Một số phương pháp và kỹ thuật giải phương trình bậc cao cho học sinh THCS (Khóa luận tốt nghiệp)

I H C QU NG BÌNH
KHOA KHOA H C T NHIÊN

NG TH VÂN

M TS

THU T GI I
C CAO CHO H C SINH THCS

KHĨA LU N T T NGHI P

M TỐN - TIN
H
o: Chính quy
Khóa h c: 2014 - 2017

Qu ng Bình, tháng 5

7


L IC
Sau m t th i gian nghiên c u và tìm hi u

c g ng h t mình c a b
ng, th

c r t nhi u s

t

n bè.

V i tình c m chân thành c a mình em xin chân thành c
ng, toàn th cán b , gi
h cT

n tình truy

t s

c cao cho h c sinh THCS. Ngồi s

và k thu t gi

phía N

tài

u nhà

i h c Qu ng Bình, gi ng viên khoa Khoa
t nh ng ki n th

báu cho chúng em trong su t quá trình h c t

u kinh nghi m quý
c bi t em xin t lòng bi

n Th.S Phan Tr ng Ti n, n

c

ng d n em trong su t quá trình th c

hi n khóa lu n.
Xin g i l i c

n t p th l

ng viên,

khích l em trong q trình h c t p và hồn thành khóa lu n t t nghi p này.
Xin c
t t nh

ng viên và t o m

u ki n

em h c t p và hồn thành khóa lu n.

Cu i cùng em xin kính chúc th y cô giáo nhi u s c kh e và g
thành công trong s nghi p tr

i c a mình.

Em xin chân thành c
Qu ng Bình, tháng 5
Sinh viên

ng Th Vân

c nhi u


L I CAM
Khóa lu n này là k t qu c a b n thân em qua quá trình h c t p, nghiên c u
b

ih

sinh viên, bên c n
khoa khoa h c t nhiên
Vì v y em xin kh
TS

và s
c s quan tâm, t

a các b n

u ki n c a các th y cô trong

t bi t là các th y cơ trong b mơn Tốn.
nh k t qu c

tài:

VÀ K THU T GI

CAO CHO H

C
.

Là k t qu c a riêng em không trùng v i b

tài nào khác.

Qu ng Bình, tháng 5
Sinh viên

ng Th Vân


M CL C
L IC
L
M CL C
B NG CÁC T VI T T T
L IM
U .................................................................................................................1
1. Lý do ch
tài .........................................................................................................1
2. M
u .................................................Error! Bookmark not defined.
3. N i dung khóa lu n .....................................................................................................1
N TH C LÝ THUY T......................................................................2
c m t n..................................................................................................2
1.1.3 Nghi m c

c................................................................................................3
t n ..................................................................................................5
TS
C CAO ...........6

.......................................................................................6
...........................................................................................................6
2.1.2 Ví d .......................................................................................................................6
2.1.3 Bài t p...................................................................................................................10
cb
......................................11
.........................................................................................................11
2.2.2 Ví d .....................................................................................................................12
2.2.3 Bài t p...................................................................................................................14
c thành nhân t b
ng th c.............14
.........................................................................................................14
2.3.2 Ví d .....................................................................................................................15
2.3.3 Bài t p...................................................................................................................16
i x ng.............................................................................................16
2.
i x ng b c ch n...........................................................................16
i x ng b c l ...............................................................................17
c .............................................................................................19
.........................................................................................................19
2.5.2 Ví d .....................................................................................................................19
2.5.3 Bài t p...................................................................................................................20
s b
nh ...........................................................................20

.........................................................................................................20
2.6.2 Ví d .....................................................................................................................21
2.6.3 Bài t p...................................................................................................................23


2.7 M t s

c hai..................................................24
i quy............................................................................................24

2.

ng:

......................................29

ng:

.............................31

ng

...............34

K T LU N ...................................................................................................................37
TÀI LI U THAM KH O .............................................................................................38


