chuyên đề số phức đủ loại tập 1 có đáp án (4 chủ đề + có ví dụ và bài tập trắc nghiệm)

CHỦ ĐỀ 1. CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN
�Phương pháp
Cho hai số phức
tính cơ bản sau:

z  a  bi, z'  a' b'i,  a,b,a',b' ��

�
a  a'
z  z' � �
.
�b  b'
z  z'   a  a'   b  b' i;

ta cần nhớ các định nghĩa và phép

z  z'   a  a'   b  b' i.

z.z'   a  bi   a' b'i   aa' bb'  ab' a'b i.

z' z'.z  a' b'i   a  bi  aa' bb'  ab' a'b i
 2 

.
z
z
a2  b2
a2  b2

Vận dụng các tính tính chất trên ta có thể dễ dàng giải các bài toán sau.
n

Ta cũng cần chú ý kết quả sau: Với i , n�� thì

 

k



Nếu

n  4k  k ��



Nếu

n  4k  1  k ��

n
4k
thì i  i i  1.i  i



Nếu

n  4k  2  k ��

thì



Nếu

i n  i 4k  i 4

thì

n  4k  3  k ��

thì

1

i n  i 4k i 2  1. 1  1
i n  i 4k i 3  1. i   i

I. CÁC VÍ DỤ MẪU

3 1
 i
2
3
2
2 2 . Tính các số phức sau: z; z ; (z) ;1 z  z .
Ví dụ 1. Cho số phức:
Ví dụ 2. Tìm phần thực và phần ảo của số phức:
z

a)

z   9  5i    1 2i  ;
z   2 i 

b)

z   4  3i   4  5i  ;

3

c)
;
d)
Ví dụ 3. Thực hiện các phép tính sau:

a)

d)

1
A
 1 i   4  3i 
D

;

b)

B

z

C

5  6i
4  3i ;

c)

1
3

i
2 2

�1 7i �
�
�
e) �4  3i �

3  2i
i ;

a  bi, a,b �R  :

z   2  i    1 2i    3  i   2  i  ;
3

1

2026

Ví dụ 4. Viết các số phức sau đây dưới dạng
a)

2i
.
i1

3

 2  i   1 i  ;
z
2 1 i   3 1 i 
2

1 i 3  i 1 2i
z


;
1 i 2  i 1 i
b)

c)


z

 2 i 

 1 i 

5

z

 1 2i  3 ;

6

 2  2i  5

.

d)
e)
Ví dụ 5. Tìm nghịch đảo của số phức sau:

a)z  3  4i;

b) z  3  2i;

c)z 



1 i 5
;
3  2i



2

d)z  3  i 2 .

z   2a  1   3b  5 i, a,b��
Ví dụ 6. Cho
. Tìm các số a,b để
a) z là số thực
b) z là số ảo.
Ví dụ 7. Tìm m �R để:
a) Số phức
b) Số phức

z  1  1 mi    1 mi 
z

2

là số thuần ảo.

m  1 2 m  1 i
1 mi

là số thực.
Ví dụ 8. Tìm các số thực x, y sao cho z  z' , với từng trường hợp
a)z   3x  9  3i, z'  12   5y  7 i;

b)z   2x  3   3y  1 i, z'   2y  1   3x  7 i.

(x2  2y  i) 3  i   y  x  1  1 i   26  14i.
2

c)

x

2

 y2

3


 2i   3i  1   y  2x
6

3 i

2

d)

 1 i 

3 1 i 

. Chứng minh rằng :

Ví dụ 9

100



9

 320  896i

4

 4i  1 i 

98

Ví dụ 10. a) Tính mô-đun của số phức z biết

 1 3i 
z
1 i

b) Cho số phức z thỏa mãn

z
Ví dụ 11. Xét số phức:

im
1 m m  2i 

 4 1 i 

96

.

z  3i  2  i   2i 3

.

3

. Tìm môđun của số phức z  iz .

. Tìm m để

z.z 

1
2

2
3
2012
.
Ví dụ 12. Tính S  1 i  i  i  ...  i

Ví dụ 13. Số phức
nhất của biểu thức:

z  x  2yi  x,y ��
P  x y

Ví dụ 14. Cho số phức

thay đổi thỏa mãn

z 1
. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ

.

z  cos2   sin   cos  i

, với số  thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất,

z
lớn nhất của .
Ví dụ 15. (Đề Minh họa của bộ). Cho số phức z = 3 – 2i. Tìm phần thực và phần ảo
của số phức z
A. Phần thực bằng –3 và Phần ảo bằng –2i.
bằng –2.

B. Phần thực bằng –3 và Phần ảo


C. Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2i.
bằng 2.

D. Phần thực bằng 3 và Phần ảo

Ví dụ 16. (Đề Minh Họa của Bộ). Cho hai số phức
môđun của số phức
A.

z1  z2  13

z1  1  i và z2  2  3i . Tính

z1  z2 .
.

B.

z1  z2  5

.

C.

z1  z2  1

.

D.

z1  z2  5

Ví dụ 17. (Đề minh họa của bộ). Cho số phức z  2  5i. Tìm số phức w  iz  z
A. w  7  3i.

B. w  3  3i.
C. w  3  7i.
D. w  7  7i
Ví dụ 17. (Đề thử nghiệm lần 1 của Bộ). Tìm số phức liên hợp của số phức

z  i (3i  1)
A. z  3  i

B. z  3  i

C. z  3  i

D. z  3  i

Ví dụ 18: (Đề thử nghiệm lần 1 của Bộ). Tính môđun của số phức
z(2  i)  13i  1

A.

z  34.

B.

z  34

C.

z 

5 34

3

D.

Ví dụ 19: ( Đề Thử nghiệm lần 1-Bộ Giáo dục). Xét số phức
(1  2i) z 

Câu 1. Cho

1.2. Tính
A. 1 4i
1.3. Tính
A. 11 45i

z1  1 3i,z2  2  i,z3  3 4i.

34
3

thoả mãn

1
3
 z
2
D. 2

Tính:

z1  2z2  z3

B. 2  4i.

C. 2  5i

D. 4  6i

B. 2  3i.

C. 2  5i.

D. 1 6i

B. 20  33i.

C. 20  35i

D. 11 61i

2006
C. 2 i

2006
D. 2 i

C. 4  19i

D. 6  12i

z1z2  z2 z3
z1z2z3  z22z3

Câu 2. Tính lũy thừa
1003
A. 2 i

z 

10
 2  i.
z
Mệnh đề nào sau đây đúng?

