Bai tap ve goc noi tiep

Góc nội tiếp

• Định nghĩa
• Định lí
• Hệ quả:
Trong một đ/tròn
- Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau
- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau
- Góc nội tiếp ≤ 900 bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung
- Góc nội tiếp chắn nửa đ/tròn là góc vuông
Bài tập
1. Cho tam giác cân ABC (AB=AC) nội tiếp đ/tròn
A
(O). Tia phân giác của góc B và góc C cắt đ/tròn
D
E
ở D và E.
a) Chứng minh rằng ∆ ACE = ∆ ABD
b) Gọi I là giao của BD và CE. Tứ giác ADIE là
O
hình gì? Vì sao?
C
B
2. Cho 2 đ/tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B (O và O’ thuộc 2 nửa mặt phẳng bờ
AB). Qua A vẽ cát tuyến cắt (O) và (O’) lần lượt ở C và D. Xác định vị trí của
CD để CD có độ dài lớn nhất
3. Cho tam giác ABC vuông ở A (AB>AC), đường cao AH, trung tuyến AM, phân
giác AD cắt đ/tròn ngoại tiếp lần lượt ở S, N, P
a) Chứng minh rằng MP // AH
b) So sánh các góc MAP, MPA, PAS
Chứng minh rằng AD là tia phân giác của góc MAH

4. Cho 2 đ/tròn (O1,R) và (O2,R’) tiếp xúc trong tại A (R>R’). Tiếp tuyến của đ/tròn
(O2) tại điểm M trên đ/tròn đó cắt đ/tròn (O 1) tại B và C. Chứng minh rằng AM
là phân giác của góc BAC
5. Cho nửa đ/tròn (O) đường kính AB và điểm M nằm trên nửa đ/tròn. Kẻ MH ⊥
AB. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đ/tròn (O) vẽ 2 nửa đ/tròn (O 1),
(O2) có đường kính AH và BH, cắt MA, MB lần lượt tại P và Q.
a) Chứng minh rằng MH=PQ
b) Xác định vị trí tương đối của đường thẳng PQ với 2 đ/tròn (O1) và (O2)
c) Xác định vị trí của M trên nửa đ/tròn (O) để MPHQ là hình vuông
6. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O). Tia AO cắt
A
đ/tròn ở D. Gọi I là trung điểm BC; G là trọng
tâm tam giác ABC. H là trực tâm tam giác
a) Tứ giác BHCD là hình gì?
H
G O
b) Chứng minh rằng OI = ½ AH
C
c) Chứng minh rằng H, O, G thẳng hàng
B
I
D


7. Cho tam giác đều ABC nội tiếp (O,R). M là điểm
trên cung nhỏ BC. MA ∩ BC = H.
a) Chứng minh rằng AB2 = AH.AM
b) Chứng minh rằng MA=MB+MC
1
1

1
+
=
c) Chứng minh rằng
MB MC MH
2
d) Tính tổng MA + MB2 + MC2 theo R
+/ MA2 + MB2 + MC2 = 2(MA2 - MB.MC)
+/ C/m: MB.MC = MA.MH
Þ MA2 + MB2 + MC2 = 2MA.AH = 6R2
8. Cho đ/tròn (O) và điểm M nằm ngoài đ/tròn. Qua
M vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB với đ/tròn (A, B là
tiếp điểm). C là một điểm nằm trên đ/tròn (M,
MA) và nằm trong (O). Các tia AC, BC cắt (O)
lần lượt tại A1, B1. Chứng minh rằng A1; O; B1
thẳng hàng.

A

O
H

B

C
M

B1
A

C
M

C A

D

O'

O

E

B

10.Cho đ/tròn (O), dây AB. Gọi M là một điểm trên
cung AB, K là trung điểm của MB. Qua K kẻ KP
⊥ AM. Chứng minh rằng khi điểm M chuyển
động trên cung AB thì các đường thẳng KP luôn
đi qua một điểm cố định.

M
A'
P

K
Q

O

B

A

12.Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Một
đ/tròn (O) thay đổi có bán kính bằng đường cao
AH, tiếp xúc với cạnh BC (O và A trên cùng nửa
mặt phẳng bờ BC) cắt AB, AC lần lượt ở D và E.
Chứng minh rằng số đo cung DE nằm trong tam

A1

B

9. Cho 2 đ/tròn (O) và (O’) bằng nhau và cắt nhau
tại A và B. Gọi C là một điểm trên đ/tròn (O). Vẽ
hình bình hành OCDO’. Chứng minh rằng một
trong 4 điểm A, B, C, D là trực tâm của tam giác
tạo bởi 3 điểm còn lại.

