. 18  3
3

0

Nhận xét: Ta có thể chỉ ra 1 hàm số f  x  thỏa mãn dữ kiện đề cho và xảy ra dấu ‘’=‛,
hàm đó là: f  x   28,815042623089894049x3  35,5890622041211331x2  8,6518534912024751x

-

 g x 

Chú ý:   f  t dt  '  f g  x  .g '  x   f h  x  .h '  x 
 h x 












Bài 3. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f  0  
f  1  2 và f '  x   0, x  0;1 . Biết tích phân

64 2
3

B. f  2  

Biên soạn: Phạm Minh Tuấn



2  2 2 x  x 2   f '  x   dx đạt giá
2

0

trị nhỏ nhất, khi đó hãy tính f  2  ?
A. f  2  

1

62 2
3

64 2
,
3

C. f  2  

32 2
2

D.


f 2 

3 2
2

Hướng dẫn giải:
1

Ta có: I  
0

Ta có :



1





2

2x  x

2x  x



2



2

  f '  x   
2

  f '  x  dx 
2

1

1

0

0

  2  x  x  f '  x dx  

Do đó I 



2x  x

   f '  x  dx
2

2

0

0

Mà:

1

2  2 2 x  x   f '  x   dx  
2



2
2  x  x  f '  x 

2 
1

2 

2  x  x  f '  x  dx

2 0 



1

2  x  x dx   f '  x  dx 
0

4 2
8 2
 f 1  f  0  
3
3

8
3

2
Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi : f '  x   2  x  x  f  x    x 3 
3

2
Ta có: f 1  2  C  2  f  x    x 3 
3

2  x

3

2  x

3


C


64 2

  2  f 2 
3


Bài 4. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn
1


x

1  x2
f  t  dt 
, x  0;1 . Gọi m là giá trị nhỏ nhất của tích phân
2

định nào sau đây đúng?
 3
 1

A. m   1; 
B. m   0; 
 2
 2

1 
C. m   ;1 
2 

1

 f  x  dx . Khẳng
2

0

3 
D. m   ; 2 
2 

Hướng dẫn giải:
2

1
1
1
1

1


2
2
2
Theo hệ quả BĐT Holder:   xf  x  dx    x dx. f  x  dx   f  x  dx  3   xf  x  dx 




0
0
0
0

0

1

Giờ ta chỉ việc tìm min của tích phân

 xf  x  dx là giải quyết được bài toán
0

Biên soạn: Phạm Minh Tuấn

2


Gọi F(x) là một nguyên hàm của f  x  , khi đó ta có:

1

  xF  x  ' dx  x F  x 
0

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

1
0

 F  1

Mà   xF  x   ' dx   xF '  x  dx   F  x  dx   xf  x  dx   F  x  dx

1

1

Suy ra F  1   xf  x  dx   F  x  dx
0

1

Từ đề:

f  t  dt 


x

(1)

0

1  x2
1  x2
1  x2
1
 F  1  F  x  
  F  1 dx   F  x  dx  
dx 
2
2
2

3
0
0
0
1

1  x2
1
dx 
Tương đương F  1   F  x  dx  
2
3
0
0
1

1

1

1

Thay (1) vào (2) ta được:

1

(2)

 xf  x  dx  3
1

0

1

Vậy


0

2

1
1
f  x  dx  3   
3
3
2

Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi f  x   x
Bài 5. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liện tục trên  0;1 thỏa mãn f  1  0 ,
1

1

x
  f '  x  dx   x  1 e f  x  dx 
2

0

0

2

A.

e
4

B.

e2  1
. Tính
4

e
2

1

 f  x  dx .
0

C. e  2
Hướng dẫn giải:



u  f  x 

du  f '  x  dx
Xét I    x  1 e x f  x  dx , đặt 


x
x
0
v  xe
dv   x  1 e dx 

1

e2  1
e2  1
  xe x f '  x  dx  
Suy ra I  xe f  x    xe f '  x  dx 
0
4
4
0
0
x

1

1

1

x

Áp dụng hệ quả BĐT holder:

Biên soạn: Phạm Minh Tuấn

D.

e 1
2


2

2

1
1

2
 e2  1   1 x
 e2  1 
2 2x



xe
f
'
x
dx


x
e
dx
.
f
'
x
dx








 


0 

 
 4  0
 4 
 0

1

Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi f '  x   kxe . Mà  xe x f '  x  dx  

x

0

2

e2  1
 k  1
4

Suy ra f  x     xe x dx   1  x  e x  C . Mà f  1  0  C  0
1

Vậy f  x    1  x  e x    1  x  e x dx  e  2
0

Bài 6. Cho hàm số f  x  có đạo hàm dương và liên tục trên  0;1 thỏa mãn f  0   1 ,

1
3  f '  x  f 2  x   dx  2  f '  x  f  x  dx . Tính  f 3  x  dx .
9
0 
0
0
5
3
8
A.
B.
C.

4
2
5
Hướng dẫn giải:
1

1

1

1

D.

