Một số nghiệm soliton của các phương trình yang mills và ứng dụng

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Những kết quả
nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công
trình nào khác. Mọi bài báo đều được các đồng tác giả cho phép sử dụng.

Hà Nội, tháng 3 năm 2014
Giáo viên hướng dẫn

Tác giả luận án

GS, TSKH. Nguyễn Viễn Thọ

Nguyễn Quốc Hoàn

i


Lời cảm ơn

Nhìn lại một khoảng dài, với hơn 5 năm trên trục thời gian. Thời khoảng
mà tôi đã nhận được những tình cảm tốt đẹp nhất từ các thầy cô, đồng
nghiệp, bạn bè và gia đình.
Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng tôn kính và sự biết ơn của tôi đến
GS,TSKH. Nguyễn Viễn Thọ - Một nhà khoa học nghiêm túc, thầy đã tận
tình dạy bảo và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Tôi xin tỏ lòng biết ơn đến thầy giáo Tô Bá Hạ, thầy đã nhiệt tình giúp
đỡ và động viên tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Bản luận án của tôi là lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô trong Viện
Vật lý Kỹ thuật, đặc biệt là các thầy, cô và các bạn ở Bộ môn Vật lý Lý
thuyết, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội.

Những bản nhận xét rất tỉ mỉ của các thầy (cô) phản biện đã giúp tôi
hoàn thiện bản luận án này. Cá nhân tôi coi đó là những bài học quý báu
trong học tập và nghiên cứu. Tôi xin được gửi tới các thầy (cô) phản biện lời
cảm ơn chân thành nhất.
Nhân dịp này, tôi muốn gửi lời cảm ơn tới lãnh đạo và các đồng nghiệp
Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Giang - nơi tôi công tác, về những quan tâm, ủng
hộ và giúp đỡ quý báu.
Gia đình là điểm tựa vững chắc cho tôi, là nơi mà tôi có thể bày tỏ mọi
cảm xúc. Xin được gửi tới gia đình tôi lòng biết ơn sâu nặng và những tình
cảm không thể nói bằng lời.

Nguyễn Quốc Hoàn

ii


Mục lục

Lời cam đoan .................................................................................................... i
Lời cảm ơn .......................................................................................................ii
Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt ..........................................................vi
Danh mục các hình vẽ và đồ thị.....................................................................vii
MỞ ĐẦU ......................................................................................................... 1
1 Lý do chọn đề tài ...................................................................................... 1
2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu............................................ 4
3 Phương pháp nghiên cứu .......................................................................... 5
4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án............................................... 6
5 Bố cục của luận án .................................................................................... 7
1 SOLITON TOPO TRONG CÁC HỆ TRƯỜNG GAUGE ABEL VÀ PHI
ABEL ........................................................................................................... 9

1.1 Hệ phương trình Yang-Mills không có trường Higgs: Nghiệm sóng
phẳng phi Abel và nghiệm Wu-Yang .................................................. 11
1.1.1 Nghiệm sóng phẳng phi Abel ................................................ 12
1.1.2 Nghiệm Wu-Yang ................................................................. 18
1.2 Hệ Yang-Mills-Higgs: Nghiệm monopole ’t Hooft-Polyakov và dyon
Julia – Zee ............................................................................................ 23
1.2.1 Nghiệm monopole 't Hooft-Polyakov ................................... 23
1.2.2 Nghiệm dyon Julia – Zee....................................................... 26
1.3 Nghiệm soliton tới hạn, nghiệm Bogomolny-Prasad-Sommerfield
(BPS) .................................................................................................... 28
iii


1.3.1 Nghiệm soliton tới hạn .......................................................... 28
1.3.2 Nghiệm Bogomolny-Parasad-Sommerfield (BPS) ............... 30
1.4 Trường Yang-Mills trong không gian Euclide và nghiệm instanton ... 30
1.5 Kết luận chương 1 ................................................................................ 32
2 NGHIỆM SOLITON CỦA HỆ YANG-MILLS VỚI NGUỒN NGOÀI
ĐỐI XỨNG TRỤC .................................................................................... 34
2.1 Nguồn đối xứng xuyên tâm và đối xứng trục ...................................... 34
2.1.1 Nguồn đối xứng xuyên tâm ................................................... 35
2.1.2 Nguồn ngoài đối xứng trục .................................................... 37
2.2 Phương pháp số tìm nghiệm của các phương trình trường cân bằng .. 39
2.3 Nghiệm phương trình Yang-Mills với hai nguồn điểm và chỉ số topo
cao ........................................................................................................ 41
2.3.1 Phương trình trường và các ansatz đối xứng trục ................. 41
2.3.2 Gián đoạn hóa hệ trường liên tục .......................................... 42
2.3.3 Mô phỏng các nghiệm trường [III, IV] ................................. 44
2.3.4 Sự phân bố không gian của vector điện, từ trường phi Abel
[IV] ........................................................................................ 45

