Các dạng toán phương trình mặt phẳng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.53 MB, 69 trang )
Tài liệu toán 12
năm học 2018
2. PHNG TRèNH MT PHNG
A. TểM TT Lí THUYT
1. Phng trỡnh mt phng
a) Vect phỏp tuyn Cp vect ch phng ca mt phng
Vect n 0 l vect phỏp tuyn (VTPT) ca nu giỏ ca n vuụng gúc vi .
Hai vect a , b khụng cựng phng l cp vect ch phng (VTCP) ca nu cỏc giỏ ca chỳng song song hoc nm
trờn .
Chỳ ý:
Nu n l mt VTPT ca thỡ kn k 0 cng l VTPT ca .
Nu a , b l mt cp VTCP ca thỡ n a , b l mt VTPT ca .
b) Phng trỡnh tng quỏt ca mt phng Ax By Cz D 0 vi A2 B 2 C 2 0 .
Nu cú phng trỡnh Ax By Cz D 0 thỡ n A; B;C l mt VTPT ca .
Phng trỡnh mt phng i qua M 0 x 0 ; y 0 ; z 0 v cú mt VTPT n A; B;C l:
A x x 0 B y y 0 C z z 0 0 .
c) Cỏc trng hp c bit
Cỏc h s
Phng trỡnh mt phng
D0
Ax By Cz 0
i qua gc ta O .
A0
By Cz D 0
Ox
hoc Ox .
B0
Ax Cz D 0
Oy
hoc Oy .
C 0
Ax By D 0
Oz
hoc Oz .
AB 0
Cz D 0
Oxy
A C 0
By D 0
Oxz hoc Oxz .
B C 0
Ax D 0
Oyz hoc Oyz .
Giảng dạy: nguyễn bảo vương
- 0946798489
Tớnh cht mt phng
hoc Oxy .
Page | 1
Tài liệu toán 12
năm học 2018
Chỳ ý:
Nu trong phng trỡnh khụng cha n no thỡ song song hoc cha trc tng ng.
Phng trỡnh mt phng theo on chn
x
y
z
: a b c 1 .
õy
ct cỏc trc to ti cỏc im
a; 0; 0, b; 0; 0, c; 0; 0 vi abc 0 .
2. Khong cỏch t mt im ti mt phng
Trong khụng gian Oxyz , cho im A x A ; yA ; z A v mt phng : Ax By Cz D 0 .
Khi ú khong cỏch t im A n mt phng c tớnh theo cụng thc d A,
Ax A ByA Cz A D
A2 B 2 C 2
.
3. V trớ tng i
a) V trớ tng i gia hai mt phng
Trong khụng gian Oxyz , cho hai mt phng : A1x B1y C 1z D1 0 v : A2x B2y C 2z D2 0
A1
A2
A1
A2
A1
A2
B1
B2
B1
B2
B1
B2
C1
C2
C1
C2
B1
hoc
B2
D1
.
D2
D1
D2
.
C1
C2
.
A1A2 B1B2 C 1C 2 0 .
b) V trớ tng i gia mt phng v mt cu
Trong khụng gian Oxyz , cho mt phng v mt cu : Ax By Cz D 0 v
S : x a
2
y b z c R 2 .
2
2
xột v trớ ca v S ta lm nh sau:
Bc 1. Tớnh khong cỏch t tõm I ca S n .
Bc 2.
+ Nu d I , R thỡ khụng ct S .
+ Nu d I , R thỡ tip xỳc S ti H . Khi ú H c gi l tip im, l hỡnh chiu vuụng gúc ca I lờn v
c
gi
l
tip
din.
Giảng dạy: nguyễn bảo vương
- 0946798489
Page | 2
Tài liệu toán 12
năm học 2018
2
2
x a y b z c)2 R 2
+ Nu d I , R thỡ ct S theo ng trũn cú phng trỡnh C :
.
Ax By Cz D 0
Bỏn kớnh ca C l r R 2 d I , .
Tõm J ca C l hỡnh chiu vuụng gúc ca I trờn .
4. Gúc gia hai mt phng
Trong khụng gian Oxyz , cho hai mt phng : A1x B1y C 1z D1 0 v : A2x B2y C 2z D2 0 .
Gúc gia v bng hoc bự vi gúc gia hai VTPT n , n . Tc l
cos ,
n .n
cos n , n
n . n
A1A2 B1B2 C 1C 2
A12 B12 C 12 . A22 B22 C 22
.
B. CC DNG TON V PHNG PHP GII
DNG 1. Phng trỡnh mt phng
Phng phỏp
Phng trỡnh:Ax + By + Cz + D = 0 l phng trỡnh ca mt mt phng khi v ch khi A2 + B2 + C2 > 0.
Chỳ ý: i kốm vi h mt phng (Pm) thng cú thờm cỏc cõu hi ph:
Cõu hi 1: Chng minh rng h mt phng (Pm) luụn i qua mt im c nh.
Cõu hi 2: Cho im M cú tớnh cht K, bin lun theo v trớ ca M s mt phng ca h (Pm) i
qua M.
Cõu hi 3: Chng minh rng h mt phng (Pm) luụn cha mt ng thng c nh.
1. caực vớ duù minh hoùa
Vớ d 1.
Cho phng trỡnh:mx + m(m - 1)y (m2 1)z - 1 = 0.
(1)
a. Tỡm iu kin ca m phng trỡnh (1) l phng trỡnh ca mt mt phng, gi l h (P m ).
b. Tỡm im c nh m h (P m ) luụn i qua.
c. Gi s (P m ) vi m 0, 1 ct cỏc trc to ti A, B, C.
Tớnh th tớch t din OABC.
1 1
1
Tỡm m ABC nhn im G ; ; lm trng tõm.
9 18 24
Nhn xột: Nh vy, tỡm im c nh m h mt phng (P m ) luụn i qua ta thc hin theo cỏc bc:
Bc 1.
Bc 2.
Bc 3.
Vớ d 2.
Gi s M(x 0 ; y 0 ; z 0 ) l im c nh ca h (P m ), khi ú Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0, m.
Nhúm theo bc ca m ri cho cỏc h s bng 0, t ú nhn c (x 0 ; y 0 ; z 0 ).
Kt lun.
Cho phng trỡnh:(a + b)x + ay + bz - 3(a + b) = 0.
a. Tỡm iu kin ca a, b phng trỡnh ó cho l phng trỡnh ca mt mt phng, gi l h (P a,b ).
b. Gi s (Pa,b) vi a, b 0 ct cỏc trc to ti A, B, C. Tỡm a, b :
4
lm trng tõm.
3
ABC nhn im G 1; 4;
ABC nhn im H ( 2; 1; 1) lm trc tõm.
Giảng dạy: nguyễn bảo vương
- 0946798489
Page | 3
Tài liệu toán 12
năm học 2018
T din OABC cú th tớch nh nht vi a > 0, b > 0.
c. Chng t rng h (P a,b ) luụn cha mt ng thng c nh.
DNG 2. Vit phng trỡnh mt phng
Phng phỏp
vit phng trỡnh mt phng (P) ta cú th la chn mt trong cỏc cỏch sau:
Cỏch 1: Thc hin theo cỏc bc:
Bc 1.
Xỏc nh M0(x0; y0; z0) (P) v vtpt n (n1; n2; n3) ca (P).
Bc 2.
Khi ú:(P):
qua M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 )
(P): n1(x x0) + n2(y y0) + n3(z z0) = 0.
vtpt n(n1 ; n 2 ; n 3 )
Cỏch 2: S dng phng phỏp qu tớch.
Chỳ ý: Chỳng ta cú cỏc kt qu:
1. Mt phng (P) i qua im M(x0; y0; z0), luụn cú dng: (P): A(x x0) + B(y y0) + C(z z0) = 0
2. Mt phng (P) cú vtpt n (n1; n2; n3), luụn cú dng: (P): n1x + n2y + n3z + D = 0
xỏc nh (P), ta cn i xỏc nh D.
3. Mt phng (P) song song vi (Q): Ax + By + Cz + D = 0, luụn cú dng: (P): Ax + By + Cz + E = 0
xỏc nh (P), ta cn i xỏc nh E.
4. Phng trỡnh mt phng theo cỏc on chn, ú l mt phng (P) i qua ba im A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)
x y z
+
+
= 1.
cú phng trỡnh:(P):
a b c
5. Vi phng trỡnh mt phng (P) i qua ba im khụng thng hng M, N, P chỳng ta cú th la chn
mt trong hai cỏch sau:
n MN
Cỏch 1: Gi n l vtpt ca mt phng (P), ta cú: n = MN, MP .
n MP
Khi ú, phng trỡnh mt phng (P) c cho bi:(P):
qua M
.
vtpt n
Cỏch 2: Gi s mt phng (P) cú phng trỡnh:Ax + By + Cz + D = 0, (1) vi A2 + B2 + C2 > 0.
Vỡ M, N, P thuc mt phng (P) nờn ta cú h ba phng trỡnh vi bn n A, B, C, D.
Biu din ba n theo mt n cũn li, ri thay vo (1) chỳng ta nhn c phng trỡnh mt phng (P).
1. caực vớ duù minh hoùa
Vớ d 1.
Vit phng trỡnh mt phng (P), bit:
a. (P) l mt phng trung trc ca on AB vi A(1; 1; 2) v B(1; 3; 2).
b. (P) i qua im C(1; 2; 3) v song song vi mt phng (Q) cú phng trỡnh x 2y + 3z + 1 = 0.
c. (P) i qua im D(1; 1; 2) v cú cp vtcp a (2; -1, 1), b (2; -1; 3).
d. (P) i qua im E(3; 1; 2) v vuụng gúc vi hai mt phng:(R 1 ): 2x + y + 2z - 10) v (R 2 ): 3x + 2y + z + 8 = 0.
Vớ d 2.
Cho ba im A(1; 2; 3), B(3; 5; 4), C(3; 0; 5).
a. Lp phng trỡnh mt phng (P) i qua ba im A, B v C.
b. Lp phng trỡnh mt cu nhn ng trũn ngoi tip ABC lm ng trũn ln.
Vớ d 3.
Cho hai im A(1; 1; 5), B(0; 0; 1).
a. Tỡm im M thuc Oy sao cho MAB cõn ti M.
b. Lp phng trỡnh mt phng (P) i qua hai im A, B v song song vi trc Oy.
c. Lp phng trỡnh mt cu cú bỏn kớnh nh nht i qua hai im A, B v ct (P) theo thit din l ng trũn
ln.
Giảng dạy: nguyễn bảo vương
- 0946798489
Page | 4
Tài liệu toán 12
Vớ d 4.
Vớ d 5.
năm học 2018
Cho hai im A(2; 1; 3), B(3; 2; 1) v mt phng (Q) cú phng trỡnh (Q): x + 2y + 3z 4 = 0.
a. Lp phng trỡnh mt phng (P) i qua hai im A, B v vuụng gúc vi mt phng (Q).
b. Tỡm ta im I thuc (Q) sao cho I, A, B thng hng.