3
1
 z 2
z 
z

2
2
A. 2
B.
C.
II. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

1.1. Tính
A. 1 4i

z

z thoả mãn

 1 i 

2006

bằng

1003
B. 2 i

 2  3i  bằng
Câu 3. Tính lũy thừa
A. 46  9i
B. 4  9i
3

�
 4  5i    4 3i  �
� bằng
Câu 4. Tính lũy thừa �
A. 32i
B. 9i
C. 19i
5

D. 12i

.


Câu 5. Tính lũy thừa
A. 4  2 3i



2i 3

2

bằng

B. 1 2 6i

C. 3 3i

D. 6  3i

C. 4

D. 1

3

�1
3�
 i
�
�

�2
�
2
�bằng
Câu 6. Tính lũy thừa �
B. 4
A. 6

z
Câu 7. Viết các số phức

6 i 3

4
A. 4

1 i 2
5 i 3



2i

3  i 5 dưới dạng a  bi ,  a,b��

2 i 5

4
B. 4

3 i 5

3
C. 3

 7  8i 
z
11
 8  7i 

2 3 2i 7

3
D. 3

10

Câu 8. Viết các số phức
A.



4
7i

133 133



 a,b��

dưới dạng a  bi ,

8
7i

113 113

B.
1 �7 1 �
A �
i  �
2i � i 7 �
Câu 9. Tính
A. i
B. i

C.



4 7i

23 23

C. i

D.



4
5i

123 123

D. 1

33

�1 i �
10
1
B  � �   1 i    2  3i   2  3i   ;
1

i
i
� �
Câu 10. Tính
A. 13  3i
B. 33  31i
C. 13  32i

C  1  1 i    1 i    1 i   ...   1 i 
2

Câu 11. Tính

Câu 12. Cặp số thực x, y thỏa mãn
1

3
x  ,y 
3
5
A.

A.

5
2
,y 
11
11

B.

x 

1
1
x  ,y 
3
5
C.

4x  3   3y  2 i  y  1  x  3 i

5
2
,y 

11
11

C.

x

D. 3  32i

20

2x  1  1 2y  i  2  x   3y  2 i

1
1
x  ,y 
5
5
B.

Câu 13. Cặp số thực x, y thỏa mãn
x

3

5
2
,y  
11
11

là:
1
3
x   ,y  
3
5
D.
là:
D.

x 

5
2
,y  
11
11

x 3  5i   y  1– 2i   7  32i
Câu 14. Cặp số thực x, y thỏa mãn
là:
x  6;y  1
x  6;y  1
x  6;y  1
x  6;y  1
A.
B.
C.
D.

x 1 y 1

Câu 15. Cặp số thực x, y thỏa mãn 1 i 1 i là:
x  1;y  1
x  1;y  1
x  1;y  1
338
61
A.
B.
D.
x
;y 
49
49
C.
3

y
1

 2  3i
Câu 16. Các cặp số thực x, y thỏa mãn x  i 3  3i
là:


A.
C.

 x,y    0;12 ; 1;15 

B.

 x,y    10;2 ; 10;5 

D.

Câu 17. Các cặp số thực x, y thỏa mãn
A.

C.

�
�

�

�

 x,y  ��21 ;2�; 1;3 �

D.

Câu 18. Tìm điều kiện cho 2 số thưc x, và y để
�
x1
�
y  1
A. �

�
x1
�
y1
B. �

�

5 �
 x,y  � 1;2 ;�
�
� ;4�
2
�

�

�

�
�

��

�
�

�
�

��

�

3
; 2; �
 x,y   ��1; 21��
�
2

 x  iy 

2

là số thực

�
x0
�
y0
C. �

Câu 19. Tìm điều kiện cho 2 số thưc x, và y để

�
x 0
� 2
3x  y2
B. �

�
x 0
�
3x  y
A. �

là:

�

B.

�

 x,y    1;2 ; 1;15 

 x  i   1 yi    3  2i  x  1 4i

 x,y    1;1 ; 1;2 
�
�

 x,y    0;2 ; 1;5 

�
x 2
�
y1
D. �

 x  iy 

2

là số ảo

�
x 0
�2
x  3y2
D. �

�
x 0
�
x  3y
C. �
z

Câu 20. Tìm số thực m để bình phương của số phức
A. m  �2
C. m  �4
B. m  �3

m  3i
1 i là số thực.
D. m  5

Câu 21. Cho số phức z  3  2i . Tìm phần thực và phần ảo của số phức w  iz  z .
Câu 22. Cho

A. z  6

z  2  3i, x,y �� .

Hãy viết dưới dạng đại số của
z


6
B.
C. z  6  i

w

z3  z
 z
z1

 

2

z

.

D. z  6  i

2
3

2012
.
Câu 23. Tính tổng S  i  2i  3i  ...  2012.i
A. 1006  1006i
B. 1006  1006i
C. 1006  1006i
D. 1006  1006i

�R
2
.
    2 3.
Câu 24. Cho  , hai số phức liên hiệp thỏa mãn 
và
Tính
C. 2
B. 3
A. 3
D. 5

c   a  bi   107i.
3

Câu 25. Tìm c biết a,b và c các số nguyên dương thỏa mãn:
A. 400
B. 312
C. 198
D. 123
Câu 26. Cho số phức z có phần ảo bằng 164 và với số nguyên dương n thỏa mãn
z

 4i.
zn
Tìm n.
A. n  14

B. n  149

Câu 27. Cho số phức z thỏa mãn
A.

2

B.

3

C. 697

z

D. 789

 1 3i 
1 i

.Tìm mô đun của số phức z  iz
C. 5
D. 7

z
Câu 28. Tìm số thực m biết:
�
m  1
�
m1
A. �

im
1 m m  2i 

�
m0
�
m  1
B. �

và

zz 

2 m
2 ( trong đó i là đơn vị ảo)

�
m0
�
m1
C. �

z   1 i  ,n ��

�
m 2
�
m1
D. �

n

Câu 29. Tìm phần thực của số phức:

log4  n  3  log4  n  9  3

thỏa mãn phương trình:

.

B. 8
C. 8
D. 9
m  3i
z
 m ��
2
1 i
Câu 30. Cho số phức
. Tìm m, biết số phức w  z có môđun bằng 9.
A. 6

�
m  1
�
m1
A. �

�
�
m 3
m 3
�
�
m  1
m1
B. �
C. �
D.
CHỦ ĐỀ 2. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CÁC SỐ PHỨC

�
m3
�
m  3
�

Phương pháp


Trong mặt phẳng phức, số phức











Điểm

M  x;y  ,

kí hiệu

z  x  yi, (x,y ��)

được biểu diễn bằng :

M  z

uuuur
OM   x;y 
Vectơ
r
u  (x;y)
Vectơ

Biểu diễn hình học của z, z, z

M  z

và

M  z

M  z

và M(z) đối xứng với nhau qua trục Ox.

đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.

z  z' ,z  z' ,kz  k ��
Biểu diễn hình học của
r
' r
Gọi M, u lần lượt biểu diễn số phức z; M ,v biểu biểu diễn số phức z’. Ta có:
uuuur uuuuu
r
r r
OM  OM ' và u  v biểu diễn số phức z  z’ ;
uuuur uuuuu
r uuuuuu
r
r r
OM  OM '  M 'M và u  v biểu diễn số phức z  z’ ;
uuuur r
kOM , ku
biểu diễn số phức kz.
Với M, A, B lần lượt biểu diễn số phức z, a, b thì :

OM  z ;AB  b  a .
I. CÁC VÍ DỤ MẪU
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm A,B,C không thẳng hàng biểu diễn các số
phức a,b,c. Gọi M là trung điểm của AB, G là trọng tâm tam giác ABC và D là điểm đối
xứng của A qua G. Các điểm M,G,D lần lượt biểu diễn các số phức m,g,d.
a) Tính các số phức m, g, d theo a, b, c.
b) Nếu thêm giả thiết
chỉ nếu a  b  c  0.

a  b  c,

chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều nếu và


Ví dụ 2. Cho hình bình hành ABCD. Ba đỉnh A, B ,C lần lượt biểu diễn các số phức

a  2  2i,b  1 i,c  5  mi

 m�R  .

a) Tìm số phức d (biểu diễn điểm D);
b) Định m sao cho ABCD là hình chữ nhật.
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm M, A, B lần lượt biểu diễn các số phức :

�3  i 3 �
i
z
�
�

z.
� 3 �
3
�
�
z,
và
Chứng minh rằng:
a) z �C, tam giác OMA vuông tại M;
b) z �C, tam giác MAB là tam giác vuông;
c) z �C, tứ giác OMAB là hình chữ nhật.
Ví dụ 4. Gọi A, B, C là ba điểm lần lượt biểu diễn các số phức

a  1 i, b  i, c  1 ki, k �� .
a) Định k để ba điểm A, B, C thẳng hàng;

a'  f  a ,b'  f  b ,c'  f  c .
w  f  z   z2.
b) Xét hàm số
Đặt
Tính a’, b’,c’
c) Gọi A’, B’, C’ lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức a’, b’, c’. Định k để A’, B’,
C’ là ba điểm thẳng hàng;
ur u
r
z
ur u
r
uv�
u,v

z' là số ảo.
d) Nếu
lần lượt biểu diễn các số phức z, z’. Chứng minh rằng
Áp dụng: Tính k để tam giác A’B’C’ vuông tại A’.
Ví dụ 5. Cho số phức

z  m   m  3 i,m ��

a) Tìm m để biểu diễn số phức nằm trên đường phân giác góc phần tư thứ hai
y

y  x

2
x

b) Tìm m để biểu diễn số phức nằm trên Hyperbol
c) Tìm m để khoảng cách của điểm biểu diễn số phức đến gốc tọa độ nhỏ nhất.
Ví dụ 6. Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biễu diễn các số
4i
2  6i
;  1 i   1 2i  ;
i 1
3 i
a) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân.
b) Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông.
Ví dụ 7. Trong mặt phẳng phức cho các điểm: O (gốc tọa độ), A điểm biểu diễn số 1, B
điểm biểu diễn số phức z không thực, A’ biểu diễn số phức z' �0 và B’ biểu diễn số
phức zz'. Chứng minh rằng: Tam giác OA B và tam giác OA 'B' đồng dạng.
Ví dụ 8. Biết A, B, C, D là bốn điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn theo thứ tự các

số:
1 i,  1 i,
2i,
2  2i.
uuur uuuu
r uuur uuur
z1,z2 ,z3 ,z4
AC,AD,BC,BD.
a) Tìm các số
theo thứ tự biểu diễn các vectơ

z1 z3
,
z2 z 4

b) Tính
và từ đó suy ra A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn. Tâm đường
tròn biểu diễn số phức nào?


II. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Câu 1. Gọi A, B theo thứ tự là các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số z khác 0 và
tam giác OAB là tam giác gì
A. Tam giác cân
B. Tam giác đều
C. Tam giác vuông
D. Tam giác vuông cân

z' 

Câu 2. Các điểm A, B, C và A’, B’, C’ tương ứng biểu diễn các số phức

1 i
z
2 . Lúc đó,

z1,z2 ,z3

và

z'1,z'2 ,z'3

( trong đó A, B, C và A’, B’ , C’ không thẳng hàng). Hai tam giác ABC và A’B’C’
có cùng trọng tâm khi và chỉ khi
A.

z1  z2  z3  z1'  z'2  z'3
z1  z2  z3 

B.

z1'  z'2  z'3

D.

z1  z2  z3  z1'  z'2  z'3
'2
z12  z22  z23  z'12  z'2
2  z3

C.
Câu 3. Cho A, B, C, D là bốn điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số





4  3  3 i;





2  3  3 i;

1 3i;

A. ABCD là hình bình hành
C. D là trọng tâm của tam giác ABC

3 i

. Chọn khẳng định đúng
B. A D  2CB
D. Tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn

2
Câu 4. Cho ba điểm A ,B, C lần lượt biểu diễn các số phức a  1,b  1 i và c  b .
Câu 4.1. Xác định  sao cho A,B,C là ba đỉnh của một tam giác
A.  �1

B.  �1
C.   �1
D.  �0

Câu 4. 2. Khi A, B, C là ba đỉnh của tam giác. Hỏi tam giác ABC là tam giác gì?
A. Tam giác cân
B. Tam giác đều
C. Tam giác vuông
D. Tam giác vuông cân
Câu 4.3. Tìm số phức d biểu biễn bởi D sao cho ABCD là hình chữ nhật
2
2
2
2
A. d  1   i.
B. d  1   i.
C. d  1   i.
D. d  1   i.
Câu 5. Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu

diễn số phức
A.

z1,z2 ,z2.

z1  z2  z2.