7
6

1

1
Đề  3 f '  x  f  x dx   2  f '  x  f  x  dx
3
0
0
2

1
Áp dụng hệ quả BĐT holder:  dx. f '  x  f  x dx   

0

0
0
1

1

2

1

Suy ra 2 
0

1

Hay


0

1
f '  x  f  x  dx  3  

0

f '  x  f  x  dx 


f '  x  f  x  dx 




2

 1
1
f '  x  f  x  dx    3  
 3


0

2

2

1
f '  x  f  x  dx    0
3 

1
3

1
1
  f '  x  f  x  dx 
3k 1
Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi  0
3
 f' x f x k






Xét

f 3  x 1
1
1
1
2
f '  x  f  x     f '  x  f  x  dx   dx 
 x  C  f  x   3 x  3C
3
9
3
9
3

Biên soạn: Phạm Minh Tuấn


Vì f  0   1 nên f  x  

1

3

1

7
x  1   f 3  x  dx 
3
6
0

Bài 7. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  a; b  thỏa mãn lim f  x    ,
lim f  x    và f '  x   f
x b

A. 



x a

2

 x   1, x   a; b  . Tìm giá trị nhỏ nhất của P  b  a .

B. 

2

C. 

D.


2

Hướng dẫn giải:
Ta có: f '  x   f 2  x   1 

f '  x

1  f 2  x

 1

Lấy tích phân hai vế ta được:
f ' x

b

 1  f  x
2

a

1

  1dx  arctan f  x   a  b  b  a  arctan f  b   arctan f  a 
b
a

0

Vì lim f  x    , lim f  x    nên b  a  
x a

x b

Nhận xét: Khi hàm số f  x   cot x cận b   , a  0 thì dấu ‚=‛ xảy ra
Bài 8. Cho hàm số f  x  dương và liên tục trên 1; 3  thỏa mãn max f  x   2
1;3 
min f  x  
1;3 

A.

7
5

3

3

1
1
và biểu thức S   f  x dx.
dx đạt GTLN, khi đó hãy tính
2
1
1 f  x
B.

3
4

3
5
Hướng dẫn giải

C.

D.

3

 f  x dx
1

5
2


1
f  x   f  x  2

2
1
Từ đền suy ra  f  x   2, x  1; 3 nên 
 0 , x  1; 3
2
f  x






1
3
3
 f  x  2  f  x  2
1

Lấy tích phân 2 vế ta được:  
dx  0  
dx  5   f  x dx
f  x
1
1 f  x
1
3

Biên soạn: Phạm Minh Tuấn






3

Tương đương


1

2

2

3
3
3

1
25 
5
25
   f  x dx   
f  x dx 
dx  5 f  x dx    f  x dx  


4  1
2 
4
1 f  x
1
1

3

3

Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi

 f  x dx  2

5

1

x2

Bài 9. Cho hàm số f  x  xác định và liên tục trên 1; 2  thỏa mãn   f  x   dx 
2

x1

với mọi x1 , x2  1; 2  sao cho x1  x2 . Tìm GTLN của tích phân

x23  x13
3

2

 f  x dx .
1

A.

1
2

B.

x23  x13
Ta có:  x dx 

3
x1
x2

3
2

x2

  f  x 

2

x1

5
3
Hướng dẫn giải

C.

2

x2

dx   x dx 

2

x1

 x

D.

x2

x1

2

5
2



  f  x  dx  0
2

Do hàm f  x   x2   f  x  liên tục trên 1; 2  nên:
2

x2   f  x   0  f  x   x , x  1; 2 
2

Từ đó suy ra

2

2

2

1

1

1

3
 f  x dx   f  x  dx   xdx  2

Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi f  x   x ; x1  1; x2  2
x

Bài 10. Cho hai hàm số f  x  không âm và liên tục trên  0;1 . Đặt g  x   1  2  f  t  dt
0

và ta giả sử rằng luôn có g  x    f  x  , x  0;1 . Tìm GTLN của tích phân
2

1

 g  x dx .
0

A.

7
3

B.

Biên soạn: Phạm Minh Tuấn

8
5

5
3
Hướng dẫn giải

C.

D.

13
6



F '  x   f  x 
Gọi F  x  là một hàm số thỏa mãn F  x    f  t  dt  
0

 g  x   1  2F  x 
x

Ta có 1  2 F  x   g  x    f  x  

f  x

2

F '  x

Nháp: xét

1  2F  x 

1 

1  2F  x 

F '  x
1  2F  x 

F '  x

1

1  2F  x 

1 0

dx  x  C  1  2 F  x   x  C

Xét hàm số h  x   1  2 F  x    x  C  , x  0;1
Ta có h '  x  

2F '  x 
2 1  2F  x 

 1  0 nên h  x  nghịch biên trên  0;1 .

Suy ra h  x   h  0   1  2 F  0   C
0

Ta có F  0    f  t  dt  0 nên h  x   1  C . Ta chọn C sao cho 1  C  0  C  1
0

Vậy

1

1  2 F  x   x  1  g  x    x  1   g  x  dx 
2

0

7
3

BTAD: [ĐỀ VTED] Cho hàm số f  x  không âm và liên tục trên  0;1 . Đặt
x

g  x   1  2  f  t  dt và ta giả sử rằng luôn có g  x    f  x  , x  0;1 . Tìm GTLN

3

0

1

của tích phân



3

 g  x   dx .
2

0

5
A.
3

B. 4

Biên soạn: Phạm Minh Tuấn

C.

4
3

D. 5