Cho im A(2; 2; 4).
a. Lp phng trỡnh mt phng (P) i qua im A v cha trc Ox.
b. Tỡm im B thuc mt phng (P) sao cho OAB u.
Vớ d 6. Vit phng trỡnh mt phng trong mi trng hp sau:
a. i qua im G(1; 2; 3) v ct cỏc trc ta ti cỏc im A, B, C sao cho G l trng tõm ABC.
b. i qua im H(2; 1; 1) v ct cỏc trc ta ti cỏc im A, B, C sao cho H l trc tõm ABC.
c. i qua im M(1; 1; 1) ct chiu dng ca cỏc trc to ti ba im A, B, C sao cho t din OABC cú th
tớch nh nht.
DNG 3. V trớ tng i ca hai mt phng
Phng phỏp
S dng kin thc trong phn v trớ tng i ca hai mt phng.
1. caực vớ duù minh hoùa
Vớ d 1.
Cho hai mt phng (P) v (Q) ln lt cú phng trỡnh l: (P): x 3y 3z + 5 = 0,
(Q): (m2 + m + 1)x 3y + (m + 3)z + 1 = 0.
Vi giỏ tr no ca m thỡ:
a.
b.
c.
d.
Vớ d 2.
Hai mt phng ú song song ?
Hai mt phng ú trựng nhau ?
Hai mt phng ú ct nhau ?
Hai mt phng ú vuụng gúc ?
Cho hai mt phng (P 1 ) v (P 2 ) ln lt cú phng trỡnh l:(P 1 ): Ax + By + Cz + D = 0,
(P 2 ): Ax + By + Cz + D' = 0 vi D D'.
a. Tỡm khong cỏch gia hai mt phng (P 1 ) v (P 2 ).
b. Vit phng trỡnh mt phng song song v cỏch u hai mt phng (P 1 ) v (P 2 ).
p dng vi hai mt phng:(P 1 ): x + 2y + 2y + 3 = 0, (P 2 ): 2x + 4y + 4y + 1 = 0.
Chỳ ý: Trong trng hp hai mt phng (P 1 ) v (P 2 ) song song vi nhau (gi s cú vtpt n(A; B; C) ) chỳng ta thng
gp thờm cõu hi:
1.
2.
3.
4.
Tớnh khong cỏch gia (P 1 ) v (P 2 ).
Vit phng trỡnh mt phng (P) song song v cỏch u (P 1), (P 2).
Vit phng trỡnh mt phng (Q) song song vi (P 1 ), (P 2 ) v d((Q), (P 1 )) = k.d((Q), (P 2 )).
Vit phng trỡnh mt cu tip xỳc vi (P 1 ) ti im M 1 v:
a. Tip xỳc vi (P 2 ).
b. Ct (P 2 ) theo thit din l ng trũn ln.
5. Vit phng trỡnh mt cu tip xỳc vi (P 1 ) ti im M 1 v ct (P 2 ) theo thit din l ng trũn (C)
cú bỏn kớnh bng r (hoc bit chu vi, din tớch ca (C)).
Vi yờu cu "Tớnh khong cỏch d gia (P 1 ) v (P 2 )" chỳng ta s dng kt qu:d = d((P 1 ), (P 2 )) = d(M 1 , (P 2 )),
vi M 1 (P 1 ).
Vi yờu cu "Vit phng trỡnh mt phng song song v cỏch u (P 1 ), (P 2 )", chỳng ta la chn mt trong hai cỏch
sau:
Cỏch 1: (S dng tớnh cht): Thc hin theo cỏc bc:
Bc 1.Mt phng (P) song song vi hai mt phng ó cho s cú dng:(P): Ax + By + Cz + D = 0. (*)
Bc 2.Ly cỏc im E 1 (P 1 ) v E 2 (P2), suy ra on thng AB cú trung im E(x0; y0; z0).
Giảng dạy: nguyễn bảo vương
- 0946798489
Page | 5
Tài liệu toán 12
năm học 2018
(P) cỏch u (P1) v (P2) iu kin l (P) i qua im M, tc l:
Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 Giỏ tr ca D.
Bc 3.Thay D vo (*), ta nhn c phng trỡnh (P).
Cỏch 2: (S dng phng phỏp qu tớch): im M(x; y; z) (P) cn dng khi:d(M, (P1)) = d(M, (P2)) Phng trỡnh (P).
Vi yờu cu "Vit phng trỡnh mt phng (Q) song song vi (P1), (P2) v d((Q), (P1)) = k.d((Q), (P2))", chỳng ta s
dng ý tng trong cỏch 2 ca yờu cu (2), c th:
im M(x; y; z) (Q) cn dng khi:d(M, (P1)) = k.d(M, (P2)) Phng trỡnh (Q).
Vi yờu cu "Vit phng trỡnh mt cu tip xỳc vi (P1) ti im M1 v tho món iu kin K", chỳng ta thc hin
theo cỏc bc:
Bc 1. Gi M2 l hỡnh chiu vuụng gúc ca M1 trờn (P2). To ca im M2 c xỏc nh bng cỏch:
M1M 2 (P2 )
M1M 2 = t.n
.
M 2 (P2 )
M 2 (P2 )
Bc 2.
Vi iu kin K l:
a. Tip xỳc vi (P2) thỡ mt cu cn dng chớnh l mt cu ng kớnh M1M2.
b. Ct (P2) theo thit din l ng trũn ln thỡ mt cu cn dng chớnh l mt cu tõm M2 v bỏn
kớnh R = M1M2 = d.
Vi yờu cu "Vit phng trỡnh mt cu tip xỳc vi (P1) ti im M1 v ct (P2) theo thit din l ng trũn (C) cú bỏn
kớnh bng r", chỳng ta thc hin theo cỏc bc:
Bc 1. Gi s mt cu (S) cn dng cú tõm I(x; y; z) v bỏn kớnh R. Ta ln lt:
Bc 2.
(S) tip xỳc vi (P1) ti M1 khi: M1I (P1 ) M1I = t.n .
(S) ct (P2) theo thit din l ng trũn (C) cú bỏn kớnh bng r khi:r2 + M2I2 = R2 = M1I2 Giỏ tr t
To tõm I.
Vit phng trỡnh mt cu (S) tõm I v bỏn kớnh R = M1I.
Cho im M1(2; 1; 3) v hai mt phng (P1), (P2) cú phng trỡnh:
(P1): x + y + 2z + 3 = 0,
Vớ d 3.
(P2): x + (m 2)y + (m 1)z 3m = 0.
1. Tỡm (P1) song song vi (P2).
2. Vi m tỡm c cõu 1) hóy:
a. Tỡm khong cỏch gia hai mt phng (P1) v (P2).
b. Vit phng trỡnh mt phng song song v cỏch u hai mt phng (P1) v (P2).
c. Vit phng trỡnh mt phng (Q) song song vi (P1), (P2) v d((Q), (P1)) = 2d((Q), (P2)).
d. Vit phng trỡnh mt cu tip xỳc vi (P1) ti im M1 v tip xỳc vi (P2).
e. Vit phng trỡnh mt cu tip xỳc vi (P1) ti im M1 v ct (P2) theo thit din l ng trũn ln.
f. Vit phng trỡnh mt cu tip xỳc vi (P1) ti im M1 v ct (P2) theo thit din l ng trũn (C) cú bỏn kớnh
r=6 2.
Chỳ ý: Trong trng hp hai mt phng (P1) v (P2) ct nhau chỳng ta thng gp thờm cõu hi:
1.
2.
3.
4.
5.
Tớnh gúc gia (P1) v (P2).
Vit phng trỡnh giao tuyn (d) ca (P1) v (P2).
Vit phng trỡnh mt phng phõn giỏc ca gúc to bi (P1) v (P2).
Vit phng trỡnh mt phng cha (d) v tho món iu kin K.
Vit phng trỡnh mt cu tip xỳc vi (P1) ti im M1 v:
a. Tip xỳc vi (P2).
b. Ct (P2) theo thit din l ng trũn ln.
c. Ct (P2) theo thit din l ng trũn (C) cú bỏn kớnh bng r (hoc bit chu vi, din tớch ca (C)).
Vi yờu cu "Tớnh gúc gia (P1) v (P2)", chỳng ta cú ngay:
(P1) cú vtpt n1 (A1; B1; C1) v (P2) cú vtpT l n 2 (A2; B2; C2).
Gi l gúc to bi hai mt phng (P1) v (P2) (0
Giảng dạy: nguyễn bảo vương
- 0946798489
), ta cú:
2
Page | 6
Tài liệu toán 12
năm học 2018
n1 .n 2
cos = =
n1 . n 2
A1A 2 + B1B2 + C1C2
A12 + B12 + C12 . A 22 + B22 + C22
.
Lu ý: (P1) (P2) cos = 0 A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0.
Vi yờu cu "Vit phng trỡnh giao tuyn (d) ca (P1) v (P2)", chỳng ta thc hin theo cỏc bc sau:
(P1 )
Bc 1.
Giao tuyn (d) ca hai mt phng (P1) v (P2) gm cỏc im M(x; y; z) tho món h:
Bc 2.
La chn mt trong cỏc cỏch sau:
(P2 )
.
(1)
Qua M
.
vtcp u
Cỏch 1: Ly im M(d) v gi u l vtcp ca (d) thỡ: u = n1 , n 2 .T ú, ta cú:(d):
Qua M
(d):
Qua N
Cỏch 2: Ly hai im M v N thuc (d), ta cú:(d):
Qua M
.
vtcp u = MN
x = f1 (t)
Cỏch 3: t x = f1(t) (hoc y = f2(t) hoc z = f3(t)) (t ), ta bin i h (1) v dng: y = f2 (t) , t .
z = f (t)
3
ú chớnh l phng trỡnh tham s ca ng thng (d).
Lu ý: Nh vy, thc hin c yờu cu ny chỳng ta cn cú thờm kin thc v ng thng
trong khụng gian.
Vi yờu cu "Vit phng trỡnh mt phng phõn giỏc ca gúc to bi (P1) v (P2)", chỳng ta lp lun:
Mt phng phõn giỏc (Q) ca gúc to bi hai mt phng (P1) v (P2) gm cỏc im M(x; y; z) tho món:
d(M, (P1)) = d(M, (P2)) Hai mt phng (Q1) v (Q2).
Vi yờu cu "Vit phng trỡnh mt phng cha (d) v tho món iu kin K", chỳng ta ó c thy thụng qua yờu
cu "Vit phng trỡnh mt phng i qua hai im A, B v tho món iu kin K" trong dng toỏn 2 v s c thy
trong ch v ng thng.
Vi yờu cu "Vit phng trỡnh mt cu tip xỳc vi (P1) ti im M1 v tho món iu kin K", chỳng ta thc hin
theo cỏc bc:
Bc 1. Gi s mt cu (S) cn dng cú tõm I(x; y; z) v bỏn kớnh R.