Hỏi trọng tâm của tam giác ABC biểu diễn số phức nào?
B.

z1  z2  z 2

1
1
z1  z2  z2 
  z1  z2  z2 

C. 3
D. 3
Câu 6. Xét ba điểm A, B,C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn ba số phức phân

z  z2  z 3
z ,z ,z
biệt 1 2 2 thỏa mãn 1
. Ba điểm A, B, C là ba đỉnh của một tam giác đều
khi và chỉ khi
z1  z2  z3  0.
A.

z1  z2  z3

B.

z1  z2  z3  0

C.

z1z2  z2z3  z3z1  0

D.

z12  z22  z32

Câu 7. Cho M, N là hai điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn theo thứ tự các số phức z1 , z 2 khác 0 thỏa
2
2
mãn đẳng thức z1  z 2  z1z 2 . Tam giác OMN là tam giác gì?
A. Tam giác cân
B. Tam giác đều
C. Tam giác vuông
D. Tam giác vuông cân


2
c  x  i, x �� .
Câu 8. Cho ba điểm A, B, C biểu diễn các số phức a  1 i,b  a và
Tìm x sao cho
Câu 8.1. Tam giác ABC vuông tại B
A. x  1
B. x  2
C. x  3
D. x  5
Câu 8.2. Tam giác ABC cân tại C
A. x  7
B. x  2
C. x  3
D. x  5
ur u
r
r

Câu 9. Cho u,v là biểu diễn của hai số phức 1 3i và 3  2i . Gọi x là biểu diễn của số
ur u
r
r
phức 6  4i . Hãy phân tích x qua u,v
r
r
r 24 ur 14 u
r
r 24 ur 14 u
r
r
r
24 ur 14 u
24 ur 14 u
x  u v
x
u v
x
u v
x  u v
11
11
11
11
11
11
11
11
A.

B.
C.
D.
Câu 10. Tìm các điểm biểu diễn của số phức z biết điểm biểu diễn của các số phức

z,z2 ,z3 lập thành
Câu 10.1.Tam giác vuông tại A
A. Quỷ tích của z là đường thẳng x  1.

B. Quỷ tích của z là đường tròn

x2  y2  1

1
x2 y2
y  x2

 1.
2
D. Quỷ tích của z là Parabol
2
C. Quỷ tích của z là đường elip 1
Câu 10.2.Tam giác vuông tại B
A. Quỷ tích của z là đường thẳng x  0.
y0
B. Quỷ tích của z là đường thẳng
C. Quỷ tích của z là đường thẳng x  0, trừ gốc tọa độ
y  0,
D. Quỷ tích của z là đường thẳng
trừ gốc tọa độ

Câu 10.3 Tam giác vuông tại C
A. Quỷ tích của z là đường thẳng x  2
y1
B. Quỷ tích của z là đường thẳng
2

� 1� 2 1
x  � y 
�
4
C. Quỷ tích của z là đường tròn � 2 �
y  0, x  0
D. Quỷ tích của z là hai đường thẳng
Câu 11. (Đề minh họa của bộ). Cho số phức z

thỏa mãn (1  i ) z  3  i. Hỏi điểm biểu diễn của z là
điểm nào trong các điểm M, N, P, Q ở hình bên ?
A. Điểm P.
B. Điểm Q.
C. Điểm M.
D. Điểm N.


Câu 12. (Đề thử nghiệm lần 1 của bộ). Điểm M
trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z. Tìm
phần thực và phần ảo của số phức z.
A. Phần thực là −4 và phần ảo là 3.
B. Phần thực là 3 và phần ảo là −4i.
C. Phần thực là 3 và phần ảo là −4.
D. Phần thực là −4 và phần ảo là 3i.

CHỦ ĐỀ 3. TÌM TẬP HỢP ĐIỂM
Phương pháp
z, a, b.
Giả sử các điểm M , A ,B lần lượt biểu diễn các số phức



o

z  a  z  b � MA  MB � M

thuộc đường trung trực của đoạn AB.





z  a  z  b  k, k �R,k  0,k  a  b � MA  MB  k
o
� M thuộc elip (E) nhận A, B là hai tiêu điểm và có độ dài trục lớn bằng k.

Giả sử M và M’ lần lượt biểu diễn các số phức z và



Đặt

z  x  iy

w  f  z .

 x,y,u,v �R  .
và w  u  iv

w  f  z
x,y,u,v
Hệ thức
tương đương với hai hệ thức liên hệ giữa
o Nếu biết một hệ thức giữa x,y, ta tìm được một hệ thức giữa u,v và suy ra
được tập hợp các điểm M’.
o Nếu biết một hệ thức giữa u,v ta tìm được một hệ thức giữa x,y và suy ra
được tập hợp các điểm M.
I. CÁC VÍ DỤ MẪU
Ví dụ 1. Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z trong các trường hợp sau:
{Đường thẳng }
z  1 3i
 1;
z  1 i

zi  zi ;

z z  z0z  1  0
z  1 i.
a)
b)
c) 0
với 0
Ví dụ 2. Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z trong các trường hợp sau:

{Đường tròn }
a)

z   3  4i   2

;

b)

z  i   1 i  z

2

z  2iz  2i 3 z  0

2iz  1  5
c)
;
d)
.
Ví dụ 3. Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z trong các trường hợp sau: {Elip}:

z  1  z  1  4.
Ví dụ 4. Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z trong các trường hợp sau: {Ảo
thực}
2z  1
a) z  1 là số ảo;

z1
, z �2i 

b) z  2i
là số thực.
2

'
3z  i �z.z  9
Ví dụ 5. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z  2z  3 i , với

Ví dụ 6. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho số phức z thỏa mãn
tập hợp biểu diễn số phức w  2z  i .

z1  2

.Tìm

Ví dụ 7. Hãy xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z

1 z  i  2
thỏa mãn:
. {Hình vành khăn}
Ví dụ 8. Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều
kiện

2 z  i  z  z  2i






z  3z  2  i 3 z
Ví dụ 9. Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn
Ví dụ 10 . Xác định tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện:

zi
z  i là số thực dương với z �i ;

b)

 

z2  z

2

a)
log 1



2

c) z  2z  5�� ;

d)

3

z2 2
4z 2 1

 1.

Ví dụ 11. Gọi M và M ' là các điểm lần lượt biểu diễn các số phức z và z’
Đặt

z  x  iy

a) Tính

x’,y’

và



1
, z �0 .
z

z'  x' iy', x,y,x',y' �R 

theo

x,y

và tính x,y theo

x’,y’

.

b) Cho M di động trên đường tròn (C ) tâm A(-1;1), bán kính R  2. Tìm tập hợp các
điểm M’.
d :y  x 1
c) Cho M di động trên đường thẳng
, tìm tập hợp các điểm M’.
z  x  yi 
Ví dụ 12. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức
thỏa mãn điều kiện

�
�y  x �1
a) �
;
2
�y �2x

b)1 z �2.

II. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Câu 1. Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z. Tập hợp những

2 z  i  z
điểm M(z) thỏa mãn điều
là
4x  2y  3  0
4x  2y  3  0
A. Đường thẳng
B. Đường thẳng

x  2y  3  0
x  9y  3  0
A. Đường thẳng
D. Đường thẳng
Câu 2. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn
điều kiện

z  2i  z  1 i

A. Đường thẳng

là
x  y  3 0

B. Đường thẳng

x  2y  3  0

x  2y  3  0
x  y  1 0
A. Đường thẳng
D. Đường thẳng
Câu 3. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn

5  1 i  z  3  2i   1 7i  z  i
điều kiện
là
A. Đường thẳng
B. Đường tròn
A. Đường elip

D. Đường Parabol
Câu 4. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn

điều kiện

zz3  4

A. Hai đuờng thẳng
A. Hai đuờng thẳng

là

x

1
7
x 
2,
2

x

1
7
x
2,
2

B. Hai đuờng thẳng
D. Hai đuờng thẳng

x 

1
7
x 
2,
2

x 

1
7
x
2,
2


Câu 5. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn
điều kiện

z  z  1 i  2

là

y

A. Hai đuờng thẳng

1 3

1 3
;y 
2
2

y

B. Hai đuờng thẳng

1 3
1 3
;y 
2
2

1 5
1 3
1 5
1 3
;y 
y
;y 
2
2
2
2
A. Hai đuờng thẳng
D. Hai đuờng thẳng
Câu 6. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn
y

điều kiện

2z1  zz2

là
y0
A. Hai đuờng thẳng x  0 ,
.
x

0
x


2
C. Hai đuờng thẳng
,
.

y  2
B. Hai đuờng thẳng x  0 ,
.
y


2
D. Hai đuờng thẳng x  2 ,
.
Câu 7. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn

điều kiện

z  1 i  2

A. Đuờng thẳng

là
x  y  2 0

 x  1
B. Đường tròn

2

  y  1  4
2

I  1; 1
D. Đường tròn tâm
và bán kính
R  2.
Câu 8. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn
C. Đường thẳng

x  y  2 0

z
3
điều kiện z  1

là

A. Đuờng tròn
C. Đường tròn

x2  y2 

18
9
y 0
8
8

x2  y2 

18
9
y 0
8
8

B. Đường tròn

x2  y2 

18
9
y  0
8
8

� 9�
I�
0; �
D. Đường tròn tâm � 8 � và bán kính

1
R .
8
Câu 8. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn
điều kiện

z  3  2i  2z  1 2i

là

2
4
8
2
4
8
x2  y2  x  y   0
x2  y2  x  y   0
3
3
3
3
3
3

A. Đuờng tròn
B. Đường tròn
2
4
8
2
4
8
x2  y2  x  y   0
x2  y2  x  y   0
3
3
3
3
3
3
C. Đường tròn
D.
Câu 9. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn
điều kiện

z  i   1 i  z

là

x2   y  1  2

B. Đường tròn

 x  1

2
2
x  1   y  1  2

D.

2

A. Đuờng tròn

2

  y  1  2
2

x2   y  1  2
2

C. Đường tròn
Câu 9. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn
điều kiện

z  4i  z  4i  10

là


x2 y2


1
A. Đuờng elip 9 16

x2 y2

1
B. Đuờng elip 16 9

x2 y2
x2 y2

1

1
3
4
C. Đuờng elip 4
D. Đuờng elip 9
Câu 10. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn

z2  z2  5
điều kiện
là
A. Đuờng tròn
B. Đuờng elip
C. Đuờng parabol
D. Đuờng thẳng
Câu 11. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn
2 z  z  2
điều kiện

là
A. Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng ở bên phải trục tung
B. Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng ở bên trái trục tung
C. Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng phía trên trục hoành
D. Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng phía dưới trục hoành
Câu 12. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn
điều kiện

1�z  1 i �2

là

A. Tập hợp các điểm là hình tròn có tâm

I  1;1

, bán kính 2

B. Tập hợp các điểm là hình vành khăn có tâm tại
lần lượt là 2; 1
C. Tập hợp các điểm là hình tròn có tâm

I  1; 1

A  1;1

và các bán kính lớn và nhỏ

, bán kính 1

D. Tập hợp các điểm là hình vành khăn có tâm tại
lần lượt là 2; 1

I  1; 1

và các bán kính lớn và nhỏ

Câu 13. Tìm tất cả các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z sao cho

zi
z  i là số thực.
A. Tập hợp điểm gồm hai trục tọa độ
B. Tập hợp điểm là trục hoành
C. Tập hợp điểm gồm hai trục tọa độ bỏ đi điểm A(0;1)
D. Tập hợp điểm là trục tung, bỏ đi A(0;1)
Câu 14. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho
thuần ảo.
A. Đường tròn tâm
B. Đường tròn tâm
C. Đường tròn tâm

x  y 1

là

I  1; 1

I  1;1
I  1;1

z  2  3i
zi
là một số

bán kính R  5

A  0;1 ; B 2; 3
bán kính R  5 trừ đi hai điểm
.

bán kính R  5

A  0;1 ; B 2;3
bán kính R  5 trừ đi hai điểm
.
z  x  yi 
tập hợp các điểm biểu diễn số phức
thỏa mãn điều kiện

D. Đường tròn tâm
Câu 15. Tìm

I  1; 1

u


A. Ba cạnh của tam giác
B. Bốn cạnh của hình vuông
C. Bốn cạnh của hình chữ nhật

D. Bốn cạnh của hình thoi
Câu 16. Gọi M và P lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức
2

w  z . Tìm tập hợp các điểm P trong các trường hợp sau đây:
y  2x
Câu 16. 1. M thuộc đường thẳng d:

 d' :y   43 x

A. Đường thẳng
 d' : y   43 x,x �0.
B. Tia
C. Đường thẳng

 d' : y  43 x
4

D. Tia

 d' : y   3 x,x  0.
y  x1

Câu 16.2. M thuộc đường thẳng d:
1
1
d': y  x  .
3
3
A. Đường thẳng

 P  : y  21 x2  21.
B. Parabol
C. Đường tròn

 x  1

2

  y  3  3
2

x2 y2

1
D. Elip 25 16
Câu 16.3. M thuộc đường tròn

 C  :x2  y2  1;

1
d': y  x  .
3
A. Đường thẳng
 P  : y  41 x2
B. Parabol
C. Đường tròn

x2  y2  1

x2

 y2  1
2
D. Elip

 C  : y  x1 x �0 .