B NG CÁC T
STT

T vi t t t

1

THCS

2

TH

VI T T T
Di n gi i
Trung h
ng h p

3

m

4

PTVN

5

VT

V trái

6

VP

V ph i

7

m


L IM
1. Lý do ch

U

tài

Trong nhà

thơng mơn Tốn

các mơn
to

và là cơng

ngành khoa

trình

nghiên

trí

thơng khơng

có

khơng

phép

..
là

cao

là lý do em

sinh THCS
và

trình trong

trình

và

duy khái qt

tài:

trình b
trình

hai.

các em làm

trình THPT.
ng pháp và

làm khóa

sinh THCS

bé làm

4. Tuy nhiên trong

trình

sinh

cao.

trình

trình

cách

3,

trình

trình

cho h

trình

trình

rèn
ng

các

qt cho

trình

là

các

sinh cịn lúng túng khi

có

cao cho

sinh

tích. Nó

thơng
các em

quen

quan

mà cịn là cơng

ngay

Qua

nó giúp

trong

Trong mơn Tốn

hai

trí quan

trình
mong

mơn Tốn qua

các

trình

góp
cao.

2. N i dung khóa lu n
tài: M t s

và k thu t gi

h c sinh THCS

t s ki n th c lý thuy

s d ng trong quá trình gi

c cao cho
n mà h c sinh c n n m

c cao và m t s

gi i

c gi i thi u, bao g m nh
: M t s ki n th
trình bày m t s ki n th c lý thuy t v
h c sinh c n n m ch
:M ts

s d ng trong quá trình gi
và k thu t gi
h th ng l i m t s

trình b

các ví d c th , các bài t
n th c gi

1

c mà
c cao.
c cao

và k thu t gi i
giúp h c sinh nâng cao


:M TS

C

KI N TH

th c m t n

1.1.1 Xây d

cm t n
nh lý 1.1, [3]): Gi s

nh lý:(

t p h p các dãy (

,

(2) (

,

y

là

và ch m t s h u h n các h n t

m t b ph n c a lu th

,

là

).
,

(1) (

kí hi u là 1. G i

các

ng và phép nhân trong

+( ,

)=(

).( ,

+

,

)=( ,

V i

)

)

=

1.1.2 Phép chia

,

,

c

1.1.2.1 Phép chia v i s
nh lí 2.3, [3]) Gi s A là m

nh lí:
vành

ng,

; th thì bao gi

và

c duy nh t là

cc a
và

thu c

sao

cho
=

,v i

<

H qu :(H qu 2.3, [3]):
cho

n u

chia h t cho

khi và ch

b ng 0.

1.1.2.2

c

Horner

c
=

+

+

Gi s

a phép chia
=

,

A

cho (

+

,

là
A,

Suy ra
+

+

So sánh các h t c

= (x

+

a gi ng nhau c a

)+
trong h th c trên ta l

b ng sau:

=

=

=

2

=

c


1.1.3 Nghi m c a

c

1.1.3.1

])

:

Gi s

là m

ng con c a

nghi m c

c

. M t ph n t

n u và ch n u
mc

.

is

N u

g i là

trong

g

is b c

.

1.1.

nh lí Berzout:

nh lí 4.4, [1])

Cho A là m

cho

nh lí quan tr ng

c ng d ng nhi u nh

ch ng minh l i

nh lí.
Ch ng minh
Gi s

ho c

-N u

thì

.

. Suy ra

Ta có

ng h p này ph
là

) cho

).

-N u

thì

chia h t

.
H qu : (H qu 4.3, [3]): Cho
khi và ch khi

chia h t cho

là nghi m c a

trong

1.1.3.3 Nghi m b i
]):
+

N u

c
+

có bi u di n d ng
=

-

,

là nh
,

t khác nhau.

là nh ng s t nhiên và
,
i ta g i nghi

g i là b

+
ng c a các nghi m

c

là nh ng b i b c
3

là

.
,
ch khi


chia h t

t cho
là nghi m c a b i m c

Nh n xét:
=(

.