(S) tip xỳc vi (P1) ti im M1 suy ra: M1I (P1 ) M1I // n1 M1I = t.n1 .
Bc 2.
Vi iu kin K l:
a. Tip xỳc vi (P2) thỡ:M1I = d(I, (P2)) Giỏ tr tham s t To tõm I.
Lu ý: Vi gi thit ny chỳng ta cũn cú th s dng phng trỡnh mt phng phõn giỏc (Q1),
(Q2) xỏc nh to tõm I.
b. Ct (P2) theo thit din l ng trũn ln thỡ:I (P2)) Giỏ tr tham s t To tõm I.
c. Ct (P2) theo thit din l ng trũn (C) cú bỏn kớnh r thỡ:
Bc 3.
R2 = d2(I, (P2)) + r2 M1I2 = d2(I, (P2)) + r2 Giỏ tr tham s t To tõm I.
Vit phng trỡnh mt cu (S) tõm I v bỏn kớnh R = M1I.
Vớ d 4. Cho im M1(2; 5; 0) v hai mt phng (P1), (P2) cú phng trỡnh: (P1): 3x 2y z + 4 = 0, (P2): x 3y + 2z 1 = 0.
a. Chng t rng (P1) ct (P2) theo giao tuyn (d). Tớnh gúc gia (P1), (P2) v tỡm mt vtcp ca ng thng (d).
b. Vit phng trỡnh mt phng phõn giỏc ca gúc to bi (P1) v (P2).
c. Vit phng trỡnh mt cu tip xỳc vi (P1) ti im M1 v tip xỳc vi (P2).
d. Vit phng trỡnh mt cu tip xỳc vi (P1) ti im M1 v ct (P2) theo thit din l ng trũn ln.
e. Vit phng trỡnh mt cu tip xỳc vi (P1) ti im M1 v ct (P2) theo thit din l ng trũn (C) cú bỏn kớnh
r = 21/ 2 .
Chỳ ý: Vi ba mt phng (P), (Q) v (R) cú cha tham s chỳng ta thng gp thờm cõu hi "Xỏc nh giỏ tr ca tham s
ba mt phng (P), (Q) v (R) ụi mt vuụng gúc vi nhau. Tỡm im chung ca c ba mt phng". Khi ú, chỳng ta
thc hin theo cỏc bc:
Giảng dạy: nguyễn bảo vương
- 0946798489
Page | 7
Tài liệu toán 12
Bc 1.
Bc 2.
ba mt phng (P), (Q), (R) ụi mt vuụng gúc vi nhau, iu kin l:
n P .n Q = 0
n P n Q
n P n R n P .n R = 0 .
n R .n Q = 0
n R n Q
Bc 3.
Vớ d 5.
năm học 2018
Tỡm cỏc vtpt n P , n Q , n R ca cỏc mt phng (P), (Q), (R).
To im chung I ca ba mt phng (P), (Q), (R) l nghim h phng trỡnh to bi (P),
(Q), (R).
Cho ba mt phng (P), (Q) v (R) cú phng trỡnh: (P): x + y + z 6 = 0;
(Q): x 2y + z = 0;
(R): kx + (m 1)y z + 2 = 0.
a. Xỏc nh giỏ tr m v k ba mt phng ú cựng i qua mt ng thng.
b. Xỏc nh giỏ tr m v k ba mt phng ú ụi mt vuụng gúc vi nhau. Tỡm im chung ca c ba mt phng.
DNG 4. V trớ tng i ca mt cu vi mt phng
Phng phỏp
Ta thc hin theo cỏc bc:
Bc 1.
Xỏc nh tõm I v tớnh bỏn kớnh R ca mt cu (S). Xỏc nh d = d(I, (P)
Bc 2.
So sỏnh d vi R a ra kt lun:
Nu d > R (P) (S) = (Hỡnh 1 trang bờn).
Nu d = R (P) tip xỳc vi (S) ti H (Hỡnh 2 trang bờn).
Nu d < R (P) (S) = (C) l mt ng trũn nm trong mt phng (P) (Hỡnh 3 trang
bờn).
V trong trng hp ny nu (S): x2 + y2 + z2 2ax 2by 2cz + d = 0, (P): Ax + By + Cz + D = 0, thỡ phng
trỡnh ng trũn (C) cú phng trỡnh: (C):
I
H
P
Hỡnh 1
.
I
P
Hỡnh 2
H
R
P
I
H
Hỡnh 3
Chỳ ý: 1. Trong phn ny chỳng ta s quan tõm nhiu hn ti cỏc dng toỏn:
Dạng 1:
Dạng 2:
Dạng 3:
Dạng 4:
Vit phng trỡnh mt phng tip xỳc vi mt cu v tha món iu kin K cho trc.
Vit phng trỡnh mt phng ct mt cu theo giao tuyn l ng trũn (C) tha món iu kin K
cho trc.
Vit phng trỡnh mt cu tip xỳc vi mt phng v tha món iu kin K cho trc.
Vit phng trỡnh mt cu ct mt phng theo giao tuyn l ng trũn (C) tha món iu kin K
cho trc.
2. Trong trng hp mt phng khụng ct mt cu, c th vi mt phng (P) (cú vtpt n(A; B; C) ) khụng ct
mt cu (S) (cú tõm I bỏn kớnh R) chỳng ta thng gp thờm cỏc cõu hi:
1. Vit phng trỡnh mt phng song song vi (P) v:
Giảng dạy: nguyễn bảo vương
- 0946798489
Page | 8
Tài liệu toán 12
năm học 2018
a. Tip xỳc vi (S).
b. Ct (S) theo thit din l ng trũn ln.
c. Ct (S) theo thit din l ng trũn (C) cú bỏn kớnh bng r (hoc bit chu vi, din tớch ca
(C)).
2. Vit phng trỡnh ng thng vuụng gúc vi (P) v ct (S) ti hai im A, B sao cho AB cú
di ln nht.
3. Vit phng trỡnh mt cu (S) i xng vi (S) qua (P).
4. Vit phng trỡnh mt cu tip xỳc vi (P) v (S).
Ta ln lt:
Vi yờu cu "Vit phng trỡnh mt phng (Q) song song vi (P) v tho món iu kin K", chỳng ta thc hin theo
cỏc bc:
Bc 1. Mt phng (Q) song song vi (P) nờn cú phng trỡnh:(Q): Ax + By + Cz + D = 0.
Bc 2. Vi iu kin K l:
a. (Q) tip xỳc vi (S), suy ra:d(I, (Q)) = R Giỏ tr ca D Phng trỡnh (Q).
b. (Q) ct (S) theo thit din l ng trũn ln, suy ra:
I (Q)) Giỏ tr ca D Phng trỡnh (Q).
c. (Q) ct (S) theo thit din l ng trũn (C) cú bỏn kớnh bng r, suy ra:
d(I, (Q))
=
R 2 r 2 Giỏ tr ca D
Phng trỡnh (Q).
Vi yờu cu "Vit phng trỡnh ng thng vuụng gúc vi (P) v ct (S) ti hai im B sao cho AB cú di ln nht",
chỳng ta thy ngay ú l ng thng i qua I v cú vtcp n .
Vi yờu cu "Vit phng trỡnh mt cu (S) i xng vi (S) qua (P)", chỳng ta thc hin theo cỏc bc:
Bc 1. Tỡm to im I i xng vi I qua (P).
Bc 2. Mt cu (S') cú tõm I' v bỏn kớnh R.
Vi yờu cu "Vit phng trỡnh mt cu tip xỳc vi (P) v (S)", cỏc em hc sinh cn cú thờm kin thc v ng
thng trỡnh by theo cỏc bc:
Bc 1. Gi (T) l mt cu tho món iu kin u bi v gi s (T) tip xỳc vi (S), (P) theo th t ti M v
H (H chớnh l hỡnh chiu vuụng gúc ca I trờn (P)), suy ra M, H, I thuc (d) cú phng trỡnh cho bi:
Qua I
.
(d) :
vtcp n
Bc 2.
Bc 3.
Bc 4.
Tip im H ca (T) vi mt phng (P) l giao im ca (d) vi (P).
Tip im M ca (T) vi mt cu (S) l giao im ca (d) vi (S).
Vit phng trỡnh mt cu ng kớnh MH.
1. caực vớ duù minh hoùa
Vớ d 1.
Cho mt phng (P) v mt cu (S) cú phng trỡnh:
(P): 2x 3y + 2z 3 = 0,
(S) : ( x 8 ) + ( y + 8 ) + ( z 7 ) =
68 .
2
a.
b.
c.
d.
2
2
Xỏc nh v trớ tng i ca mt phng (P) v mt cu (S).
Vit phng trỡnh mt phng song song vi mt phng (P) v tip xỳc vi mt cu (S).
Vit phng trỡnh mt phng song song vi (P) v ct (S) theo thit din l ng trũn ln.
Vit phng trỡnh mt phng song song vi (P) v ct (S) theo thit din l ng trũn (C) cú bỏn kớnh bng
r = 51 .
e. Vit phng trỡnh mt cu (S) i xng vi (S) qua (P).
f. Vit phng trỡnh mt cu tip xỳc vi (P) v (S).
Chỳ ý: Trong trng mt phng (P) (cú vtpt n(A; B; C) ) tip xỳc vi mt cu (S) (cú tõm I bỏn kớnh R) ti im M
chỳng ta thng gp thờm cỏc cõu hi:
1. Tỡm ta tip im M ca (P) v (S).
Giảng dạy: nguyễn bảo vương
- 0946798489
Page | 9
Tài liệu toán 12
năm học 2018
2. Vit phng trỡnh mt phng song song vi (P) v:
a. Tip xỳc vi (S).
b. Ct (S) theo thit din l ng trũn ln.
c. Ct (S) theo thit din l ng trũn (C) cú bỏn kớnh bng r (hoc bit chu vi, din tớch ca (C)).
3. Vit phng trỡnh ng thng qua M v ct mt cu (S) ti im N sao cho MN cú di ln nht.
4. Vit phng trỡnh mt cu (S) i xng vi (S) qua (P).
Vi yờu cu "Tỡm ta tip im M ca (P) v (S)", chỳng ta thy ngay M chớnh l hỡnh chiu vuụng gúc ca I
trờn (P).
Vi yờu cu "Vit phng trỡnh mt phng (Q) song song vi (P) v tho món iu kin K", c thc hin tng t
nh trong trng hp (P) khụng ct (S). Tuy nhiờn, vi yờu cu (2.a) chỳng ta cũn cú th thc hin nh sau:
Bc 1. Gi s mt phng (Q) cn dng tip xỳc vi (S) ti im N, suy ra N l im i xng vi M qua I.
Bc 2.
Qua N
.
vtpt n
Phng trỡnh mt phng (Q) c cho bi: (Q) :
Vi yờu cu "Vit phng trỡnh ng thng (d) qua M v ct mt cu (S) ti im N sao cho MN cú di ln nht",
chỳng ta thy ngay ng thng (d) i qua hai im M v I.