Câu 16.4. M thuộc hypebol
A. Đường thẳng d':x  2
d': y  2
B. Đường thẳng
d': y  1
C. Đường thẳng
d': y  2
D. Đường thẳng

z  x  iy, x,y �R 

và


Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa
zi zi

z

1
z  1 là số thuần ảo.
mãn
�1 �
1

I�
 ;0�
R
2
� bán kính
2
A. Đường tròn tâm �
�1 �
1
I�
 ;0�
R
2
� bán kính
2 trừ đi hai điểm  1;0 .
B. Đường tròn tâm �

�1 �
1
I�
 ;0�
R
2
�
�
4
C. Đường tròn tâm
bán kính
�1 �
1

I�
 ;0�
R
2
� bán kính
4 trừ đi hai điểm  0;1 .
D. Đường tròn tâm �

Câu 19. Tìm quỹ tích các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức w  iz  1,

biết z là số phức thỏa mãn:

 z  2i  1

A. Đường tròn

 C  :  x  3

B. Đường tròn

 C  :  x  3 2   y  1 2  2

C. Đường tròn

 C  : x  3

2

3

8
.

  y  1  4
2

  y  1  4

2

2

 C  :  x  3   y  1  4
D. Đường tròn
Câu 20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w thỏa
2

2

z  1 2i  1
mãn: w  z  2  i , biết z là số phức thỏa
.
A. Đường tròn tâm
B. Đường tròn tâm
C. Đường tròn tâm

I  1;2
I  2;1

I  1;1

bán kính R  2
bán kính R  2
bán kính R  1

I  3;3
D. Đường tròn tâm
, bán kính R  1.
Câu 21. Trong mặt phẳng phức Oxy, tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức

w   1 2i  z  3

biết z là số phức thỏa mãn:

A. Đường tròn tâm
B. Đường tròn tâm
C. Đường tròn tâm
D. Đường tròn tâm

I  1;2

I  2;1
I  1;4

I  1;3

z2 5

bán kính R  5
bán kính R  5

bán kính R  5 5 .
, bán kính R  5 .

Câu 22. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức
A. Hình tròn tâm



I 3; 3

.

 , R  4.





z'  1 i 3 z  2

với

z  1 �2

.




C. Hình tròn tâm

 , R  4.

I 3; 3

B. Đường tròn tâm

I  1;4

D. Đường tròn tâm

I  1;3

bán kính R  5 .
, bán kính R  5 .

Câu 23. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức
rằng số phức z thỏa mãn
A. Hình tròn tâm



I 3; 3

I  3;3

B. Đường tròn tâm
C. Đường tròn tâm
D. Hình tròn tâm

biết

 , R  4.







z  1 �2.

I 3; 3

I 3; 3



w  1 i 3 z  2





bán kính R  4
bán kính R  4 .

bán kính R  4.
2

3z  i �zz  9
Câu 24. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z'  2z  3 i với
.
A. Hình tròn tâm



I 3; 3

B. Đường tròn tâm
C. Đường tròn tâm

I  3;3



 , R  4.

I 3; 3



bán kính R  4
bán kính R  4 .

� 7�
I�
3;  � R  73
4
D. Hình tròn tâm � 4 �,

z 4
Câu 25 (Đề minh họa của bộ). Cho các số phức z thỏa mãn
. Biết rằng tập hợp
các điểm biểu diễn các số phức w  (3  4i ) z  i là một đường tròn. Tính bán kính r của
đường tròn đó.
A. r  4.

B. r  5.

C. r  20.

D. r  22.

CHỦ ĐỀ 4. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ CHỨNG MINH SỐ PHỨC
Phương pháp: Ta nhắc lại một số công thức cơ bản sau:
Cho số phức



z  x  yi

z  x  yi,  x,y ��

. Lúc đó

.

z  x2  y2 .
2



z  z.z

. Công thức này chứng minh dễ dàng như sau:
2

2
2
�
z.z   x  yi   x  yi   x2  y2  �
� x  y � z .
�
�


I. CÁC VÍ DỤ RÈN LUYỆN KĨ NĂNG
Ví dụ 1. Chứng minh rằng:
a) z1  z2  z1  z2;

�z1 � z1
c) �
, z2 �0
�z �
�
� 2 � z2

b) z1.z2  z1.z2;

Áp dụng: Cho ba số phức z1,z2 ,z3 đều có môđun bằng 1. Chứng minh
z1  z2  z3  z1z2  z2z3  z1z3 .

Giải
Giả sử:

z1  x1  y1i, z2  x2  y2i,  x1,x2 ,y1,y2 ��

a) Ta có:
z1  x1  y1i

Mà
Vậy

z2  x2  y2i

và

nên

z1  z2   x1  x2    y1  y2  i

z1  z2   x1  x2    y1  y2  i � z1  z2   x1  x2    y1  y2  i

z1  z2  z1  z2

.

b) Ta có:
z1.z2   x1  y1i   x2  y2i    x1x2  y1y2    x1y2  x2y1  i

Mặt khác:
z1.z2   x1  y1i   x2  y2i    x1x2  y1y2    x1y2  x2y1  i
� z1.z2   x1x2  y1y2    x1y2  x2y1  i

Vậy

z1.z2  z1.z2

.

 

z 1  z

c) Ta cần chứng minh bổ đề sau:

Vì

1
z.  1
z

1

,z �0

 

nên ta có

� 1�
�1 �
z. � 1� z.� � 1 � z1  z
�
� z�
�z �

1

Áp dụng bổ đề trên, ta có:

 

�z1 � � 1 � �1 �
1
�
�z �
� �
�z1. z �
� z1.�
�z �
� z1.z2  z1. z2
�2 � � 2 � �2 �

Áp dụng: Vì

z1z2z3  1

nên

1



z1
z2

.

(ĐPCM)


z1z2  z2z3  z3z1 

z1z2  z2z3  z3z1
z1z2z3

z1z2  z2z3  z3z1





z1z2z3

1 1 1


z1 z2 z3

 z1  z2  z3  z1  z2  z3  z1  z2  z3

Lưu ý: Ta có công thức tổng quát sau: Cho n số phức

z1,z2 ,...,zn

bất kỳ.

Ta luôn có:
� z1  z2  z3  ...  zn  z1  z2  z3  ...  zn
� z1z2z3...zn  z1.z2.z3...zn .

Trước hết ta chứng minh:
Giả sử:

zk  ak  bk i,  k  1,2,3,...,n

Trong đó:
Ta có:
z  a  bi 

Hay

z1  z2  z3  ...  zn  z1  z2  z3  ...  zn

a

n

n

k1

k 1

và

z

n

�zk  a  bi

k1

�ak , b  �bk

n

n

n

n

k 1

k1

k 1

k 1

�ak  �bk  � ak  bk i   �zk

z1  z2  z3  ...  zn  z1  z2  z3  ...  zn

Bây giờ ta chứng minh

z1z2z3...zn  z1.z2.z3...zn  **

bằng quy nạp

Với n  2: Giả sử z1  a1  b1i, z2  a2  b2i
Ta có:

z1.z2   a1  b1i   a2  b2i    a1a2  b1b2    a1b2  a2b1  i

Suy ra:

z1.z2   a1a2  b1b2    a1b2  a2b1  i

Mặt khác: 1 2  1 1   2 2 
Vậy với n  2 đẳng thức đúng.
z .z  a  b i

Giả sử (**) đúng với
Thật vậy:

a  b i   a1a2  b1b2    a1b2  a2b1  i

n  k, n  2

ta sẽ chứng minh hệ thứ đúng với n  k  1

z  z1z2z3...zn  z1.z2.z3...zk
Đặt z  z1z2...zk , ta có:
z.z

 z.z

k1
k 1
Với hai số phức z và zk1 ta có:
Hệ thức cuối được chứng minh với n  k  1.
Ví dụ 2. Chứng minh rằng:

z .z  z . z

z
z1
 1
z2 z2

1
2 ;
a) 1 2
b)
Áp dụng: Tìm mô đun các số phức sau:

 z1.z2.z3...zk .zk 1


u

x2  y2  2xyi
xy 2  i x4  y4

w

,

x2  y2  i 2xy

 x  y  2i

xy

,  x,y �� .

