áp dụng bất đẳng thức để giải hệ phương trình

B, áp dụng các biểu thức dơng giải phơng trình và hệ phơng trình:
Bài 1: Giải phơng trình:
2 2 2
3 6 12 5 10 9 3 4 2x x x x x x+ + + + + =
(*)
Giải:
Ta có: 3x
2
+ 6x + 12 = 3x
2
+ 6x + 3 + 9 = 3(x +1)
2
+ 9

9 với mọi x.
5x
2
+ 10x + 9 = 5x
2
+ 10x + 5 + 4 = 5(x + 1)
2
+ 4

4 với mọi x.


2 2
3 6 12 5 10 9 4 9 5x x x x+ + + + + + =
(1)
Mà 3 - 4x - 2x
2

= 5 - 4x- 2x
2
- 2 = 5 - 2(x
2
+ 2x + 1)
= 5 - 2(x+1)
2

5 với mọi x (2)
Từ (1) và (2) suy ra phơng trình có nghiệm

x = -1
Thử x = -1

là nghiệm của (*)

Bài 2: Giải phơng trình:

( ) ( ) ( )
2 2 2
1
2 3 5 ( 7)
2
2 1 3 1 5 1 0
3
4
6
x y z x y z
x y z
x

y
z
+ + = + +
+ + =
=


=


=

Bài 3: Giải phơng trình:

3
1 2 1
2
xy
x y y x + =
ĐK
1
1
y
x

2 1 4 1 3x y y x xy + =
(1)
Do
( )
2
1 1 1 0x x y
dấu = xảy ra khi y = 2

( )
2
1 2 1 1 0y y x
dấu = xảy ra khi x = 2
Vậy nghiệm của phơng trình (1) là: x = 2
y = 2
Bài 4:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 10 13 26 24 8 4 1
4 4 6 9 4 4 25 20 4 4 1
2 3 2 5 2 4 1
x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x
+ + + = +
+ + + + + + + = +

+ + + = +
1
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 1 2 4 1 0
2 1 2 2 1 0
1 1 2 1 1 0
xy x y xy y x
x y y y x x
x y y x
+ =
+ =
+ =
Ta cã:
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 3 3 3
2 5 2 5 2 5 2
5 2 3 4 1
x x x x
x x x x
VT x x x
− + − ≥ − ≥ −
− + − ≥ − ≥ −
⇒ ≥ − + − = +
DÊu “=” x¶y ra
DÊu “=” x¶y ra

DÊu “=” x¶y ra
3 0
5 0 2
2 0
x
x x
x
− ≥


⇔ − ≥ ⇔ =


− =

VËy S =
{ }
2
Bµi 5:
a, Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
1 1 4
3
x y
x y xy

+ + + =


+ − =



§K:
0
1 0, 1 0
xy
x y
≥


+ ≥ + ≥

mµ
0
3 0
0
x
x y xy
y
>

+ = + > ⇒

>

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 4 1 4 1 16 6 0
2 1 4 1 4 1 4 1 4 0
1 2 1 2 0

1 2 3
1 2
x y xy x y
x y xy x x y y
x y x y
x y
x x y
y
+ − − + − + + − =
+ − + + − + + + + − + + =
− + + − + + − =

=


⇔ + = ⇔ = =


+ =


b, Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
2
2
1 2
1 2 1 4
z xy
x yz xy

+ =



− = −


§K:
4 1
0
xy
xy
≤


≥


1 1
4 2
xy xy⇒ ≤ ⇒ ≤
⇒
2 1xy ≤
“=” xÈy ra
⇔
xy =
1
4

2
1 1z + ≥
“=” xÈy ra

⇔
z = 0
2
z = 0
⇒
1
1
4
x
y
z o
=



=


=


hoÆc
1
1
4
0
x
y
z
= −




= −


=


Bµi 6: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:

2 2
2
3
1 0
x xy y
z yz

− + =


+ + =


2
2
2
2 2
2 2
2

2
2
3
3 1
3
2 4
4
1
1
4 4
2 4
y y
y
x
x xy y
y y
y y
z xy
z

 
 