Vi yờu cu "Vit phng trỡnh mt cu (S) i xng vi (S) qua (P)", chỳng ta thc hin theo cỏc bc:
Bc 1. Tỡm to im I i xng vi I qua (P), suy ra I' i xng vi I qua M.
Bc 2. Mt cu (S') cú tõm I' v bỏn kớnh R.
Vớ d 2. Cho mt phng (P) v mt cu (S) cú phng trỡnh:(P): 2x y + 2z 5 = 0, (S) : ( x 3) + y 2 + ( z 4 ) =
9.
2
2
a. Chng t rng mt phng (P) tip xỳc vi mt cu (S). Tỡm to tip im M ca (P) v (S).
b. Vit phng trỡnh mt phng song song vi mt phng (P) v tip xỳc vi mt cu (S).
c. Vit phng trỡnh mt phng song song vi (P) v ct (S) theo thit din l ng trũn ln.
d. Vit phng trỡnh mt phng song song vi (P) v chia (S) thnh hai phn cú t s th tớch bng
e. Vit phng trỡnh mt cu (S) i xng vi (S) qua (P).
7
.
20
Chỳ ý: Trong trng mt phng (P) (cú vtpt n(A; B; C) ) ct mt cu (S) (cú tõm I bỏn kớnh R) theo thit din l ng trũn
(C) chỳng ta thng gp thờm cỏc cõu hi:
1. Xỏc nh to tõm v tớnh bỏn kớnh ca (C).
2. Vit phng trỡnh mt phng song song vi (P) v:
a. Tip xỳc vi (S).
b. Ct (S) theo thit din l ng trũn ln.
c. Ct (S) theo thit din l ng trũn (C) cú bỏn kớnh bng r (hoc bit chu vi, din tớch ca (C)).
3. Vit phng trỡnh ng thng vuụng gúc vi (P) v ct (S) ti hai im A, B sao cho AB cú di
ln nht.
4. Vit phng trỡnh mt cu (S) i xng vi (S) qua (P).
5. Vit phng trỡnh mt cu tip xỳc vi (P) v (S).
Vi yờu cu "Xỏc nh to tõm v tớnh bỏn kớnh ca (C)", chỳng ta thc hin theo cỏc bc:
Bc 1.
rC
Bỏn kớnh rC ca (C) c xỏc nh bi=
R 2 d(I, (P)) .
Bc 2.
To tõm ca (C) chớnh l hỡnh chiu vuụng gúc M ca I trờn (P).
Vi yờu cu "Vit phng trỡnh mt phng (Q) song song vi (P) v tho món iu kin K", c thc hin tng t
nh trong trng hp (P) khụng ct (S). Tuy nhiờn, vi yờu cu "Vit phng trỡnh mt phng (Q) song song vi
(P) v ct (S) theo thit din l ng trũn cú bỏn kớnh bng (C)" chỳng ta cũn cú th thc hin nh sau:
Bc 1. Gi s mt phng (Q) cn dng ct (S) theo thit din l ng trũn cú tõm N, suy ra N l im i
xng vi M qua I.
Bc 2.
Qua N
.
vtpt n
Phng trỡnh mt phng (Q) c cho bi: (Q) :
Cỏc yờu cu cũn li c thc hin tng t nh trong trng hp (P) khụng ct (S).
Vớ d 3.
Cho mt phng (P) v mt cu (S) cú phng trỡnh:(P): x + 2y + 3z 10 = 0, (S) : ( x 2 ) + y 2 + ( z + 2 ) =
56 .
Giảng dạy: nguyễn bảo vương
2
- 0946798489
2
Page | 10
Tài liệu toán 12
năm học 2018
a. Chng t rng mt phng (P) ct mt cu (S) theo giao tuyn l ng trũn (C). Xỏc nh to tõm M v tớnh
b.
c.
d.
e.
f.
bỏn kớnh r ca (C).
Vit phng trỡnh mt phng song song vi mt phng (P) v tip xỳc vi mt cu (S).
Vit phng trỡnh mt phng song song vi (P) v ct (S) theo thit din l ng trũn ln.
Vit phng trỡnh mt phng song song vi (P) v ct (S) theo thit din l ng trũn cú bỏn kớnh bng r.
Vit phng trỡnh mt cu (S) i xng vi (S) qua (P).
Vit phng trỡnh mt cu tip xỳc vi (P) v (S).
1i. Baứi taọp tửù luaọn tửù luyeọn
Bi 1 Lp phng trỡnh mt phng (P ) bit:
1. (P ) i qua A(1;2; 3), B(4; 2; 1),C (3; 1;2) ;
2. (P ) l mt phng trung trc on AC ( Vi A,C cõu 1);
3. (P ) i qua M (0; 0;1), N (0;2; 0) v song song vi AB ;
4. (P ) i qua cỏc hỡnh chiu ca A lờn cỏc mt phng ta .
Bi 2 Cho hai mt phng cú phng trỡnh () : x y z 4 0 & ( ) : 3x y z 1 0.
Lp phng trỡnh mt phng (P ) qua giao tuyn ca hai mt phng (), ( ) v mt phng (P )
1. Qua im A(1; 8;2).
2. Vuụng gúc vi mt phng (Q ) : x 8y z 2 0.
3. To vi (R) : x 2y 2z 1 0 gúc vi cos
1
33
.
Bi 3 Lp phng trỡnh mt phng () , bit:
1. () i qua M (2; 3;1) v song song vi mp (P ) : x 2y 3z 1 0 ;
2. () i qua A 2;1;1, B 1; 2; 3 v () vuụng gúc vi ( ) : x y z 0 ;
3. () cha trc Ox v vuụng gúc vi (Q ) : 2x 3y z 2 0 .
4. () qua ba im A(2; 8; 5), B(18;14; 0),C (12; 8; 3).
5. () l mt phng trung trc ca EF vi E (5;2; 7), F (1; 8;1).
6. () qua D(2; 3; 5) v song song vi mt phng (Oyz ).
7. () qua G (1; 3;2) v vuụng gúc vi hai mt phng ( ) : x 2y 5z 1 0, ( ) : 2x 3y z 4 0.
8. () qua cỏc hỡnh chiu ca im H (2;1; 5) trờn cỏc trc ta .
Bi 4 . Lp phng trỡnh ca P trong cỏc trng hp sau:
1. P i qua A 1;2;1 v song song vi Q : x y 3z 1 0 ;
2. P i qua M 0;1;2, N 0;1;1, E 2; 0; 0 ;
3. P l mt phng trung trc ca on MN ( M , N ý 2) ;
4. P i qua cỏc hỡnh chiu ca A(1;2; 3) lờn cỏc trc ta ;
5. P i qua B 1;2; 0, C 0;2; 0 v vuụng gúc vi R : x y z 1 0 ;
6. P i qua D 1;2; 3 v vuụng gúc vi hai mt phng : : x 2 0 ;
: y z 1 0 .
Bi 5 Trong khụng gian Oxyz cho ba im A(3; 0; 0), B(1;2;1), C (2; 1;2) .
9
(vdt).
2
2. Lp phng trỡnh mt phng qua C , A v ct trc Oy ti im N sao cho th tớch khi t din ABCN bng 12 (vtt).
1. Lp phng trỡnh mt phng qua A, B v ct trc Oz ti im M sao cho din tớch tam giỏc MAB bng
3. Lp phng trỡnh mt phng () qua ba im B,C v tõm mt cu ni tip hỡnh t din OABC .
Bi 6 Trong khụng gian Oxyz cho bn im A(1;2; 3), B(2; 3; 1) , C (0;1;1) D(4; 3; 5) . Lp phng trỡnh mt phng ()
bit:
1. () i qua A v cha Ox
2. () i qua A, B v cỏch u hai im C , D .
Giảng dạy: nguyễn bảo vương
- 0946798489
Page | 11
Tài liệu toán 12
năm học 2018
Bi 7 Lp phng trỡnh mt phng () , bit:
1. () i qua A 1;1;1, B(3; 0;2) v khong cỏch t C 1; 0; 2 n () bng 2 ;
2. () cỏch u hai mt phng (P ) : 2x y 2z 1 0, (Q ) : x 2y 2z 4 0
3. () i qua giao tuyn ca hai mt phng (P ) v (Q ) , ng thi () vuụng gúc vi mt phng ( ) : 3x 2y z 5 0 .
Bi 8 Lp phng trỡnh (P ) bit (P ) :
1. Song song vi Q : 2x 3y 6z 14 0 v khong cỏch t O n (P ) bng 5 .
7
1
.
2. i qua giao tuyn ca hai mp () : x 3z 2 0 ; ( ) : y 2z 1 0 , khong cỏch t M 0; 0; n (P) bng
2
6 3
Bi 9 Lp phng trỡnh mt phng () bit
1. () i qua A(1; 0;2), B(2; 3; 3) v to vi mt phng ( ) : 4x y z 3 0 mt gúc 600 .
2. () i qua C (2; 3; 5), vuụng gúc vi (P ) : x 5y z 1 0 v to vi mt phng (Q ) :2x 2y z 3 0 gúc 450 .
Bi 10 Cho mt phng (P ) :2x y 2z 3 0 v ba im A(1;2; 1), B(0;1;2),C (1; 1; 0).
1. Tỡm im M Ox sao cho d (M , (P )) 3.
2. Tỡm im N Oy sao cho im N cỏch u mt phng (P ) v im A.
3. Tỡm im K (P ) sao cho KB KC v KA
3
.
2
4. Tỡm im H (P ) sao cho HA HB HC .
Bi 11
1. Tỡm m, n 3 mt phng sau cựng i qua mt ng thng:
P : x my nz 2 0 , Q : x y 3z 1 0 v R :
2x 3y z 1 0 . Khi ú hóy vit phng trỡnh mt phng
() i qua ng thng chung ú v to vi (P ) mt gúc sao cho cos
23
679
.
2. Cho ba mt phng: (1 ) : x y z 3 0; (2 ) : 2x 3y 4z 1 0 v (3 ) : x 2y 2z 4 0 .
a) Chng minh cỏc cp mp (1 ) v (2 ) ; (1 ) v (3 ) ct nhau;
b) Vit phng trỡnh (P ) i qua A 1; 0;1 v giao tuyn ca (1 ) v (2 ) ;
c) Vit phng trỡnh (Q ) i qua giao tuyn ca hai mp (1 ) v (2 ) v ng thi vuụng gúc vi mp (3 ) .
3. Cho ba mt phng (P ) :(4 a )x (a 5)y az a 0 v (Q ) :2x 3y bz 5 0; (R) : 3x cy a(c a )z c 0.
a) Bin lun v trớ tng i ca hai mt phng (P ) v (Q ).
b) Tỡm a, c (P ) song song vi (R).
c) Tỡm a, c (P ) qua im A(1; 3; 2) v (P ) vuụng gúc vi (R).