Hướng dẫn giải
a)

Cách 1. Đặt

Ta có:

z1  x1  y1i, z2  x2  y2i,  x1,x2 ,y1,y2 ��

z1  x12  y12

và

z2  x22  y22

Từ đó:
z1 z2  x12  y12 , x22  y22 

x

2
1



y12 x22  y22



 x12x22  y12y22  x12y22  y12x22  1

Mặt khác:

z1.z2   x1  y1i   x2  y2i    x1x2  y1y2    x1y2  y1x2  i

Do đó:
z1.z2 

 x1x2  y1y2  2   x1y2  y1x2  2 

x12x22  y12y22  x12y22  y12x22  1

Từ (1) và (2) ta suy ra điều phải chứng minh
2

Cách 2. Vì

z  z.z

nên

2

2

z1.z2  z1.z2.z1.z2  z1.z2.z2.z1  z1.z1.z2.z2  z1 . z2

Suy ra:

z1.z2  z1.z2

b) Cách 1. Trước hết ta chứng minh bổ đề:
Thật vậy:

1
1
1 1
z.  1� z .  1� 
z

z
z z

Áp dụng bổ đề trên ta có:
Cách 2.

Vì

2

z2  z2

nên

hay

z1  z

z1  z

1

1

,z ��*

,z ��*

z
z1

1
1
 z1.
 z1.z21  z1 z21  z1 z2  1
z2
z2
z2

z1.z2 z1 . z2 z . z
z1
z1
z .z
z .z
1
2
 1 2  1 22 



2
2
2
z2 z2.z2
z2
z2
z2
z2
z2

z �z  z1 �z2

Lưu ý: Không có công thức: Với mọi số phức z1,z2 : 1 2
. Tuy nhiên ta

có bất đẳng thức sau:

z1  z2 �z1  z2
uur
z1 u2

uur
u1
Thật vậy, gọi
biểu diễn
uur uur
z1  z2  u1  u2

Ta có:

* TH 1: Khi z1z2 �0 thì :

,

biểu diễn

z2

thì

uur uur
u1  u2

biểu diễn z1  z2


uur uur 2 uur uur
u1  u2  u1  u2





2

uur 2 uur 2 uur uur uur 2 uur 2
uur uur
uur uur
 u1  u2  2u1.u2  u1  u2  2 u1 u2 cos u1 , u2

uur 2 uur 2
uur uur
uur uur
�u1  u2  2 u1 u2  u1  u2





  z
2

1

 z2





2

Do đó:

uur uur
z1  z2  u1  u2 �z1  z2

z  z  z1  z2
* TH 2: Khi z1z2  0 thì rõ ràng 1 2
z1  z2 �z1  z2 , z1,z2 ��

Vậy

Áp dụng: Ta sẽ áp dụng
Ta có:
2

x  y  2xyi

u



2

xy 2  i x4  y4

x
x


y 

2

 y2

2

2



z
z1
 1
z 2 z2

x

2

x2  y2  2xyi
xy 2  i x4  y4



 y2



2

 4x2y2

2x2y2  x4  y4

2

2

1

w 

Tương tự:

x2  y2  i 2xy

 x  y  2i

xy



x2  y2  2xy

 x  y  4xy
2



 x  y

2

 x  y

2

 1.

Ví dụ 3. a) Chứng minh: Số phức z là số thực khi và chỉ khi z  z .
Vận dụng: Cho hai số phức z1,z2 đều có mođun bằng 1, z1.z 2 �1 . Chứng minh
z

z1  z2
1 z1z2

là số thực.

z  z

b) Chứng minh: Số phức z là số ảo khi và chỉ khi

Vận dụng: Chứng minh hai số phức phân biệt
z1  z2
z1  z 2

z1,z2

thỏa

là số ảo.
Giải

Đặt

z  a  bi,  a,b��

a) Ta có: z  z � a  bi  a  bi � 2bi  0 � b  0 � z là số thực.
zz
Vậy, z là số thực khi và chỉ khi

Vận dụng: Ta có:

z1  z2

khi và chỉ khi


2

z1z1  z1  1� z1 

1
z1

z2 

, tương tự ta có

1
z2

1 1

z1  z2
z1  z2
z1  z2
z1 z2
z z
z



 1 2  z  ÑPCM 
1 1 1 z1z2
1 z1z2 1 z1z2 1 z1.z2
1 .
z1 z2

Xét

b) Ta có:
z   z � a  bi    a  bi  � 2a  0 � a  0 � z laø soá aûo.
z  z
Vậy, z là số ảo khi và chỉ khi

Vận dụng: Ta có
z1  z2
z1  z2
�

là số ảo

z1  z2
z z
z z
z z
z z
z z
  1 2 � 1 2  1 2  0� 1 2  1 2  0
z1  z2
z1  z2
z1  z2 z1  z2
z1  z2 z1  z2

�  z1  z2  .z1  z2   z1  z2  .z1  z2  0









�  z1  z2  . z1  z2   z1  z2  . z1  z2  0





2

2

� 2 z1z1  z2 z2  0 � z1z1  z2 z2 � z1  z2 � z1  z2
2z  1
Ví dụ 4. Cho số phức z thỏa mãn z  1 là số thực. Chứng minh rằng z là số

thực.
Giải
Ta biết rằng số phức w là số thực � w  w. Do đó
�2z  1� 2z  1 2z  1 2z  1
2z  1
��
�

�
z1 z1
�z  1 � z  1

z  1 là số thực









� 2z  1  z  1   2z  1 z  1

� 2zz  2z  z  1 2zz  2z  z  1 � z  z
� z là số thực.