− = −

 ÷
− + = −
 ÷

 

 
 
⇔ ⇔
 
 
 
+ + = −
+ = −
 ÷
 

 

2
2
2
1 0
4
1 2
4
1 0
4
y
y
y
y

− ≥



⇒ ⇒ = ⇒ = ±


− ≥


( ) ( )
{ }
1;2; 1 ; 1; 2;1S⇒ = − − −
Bµi 7: Gi¶i ph¬ng tr×nh:

2 2
4 2 2 8 5 2 3x x x x− + − + − + − = +
( ) ( )
2 2
2 4 4 3 2 8 8 2 3x x x x⇔ − − + + − − − = +
( ) ( )
2 2
2 2 3 2 2 2 3x x⇔ − − ± − − = +
( )
( )
2
2
2 2 2 " " 2
3 2 2 3 " " 2
x x
x x

− − ≤ = ⇔ =


⇒


− − ≤ = ⇔ =

( ) ( )
{ }
2 2
2 2 3 2 2 2 3
2
2
x x
x
S
⇒ − − + − − = +
⇔ =
⇒ =
Bµi 8: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
a,
1 5 1 3 2 §K : 1x x x x− − − = − ≥
5 1 5 1
1 5 1
x x x x
x x
⇒ < ⇒ − < −
⇒ − < −
1 5 1 0x x⇒ − − − <
Mµ
3 2 0x − > ⇒
pt cã

{ }
S = ⊗
b, Gi¶i:
3 2 2
2 :
3
3 2
x x
DK x
x
x
−
+ = ≥
−

3

3 2
2
3 2
x x
x
x
−
⇒ + ≥
−
DÊu “=’
3 2
3 2
x x

x
x
−
⇔ =
−
2 2
1
3 2 3 2 0
2
x
x x x x
x
=

⇔ = − ⇔ − + = ⇒

=

{ }
1;2S⇒ =
Bµi 9: Gi¶i

1 2 1 : 1x x DK x− = + + ≥

1 1
2 1 1
x x
x x
⇒ + > −
⇒ + + > −

{ }
S⇒ = ⊗
Bµi 10: Gi¶i :
2
1 1 1
2
2 1
4
x y z
xy z

+ + =




− =


(1)
Tõ (1)
2
2
2 2 2
1 1 1 1 1 2 1 4
2 4
x y z x y xy z z
 
 

⇒ + = − ⇒ + + = + −
 ÷
 ÷
 
 

2 2
1 1 4
0
x y z
⇒ + + =
2 2
2 2
2
2
1 1 1 1
4 2 0
1 4 1 4
4 4 0
1 1
2 2 0
1 1
2 2
x y y x
x x y y
x y
x y z
 
⇒ + + − − =
 ÷

 
 
 
⇔ − + + − + =
 ÷
 ÷
 
 
 
 
⇔ − + − =
 ÷
 ÷
 
 
⇒ = = ⇒ =
2, ¸p dông B§T C« si:
Bµi 1:

2 2 2
2
2 2
1 1 2
1 7
1 1
2 4
x x x x x x
x x x x x
+ − + − + + = − +
 

⇔ + − + − + + = − +
 ÷
 
Ta cã §K:
2
2
1 0
1 0
x x
x x

+ − ≥


− + + ≥


4
Khi đó áp dụng:
1
" " 1
2
a
a khi a
+
= =

ta có:
2 2
2 2

1 1
1 1
2 2
x x x x
x x x x
+ + +
+ + + + +

2 2
1 1 1x x x x x + + + + +
Mặt khác:

( )
( ) ( )
2 2
2
2 1 2 1
1 1 1
x x x x x
x x x
+ = + + +
= + + +
Vậy

( )
2 2 2
2
2
2
1 1 2 1

1 1
1 1 1
1 1
x x x x x x x
x x
x x x
x
+ + + + = + = +

+ =


+ + = =


=



Vậy x=1 là nghiệm
Bài 2:
2
3 2
2
2
1 2 1
2 2
1 ( 1)(2 1)
2 2
x x

x x x
x x
x x x
+ + = + +
+ + = + +
(1)
Ta có x
2
- x + 1 > 0 với mọi x suy ra ĐK
1
2
x