Bi 12 Lp phng trỡnh mt phng () bit
1. () qua hai im A(1;2; 1), B(0; 3;2) v vuụng gúc vi (P ) : 2x y z 1 0.
2. () cỏch u hai mt phng ( ) : x 2y 2z 2 0, ( ) : 2x 2y z 3 0.
3. () qua hai im C (1; 0;2), D(1; 2; 3) v khong cỏch t gc ta ti mt phng () l 2.
11
, trong ú A(1;2; 1), B(0; 3;2).
7
5. Qua hai im A(1;2; 3), B(5; 2; 3) v () to vi mt phng ( ) gúc 450 , vi ( ) : 4x y z 2 0.
4. () i qua E (0; 1; 1) v d (A,()) 2; d (B,())
6. Qua C (1; 1; 1), () to vi mt phng ( ) : x y 2 0 gúc 600 ng thi d (O,())
2
.
3
Bi 13 Lp phng trỡnh mt phng () bit ()
1. Cỏch u hai mt phng (1 ) : 5x 2y 7z 8 0,(2 ) : 5x 2y 7z 60 0.
2. Song song vi (3 ) : 6x 3y 2z 1 0 v khong cỏch t A(1; 2; 1) n mt phng () l 1.
3. Qua hai im B(5; 0; 3), C (2; 5; 0) ng thi () cỏc u hai im M (1; 2; 6) v N (1; 4;2).
Giảng dạy: nguyễn bảo vương
- 0946798489
Page | 12
Tài liệu toán 12
năm học 2018
4. Qua D(1; 3; 1), vuụng gúc vi mt phng 3x 2y 2z 4 0 v d (E ,()) 3, vi E (5; 2; 3).
5. Qua F (4;2;1) v d (I ,())
7
, d (J ,()) 1 trong ú I (1; 1;2) v J (3; 4; 1).
3
1ii. Baứi taọp traộc nghieọm tửù luyeọn
Q : 2 x y 5 z 15 0 v im E 1;2;3 . Mt phng
P qua E v song song vi Q cú phng trỡnh l:
Cõu 115. ( MINH HA QUC GIA NM 2017) Trong
Vn 1. PHNG TRèNH MT PHNG
khụng gian vi h ta
Oxyz ,
cho mt phng
P : 3 x z 2 0 . Vect no di õy l mt vect phỏp
tuyn ca P ?
A. n 1;0; 1 .
B. n 3; 1;2 .
C. n 3; 1;0 .
D. n 3;0; 1 .
Cõu 116. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai vecto a
v b u khỏc 0 . Mnh ny sau õy ỳng?
a P
a , b l mt vect phỏp tuyn ca P .
A.
b P
a P , b P
a , b l mt vect phỏp tuyn ca
B.
a k b , k 0
P .
a P , b P
k
C.
a k b , k 0
P .
A. P : x 2 y 3z 15 0 B. P : x 2 y 3z 15 0
C. P : 2 x y 5z 15 0 D. P : 2 x y 5z 15 0
Cõu 119. ( MINH HA QUC GIA NM 2017) Trong
khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai im A 0;1;1 v
B 1;2;3 . Vit phng trỡnh mt phng P i qua A v
vuụng gúc vi ng thng AB .
A. P : x y 2 z 3 0 . B. P : x y 2 z 6 0 .
C. P : x 3 y 4 z 7 0 .D. P : x 3 y 4 z 26 0 .
Cõu 120. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , mt phng P
qua im G 1;1;1 v vuụng gúc vi ng thng O G cú
phng trỡnh l:
A. P : x y z 3 0
B. P : x y z 0
D. P : x y z 3 0
C. P : x y z 0
a , b l mt vect phỏp tuyn ca Cõu 121. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho ba im
A 2;1; 1, B 1;0;4 , C 0; 2; 1 . Phng trỡnh no sau
a P , b P
a , b l mt vect phỏp tuyn ca
D.
a k b , k 0
P .
õy l phng trỡnh ca mt phng i qua A v vuụng gúc vi
BC ?
A. x 2 y 5z 5 0
B. x 2 y 5z 0
C. x 2 y 5z 5 0
D. 2 x y 5z 5 0
Cõu 117. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt phng Cõu 122. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai im
: Ax By Cz D 0 .
A 4;1; 2 v B 5;9;3 . Phng trỡnh mt phng trung trc
Mnh no sau õy l ỳng?
ca on A B l:
A. Nu D 0 thỡ song song vi mt phng O yz
A. 2 x 6 y 5z 40 0 B. x 8 y 5z 41 0
B. Nu D 0 thỡ i qua gc ta .
C. x 8 y 5z 35 0
BC 0
C. Nu
thỡ song song vi trc O x .
A D 0
BC 0
thỡ cha trc O y .
D. Nu
A D 0
Cõu 118. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt phng
Giảng dạy: nguyễn bảo vương
- 0946798489
D. x 8 y 5z 47 0
Cõu 123. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt phng
: 4 x 3 y 7z 3 0 v im I 1;1;2 . Phng
trỡnh mt phng i xng vi qua I l:
A. : 4 x 3 y 7 z 3 0 B. : 4 x 3 y 7 z 11 0
C. : 4 x 3 y 7 z 11 0 D. : 4 x 3 y 7 z 5 0
Page | 13
Tài liệu toán 12
năm học 2018
Cõu 124. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho ba im
A 3; 1;2 , B 4; 1; 1 v C 2;0;2 . Mt phng i qua
P , Q v vuụng gúc vi P , phng trỡnh ca mt phng
l:
ba im A, B, C cú phng trỡnh :
A. 3 x 3 y z 14 0
B. 3 x 3 y z 8 0
C. 3 x 2 y z 8 0
D. 2 x 3 y z 8 0
A. : 7 x 11 y z 3 0 B. : 7 x 11 y z 1 0
C. : 7 x 11 y z 15 0 D. : 7 x 11 y z 1 0
Cõu 125. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , mt phng
cha trc O z v i qua im P 2; 3;5 cú phng trỡnh l:
A. : 2 x 3 y 0
Cõu 130. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , mt phng
ct ba trc ta ti ba im M 8;0;0 , N 0; 2;0 v
P 0;0;4 . Phng trỡnh ca mt phng l:
B. : 2 x 3 y 0
C. : 3 x 2 y 0
A. :
D. : y 2 z 0
Cõu 126. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai im
x
y
z
0
8 2 4
B. :
C. : x 4 y 2 z 0
x
y
z
1
4 1 2
D. : x 4 y 2 z 8 0
M 1; 1;5 v N 0;0;1 . Mt phng cha M , N v Cõu 131. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho im
song song vi trc Oy cú phng trỡnh l:
A 4; 3;2 . Hỡnh chiu vuụng gúc ca A lờn cỏc trc ta
A. : 4 x z 1 0
B. : x 4 z 2 0
C. : 2 x z 3 0
D. : x 4 z 1 0
O x , O y , O z theo th t ln lt l M , N , P . Phng
trỡnh mt phng MNP l:
A. 4 x 3 y 2z 5 0
B. 3x 4 y 6z 12 0
C. 2 x 3 y 4 z 1 0
D.
Cõu 127. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , mt phng
i qua im M 0;0; 1 v song song vi giỏ ca hai vect
a 1; 2;3, b 3;0;5 . Phng trỡnh ca mt phng
l:
x y z
1 0
4 3 2
Cõu 132. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , mt phng P ct
trc O z ti im cú cao bng 2 v song song vi mt phng
A. : 5x 2 y 3z 3 0
Oxy . Phng trỡnh ca mt phng P l:
B. : 5x 2 y 3z 21 0
A. P : z 2 0
B. P : x 2 0
C. : 10 x 4 y 6z 21 0
C. P : y z 2 0
D. P : x y 2 0
D. : 5x 2 y 3z 21 0
Cõu 133. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho im
Cõu 128. Trong khụng gian vi h ta mt phng i qua
A 2; 1;1
v
vuụng
gúc
vi
hai
mt
phng
P : 2 x z 1 0 v Q : y 0 . Phng trỡnh ca mt
A, B, C
sao cho G l trng tõm ca tam giỏc ABC .
Phng trỡnh ca mt phng l:
A. : 2 x 3 y 6 z 18 0 B. : 3 x 2 y 6 z 18 0
phng l:
A. : 2 x y 4 0
B. : x 2 z 4 0
C. : x 2 y z 0
D. : 2 x y z 0
C. : 6 x 3 y 2 z 18 0 D. : 6 x 3 y 3 z 18 0
Cõu 134. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho im
Cõu 129. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai im
P 2;0; 1 ,
G 1;2;3 . Mt phng i qua G , ct O x , O y , O z ti
Q 1; 1;3
v
mt
phng
P : 3 x 2 y z 5 0 . Gi l mt phng i qua
Giảng dạy: nguyễn bảo vương
- 0946798489
H 2;1;1 . Mt phng i qua H , ct O x , O y , O z ti
A, B, C
sao cho H
l trc tõm ca tam giỏc ABC .
Phng trỡnh ca mt phng l:
Page | 14
Tài liệu toán 12
năm học 2018
A. : 2 x y z 6 0 B. : x 2 y z 6 0
A. 2
C. : x y 2 z 6 0 D. : 2 x y z 6 0
B.
2
3
C.
4
3
D.
2
9
Cõu 141. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho
Cõu 135. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho
S 1;6;2, A 0;0;6, B 0;3;0, C 2;0;0 . Gi H
l
A 3, 2, 2, B 3,2,0 , C 0,2,1 v D 1,1,2 . Mt cu
tõm A v tip xỳc vi mt phng BCD cú bỏn kớnh bng:
chõn ng cao v t S ca t din. Phng trỡnh no di
A. 9
õy l phng trỡnh mt phng SBH :
A. x 5 y 7 z 15 0
P : 3x y 3z 6 0
D. x 7 y 5z 15 0
2
Cõu 136. ( MINH HA QUC GIA NM 2017) Trong
khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt phng
A 1; 2;3 .
v im
13
D.
v
2
mt
cu
2
S : x 4 y 5 z 2 25 . Mt phng P ct
Vn 2. KHONG CCH T MT IM N MT
PHNG
P : 3x 4 y 2 z 4 0
14
C.
Cõu 142. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt phng
B. 5x y 7z 15 0
C. 7 x 5 y z 15 0
B. 5
mt cu S theo giao tuyn l mt ng trũn. ng trũn
giao tuyn ny cú bỏn kớnh r bng:
A. r 6
C. r 6
B. r 5
D. r 5
Tớnh Cõu 143. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt cu
S : x 2 y 2 z 2 6 x 4 y 12 0 . Mt phng no sau
khong cỏch d t A n P .
õy ct S theo mt ng trũn cú bỏn kớnh r 3 ?
A. d
5
.
9
B. d
5
.
29
5
C. d
29
.
D. d
5
.