2.3.5 Sự phân bố không gian của mật độ năng lượng trường phi
Abel [III, IV] ......................................................................... 48
2.4 Nghiệm dạng dây vortex: Nghiệm số và nghiệm giải tích .................. 49
2.4.1 Giới thiệu về phương trình Yang-Mills với nguồn ngoài dạng
sợi dây.................................................................................... 50
2.4.2 Nghiệm tĩnh của phương trình .............................................. 51
2.4.3 Nghiệm sóng của phương trình [VI] ..................................... 59
2.5 Kết luận chương 2 ................................................................................ 63
3 PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT MÀU TRONG
TRƯỜNG CHUẨN ................................................................................... 65

iv


3.1 Hạt màu trong trường chuẩn

- Phương trình Wong ................. 66

3.2 Suy rộng phương trình Wong cho trường chuẩn

và

[V] ........................................................................................................ 72
3.3 Đối xứng Lorentz địa phương và bài toán hạt trong trường hấp dẫn .. 81
3.4 Kết luận chương 3 ................................................................................ 83
4 THẾ HIỆU DỤNG VÀ QUỸ ĐẠO HẠT TRONG TRƯỜNG CHUẨN . 84
4.1 Hạt trong trường Wu-Yang .................................................................. 84
4.2 Hạt trong trường đơn cực 'tHooft-Polyakov và trường soliton BPS ... 91
4.2.1 Hạt trong trường gauge 'tHooft ............................................. 91
4.2.2 Hạt trong trường soliton BPS ................................................ 95

4.3 Chuyển động của hạt trong trường hấp dẫn với tiếp cận Yang-Mills100
4.3.1 Thế hiệu dụng trong chuyển động của hạt [V] .................... 100
4.3.2 Quỹ đạo chuyển động của hạt [II, V] .................................. 105
4.4 Kết luận chương 4 .............................................................................. 106
KẾT LUẬN .................................................................................................. 107
Danh mục các công trình khoa học của tác giả có liên quan đến luận án ... 110
Tài liệu tham khảo ....................................................................................... 111
Phụ lục......................................................................................................... 118

v


Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt

:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:

Mật độ Lagrangian
Tensor cường độ trường Yang-Mills dạng ma trận
Tensor cường độ trường Yang-Mills dạng thành phần
Thế Yang-Mills
Tensor cường độ trường gauge dạng thành phần
Vector màu
Đạo hàm hiệp biến
Đạo hàm phản biến
Mật độ dòng nguồn ngoài
Điện trường phi abel dạng thành phần
Từ trường phi abel dạng thành phần
Số topo
Mật độ năng lượng trường phi abel
4-xung lượng chính tắc
Spin đồng vị của hạt
Các vi tử phản Hermit của nhóm Lorentz

:
:
:
:

Hằng số cấu trúc của nhóm Lorentz
Cường độ trường của trường gauge Lorentz
Ma trận của phép quay các thông số không gian
Hàm ma trận của

vi

Danh mục các hình vẽ và đồ thị

Hình 2.1

Thế phi Abel

với nguồn ngoài kỳ dị

44

Hình 2.2

Thế phi Abel

với nguồn ngoài kỳ dị

45

Hình 2.3

Sự phân bố không gian của điện trường phi Abel

Hình 2.4

Sự phân bố của đường từ trường phi Abel của vector
nguồn ngoài kỳ dị

với 47

Hình 2.5

Sự phân bố không gian của mật độ năng lượng trường
nguồn ngoài kỳ dị

với 48

Hình 2.6

Sự biến thiên của năng lượng trường tổng cộng theo giá trị của tích 49
màu với nguồn ngoài kỳ dị

Hình 2.7

Thế phi Abel

với nguồn ngoài dạng sợi dây

53

Hình 2.8

Thế phi Abel

với nguồn ngoài dạng sợi dây

54

Hình 2.9

Sự phân bố không gian của mật độ năng lượng trường
nguồn ngoài dạng sợi dây

Hình 2.10

Các hàm profile vortex tĩnh
và
; Mật độ tích màu
mật độ năng lượng
với nguồn ngoài dạng sợi dây

Hình 2.11

Sự biến thiên của năng lượng tổng cộng
Abel với nguồn ngoài dạng sợi dây

Hình 4.1

Đường biểu diễn tổng moment quỹ đạo toàn phần

Hình 4.2

Đường biểu diễn thế hiệu dụng Schwarzschild-like

Hình 4.3

Đường cong thế hiệu dụng Yang-Mills tựa Schwarzschild, thế hiệu 105
dụng trong giới hạn Newton và thế hiệu dụng trong lý thuyết tổng
quát của Einstein theo

vii

46

với 54
và 56

vào tổng điện tích phi 59
theo
theo

103
104


MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài
Lý thuyết trường gauge do Yang-Mills [1] đề xướng vào năm 1954. Ý
tưởng này dựa trên yêu cầu xây dựng các Lagrangian bất biến đối với các
phép biến đổi đối xứng nội tại. Ngày nay lý thuyết trường gauge Yang-Mills
đã được thừa nhận rộng rãi và là hình thức luận khung cho lý thuyết thống
nhất tương tác điện từ và tương tác yếu, cũng như cho sắc động lực lượng tử
của tương tác mạnh. Đầu tiên là sự khám phá của Glashow vào năm 1960 về
cách thức để thống nhất tương tác điện từ và tương tác yếu [2], với việc sử
dụng mô hình

nhưng chưa hoàn chỉnh về mặt vật lý vì các

lượng tử của trường này đều không có khối lượng. Năm 1967, Weinberg [3]

và Salam [4] đã kết hợp cơ chế Higgs [5, 6, 7] vào trong lý thuyết của
Glashow giúp cho việc sinh khối lượng các boson gauge, kết quả là đã xây
dựng thành công mô hình thống nhất tương tác điện - yếu, gọi là mô hình
Weinberg-Salam và cơ chế Higgs được cho là nguyên nhân tạo nên khối
lượng cho các hạt cơ bản. Sự thành công này đã thuyết phục hầu hết các nhà
Vật lý rằng lý thuyết gauge phi Abel về tương tác điện - yếu là một lý thuyết
vật lý khá hoàn hảo. Đặc biệt, sau khi tìm thấy dòng yếu trung hòa gây bởi
sự trao đổi

boson ở CERN năm 1973 [8, 9, 10], lý thuyết điện - yếu đã

được chấp nhận một cách rộng rãi và Glashow, Weinberg, Salam đã được
trao giải Nobel Vật lý năm 1979. Tiếp đó là những công trình xây dựng sắc
động lực học lượng tử (viết tắt là QCD) là lý thuyết về tương tác mạnh dựa
trên sự bất biến của phép biến đổi gauge đối với nhóm

.