áp dụng Côsi cho 2 số x
2
x + 1 > 0
2x + 1 > 0
Ta có:
2 2
2
1 2 1
( 1)(2 1) 1
2 2 2
x x x x x
x x x
+ + +
+ + = + +
Vậy dấu = xảy ra

x
2
x + 1 = 2x +1


x
2
3x = 0

x = 0 TM
hoặc x = 3 TM
Vậy S =
{ }
0;3

Bài 3: Giải hệ phơng trình:
1 2 3
12
2 3 3
x y z
x y z

+ + =



+ + =

(1)
Với x, y, z > 0

Từ (1) ta có:
1 2 3
6
4 4 4
x y z
x y z
+ + + + + =
Vì x, y, z > 0 ta áp dụng BĐT Côsi cho 2 số
(1)
1
1
4
x
x
+
dấu = xảy ra khi
1
2
x =
(2)
2 1
2 2 2
4 4
y y
x y

+ = +
ữ

dấu = xảy ra khi

1
2
y =
5
(3)
3 1
3 3 3
4 4
z z
z z

+ = +
ữ

dấu = xảy ra khi
1
2
z =
Từ (1), (2) và (3) ta có:
1 2 3
2 3 1 2 3 6
4 4 4
x y z
x y z
+ + + + + + + =
dấu = xảy ra khi
1
2
x y z= = =
TM

vậy nghiệm của hệ phơng trình là: S =
1 1 1
, ,
2 2 2



ữ


Bài 4: Giải phơng trình: 2007 x
2008
2008 x
2007
+ 1 = 0


1 + 2007 x
2008
= 2008 x
2007


x > 0
áp dụng BĐT Côsi cho 2008 số dơng
1; x
2008
; x
2008
; x

2008
; x
2008
( 2007 số x
2008
)
Ta có: x
2008
+ x
2008
+ + 1

2008
2008
2008 2007
1.( )x
= 2008. x
2007
dấu = xảy ra khi chỉ khi 1 = x
2008


x = 1 vì x > 0
Vậy phơng trình có nghiệm x = 1
Bài 5: Giải phơng trình: x
3
x
2
8x + 40 = 8
4

4 4x +
ĐK 4x + 4

0

x

-1
Với Đ K x

-1 ta áp dụng BĐT Côsi cho bốn số: 4; 4; 4; x+1 ta có:
4 + 4 + 4 + x + 1

4
4
4.4.4.( 1)x +
= 8
4
4( 1)x +

13 + x

8
4
4( 1)x +


13 + x

x

3
3 x
2
8x + 40


x
3
3 x
2
9 x + 27

0

( x 3 )
2
( x + 3 )

0
Do x

- 1

x + 3 > 0

( x 3 )
2


0

x = 3 TM
Vậy x = 3 là nghiệm của phơng trình
Bài 6: Giải phơng trình:
2
7 5 12 38x x x x + = +
(1)
Đ K 5

x

7
Khi đó áp dụng BĐT áp dụng BĐT Côsi cho hai số
7 x và 1 ta có:
7 1
7
2
x
x
+

x 5 và 1 ta có:
5 1
5
2
x
x
+

7 1 5 1
7 5 2
2 2
x x
x x
+ +
+ + =
dấu = xảy ra khi chỉ khi 7 x = 1
x 5 = 1

x = 6
Ta lại có: x
2
12x + 38 = ( x 6 )
2
+ 2

2 dấu = xảy ra khi chỉ khi x = 6
Vậy S =
{ }
6
Bài tập tơng tự:
Bài 1: Giải phơng trình:
2 2 2
1 1 2x x x x x x+ + + + = +
6
Bài 2: Giải phơng trình:
2
2 3 5 2 3 12 14x x x x + = +
3, bất đẳng thức Bunhiacốpxki