3
Cõu 137. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , gi H l hỡnh
chiu vuụng gúc ca im A 2; 1; 1 trờn mt phng
: 16 x 12 y 15 z 4 0 . Tớnh di on thng AH .
A. 55 .
B.
11
.
5
C.
11
.
25
D.
ta O n mt phng i qua ba im A, B, C .
3.
B. 3 .
v
mt
cu
S : x 2 y 2 z 2 2 x y z 22 0 . Khong cỏch t
tõm I ca mt cu S ti mt phng P l:
A. 1
C. 3
B. 2
I 2;1; 1
v
tip
vi
mt
: 2 x 2 y z 3 0 . Bỏn kớnh ca S bng:
Giảng dạy: nguyễn bảo vương
- 0946798489
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
C. S : x 2 y 1 z 1 8 .
D. S : x 2 y 1 z 1 10 .
Cõu 145. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt cu
v
mt
phng
P : 2 x 2 y 2 z 15 0 . Khong cỏch ngn nht gia
D. 4
xỳc
2
A. S : x 2 y 1 z 1 8 .
S : x 2 y 2 z 2 2 y 2 z 1 0
Cõu 140. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , mt cu S cú
tõm
cú bỏn kớnh bng 1 . Vit phng trỡnh mt cu S .
B. S : x 2 y 1 z 1 10 .
3
D. .
2
Cõu 139. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt phng
P : 3 x 2 y 6 z 14 0
Cõu 144. ( MINH HA QUC GIA NM 2017) Trong
khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt cu S cú tõm
phng P ct mt cu S theo giao tuyn l mt ng trũn
A 1;1;3 , B 1;3;2 , C 1;2;3 . Tớnh khong cỏch t gc
A.
C. 4 x 3 y z 4 26 0 D. 3 x 4 y 5 z 17 20 2 0
I 2;1;1 v mt phng P : 2 x y 2 z 2 0 . Bit mt
22
.
5
Cõu 138. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho cỏc im
3
C.
.
2
B. 2 x 2 y z 12 0
A. x y z 3 0
im M trờn S v im N trờn P l:
phng
A.
3 3
2
B.
3 2
3
C.
3
2
D.
2
3
Page | 15
Tài liệu toán 12
năm học 2018
Cõu 146. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai mt
phng song song P v Q ln lt cú phng trỡnh
2 x y z 0 v 2 x y z 7 0 . Khong cỏch gia hai
mt phng P v Q bng:
A. 7 .
B. 6 7 .
C. 7 6 .
: 3 x 2 y z 5 0
D.
7
6
.
v
ng
thng
x 1 y 7 z 3
. Gi l mt phng cha v
2
1
4
song song vi mt phng . Tớnh khong cỏch gia v
.
B.
9
14
.
D.
Cõu 152. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho im
A 1;2;1 v hai mt phng P : 2 x 4 y 6 z 5 0 ,
A. Mt phng Q i qua A v song song vi P .
:
9
.
14
C.
Q : x 2 y 3 z 0 . Mnh no sau õy l ỳng?
Cõu 147. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt phng
A.
A. B.
C.
3
.
14
D.
3
14
B. Mt phng Q khụng i qua A v song song vi P .
C. Mt phng Q i qua A v khụng song song vi P .
D. Mt phng Q khụng i qua A v khụng song song vi
P .
Cõu 153. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai mt phng
.
Vn 3. V TR TNG I
P : x 3 y 2 z 1 0
v
Q : 2m 1 x m 1 2m y 2m 4 z 14 0 .
P v Q vuụng gúc vi nhau khi m ?
Cõu 148. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai mt phng
P : 2 x 3 y 4 z 20 0 v Q : 4 x 13 y 6 z 40 0
. V trớ tng i ca P v Q l:
A. m 1 hoc m
A. Song song.
B. Trựng nhau.
C. m 2
C. Ct nhng khụng vuụng gúc.
D. Vuụng gúc.
Cõu 149. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai mt phng
P : x 2 y 2 z 14 0 v Q : x 2 y 2 z 16 0 .
V trớ tng i ca P v Q l:
A. Song song.
B. Trựng nhau.
C. Ct nhng khụng vuụng gúc.
D. Vuụng gúc.
Cõu 150. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cp mt phng
no sau õy song song vi nhau?
3
2
B. m 1 hoc m
D. m
3
2
3
2
Cõu 154. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai mt
: x y nz 3 0
phng
v
: 2 x my 2 z 6 0 . Vi giỏ tr no sau õy ca m, n
thỡ song song vi ?
A. m 2 v n 1
C. m
1
v n 1
2
B. m 1 v n 2
D. m 1 v n
1
2
A. P : 2 x y z 5 0 v Q : 4 x 2 y 2 z 10 0 . Cõu 155. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai im
A 3;2;2 , B 2;2; 2 v vect v 2; 1;3 . Gi P l
B. R : x y z 3 0 v S : 2 x 2 y 2 z 6 0 .
mt phng cha AB v song song vi vect v . Xỏc nh
C. T : x y z 0 v U :
x y z
0.
2 2 2
D. X : 3 x y 2 z 3 0 v Y : 6 z 2 y 6 0 .
Cõu 151. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho ba mt
phng : x y 2 z 1 0 , : x y z 2 0 v
: x y 5 0 . Trong cỏc mnh sau, mnh no
sai?
Giảng dạy: nguyễn bảo vương
- 0946798489
m, n mt phng Q : 4 x my 5 z 1 n 0 trựng vi
P .
A. m 23, n 45 .
B. m 23, n 45 .
C. m 45, n 23 .
D. m 45, n 23 .
Cõu 156. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai mt phng
: 2 x my 3 z 6 m 0
v
Page | 16
Tài liệu toán 12
năm học 2018
: m 3 x 2 y 5m 1 z 10 0. Vi giỏ tr no ca
m thỡ hai mt phng ú ct nhau?
A. m 1 .
D. P ct S .
Cõu 163. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt phng
C. m 1 .
B. m 1 .
C. P tip xỳc vi S .
D. m
P : 3x y 2 z 1 0
1
.
2
2
Cõu 157. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt phng
: 4 x 3 y 7 z 7 0 . Mnh no sau õy l ỳng ?
A. Trc Oz ct ti M 0;0;1 .
v
2
cu
S : x 3 y 2 z 1 14 . V trớ tng i ca
P v S l:
A. P i qua tõm ca S . B. P khụng ct S .
C. P tip xỳc vi S .
B. Trc Oz cha trong mt phng .
mt
2
D. P ct S .
Cõu 164. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt cu
C. Trc Oz song song vi .
2
2
2
S : x 1 y 2 z 1 4 .
D. Trc Oz vuụng gúc vi .
Mt phng no sau õy ct mt cu S ?
Cõu 158. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt phng
: 2 y z 0 . Tỡm mnh ỳng trong cỏc mnh sau :
A. P1 : x y z 2 0
B. P2 : x y z 2 0
A. Ox
C. P3 : x y z 2 0
D. P4 : x y z 2 0
B. yOz C. Oy
D. Ox
Cõu 159. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , mt phng no Cõu 165. Trong khụng gian vi h ta Oxyz ,
trong cỏc mt phng di õy ct cỏc trc ta ?
2
2
2
cho mt cu S : x 1 y 3 z 2 49 .
A. P : 3x 2 y 6z 6 0 .B. Q : x 2 0
Phng trỡnh no sau õy l phng trỡnh ca mt phng tip
xỳc vi mt cu S ?
D. S : y 3z 3 0
C. R : x 2z 2 0
Cõu 160. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho im
I 2;6; 3 v cỏc mt phng : x 2 0 , : y 6 0
, : z 3 0 . Tỡm mnh sai trong cỏc mnh sau:
Cõu 161. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt phng
2
v
mt
B. : 2 x 3 y 6 z 5 0
C. : 6 x 2 y 3 z 55 0 D. : x 2 y 2 z 7 0
A. i qua I B. Oz C. xOz D. Oz
P : x 2 y 2 z 3 0
A. : 6 x 2 y 3 z 0
Cõu 166. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt cu
2
2
2
S : x 1 y 2 z 1 4 v mt phng
cu
: 2 x y 2 z 4 0 .
2
S : x y 4 z 1 36 . V trớ tng i ca P
v S l:
Mt phng P tip xỳc vi S v song song vi .
A. P i qua tõm ca S . B. P khụng ct S .
Phng trỡnh ca mt phng P l:
C. P tip xỳc vi S .
A. P : 2 x y 2 z 4 0 B. P : 2 x y 2 z 8 0
2
D. P ct S .
Cõu 162. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt phng
P : x 2 y 2 z 24 0
v
mt
C. P : 2 x y 2 z 4 0
D.
cu
P : 2 x y 2 z 8 0
2
2
2
S : x 1 y 2 z 3 9 . V trớ tng i ca
Cõu 167. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt cu
P v S l:
A. P i qua tõm ca S . B. P khụng ct S .
Giảng dạy: nguyễn bảo vương
- 0946798489
2
2
2
S : x 1 y 2 z 1 9 v im A 3;4;0 thuc
Page | 17
Tài liệu toán 12
năm học 2018
S .
P v mt phng Q bng:
Phng trỡnh mt phng tip din vi S ti A l:
A. 30 0
A. 2 x 2 y z 2 0
B. 2 x 2 y z 2 0
C. 2 x 2 y z 14 0
D. x y z 7 0
2
C. 60 0
D. 90 0
Cõu 174. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho cỏc im
A 1;0;0, B 0;2;0, C 0;0; m . mt phng ABC
hp vi mt phng O xy mt gúc 60 0 thỡ giỏ tr ca m l:
Cõu 168. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt cu
2
B. 450
A. m
2
S : x 1 y 3 z 1 3 v mt phng
5
12
2
12
B. m
C. m
D. m
5
5
5
2
: 3 x m 4 y 3mz 2m 8 0 .
Vn 5. TèM IM THA MN IU KIN CHO
TRC
Vi giỏ tr no ca m thỡ tip xỳc vi S ?
A. m 1
B. m 0
D. m 2
C. m 1
Cõu 175. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , tỡm trờn trc
Oy im M cỏch mt phng : x 2 y 2 z 2 0 mt
Vn 4. GểC GIA HAI MT PHNG
khong bng 4 .
Cõu 169. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai mt
A. M 0;6;0 hoc M 0; 6;0 .
phng P : 2 x y z 3 0 v Q : x z 2 0 . Tớnh
gúc gia hai mt phng P v Q .