Ngày nay, hầu hết các thí nghiệm kiểm chứng về ba lực miêu tả bởi mô
hình chuẩn đều đúng như những dự đoán của thuyết này. Tuy nhiên, mô hình
chuẩn vẫn chưa là một thuyết thống nhất các lực tự nhiên một cách hoàn
toàn, do sự vắng mặt của lực hấp dẫn.
1


Mô hình chuẩn chứa cả hai loại hạt cơ bản là fermion và boson. Fermion
là những hạt có spin bán nguyên và tuân thủ theo nguyên lý loại trừ của
Wolfgang Pauli, nguyên lý cho rằng không có hai fermion nào có cùng trạng
thái lượng tử với nhau. Các hạt boson có spin nguyên và không tuân theo
nguyên lý Pauli. Khái quát hóa, fermion là những hạt vật chất còn boson là

những hạt truyền tương tác.
Trong mô hình chuẩn, thuyết điện từ - yếu (bao gồm cả tương tác yếu lẫn
lực điện từ) được kết hợp với thuyết sắc động lực học lượng tử. Tất cả những
thuyết này đều là lý thuyết gauge, trong đó đưa vào các boson trung gian như
là hạt truyền tương tác giữa các fermion. Hệ Lagrangian của mỗi tập hợp hạt
boson trung gian bất biến dưới một phép biến đổi gọi là biến đổi gauge, vì
thế các boson này còn được gọi là gauge boson.
Mô hình chuẩn và rất nhiều hướng mở rộng khác nhau đã cho phép mô
tả hiện tượng luận phong phú của tương tác hạt cơ bản. Cùng với việc khai
thác các ứng dụng hiện tượng luận về tương tác dựa trên các mô hình chuẩn,
một hướng nghiên cứu thu hút sự quan tâm lớn, đó là nghiên cứu các tính
chất cơ bản của lý thuyết Yang-Mills như là các hệ động lực học phi tuyến.
Vật lý toán phi tuyến là lĩnh vực được phát triển rất mạnh mẽ trong thời
gian gần đây. Các phương trình vật lý toán phi tuyến có nhiều tính chất rất
khác so với các phương trình vật lý toán tuyến tính thông thường. Đó là sự
tồn tại các nghiệm soliton - chúng là những nghiệm riêng của các phương
trình trường trong lý thuyết phi tuyến, chúng có cấu trúc ổn định giống như
các đối tượng hạt với khối lượng và năng lượng hữu hạn. Chúng là đối tượng
nghiên cứu của một lĩnh vực toán học, rộng hơn là lý thuyết các phương
trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến, được phát triển mạnh trong vài thập
niên gần đây và có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học như trong vật
lý chất rắn, vật lý hạt và vũ trụ học. Một số soliton đã được biết đến là:
monopole (đơn cực từ); tường domain (domain wall); dây vũ trụ; vortices –
khởi đầu nghiên cứu về vortex liên quan đến việc nghiên cứu các vật liệu
siêu dẫn, sau đó Nielsen và Olsen đã mở rộng cho lý thuyết trường AbelHiggs Vortices có thể xem như đối tượng của lý thuyết trường, nhưng cũng
có thể đồng nhất nó với dây (string) [11], …. Những nghiệm này được các
nhà vật lý lý thuyết đặc biệt quan tâm bởi ngoài các ứng dụng vật lý vừa nêu
2

thì nó còn liên quan đến sự chuyển pha trong giai đoạn sớm của vũ trụ và sự
giãn nở của vụ trụ sau Big Bang. Tuy nhiên chúng là những nghiệm của các
phương trình trường phi tuyến nên hầu như không có phương pháp giải tổng
quát mà phải sử dụng các tính chất đối xứng của hệ vật lý và đưa vào các
ansatz riêng để tìm nghiệm cho từng trường hợp.
Những công trình đột phá về các vấn đề vừa nêu, có thể kể đến như:
nghiệm monopole của lý thuyết Yang-Mills

do ’t Hooft và Polyakov

độc lập tìm được - nó là sự mở rộng nghiệm monopole của Dirac, đã tiên
đoán được từ năm 1932. Tuy nhiên công việc tìm kiếm thực nghiệm cho
monopole của Dirac vẫn được tiếp tục cho đến nay, còn monopole mà chúng
tôi đề cập đến ở đây là monopole do ’t Hooft và Polyakov tìm ra, nó là sự
mở rộng monopole của lý thuyết gauge cho phi Abel, nó có liên quan đến
quá trình cầm tù của quark trong mô hình QCD; nghiệm dyon thuộc về Julia
và Zee; phương pháp sử dụng ngôn ngữ bó thớ trên không gian moduli được
đề xuất trong các công trình của Manton [12],... Đó chỉ là vài tác giả tiêu
biểu, ngoài ra có hàng trăm công trình khác khai thác và mở rộng các công
trình tiên phong vừa nêu. Các trung tâm nghiên cứu mạnh về các vấn đề này
có thể kể đến các Đại học Princeton (Mỹ), Massachusetts (Mỹ), Viện Vật lý
lý thuyết và thực nghiệm (Nga), Cambridge (Anh), Durham (Anh), v.v...
Trong nước, có các nhóm nghiên cứu về lý thuyết trường và các hạt cơ
bản theo hướng nghiên cứu các mô hình hiện tượng luận để mô tả vật lý các
hạt và đã có nhiều kết quả mới được công bố; cùng với hướng nghiên cứu
của luận án này có tác giả Nguyễn Văn Thuận với đề tài luận án tiến sỹ
“Nghiên cứu nghiệm của các phương trình trường chuẩn Yang-Mills và ứng
dụng vật lý của chúng” – Trong đó, tác giả đã nghiên cứu về các nghiệm tĩnh
với đối xứng cầu của các phương trình Yang-Mills cổ điển với nhóm chuẩn
và từ đó nghiên cứu về các ứng dụng có thể của các nghiệm cổ điển