11.Cho tam giác ABC nội tiếp đ/tròn (O,R), đường
cao AH. Đặt AB=c, BC=a, CA=b. Chứng minh
rằng
a) bc=2Rh
abc
b) SABC=
4R
HD:
a) ∆ ABH~ ∆ ADC
b) Giả sử Â nhọn (nếu không sử dụng góc khác)

O

A

O
B

H

C
D


giác ABC không đổi.
13.Cho tam giác ABC vuông tại C. Hãy tìm điểm N
·
·
·
trong tam giác sao cho NBC
= NCA
= NAB
HD:
Giả sử ta dựng được điểm N thỏa mãn bài toán
·
·
Ta có: NBC
.
= NCA
·

·
·
Mà NBC
+ NCB
= 900 ⇒ CNB
= 900 . Vậy N ∈ (O)
đường kính BC
Gọi giao điểm của tia AN với đ/tròn là M thì
CM//AB ⇒ cách dựng M

A

N

C

B

O

M

14.Trong tam giác ABC có góc C nhọn. Tính độ lớn
của góc C biết khoảng cách từ C tới trực tâm tam
giác bằng bán kính đ/tròn ngoại tiếp.
HD:
Kẻ đường kính CD suy ra ACH=DCB nên
ACD=BCH
Gọi F là trung điểm AC, E là giao của AH với BC
suy ra tam giác COF bằng tam giác CHE (ch-gn) suy

ra CF=CE.
Mặt khác EF = ½ AC Þ EF=CF=CE nên tam giác
CEF đều suy ra C=600

C

E
F
H

O

A

B
D

LUYỆN TẬP VỀ GÓC NỘI TIẾP
1. Cho tam giác ABC nội tiếp đ/tròn (O). Tia phân giác của góc A cắt đ/tròn tại M.
Tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh A cắt đ/tròn tại N. Ch/minh rằng:
a) Tam giác MBC cân.
b) Ba điểm M, O, N thẳng hàng.
2. Cho nửa đ/tròn (O) đường kính AB. M là điểm tuỳ ý trên nửa đường tròn (M khác
A và B). Kẻ MH ⊥ AB (H ∈AB). Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa
đ/tròn (O) vẽ hai nửa đ/tròn tâm O1 đường kính AH và tâm O2 đường kính BH.
MA và MB cắt hai nửa đ/tròn (O1) và (O2) lần lượt tại P và Q.
a) Ch/minh MH = PQ.
b) Ch/minh hai tam giác MPQ và MBA đồng dạng.
c) Ch/minh PQ là tiếp tuyến chung của hai đ/tròn (O1) và (O2)
3. Cho ∆ABC đều, đường cao AH. M là điểm bất kỳ trên đáy BC. Kẻ

MP ⊥ AB và MQ ⊥ AC. Gọi O là trung của AM.
a) Ch/minh năm điểm A, P, M, H, Q cùng nằm trên một
M
đ/tròn.
E
I
b) Tứ giác OPHQ là hình gì ? Ch/minh.
O
c) Xác định vị trí của M trên BC để PQ có độ dài nhỏ
B
A
nhất.
D

C


4. Cho đ/tròn (O) đường kính AB. Lấy điểm M trên đ/tròn (M khác A và B) sao cho
MA < MB. Lấy MA làm cạnh vẽ hình vuông MADE (E thuộc đoạn thẳng MB).
Gọi F là giao điểm của DE và AB.
a) Ch/minh ∆ADF và ∆BMA đồng dạng.
b) Lấy C là điểm chính giữa cung AB (không chứa M).
Ch/minh CA = CE = CB
c) Trên đoạn thẳng MC lấy điểm I sao cho CI = CA. Ch/minh I là tâm đ/tròn nội
tiếp tam giác AMB.
HD
c) ∆ CIA cân tại C nên CIA=CAI Þ IMA+MAI=IAB+BAC Þ MAI=IAB (vì
IMA=BAC) Þ AI là phân giác của góc MAB.
5. Cho nửa đ/tròn (O) đường kính AB = 2R và điểm C nằm ngoài nửa đ/tròn. CA cắt
nửa đ/tròn ở M, CB cắt nửa đ/tròn ở N. Gọi H là giao điểm của AN và BM.