.
c

n u và ch n u

v i

Chú ý:
- Gi s

là mi n nguyên, th thì s nghi m c a m

m i nghi m tính v i s b i c
-N

t quá b c c a

c

có b c

t khác nhau c a mi n nguyên

1.1.3.4 M t s
nh lí 1:

c

,

.

và l y giá tr b ng nhau t i

ph n

th thì chúng b ng nhau.

nh lí v s t n t i nghi m c

nh lí 4.1, [3]): M

c

c b c l v i h s th c có ít nh t m t nghi m

th c.
nh lí 2:

nh lí 4.2, [3]): M

th

c

b c

ng s ph c ( hay s

nghi m ph c, m i nghi m tính v i b i c a nó.
nh lí 3:

nh lí 4.3, [3]): Cho

nghi m trong .
c a

,

và

chia h t cho

là nghi m b i

nh lí 4:

,

c a

ho c m i nghi m b i

v i

nh lí 4.4, [3]):

.
c h s nguyên

=

+

+
t i gi n

là nghi m c

c

H qu 1: (H qu 4.1, [3]): M i nghi m nguyên c

thì
cv i h s

c

c a s h ng t do.
H qu 2: (H qu 4.2, [3]): M i nghi m h u t c
cao nh t b
nh lí 5:
+

c v i h s ngun có h s

u là s ngun.
nh lí 4.5, [3]):

+

c v i h s nguyên

.Phân s t i gi n

là nghi m c

c

ta có

ng h

c bi t:

và

.

4

=

+
im i


H qu : (H qu 4.3, [3]): N

1 là nghi m c

c
thì

,

u là s

ngun.
nh lí 4.5, [3]):

nh lí Rolle)

Gi s hàm s

liên t

(a;b), n u

n

thì t n t i ít nh t m

o hàm trong kho ng

m

sao cho

.

1.1.3.5 Công th c Viet
])
Cho
Gi s

có trong

ng con,

ho c m r ng c a

nghi m

, t c là m

a

làm

.

=
=

=
Công th c trên g i là cơng th c Viet.
1.2

trình m t n

Khái ni m: Cho hai hàm s
gán cho bi n s
c a hàm s

và

v i bi n s

giá tr

c

t i

bi n

c

và các h s thu c . Khi

,

ng g i là các giá tr

sao cho

cg

n ,

ph i c

là v trái,

g i là nghi m c

tìm t t c các nghi m c

i là gi
l

c là t

.

5

c
.

nh c

là v


:M TS

TRÌNH B C CAO

+

+c = 0

(1)

là nh ng h s th c và
Ta th c hi
c 1:

c sau:
t

v

u ki n

c 2:
+

.

tr thành v
+ =0

(2)

c 3:

t lu n sau
m duy nh t

ho c có nghi m

ghi m duy nh t

.

có 2 nghi m phân bi t

m

m phân bi t

m

m phân bi t

m

ho c

Chú ý:
1) Các k t lu n trên d a vào nh n xét: N

m

thì

) có nghi m
u ki n c a
u ki n c a .
2.1.2 Ví d
Ví d 1: Gi

Gi i
t

Ki

v

u ki

u ki n

.

c
6

tl

c


V i

ta có

=1

V

m là

.

Ví d 2: Gi

Gi i
t

v

u ki n
i
( th a mãn)

V i

ta có

=1

V i

ta có

=8

.
.

V

m phân bi t là

.

Ví d 3:

trình

a) Có nghi m duy nh t.
b) Có 2 nghi m phân bi t.
c) Có 3 nghi m phân bi t.
d) Có 4 nghi m phân bi t.
Gi i
t

v

u ki n

(1)
t

=

TH1: V i

thành
(lo i).

Suy ra v
TH2: V i

m.
, ta có:
m duy nh t

ho

m
m duy nh t

.
7

m duy nh t


m

V y khơng có giá tr nào c a

m duy nh t.
m phân bi t

m trái

d u

V yv i

m phân bi t.
m phân bi t

V yv i

m

m phân bi t.

m phân bi t

m

V yv i

m phân bi t.