trong các bài toán lượng tử. Những kết quả của tác giả này có thể vận dụng
để giải thích một số hiện tượng vật lý trong lý thuyết lượng tử.
Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu về các nghiệm của các phương
trình Yang-Mills. Tuy nhiên chúng tôi sử dụng một số phương pháp nghiên
cứu khác và mở rộng phạm nghiên cứu cho các cấu hình trường. Dó đó các
3


kết quả và ý nghĩa thu được của luận án này khác so với các kết quả của các
tác giả đã công bố, cụ thể:
(i) Chúng tôi nghiên cứu để tìm nghiệm của phương trình Yang-Mills
cho bà toán có tính đối xứng trụ - khi đó các hàm trường phụ thuộc vào hai
biến không gian là

và

(trường hợp đối xứng cầu thì các hàm trường chỉ

phụ thuộc một biến không gian, biến ). Đối với bài toán này chúng tôi đã
tìm được cả nghiệm số và nghiệm giải tích, đồng thời xây dựng được bộ
trương trình Fotran cho phép giải được các bài toán tương tự;
(ii) Chúng tôi đã mở rộng phạm vi nghiên cứu theo hướng nghiên cứu
trường Yang-Mills với nhóm đối xứng không thời gian – nhóm Lorentz. Vì
vậy nó có liên hệ với hình thức luận gauge của trường hấp dẫn;
(iii) Tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu bài toán về chuyển động của hạt
trong trường hấp dẫn với tiếp cận Yang-Mills và so sánh với các lý thuyết
hấp dẫn khác.
Tóm lại, trong lĩnh vực vật lý hạt cơ bản mà công cụ nghiên cứu là Lý
thuyết trường Yang-Mills, việc tìm nghiệm của phương tình Yang-Mills và
phương trình Wong cũng như phương trình Wong tổng quát là lĩnh vực còn

nhiều vấn đề đang mở phải tiếp tục giải quyết. Với đề tài nghiên cứu đặt ra,
có thể nói đã tiếp cận được các vấn đề thời sự của lý thuyết trường lượng tử
hiện đại và hy vọng có đóng góp vào sự phát triển của hướng nghiên cứu đã
chọn. Vì vậy mà chúng tôi chọn đề tài “Một số nghiệm soliton của các
phương trình Yang-Mills và ứng dụng”.
2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
a) Mục tiêu nghiên cứu
Nghiên cứu một số vấn đề lý thuyết của các hệ trường Yang-Mills như
các hệ động lực học phi tuyến, cụ thể là các nghiệm soliton của lý thuyết
Yang-Mills và Yang-Mills-Higgs thu được nhờ các ansatz khác nhau, nghiên
cứu các đặc trưng topo của nghiệm, tìm thêm một số nghiệm số và nghiệm giải
tích mới. Ứng dụng các nghiệm để khảo sát tương tác của hạt với trường
gauge bằng phương pháp chuẩn cổ điển, mở rộng các lý thuyết trường chuẩn

4


đối với các nhóm Unita để áp dụng vào các đối xứng không-thời gian và ứng
dụng để xây dựng cách tiếp cận Yang-Mills cho bài toán hạt trong trường
hấp dẫn.
b) Đối tượng nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu về các lớp nghiệm của các phương trình Yang-Mills,
Yang-Mills-Higgs và nghiên cứu chuyển động của hạt trong trường YangMills trong gần đúng cổ điển.
c) Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các đối tượng trên trong phạm vi của nhóm đối xứng
và nhóm đối xứng không-thời gian (nhóm Lorentz).

3 Phương pháp nghiên cứu
Trong lý thuyết trường lượng tử hiện đại, song song với kỹ thuật nhiễu
loạn và giản đồ Feynmann, tồn tại chiến lược giải khác, thay thế bài toán của

lý thuyết trường bằng một phiếm hàm Lagrangian hiệu dụng, rồi tìm nghiệm
của hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng đó bằng cách suy ra từ phiếm
hàm này.
Sử dụng các ansatz, xây dựng mô hình tìm nghiệm, mô phỏng các
nghiệm tìm được về đặc điểm của trường Yang-Mills với một số dạng nguồn
ngoài ứng với các chỉ số topo khác nhau. Các bài toán lý thuyết trường nói
chung là dẫn đến các phương trình phi tuyến khá phức tạp. Tuy nhiên, bằng
cách khai thác triệt để tính đối xứng của các hệ vật lý và sử dụng phương
pháp số hoá để giải các phương trình, chúng tôi đã thu được một số kết quả
mới trong việc tìm và ứng dụng các nghiệm để làm sáng tỏ một số vấn đề
động lực học của các tương tác.
Tiếp theo, chúng tôi sử dụng ngôn ngữ toán học bó thớ cùng với việc
tham số hóa vector đối với nhóm

và tham số hóa vector phức đối với

nhóm Lorentz, từ đó xây dựng phương trình Wong tổng quát, rồi tìm nghiệm
của phương trình này để mô tả chuyển động của hạt trong trường hấp dẫn.
5