A. 30 0
B. 450
B. M 0;7;0 hoc M 0; 5;0 .
C. 60 0
D. 90 0
C. M 0;4;0 hoc M 0; 4;0 .
Cõu 170. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai mt phng
D. M 0;3;0 hoc M 0; 3;0 .
P : 2 x y 2z 9 0 v Q : x y 6 0 . S o
gúc to bi hai mt phng bng:
A. 30 0
B. 450
Cõu 176. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai mt
C. 60 0
phng P : x y z 1 0
D. 90 0
cú
A 0;2;0 ,
B 2;0;0 ,
C 0;0; 2
Q : x y z 5 0 .
im M nm trờn trc Oy cỏch u P v Q l:
Cõu 171. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho t din
ABCD
v
A. M 0;2;0 . B. M 0;3;0 . C. M 0; 3;0 . D. M 0; 2;0
v
D 0; 2;0 . S o gúc ca hai mt phng ABC v .
ACD l :
A. 30 0
Cõu 177. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , tỡm trờn trc
B. 450
C. 60 0
D. 90 0
Cõu 172. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho ba im
M 1;0;0, N 0;1;0, P 0;0;1 . Cosin ca gúc gia hai mt
phng MNP v mt phng O xy bng:
A.
1
3
B.
2
5
C.
1
1
5
Cõu 173. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai mt
phng
P : x y 6 0
v
Q . Bit rng im
H 2; 1; 2 l hỡnh chiu vuụng gúc ca gc ta
O 0;0;0 xung mt phng Q . S o gúc gia mt phng
Giảng dạy: nguyễn bảo vương
- 0946798489
cỏch u im A 2;3;4 v mt phng
: 2 x 3 y z 17 0.
A. M 0;0;0 . B. M 0;0;1 .C. M 0;0;3 . D. M 0;0;2 .
Cõu 178. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho im E
D.
3
Oz im M
thuc mt phng Oxy , cú honh bng 1 , tung nguyờn
v cỏch u hai mt phng : x 2 y z 1 0 v
: 2 x y z 2 0 . Ta ca E l:
A. E 1;4;0 . B. E 1; 4;0 . C. E 1;0;4 .
D. E 1;0; 4 .
Cõu 179. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt cu
Page | 18
Tài liệu toán 12
năm học 2018
2
2
2
S : x 1 y 2 z 3 36 , im I 1;2;0 v ng Cõu 182. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai im
A 2;1; 1 , B 0;3;1 v mt phng P : x y z 3 0 .
x 2 y 2
z
thng d :
3
4
1
. Tỡm ta im M thuc d
, N thuc S sao cho I l trung im MN .
N 3;2;1
A.
.
N 3;6; 1
N 3; 2;1
B.
.
N 3;6; 1
N 3;2;1
.
C.
N 3;6;1
N 3; 2;1
D.
.
N 3;6;1
tr nh nht.
B ' 2; 5; 5
v
mt
A. M 4; 1;0 .
B. M 1; 4;0 .
C. M 4;1;0 .
D. M 1; 4;0 .
Cõu 183. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt phng
Cõu 180. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai im
A 2;4;4 ,
Tỡm ta im M thuc ( P ) sao cho 2MA MB cú giỏ
phng
P : x y z 4 0 . Tỡm ta im M thuc P sao
P : 3 x 3 y 2 z 15 0 v ba im A 1;4;5 , B 0;3;1 ,
C 2; 1;0 . Tỡm ta im M
thuc P sao cho
MA 2 MB 2 MC 2 cú giỏ tr nh nht.
cho MA MB cú giỏ tr nh nht.
A. M 4; 1;0 .
B. M 4; 1;0 .
A. M 2;1;1 . B. M 2; 1;1 . C. M 1;2;1 . D. M 1;1;2
C. M 4;1;0 .
D. M 1; 4;0 .
.
Cõu 184. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai im
Cõu 181. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai im
A 1; 1;2, B 2;0;1 v mt phng P : 2 x y z 3 0 .
im M thuc P tha món MA MB cú giỏ tr ln
nht cú ta :
A. M 1; 3;4 .
C. M 1;2;1 .
Giảng dạy: nguyễn bảo vương
B. M 2; 1;1 .
D. M 1;1;2 .
- 0946798489
A 3;5; 5 , B 5; 3;7 v mt phng P : x y z 0 .
Tỡm ta im M thuc P sao cho MA 2 2 MB 2 cú
giỏ tr ln nht.
A. M 6; 18;12 .
B. M 6;18;12 .
C. M 6; 18;12 .
D. M 6;18; 12 .
Page | 19
Tài liệu toán 12
năm học 2018
2. PHNG TRèNH MT PHNG
Dạng toán 1: Phng trỡnh mt phng
Phng phỏp
Phng trỡnh:
Ax + By + Cz + D = 0
l phng trỡnh ca mt mt phng khi v ch khi A2 + B2 + C2 > 0.
F Chỳ ý: i kốm vi h mt phng (P m) thng cú thờm cỏc cõu hi ph:
Cõu hi 1: Chng minh rng h mt phng (P m ) luụn i qua mt im c nh.
Cõu hi 2: Cho im M cú tớnh cht K, bin lun theo v trớ ca M s mt phng ca h (P m ) i
qua M.
Cõu hi 3: Chng minh rng h mt phng (P m ) luụn cha mt ng thng c nh.
Thí dụ 1. Cho phng trỡnh:
mx + m(m - 1)y (m2 1)z - 1 = 0.
(1)
a. Tỡm iu kin ca m phng trỡnh (1) l phng trỡnh ca mt mt phng, gi l h (P m ).
b. Tỡm im c nh m h (P m ) luụn i qua.
c. Gi s (P m ) vi m 0, 1 ct cỏc trc to ti A, B, C.
Tớnh th tớch t din OABC.
1 1
1
Tỡm m ABC nhn im G ; ; lm trng tõm.
9 18 24
Gii
a. Ta cú:
A2 + B2 + C2 = m2 + m2(m - 1)2 + (m2 1)2
= m2 + (m - 1)2[m2 + (m + 1)2] > 0, mi m.
Vy, vi mi m phng trỡnh ó cho l phng trỡnh ca mt mt phng.
b. Gi s M(x 0 ; y 0 ; z 0 ) l im c nh m h (P m ) luụn i qua, ta cú:
mx 0 + m(m - 1)y 0 (m2 1)z 0 - 1 = 0, m
m2(y 0 z 0 ) + m(x 0 - y 0 ) + z 0 - 1 = 0, m
0
y 0 z 0 =
x 0 y 0 =
0
z 1 =
0
0
x 0 = 1
y 0 = 1 .
z = 1
0
Vy, h (P m ) luụn i qua im c nh M(1; 1; 1).
c. Ta cú ngay to ca cỏc im A, B, C l:
1
1
1
; 0 , C 0; 0;
.
A ; 0; 0 , B 0;
1 m 2
m
m(m 1)
Khi ú:
Th tớch t din OABC c cho bi:
1
1
1
1 1
.
V OABC = OA.OB.OC = . .
6
6 m m(m 1) 1 m 2
=
1
.
6m (m 1)2 m + 1
Giảng dạy: nguyễn bảo vương
2
- 0946798489
Page | 1
Tài liệu toán 12
năm học 2018
1
1 1
im G ; ; l trng tõm ABC khi:
9 18 24
1 1
m = 3
m = 3
1
1
6 m = 3.
= m(m 1) =
1 m 2 =
m(m 1) 6
8
1
1
=
1 m2
8
F Nhn xột: Nh vy, tỡm im c nh m h mt phng (P m) luụn i qua ta thc hin theo cỏc bc:
Bước 1: Gi s M(x 0 ; y 0 ; z 0 ) l im c nh ca h (P m ), khi ú Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D
= 0, m.
Bước 2: Nhúm theo bc ca m ri cho cỏc h s bng 0, t ú nhn c (x 0 ; y 0 ; z 0 ).
Bước 3: Kt lun.
Thí dụ 2. Cho phng trỡnh:
(a + b)x + ay + bz - 3(a + b) = 0.
a. Tỡm iu kin ca a, b phng trỡnh ó cho l phng trỡnh ca mt mt phng, gi l h
(P a,b ).
b. Gi s (Pa,b) vi a, b 0 ct cỏc trc to ti A, B, C. Tỡm a, b :
4
ABC nhn im G 1; 4; lm trng tõm.
3
ABC nhn im H ( 2; 1; 1) lm trc tõm.
T din OABC cú th tớch nh nht vi a > 0, b > 0.
c. Chng t rng h (P a,b ) luụn cha mt ng thng c nh.
Gii
a. Xột iu kin:
0
a + b =
A + B + C = 0 (a + b) + a + b = 0 a = 0
a = b = 0.
b = 0
2
2
2
2
2
2
Vy, vi a 0 hoc b 0 phng trỡnh ó cho l phng trỡnh ca mt mt phng.
b. Vi vi a, b 0 ta cú ngay :
3(a + b)
3(a + b)
A ( 3; 0; 0 ) , B 0;
.
; 0 , C 0; 0;
a
b
Khi ú:
4
im G 1; 4; l trng tõm ABC khi:
3
a + b
a = 4
3a = b
b = 3a.
3a = b
a + b = 4
b
3
Vy, vi b = 3a 0 tho món iu kin u bi.
im H(2; 1; 1) l trc tõm ABC khi:
HA.BC = 0
0
HA BC
a b =
a = b.
0
HB AC HB.AC = 0 a b =
H (P)
2(a + b) + a + b 3(a + b) =
H (P)
0
Giảng dạy: nguyễn bảo vương
- 0946798489
Page | 2
Tài liệu toán 12
năm học 2018
Vy, vi a = b 0 tho món iu kin u bi.
Th tớch t din OABC c cho bi:
9 (a + b)2 9 2ab
1
.
=
9.
VO.ABC = OA.OB.OC = .
2
ab
2 ab
6
Vy, ta c ( VO.ABC )Min = 9 , t c khi a = b.
c. Ta cú th trỡnh by theo cỏc cỏch sau:
Cỏch 1: Vit li phng trỡnh mt phng (P a,b ) di dng:
(P a,b ): a(x + y 3) + b(x + z 3) = 0.
T ú, suy ra h (P a,b ) luụn cha cỏc im cú to tho món h:
0
x + z 3 =
.
(*)
0
x + y 3 =
H (*) chớnh l phng trỡnh giao tuyn (d) ca hai mt phng c nh:
(P 1 ): x + z 3 = 0 v (P 2 ): x + y 3 = 0.
Vy, h (P a,b ) luụn cha mt ng thng c nh (d).
Cỏch 2: Nhn xột rng h mt phng (P a,b ) luụn i qua hai im M(1; 2; 2) v N(2; 1; 1) nờn h (P a,b ) luụn cha mt
ng thng c nh (d) c cho bi:
Qua M(1; 2; 2)
Qua M(1; 2; 2)
(d):
(d):
vtcp MN(1; 1; 1)
Qua N(2; 1; 1)
x= 1 + t
(d) : y =2 t , t .
z= 2 t
Cỏch 3: Nhn xột rng h mt phng (P a,b ) luụn i qua im M(1; 2; 2) v cú vtpt n(a + b; a; b) , suy ra:
n(a + b; a; b).u(1; 1; 1) = a + b a b = 0 n u , a, b 0.