Bài 1: Giải phơng trình:

( )
2
2
2 3 5 2 3 12 14
2 3 5 2 3 2 2
x x x x
x x x
+ = +
+ = +
ĐK:
2 3 0
1,5 2,5
5 2 0
x
x
x






áp dụng Bu nhi a cốp xki cho (1:1) và (
2 3x
:
5 2x
)
( )

( )
( ) ( )
2 2 2
2 2
2 3 5 2 1 1 2 3 5 2 2.2 4x x x x

+ + + =



2 3 5 2 2 2 3 5 2 0x x Do x x + + >
Dấu = xảy ra
2 3 5 2 2x x x = =

( )
2
3 2 2 2x +
dấu= xẩy ra

x = 2
Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 2
Bài 2: Giải phơng trình
a,
( )
6
2 5 2 1
2
A x x= + =

ĐK:

5
2
2
x
Ta có :
( )
( )
2 2
2
2 2 2
5 5 1
2.1 . 2 2 1 2 . 3
2 2 2
A x x x x


ữ
= + + + =
ữ ữ
ữ ữ
ữ



6
0
2
A A

( )

1
xẩy ra


5 13
2. 2
2 6
x x x = =
(TMĐK)

13
6
S

=


b,
2 1 3 5 2 13 : 1 5x x DK x + =
( )
( )
( )
2
2 2
2 1 3 5 2 3 1 5 13.4x x x x + + + =
2 1 3 5 2 13x x +
PT xảy ra
3 1 2 5x x =

29

13
x TM =

29
13
S

=


c,
7

( )
( )
2
2
2
4 5 2 2 3
2 3 1 1 0
x x x
x x
+ + = +
+ + + =

1x
=
Bài 3: Giải phơng trình :
2
2 10 12 40 :2 10x x x x DK x + = +

( )
2
2
12 10 6 4 4x x x + = +
Dấu = xảy ra khi x = 6
Ta có
( )
( )
( )
2
2 2
2 10 2 10 1 1 16x x x x + + + =
2 10 4 : 2 10 0x x Do x x + + >
Dâu = xẩy ra x = 6 (TM)

{ }
6S =
Bài 4: Giải phơng trình :
2
1 3 2( 3) 2 2x x x x + + = +
(1)
áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho
1x
; x 3 và 1 ; 1 ta có:
( )
( )
( ) ( )
( )
2

2
2 2
2
1 3 1 1 1 3
1 3 2( 1) 2( 3)
x x x x
x x x x

+ + +

+ +
(2)
(1) và (2) xảy ra khi chỉ khi:
1 3x x =


x
2
6x + 9 = x 1


x
2
7x + 10 = 0

x = 2
hoặc x = 5
x = 2 không thoả mãn; x = 5 thoả mãn
vậy
{ }

5S =
Bài 5: Giải phơng trình :
4
2 4 4 3
2 1x x x x =

4
2 4 3
2 1 ( 1)x x x x =
Đ K : x
4


2
4
2 4 4
( 2 1 1x x x = +
( x

0 )
4
4 2
2
1
2 x x x
x
+ = +
Ta có:
2
2

1
2x
x
+
dấu = xảy ra
2
2
1
x
x
=

2
1x =
(1)
Mặt khác:
( )
(
)
2
4
4 2 2 4 2
2 1 1 2x x x

+ +
ữ

(
)
(
)
( )
4 2
4 4 4 2 4 4
4
4
2
2 4 2 4.2 2 16
2 16 2
x x x x x x
x x
+ + + =
+ =
(2)
Dấu = xảy ra khi chỉ khi x = 1
Từ (1) và (2) suy ra phơng trình có nghiệm của nó là 1 TM
Vậy S =
{ }
1
8
Bµi tËp t¬ng tù:
Bµi tËp 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
2
6 3
3 2
1
x

x x
x x
−
= + −
− −
Bµi tËp 2:
Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
2
2 2
6 3 1
1
x xy x y
x y

− + = −


+ =



9