4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án
Luận án nghiên cứu một số vấn đề lý thuyết của một số hệ trường YangMills xem như là hệ động lực học phi tuyến: các soliton topo của hệ YangMills, Yang-Mills-Higgs, Yang-Mills với các nguồn màu ngoài, tương tác
của hạt với các đối tượng này. Những kết quả với ý nghĩa khoa học và thực
tiễn của luận án có thể tóm tắt như sau:
Chúng tôi đã xây dựng được thuật toán và lập chương trình giải phương
trình Yang-Mills

với nguồn ngoài dạng điểm, dạng sợi dây. Chương

trình cho phép tìm được nghiệm với chỉ số topo tùy ý. Với các nghiệm tìm
được, chúng tôi đã tính toán và vẽ tường minh điện trường, từ trường phi
Abel cũng như mật độ năng lượng với các chỉ số topo khác nhau. Từ đó giúp
ta hiểu rõ hơn về bức tranh tương tác của các hạt cơ bản.
Tìm được lớp nghiệm giải tích dạng vortex cho nguồn ngoài dạng sợi
dây. Đối với trường hợp nghiệm tĩnh đã chứng minh được hiện tượng rẽ
nhánh của đồ thị năng lượng phụ thuộc độ lớn tích màu. Tìm được nghiệm
phụ thuộc thời gian dạng sóng trụ và mang các đặc điểm như: có sự truyền
tải năng xung lượng, nhưng không phát xạ màu, do đó tích màu tổng cộng
của nguồn không đổi theo thời gian. Những nghiệm vortex này có thể giúp
cho việc nghiên cứu các loại vật liệu mới.
Đã tìm được hệ phương trình Wong mở rộng cho trường hợp hạt chuyển
động trong trường Yang-Mills của các nhóm

và

. Dựa trên

phương trình này nghiên cứu bài toán chuyển động của hạt điểm trong
trường gauge đối với nhóm Lorentz, như là tiếp cận Yang-Mills cho bài toán
hạt trong trường hấp dẫn. Sự đóng góp này của luận án giúp cho việc liên kết
giữa lý thuyết Yang-Mills và lý thuyết hấp dẫn của Einstein, trong đó có so
sánh với lý thuyết hấp dẫn của Newton để đóng góp cho lý thuyết về sự
thống nhất các tương tác.
Các kết quả trên góp phần làm phong phú hơn các hiểu biết về cấu trúc
lý thuyết Yang-Mills, mà hiện nay đang được thừa nhận là lý thuyết đóng vai
trò nền tảng để xây dựng các mô hình lý thuyết mô tả các tương tác cơ bản
của tự nhiên.
6

5 Bố cục của luận án
Luận án gồm 4 chương, phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình
và phần phụ lục. Nội dung 4 chương cơ bản như sau:
 Chương 1. Soliton topo trong các hệ trường gauge Abel và phi Abel: Trong
chương này chúng tôi trình bày tổng quan về lý thuyết trường Yang-Mills
. Trong đó, giới thiệu các soliton topo là các nghiệm của các phương
trình Yang-Mills và Yang-Mills-Higgs như: Sóng phẳng phi Abel và
nghiệm Wu-Yang trong hệ Yang-Mills không có trường Higgs; Với hệ
Yang-Mills-Higgs, giới thiệu nghiệm monopole ’t Hooft-Polyakov và
nghiệm dyon Julia-Zee; Nghiệm soliton tới hạn, nghiệm BogomolnyPrasad-Sommerfield (BPS); Trường Yang-Mills trong không gian Euclide
và nghiệm instanton.
 Chương 2. Nghiệm soliton của hệ Yang-Mills với nguồn ngoài đối xứng
trục: Trong chương này chúng tôi trình bày về nguồn đối xứng xuyên tâm
và đối xứng trục, nghiên cứu về các ansatz để tìm nghiệm đồng thời giới
thiệu một số kết quả mới đã được công bố theo hướng nghiên cứu này;
Trình bày phương pháp mà chúng tôi đã áp dụng để tìm nghiệm và mô
phỏng một số kết quả mới đã tìm được từ phương pháp này cho bài toán về
nghiệm của phương trình Yang-Mills với hai nguồn điểm và nguồn ngoài
dạng sợi dây với nghiệm vortex.
 Chương 3. Phương trình chuyển động của hạt màu trong trường chuẩn:
Trong chương này chúng tôi chỉ ra cách suy ra phương trình chuyển động
của hạt màu trong trường chuẩn từ phương trình chuyển động của điện tích
trong trường điện từ của điện động lực cổ điển – phương trình Wong; Suy
rộng phương trình Wong cho trường chuẩn
và
; Nghiên
cứu bài toán chuyển động của hạt trong trường hấp dẫn đối với đối xứng
Lorentz địa phương; Sử dụng hình thức luận bó thớ để nghiên cứu động
lực học Lagrangian của hạt màu trong trường chuẩn

.

 Chương 4. Thế hiệu dụng và quỹ đạo của hạt trong trường chuẩn: Trong
chương này chúng tôi trình bày việc nghiên cứu các kết quả đã được công
bố của một số tác giả. Đó là, bài toán về hạt trong trường Wu-Yang, bài
toán về hạt trong trường đơn cực ’t Hooft-Polyakov và trường soliton BPS.

7


Từ đó, giải bài toán về chuyển động của hạt trong trường hấp dẫn và so
sánh cách tiếp cận hấp dẫn của lý thuyết Yang-Mills với lý thuyết hấp dẫn
của Einstein và Newton.