Vy, h (P a,b ) luụn cha mt ng thng c nh (d) c cho bi:
Qua M(1; 2; 2)
x 1 y 2 z 2
(d) : = =
.
(d):
1
1
1
vtcp u(1; 1; 1)
F Nhn xột:
Nh vy, tỡm ng thng c nh thuc h mt phng (P a,b ) chỳng ta cn cú thờm kin
thc v ng thng v cỏc em hc sinh cn nh li rng mt ng thng (d) c hon ton xỏc nh khi
bit nú:
L giao tuyn ca hai mt phng ct nhau ng vi cỏch 1.
i qua hai im phõn bit M, N ng vi cỏch 2.
i qua mt im M v cú phng c nh ng vi cỏch 3.
V cõu hi thng c cỏc em hc sinh t ra i vi cỏc cỏch 2, cỏch 3 l vic xỏc nh to im M, N v
vect u . Cõu tr li nh sau:
Cỏc im M, N cú to tho món h (*) v khi bit c to ca c M, N thỡ suy ra c to
ca vect u .
To ca vect u cú th c xỏc nh c lp vi M, N da trờn nhn xột:
u n1 là vtpt của (P1 )
(d) (P1 )
u = n1 , n 2 .
(d) (P2 )
u n 2 là vtpt của (P2 )
Dạng toán 2: Vit phng trỡnh mt phng
Phng phỏp
vit phng trỡnh mt phng (P) ta cú th la chn mt trong cỏc cỏch sau:
Giảng dạy: nguyễn bảo vương
- 0946798489
Page | 3
Tài liệu toán 12
năm học 2018
Cỏch 1: Thc hin theo cỏc bc:
Bước 1: Xỏc nh M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) (P) v vtpt n (n 1 ; n 2 ; n 3 ) ca (P).
Bước 2: Khi ú:
qua M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 )
(P):
vtpt n(n1 ; n 2 ; n 3 )
(P): n 1 (x x 0 ) + n 2 (y y 0 ) + n 3 (z z 0 ) = 0.
Cỏch 2: S dng phng phỏp qu tớch.
F Chỳ ý:
Chỳng ta cú cỏc kt qu:
1. Mt phng (P) i qua im M(x 0 ; y 0 ; z 0 ), luụn cú dng:
(P): A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0
2. Mt phng (P) cú vtpt n (n 1 ; n 2 ; n 3 ), luụn cú dng:
(P): n 1 x + n 2 y + n 3 z + D = 0
xỏc nh (P), ta cn i xỏc nh D.
3. Mt phng (P) song song vi (Q): Ax + By + Cz + D = 0, luụn cú dng:
(P): Ax + By + Cz + E = 0
xỏc nh (P), ta cn i xỏc nh E.
4. Phng trỡnh mt phng theo cỏc on chn, ú l mt phng (P) i qua ba im A(a; 0; 0), B(0;
b; 0), C(0; 0; c) cú phng trỡnh:
y
x
z
(P): +
+ = 1.
b
a
c
5. Vi phng trỡnh mt phng (P) i qua ba im khụng thng hng M, N, P chỳng ta cú th
la chn mt trong hai cỏch sau:
Cỏch 1: Gi n l vtpt ca mt phng (P), ta cú:
n MN
n = MN, MP .
n MP
Khi ú, phng trỡnh mt phng (P) c cho bi:
qua M
.
(P):
vtpt n
Cỏch 2: Gi s mt phng (P) cú phng trỡnh:
Ax + By + Cz + D = 0,
(1)
2
2
2
vi A + B + C > 0.
Vỡ M, N, P thuc mt phng (P) nờn ta cú h ba phng trỡnh vi bn n A, B, C, D.
Biu din ba n theo mt n cũn li, ri thay vo (1) chỳng ta nhn c phng
trỡnh mt phng (P).
Thí dụ 1. Vit phng trỡnh mt phng (P), bit:
a. (P) l mt phng trung trc ca on AB vi A(1; 1; 2) v B(1; 3; 2).
b. (P) i qua im C(1; 2; 3) v song song vi mt phng (Q) cú phng trỡnh x 2y + 3z + 1 =
0.
c. (P) i qua im D(1; 1; 2) v cú cp vtcp a (2; -1, 1), b (2; -1; 3).
d. (P) i qua im E(3; 1; 2) v vuụng gúc vi hai mt phng:
(R 1 ): 2x + y + 2z - 10) v (R 2 ): 3x + 2y + z + 8 = 0.
Gii
a. Ta cú th la chn mt trong hai cỏch:
Cỏch 1 (S dng cụng thc): Gi I l trung im ca on AB, suy ra I(1; 1; 2).
Giảng dạy: nguyễn bảo vương
- 0946798489
Page | 4
Tài liệu toán 12
năm học 2018
Khi ú, mt phng (P) c cho bi:
qua I(1; 1; 2)
qua I
(P):
(P):
vtpt AB(0; 4; 0) chọn (0; 1; 0)
(P) AB
(P): 0.(x - 1) + 1.(y + 1) + 0.(z - 2) = 0 (P): y + 1 = 0.
Cỏch 2 (S dng phng phỏp qu tớch): im M(x; y; z) thuc mt phng (P) khi:
AM = BM AM2 = BM2
(x 1)2 + (y 1)2 + (z 2)2 = (x 1)2 + (y + 3)2 + (z 2)2
8y + 8 = 0 y + 1 = 0.
ú chớnh l phng trỡnh mt phng (P) cn tỡm.
b. Ta cú th la chn mt trong hai cỏch:
Cỏch 1: Ta ln lt s dng gi thit:
(P) i qua im C(1; 2; 3) nờn cú phng trỡnh:
(P): A(x 1) + B(y 2) + C(z + 3) = 0
(1)
(P): Ax + By + Cz A 2B + 3C = 0.
(P) song song vi (Q): x 2y + 3z + 1 = 0 nờn:
B = 2A
A B C A 2B + 3C
.
(2)
=
=
1 2 3
1
C = 3A
Cỏch 2: Ta ln lt s dng gi thit:
(P) song song vi (Q): x 2y + 3z + 1 = 0 nờn cú phng trỡnh:
(P): x 2y + 3z + D = 0.
im C thuc (P), suy ra:
1 2.2 + 3(3) + D = 0 D = 12.
Vy, phng trỡnh mt phng (P): x 2y + 3z + 12 = 0.
Thay (2) vo (1) ri thc hin phộp n gin biu thc, ta c phng trỡnh mt phng (P): x 2y + 3z + 12 = 0.
Cỏch 3: Mt phng (P) c cho bi:
qua C
(P):
(P):
(P) //(Q)
qua C(1;2; 3)
vtpt n Q (1; 2;3)
(P): 1.(x 1) 2.(y 2) + 3.(z + 3) = 0 (P): x 2y + 3z + 12 = 0.
c. Gi n l vtpt ca mt phng (P), ta cú:
n a
1 1 1 2 2 1
;
;
n = [ a , b ] =
= (2; -4; 0).
n b
1 3 3 2 2 1
Mt phng (P) c cho bi:
qua D(1;1;2)
(P): (x 1) + 2(y 1) = 0 (P): x + 2y - 3 = 0.
(P):
vtpt n(1;2;0)
d. Gi n , n1 , n 2 theo th t l vtpt ca cỏc mt phng (P), (R 1 ), (R 2 ), ta cú:
n1 (2; 1; 2), n 2 (3; 2; 1).
Vỡ (P) vuụng gúc vi (R 1 ) v (R 2 ) nờn nú nhn n1 , n 2 lm cp vtcp, t ú:
n n1
1 2 2 2 2 1
,
,
n = [ n1 , n 2 ] =
= (-3; 4; 1).
2 1 13 3 2
n n 2
Mt phng (P) c cho bi:
qua E(3;1;2)
(P): 3x - 4y - z 3 = 0.
(P):
vtpt n(3;4;1)
Giảng dạy: nguyễn bảo vương
- 0946798489
Page | 5
Tài liệu toán 12
F Nhn xột:
năm học 2018
Nh vy, qua bi toỏn:
cõu a), chỳng ta nhn c hai phng phỏp (cú tớnh minh ha) vit phng trỡnh
mt phng.
cõu b), vi ba cỏch gii ú thỡ cỏc cỏch 1 v cỏch 2 cú tớnh minh ha cỏc em hc sinh
hiu cỏch khai thỏc tng gi thit. V nh vy, cỏch 3 luụn l s la chn khi thc hin bi
thi.
Cõu c), cõu d) minh ha vic vit phng trỡnh mt phng khi bit cp vtcp ca nú.
Thí dụ 2. Cho ba im A(1; 2; 3), B(3; 5; 4), C(3; 0; 5).
a. Lp phng trỡnh mt phng (P) i qua ba im A, B v C.
b. Lp phng trỡnh mt cu nhn ng trũn ngoi tip ABC lm ng trũn ln.
Gii
a. Ta cú th la chn mt trong hai cỏch sau:
Cỏch 1: Gi n l vtpt ca mt phng (P), ta cú:
n AB
n = AB, AC = (8; 2; 10) chn n (4; 1; 5).
n AC
Mt phng (P) c cho bi:
qua A(1;2;3)
(P): 4(x 1) (y 2) - 5(z - 3) = 0
(P):
vtpt n(4; 1; 5)
(P): 4x y - 5z + 13 = 0.
Cỏch 2: Gi s mt phng (P) cú phng trỡnh:
(P): Ax + By + Cz + D = 0 vi A2 + B2 + C2 > 0.
Vỡ A, B, C thuc (P), ta c:
0
A + 2B + 3C + D =
A = 4B
0 C = 5B .
3A + 5B + 4C + D =
3A + 5C + D =
0
D = 13B
(1)
Thay A, B, C vo (1), ta c:
(P): 4Bx + By + 5Bz 13B = 0 (P): 4x y - 5z + 13 = 0.
b. Mt cu (S) cú tõm I(x; y; z) l tõm ng trũn ngoi tip ABC, ta cú:
AI 2 = BI 2
AI 2 = BI 2
AI = BI
2
2
AI 2 = CI 2
AI = CI AI = CI
I (ABC)
AB, AC, AH đồng phẳng
AB, AC .AI = 0
(x 1)2 + (y 2)2 + (z 3)2 = (x 3)2 + (y 5)2 + (z 4)2
(x 1)2 + (y 2)2 + (z 3)2 = (x 3)2 + y 2 + (z 5)2
4x y 5z =13
36
2x + 3y + z =
x = 39 / 7
39 89 81
5
y = 89 /14 I ; ; .
x y + z =
7 14 14
4x y 5z =13
z = 81/14
Khi ú, mt cu (S) c cho bi:
39 89 81
Tâm I ; ;
Tâm I
7 14 14
(S):
(S):
Đ i qua A
9338
R IA
=
Bán kính =
14
Giảng dạy: nguyễn bảo vương
- 0946798489
Page | 6