a) Ch/minh CH ⊥ AB.
b) Gọi I là trung điểm của CH. Ch/minh MI là tiếp tuyến của nửa đ/tròn (O)
¼ .
c) Giả sử CH =2R. Tính số đo cung MN
Nâng cao phát triển
6. ∆ ABC nội tiếp (O,R) có AB = 8cm, AC = 15cm, đường cao AH = 5cm (H thuộc
cạnh BC). Tính bán kính đ/tròn
HD: Kẻ đường kính AD. ∆ AHB ∆ ACD
7. Cho ∆ ABC nội tiếp (O,R), gọi (I,r) là đ/tròn nội tiếp tam giác, H là tiếp điểm của
AB với (I), D là giao của AI với đ/tròn (O), DK là đường kính của đ/tròn (O). Gọi
d là độ dài của OI. Ch/minh
a) ∆ AHI ~ ∆ KCD
b) DI = DB = DC
c) IA.ID = R2 – d2
d) d2 = R2 – 2Rr
8. Cho tam giác ABC nhọn có AB = c, BC = a, CA = b nội tiếp (O,R). Ch/minh
a
b
c
=
=
sin A sinB sin C
9. Cho đ/tròn (O) có đường kính AB = 12cm. Một đường thẳng đi qua A cắt (O) ở M
và cắt tiếp tuyến của đ/tròn tại B ở N. Gọi I là trung điểm của MN. Tính AM biết
AI = 13cm
10.Cho (O,R), các đường kính AB, CD vuông góc với nhau. Gọi I là trung điểm OB.
Tia CI cắt đ/tròn ở E, EA cắt CD ở K. Tính DK
11.Cho nửa đ/tròn đường kính BC. Các điểm M, N thuộc nửa đ/tròn sao cho
¼ = MN
¼ = NC

» . Các điểm D, E thuộc đường kính BC sao cho BD = DE = EC.
BM
Gọi A là giao của MD với NE. Ch/minh ∆ ABC đều
12.Cho ∆ ABC nhọn nội tiếp (O). các đường cao AD, BE, CF cắt đ/tròn (O) theo thứ
AM BN CK
+
+
=4
tự ở M, N, K. Ch/minh
AD BE CF
13.(O,R), đường kính AB vuông góc với dây CD. Gọi M là điểm bất kì thuộc đ/tròn
(MC không song song với AB) E là giao của MD với AB, F là giao của MC với
AB.


Ch/minh

EA FA
=
EB FB

14.* Qua điểm A trong đ/tròn (O) vẽ cát tuyến ABC. Gọi E là điểm chính giữa cung
BC, DE là đường kính của đ/tròn. AD cắt đ/tròn tại I, IE cắt BC tại K. Ch/minh
AC.BK = AB.KC
15.Cho nửa đ/tròn (O) đường kính AB, bán kính OC = R. Các điểm M, N thứ tự
thuộc các cung AC, CB. Gọi E, G theo thứ tự là hình chiếu của M, N trên AB. Gọi
F, H thứ tự là hình chiếu của M, N trên OC. Ch/minh EF = GH
16. ∆ ABC nội tiếp đ/tròn (O). Vẽ dây AA’//BC, BB’//AC, CC’//AB. Trên các cung
AA’, BB’, CC’ lấy các cung AD, BE, CF theo thứ tự bằng 1/3 các cung trên.
Ch/minh ∆ DEF đều

17.Các đường cao BH, CK của tam giác ABC cắt đ/tròn ngoại tiếp thứ tự ở D và E.
Tính số đo góc A biết DE bằng đường kính đ/tròn
18.Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Gọi H là trực tâm, I là tâm đ/tròn nội tiếp
tam giác
a) Ch/minh AI là phân giác của góc OAH
b) Cho góc BAC bằng 600. Ch/minh OI = IH
19.Tính số đo của góc A của tam giác ABC biết rằng khoảng cách từ A đến trực tâm
tam giác bằng bán kính đ/tròn ngoại tiếp tam giác
Bài 20. Cho tam giác ABC có B=540, C = 180 nội tiếp đ/tròn (O,R). Ch/minh AC –
AB = R
20.Hai đ/tròn (O) và (O’) cùng bán kính R cắt nhau ở A và B. Một đường thẳng d
song song với OO’ cắt các đ/tròn trên ở các điểm C, D, E, F theo thứ tự trên d (C,
E thuộc (O), D, F thuộc (O’))
a) Ch/minh CDO’O là hình bình hành
b) Tính CD biết AB = a
c) Ch/minh số đo giác CAD không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng d (d luôn
song song với OO’)
21.Cho điểm C thuộc nửa đ/tròn đường kính AB, H là hình chiếu của C trên AB, Các
điểm D và E thuộc nửa đ/tròn sao cho HC là phân giác của góc DHE. Ch/minh
HC2 = HD.HE
22.Một đ/tròn (O) đi qua điểm A và các trung điểm D, E của các cạnh AB, AC của ∆
ABC sao cho BC tiếp xúc với đ/tròn tại K. Ch/minh KA2=KB.KC
23.Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 6, BC = 7. Ch/minh tồn tại điểm E trên cạnh
AC sao cho độ dài AE, BE, CE là các số tự nhiên
24.Cho tam giác ABC cân tại A, điểm M thuộc cạnh BC.
Ch/minh AB2 – AM2 = MB.MC (bằng cách vẽ đ/tròn tâm A bán kính AB)
25.Cho tam giác ABC, phân giác AD. Ch/minh AD2 = AB.AC – DB.DC
26.Hai đ/tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Các điểm M, N thứ tự di chuyển