8


Chương 1

1 SOLITON TOPO TRONG CÁC HỆ TRƯỜNG GAUGE
ABEL VÀ PHI ABEL

Một trong những đặc trưng cơ bản của điện động lực Maxwell là tính bất
biến gradient (gradient invariance). Nghĩa là, điện động lực sẽ bất biến nếu
thêm vào thế gradient một thế nào đó. Tuy nhiên, để tương tác của của vật
chất tích điện với trường điện từ, bảo đảm được tính bất biến gradient cho
trường điện từ, hàm sóng của hệ vật chất cũng phải chịu một phép biến đổi
pha với pha chính là hàm xác định phép biến đổi gradient của hàm thế. Phép
biến đổi xác định bởi cùng một hàm lên cả hàm sóng của vật chất lẫn thế của

trường điện từ được gọi là phép biến đổi chuẩn – phép biến đổi gauge (gauge
transformation). Như vậy, lý thuyết vật chất tương tác với trường điện từ
phải bất biến chuẩn (gauge invariant).
Tính chất này đã được tổng quát hóa cho cả tương tác yếu và tương tác
mạnh. Tính bất biến chuẩn sẽ dẫn đến sự tồn tại một thế vector có vai trò
tương tự như thế của trường điện từ, được gọi là thế chuẩn hay trường chuẩn
(gauge field). Nếu nhóm cơ bản để xây dựng trường chuẩn cho Điện động
lực là nhóm

, và trường chuẩn tương ứng là thế điện từ, thì nhóm dùng

để xây dựng trường chuẩn cho tương tác yếu là nhóm

và trường

chuẩn tương ứng được gọi là trường Yang-Mills, còn cho tương tác mạnh sẽ
là nhóm

, trường chuẩn tương ứng gọi là trường gluon.

Bằng cách lựa chọn nhóm chuẩn
, các nhà vật lý lý
thuyết đã xây dựng được lý thuyết thống nhất cho tương tác điện từ - yếu
(mô hình Weinberg - Salam), còn nếu chọn nhóm chuẩn là
9


, ta sẽ được lý thuyết thống nhất điện từ - yếu - mạnh (mô
hình chuẩn – Standard Model). Nếu thay nhóm chuẩn của mô hình chuẩn
bằng nhóm

ta sẽ được lý thuyết thống nhất lớn (Grand Unified

Theory).
Như vậy, mặc dù có tới bốn tương tác cơ bản, nhưng trừ tương tác hấp
dẫn, các tương tác còn lại đều được diễn tả thông qua một ngôn ngữ duy
nhất, đó là ngôn ngữ trường chuẩn. Do tính phổ quát của lý thuyết YangMills trong nghiên cứu vật lý hạt cơ bản mà dẫn đến việc tìm nghiệm của
phương trình này trong những mô hình vật lý khác nhau luôn là đề tài hấp
dẫn các nhà vật lý. Trong phần này ta sẽ điểm qua một số kết quả đã được
công bố của các tác giả về việc tìm nghiệm soliton của các phương trình
Yang-Mills và Yang-Mills-Higgs.
Soliton là những nghiệm của các phương trình trường cổ điển phi tuyến.
Chúng được cho là định xứ, có năng lượng hữu hạn và cấu trúc ổn định
giống như những đối tượng hạt thông thường. Những soliton và những đa
soliton (multi-solitons) sở dĩ có cấu trúc ổn định là do chúng mang tích topo
, đó là số nguyên đặc trưng cho hạt và chúng là đại lượng được bảo toàn.
Sự bảo toàn của

không phải do định lý Noether mà do cấu trúc topo của

soliton. Mỗi soliton được mô tả bởi tập hợp các tọa độ trong mô hình. Tập
hợp các tọa độ được coi như không gian moduli.
Bogomolny [13] đã chỉ ra rằng, trong các lý thuyết trường thì năng
lượng của soliton bị chặn dưới bởi một đa tích topo và dấu đẳng thức chỉ xảy
nếu như trường thỏa mãn trật tự đầu tiên PDE. Bởi vì phương trình
Bogomolny không chứa thời gian, những nghiệm của nó là những nghiệm
tĩnh. Hơn nữa, chúng là những nghiệm ổn định trong cấu trúc topo chúng có
năng lượng cực tiểu.
Nếu một đơn soliton có
gian moduli với

tập hợp tọa độ thì

chiều. Đa tạp

soliton sẽ có một không

chiều này có cấu trúc một ma trận, nó

mô tả những sự tương tác của các soliton. Đôi khi thế của trường cũng được
định nghĩa trên không gian moduli. Trong trường hợp không tồn tại thế,
10


không có lực tương tác giữa các soliton tĩnh và các tương tác bị chi phối bởi
dạng hình học của không gian moduli thì năng lượng tỉ lệ với số lượng các
soliton.
Những thí dụ về các soliton được các nhà vật lý quan tâm nhiều:
 Kinks với một chiều;
 Vortices trong lý thuyết gauge với trường Higgs của trường hợp
hai chiều [14];
 Lumps trong những lý thuyết trường vô hướng phi tuyến ( models) với hai chiều [15];
 Monopoles trong ba chiều của những lý thuyết Gauge/Higgs [16,
17];
 Solitons trong ba chiều

-models (được biết đến như những

Skyrmion) [18, 19];
 Instantons trong những lý thuyết thuần gauge của bốn chiều [20]

1.1 Hệ phương trình Yang-Mills không có trường Higgs: Nghiệm
sóng phẳng phi Abel và nghiệm Wu-Yang
Phần này ta sẽ xem xét các nghiệm của phương trình Yang-Mills trong
không gian Minkowski. Phương trình chuyển động của lý thuyết thuần gauge
có dạng
(1.1)
nó bất biến dưới phép biến đổi của nhóm gauge