Ví dụ 5. Cho n là số nguyên dương, chứng minh rằng:
n

n

�6  17i � �3 28i �
a) z  �
� �
���;
�4  3i � �5 6i �

2n

�
n

13 6i �
b) z  �
�  3 4i  ��
�4  5i �

Giải
a) Ta có
n

n

�6  17i � �3 28i �
n
n
z�
� �
�   3 2i    3 2i 
�4  3i � �5 6i �

Suy ra:


n

z   3 2i    3 2i    3 2i    3 2i    3  2i    3 2i 
n

n

n

n

n

  3 2i    3 2i   z
n

n

Vậy z là số thực.
b) Ta có
2n

n
n
2n
n �
2�
n
�
13 6i �
z�
3

4i

2

i

3

4i

2

i
3 4i 









�
�
�
�
�
�4  5i �

  3 4i 

n

 3 4i 

n

n
�
 3 4i   3 4i  �
�
�  25
n

Vậy z là số thực.
6. Chứng minh rằng
Ví dụ
2
2
2
2
a) z  z'  z  z'  2�z  z' �,z,z' ��
�
�
�
�
2



2

b) 1 z1.z2  z1  z2  1 z1z2

2

  z

 z2

1



2

,z1,z2 ��

z1,z2,z3.

c) Với mọi số phức

Chứng minh rằng:

2

2

2

z1  z2  z3  z1  z2  z3  z1  z2  z3  z1  z2  z3

2

2

2
2�
 4�
.
�z1  z2  z3 �
�
�

Giải
a) Ta có:
VT  z  z'  z  z'   z  z' .z  z'   z  z' .z  z'
2

2









  z  z' z  z'   z  z' . z  z'

 z.z  z.z'  z'z  z'.z'  zz  z.z'  z'z  z'.z'
2

2



2

 2 z  2 z'  2 z  z'

2

  VP

b) Ta có:
2





VT  1 z1.z2  z1  z2  1 z1.z2 .1 z1.z2   z1  z2  .z1  z2



2







 1 z1.z2 1 z1z2   z1  z2  z1  z2

2

2

2

 1 z1 z2  z1  z2

2



 *

Mặt khác:



VP  1 z1z2

   z1  z2 
2

2

2
2

2

2

2

2

 1 2 z1z2  z1z2  z1  2 z1 z2  z2  1 z1 z2  z1  z2

Từ (*) và (**) ta suy ra điều phải chứng minh.
c) Ta có

2

 **






z1  z2  z3   z1  z2  z3  . z1  z2  z3    z1  z2  z3  z1  z2  z3
2

 z1z1  z1z2  z1z3  z2z1  z2 z2  z2z3  z3z1  z3z2  z3z3
 z1  z2  z3  z1z2  z1z3  z2z1  z2z3  z3z1  z3z2  1
2

2

2

Tương tự



z1  z2  z3   z1  z2  z3  . z1  z2  z3    z1  z2  z3  z1  z2  z3
2



 z1z1  z1z2  z1z3  z2z1  z2z2  z2z3  z3z1  z3z2  z3z3
 z1  z2  z3  z1z2  z1z3  z2 z1  z2 z3  z3z1  z3z2  2
2

2

2



z1  z2  z3   z1  z2  z3  . z1  z2  z3    z1  z2  z3  z1  z2  z3
2



 z1z1  z1z2  z1z3  z2 z1  z2z2  z2z3  z3z1  z3z2  z3z3
 z1  z2  z3  z1z2  z1z3  z2z1  z2z3  z3z1  z3z2  3
2

2

2



z1  z2  z3   z1  z2  z3  . z1  z2  z3    z1  z2  z3  z1  z2  z3
2



 z1z1  z1z2  z1z3  z2 z1  z2z2  z2z3  z3z1  z3z2  z3z3
 z1  z2  z3  z1z2  z1z3  z2 z1  z2 z3  z3z1  z3z2  4
2

2

2

Cộng (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta được
2

2

2

z1  z2  z3  z1  z2  z3  z1  z2  z3  z1  z2  z3

2

2

2
2�
 4�
.
�z1  z2  z3 �
�
�

z3 

Ví dụ 7. Chứng minh rằng nếu số phức
Giải
Ta có:

1
z

3

�2

thì

z

1
�2.
z

3

� 1� 3 1
� 1�
z  � z 
 3�
z �
�
3
z
� z�
� z �, mặt khác ta có: z1  z 2 �z1  z2 .

Do đó:
3

� 1� 3 1
1
1
1
1
z
 z3  3  3�
z  ��z  3  3 z  �2  3 z 
z
z
z
z
z
� z�

Đặt

a z 

a3 �2�3a

1
z lúc đó ta được
2  a
� 1
 a 

2

�
0 a 2 hay z

1
z

2

2z  i
�1
z �1
Ví dụ 8. Chứng minh rằng nếu
thì 2  iz
.

Giải

Giả sử
Khi đó:

z  a  bi,  a,b��

theo giả thiết ta có

a2  b2 �1 � a2  b2 �1


2a   2b  1 i
4a2   2b  1
2a   2b  1 i
2z  i



2  iz
 2  b  ai
 2  b  ai
 2  b 2  a2

2

Do đó:
4a2   2b  1
2z  i
�
 1�
2

2  iz
 2  b  a2

2

4a2

1

 2b 1

2

 2 b

2

a2

� a2  b2 �1

z  2z2  2z1  z2 .
Ví dụ 9. Cho z1 và z2 là hai số phức thỏa 1
Chứng minh rằng với

mọi số thực a, ta có:

z1  az2  az1  z2 .

Giải

Giả sử z1  p  qi, z2  r  si với p,q,r,s�� . Khi đó
z1  2z2  2z1  z2 �  p  2r  i  q  2s   2p  r   i  2q  s

 p  2r   q  2s   2p  r   2q  s
2
2
2
2
�  p  2r   q  2s   2p  r   2q  s
2

�

2

2

2

� p2  4pr  4r2  q2  4qs  4s2  4p2  4pr  r2  4q2  4qs  s2
� r2  s2  p2  q2  1

Ta có:
z1  az2  az1  z2 �  p  ar  i  q  as   ap  r  i  aq  s

 p  ar   q  as   ap  r   aq  s
2
2
2
2

�  p  ar   q  as   ap  r   aq  s
2

�

2

2

2

� p2  2apr  a2r2  q2  2aqs  a2s2  a2p2  2apr  r2  a2q2  2aqs  s2







� p2  q2  a2 p2  q2  r2  s2  a2 s2  r2





 



� a2  1 p2  q2  a2  1 r2  s2

  2



(2) đúng, dẫn đến điều phải chứng minh.
. Chứng minh rằng với mỗi số phức z , có ít nhất 1 trong hai bất đẳng
Ví dụ 10
thức sau xảy ra

z1�

1
2 hoặc

z2  1 �1

Hướng dẫn giải
�
1
z1
�
�
2  *
�
�z2  1  1
Giả sử ta có đồng thời �
.

Đặt

z  a  bi, a,b ��

. Lúc đó