. Các nghiệm của

phương trình này được biết đến đó là: nghiệm sóng phẳng phi Abel, nghiệm
monopole phi Abel, và một số các lớp nghiệm phức thu được từ các lớp
ansatz. Một nghiệm thực tiêu biểu trong không gian Minkowski đó là cặp
meron-phản meron. Hầu hết các nghiệm này đều mang tính thuần túy toán
học mà ít có ý nghĩa vật lý thực tế. Tuy vậy cũng có những nghiệm quan
trọng với ý nghĩa vật lý nhất định như nghiệm monopole Wu-Yang, nó được
coi là một dây các monopole tự do trong trường hợp phi Abel.
11


1.1.1 Nghiệm sóng phẳng phi Abel

Nghiệm sóng phẳng phi Abel đầu tiên được Coleman [21] tìm ra. Mặc
dù, cường độ trường phi Abel đầy đủ không xuất hiện trong nghiệm này bởi
các số hạng có dạng

và

trong đó tất cả đều bị triệt tiêu.

Nhưng điều này không có nghĩa là những nghiệm của Coleman là những
sóng Abel tầm thường, bởi vì trong trường hợp tổng quát thì [

]

.

Trong phần này chúng tôi xem xét những nghiệm của các quá trình sóng
phi Abel mà [

]

và [

]

. Sóng truyền theo hướng dọc và

đồng phẳng với hướng ngang. Vận tốc pha

,

là vận tốc ánh sáng

trong chân không.
Nghiệm sóng phi Abel trong không thời gian Minkowski được tìm ra
bằng cách dùng các ansatz sau cho các thế Yang-Mills
(1.2)
Trong đó

nhau và

trực giao với

, 4-vector

là những hằng số tùy ý. Tensor metric được sử dụng là
Thay thế ansatz (1.2) vào phương trình Yang-Mills
(1.3)

với

là tensor cường độ trường Yang-Mills có dạng
(1.4)

trong đó

là hằng số tương tác của trường gauge trong lý thuyết

ký tự Latin và Hy lạp tương ứng chạy từ

và

; các

. Ta được cặp đôi

phương trình phi tuyến sau đây
(1.5)
(1.6)

12


ở đây,

và

. Nếu đặt
(1.7)

thì các phương trình (1.5) và (1.6) trở thành
(1.8)
Giả sử hàm

chỉ phụ thuộc vào biến

, khi đó phương trình (1.8)

được viết lại như sau

(1.9)
ở đây dấu ( ) có nghĩa lấy đạo hàm

,

và

. Nghiệm

của phương trình (1.9) có thể được biểu diễn dưới dạng các số hạng của
những hàm Jacobi elliptic [22],
(1.10)
(1.11)
(1.12)
(1.13)
Ở đây ta đưa vào thông số , với
và

. Từ tính trực giao của các vector

nên chúng phải là spacelike (1) [23] (tựa như các tọa độ không

gian). Bởi vì

luôn dương, nên đối với các nghiệm (1.10), (1.11) thì

1

Spacelike
Một 4-vector

được gọi là spacelike nếu chúng thỏa mãn

13

.


phải là timelike (2) [23] (đóng vai trò như thời gian), còn đối với các nghiệm

(1.12), (1.13) chúng đóng vai trò spacelike. Các nghiệm này có tính tuần
hoàn theo biến

và nói chung là không thể chồng chập theo kiểu tuyến tính.

Tensor năng xung lượng

của trường Yang-Mills đối với Ansatz

(1.2) có dạng
{

(

)

}
(1.14)

Sử dụng điều kiện (1.7) và xét trường hợp

(

thì (1.14) trở thành

)

(

(

ở đây

và

)

(1.15)

)

. Trong đó

là một hằng số nó có
}
giá trị bằng đơn vị trong các nghiệm tuần hoàn {
Những nghiệm này dẫn đến trường gauge là thực và đều (không thay đổi ở
mọi nơi). Đặt các vector
mà

và

, mật độ xung lượng được viết như sau

2

Timelike
Một 4-vector

được gọi là timelike nếu chúng thỏa mãn

14

.


(

)

(1.16)

Mật độ năng lượng có dạng
(1.17)
Bởi vì hướng của vector poynting (3) trong phương trình (1.16) không đổi và
mật độ năng lượng (1.17) bị giới hạn trong không-thời gian bao quanh, nên
các nghiệm (1.10), (1.11) có thể được giải thích như là những sóng phẳng
phi Abel.
{

Giá trị của điện trường và từ trường mà ta tìm được từ nghiệm
} là
{
{

}

(1.18)
}

(1.19)

chúng là thực và đều trong không-thời gian bao quanh. Ta thấy từ trường
(1.19) là những thế gauge phi tuyến, nó đối lập với cường độ trường của

3

Vector Poynting là tích vector giữa cường độ điện trường và cường độ từ trường,
được đặt tên theo người phát hiện John Henry Poynting. Oliver Heaviside cũng tìm
ra vector này một cách độc lập.
Vector Poynting, thường được kí hiệu là

hay

, là vector mô tả sự truyền đi

của năng lượng sóng điện từ trong môi trường. Chiều của vector Poynting là chiều truyền
đi của năng lượng (có thể khác với chiều của vector truyền sóng ), còn độ lớn của nó là
năng lượng sóng điện từ truyền qua một đơn vị diện tích trong một đơn vị thời gian.

với

là cường độ điện trường,

là cường độ từ trường,

môi của môi trường, trong chân không hệ số này là

là cảm ứng từ,

là hằng số từ

.

Trong trường hợp sóng phẳng, ta có thể viết trung bình của vector Poynting theo thời
gian dưới dạng: 〈 〉

với khoảng thời gian T lớn hơn một chu kì dao

động sóng.

15


sóng phẳng do Coleman [21] tìm ra. Trong khi điện trường lại là những thế
gauge tuyến tính theo hướng truyền ngang. Ngoài ra, từ trường phi tuyến lại
không vuông góc với hướng truyền bởi vì
(1.20)
Điều này gợi ý rằng những số hạng phi tuyến trong các phương trình YangMills có thể xem như sự phát sinh của một môi trường.
Những nghiệm (1.10), (1.11) tương ứng với những dạng sóng đặc biệt
gồm những dãy đều, tương tự những sóng tuần hoàn. Khi vector

trong các

nghiệm (1.10) và (1.11) là timelike, thì vận tốc pha lớn hơn vận tốc ánh sáng
(vận tốc pha ở đây không giống như vận tốc truyền sóng). Điều này xác nhận
những phần phi tuyến trong phương trình Yang-Mills tương ứng với sự hiện
diện của một môi trường. Trong môi trường khác chân không, vận tốc pha
chỉ cho ta biết mỗi một điều rằng pha của sóng phẳng bị làm chậm lại do
tương tác với môi trường, nhưng không cho ta biết quá trình truyền.

Khi sóng phẳng truyền dọc qua môi trường đồng nhất, vận tốc truyền tải
năng lượng

được xác định bởi mối quan hệ [24],
(1.21)

Do đó, vận tốc truyền năng lượng đối với các nghiệm (1.10), (1.11) là
{

Vận tốc

}

được sử dụng cho tất cả các giá trị của
và

(1.22)
. Chú ý rằng

. Do đó vận tốc truyền năng lượng luôn nhỏ hơn đơn vị

(vận tốc ánh sáng), còn vận tốc truyền pha của sóng phẳng qua môi trường
luôn lớn hơn đơn vị.
Những trường gauge thực của các nghiệm {
hoàn và đều khi
những số nguyên và

và

} là tuần

tương ứng. Ở đây,

là

là tích phân elliptic kiểu thứ nhất. Mặc dù những

nghiệm (1.12), (1.13) cũng truyền theo hướng dọc

16

khi các thành phần thời


gian của

và

triệt tiêu, nhưng mật độ năng lượng lại không được giới

hạn trong không-thời gian bao quanh. Cho nên chúng không được coi là
sóng phẳng.
Nghiệm khác đối với những phương trình Yang-Mills rút gọn khi
đóng vai trò spacelike là
(1.23)
Với các ansatz khác [25] thì hàm vô hướng
tự đối ngẫu, còn với ansatz (1.2) thì

dẫn đến trường gauge là
dẫn đến trường gauge là không

tự đối ngẫu với tensor năng-xung lượng
{

(

)

(1.24)

}

không bị triệt tiêu. Vì các nghiệm tuần hoàn (1.12), (1.13) và (1.23) di
chuyển theo hướng được đưa vào khi
với vận tốc nhỏ hơn
đơn vị. Đồng thời mật độ năng lượng không được giới hạn bởi không-thời
gian bao quanh nên nghiệm (1.23) cũng không được coi là sóng phẳng.
Trở lại với ansatz (1.2),

và

gradient của chúng trực giao với

là những hàm của các biến
và

. Do đó, cả

và

và

lightlike (4) [23] và trực giao với nhau, ta có thể đặt
những hàm của

với việc thêm vào các biến

, và
và

mà
phải là
,

là

. Khi đó, các

phương trình Yang-Mills (1.5), (1.6) được tuyến tính hóa thành
(1.25)
Chọn

và

, thì tìm được nghiệm của (1.25)

có dạng

4

Lightlike

Một 4-vector

được gọi là lightlike nếu chúng thỏa mãn

17

.


(1.26)
trong đó

và

là những hàm tùy ý của

. Nghiệm (1.26) đưa đến việc

xuất hiện thế gauge
(

)(

)

(1.27)

Đây chính là nghiệm sóng phẳng của Coleman [21].
Như vậy, xuất phát từ ansatz (1.2) ta đã tìm được ba lớp nghiệm khác
nhau mà chúng là thực trong không gian Minkowski. Đầu tiên là những sóng

phẳng phi Abel truyền đi với vận tốc pha lớn hơn vận tốc ánh sáng. Những
nghiệm này là đều trong toàn không-thời gian, do đó chúng là những nghiệm
nguồn của lý thuyết Yang-Mills; Lớp nghiệm thứ hai di chuyển với tốc độ
nhỏ hơn tốc độ ánh sáng và được coi là tĩnh. Những lớp nghiệm này là kỳ dị
và không tương ứng với sóng phẳng; Lớp nghiệm thứ ba truyền với tốc độ
ánh sáng. Nghiệm sóng phẳng Coleman [21] cũng thuộc lớp nghiệm này.
Các nghiệm sóng phẳng phi Abel này di chuyển theo các hướng khác nhau vì
vậy mà không thể có nguyên lý chồng chất các trạng thái ở đây được. Đó là
điều khác biệt đối với các sóng phẳng Abel.
1.1.2 Nghiệm Wu-Yang

Nghiệm monopole Wu-Yang là nguyên mẫu của lý thuyết dây phi Abel
– nghiệm monopole tự do của lý thuyết thuần

. Nghiệm này đã được

tìm ra đầu tiên bởi Wu và Yang [26] với trường hợp
Jualia và Zee [27], Hsu và Mac [28] mở rộng cho trường hợp

(sau đó được
) bằng

cách đưa vào ansatz sau (gọi là ansatz Wu-Yang)

(1.28)

Thế các ansatz này vào (1.1), ta được hệ phương trình sau
18