Chú ý: T d ng trên ta có bài tốn quen thu

u ki n c a tham s

trình
(1)
có 4 nghi m phân bi t

u.
Gi i

Ta th c hi
c 1:

c sau:
t

v

u ki n

.

thành
8


(2)
c 2:

m phân bi t

m

(3)
mc

c 3: B n nghi m phân bi t cách

u:
(4)

nh lí Viet ta có:

(5)
c
(6)

c 4: K t h p (3) và (6) ta nh

u ki n c a tham s .

Ví d :
(1)
Tìm

m phân bi

u nhau.

Gi i
t

v

u ki n
thành
(2)
m phân bi t

m

(3)
mc

B n nghi m phân bi

u:

9

(4)

nh lí Viet ta có:

(5)
c

(th a mãn
V yv i

ho c

u ki n)
m phân bi

2.1.3 Bài t p
Bài 1: Gi
a)

b)

Bài 2:

a) Gi

i

.

b) V i giá tr nào c a

m phân bi t.

Bài 3:

Tìm
a) Có 4 nghi m phân bi t th a mãn
b) Có 4 nghi m l p thành c p s c ng.

10

u.


cb
c b n có d ng
(1)
là các s th c tùy ý.

Ta th c hi
c 1:

c sau:
t

, t c là

cho tr thành
(2)
c 2:

cb

t cách gi i.

Chú ý:
1) S nghi m c

nghi m c a

u ki n c

m.
cl

u ki n c

m.
Gi i

m

t

m.

u ki n

thành

(3)

=

11


m

m ho

m

âm.

m

V

m khi và ch khi

.

2.2.2 Ví d
Ví d 1: gi

Gi i
t

.T

c

V i
V

ta có
m

.

Ví d 2:
(1)
Tìm

m.
12


Gi i
t

.T

(2)
t

,v

u ki n

thành
(3)

m
nghi m ho

m
m âm.

m khi và ch khi
(4)
N u

K th pv i

thì (4)

c
13


N u

thì (4)
(5)

Ta có :

m.

V yv i
nghi m.
2.2.3 Bài t p
Bài 1: Gi
a)
.
b)

c)

Bài 2:

Tìm

m.
c thành nhân t b

ng th c

pháp
S d ng 7 h

ng th

ng t ng ho c hi

1.
2.
3.
4.

5.
14

ng


6.
7.
2.3.2 Ví d
Ví d 1: Gi
(1)
Gi i
(1)

V

m là:

Ví d 2: Gi
(2)
Gi i
(2)

V

m phân bi t là:

;

Ví d 3: Gi

(3)

15

.


Gi i
(3)

V

m phân bi t:

2.3.3 Bài t p
Bài 1: Gi
a)
b)

2.4

i x ng
ng:
+

+

=0

s c a các s h

us h

(
N u

u và s h ng cu i b ng nhau

i x ng.
là s ch n ta g

i x ng b c ch n, cịn

i x ng b c l .
Ví d :

i x ng

a)

i x ng b c 4).

b)
2.4

i x ng b c 5).
i x ng b c ch n

2.4
- Chia c hai v cho

.

16

là s l ta g i là


t

-

(1)

- Bi u di n:

.

- Thay giá tr v

cc a

tìm giá tr c a .

2.4.1.2 Ví d
Gi
i x ng b c 4)
Gi i
Ta th y

không là nghi m c

t

(2)

hai v cho

(
có nghi m

và

,

. Theo th t thay

vào (2) ta có:
;

ý: N u

ta có

;

;

.

là nghi m c

i x ng b c ch n thì

m

c
2.4

i x ng b c l

2.4.
Vì
cho tr

ln là nghi m c

là m
c gi
ch n

i x ng b c l

i x ng b c ch n
i x ng b c l v gi
.

17

i x ng b c

2.4.2.2 Ví d
Gi

Gi i
i x ng b c 5

i x ng b c ch n
hai v cho

tt=

(2)

N u
N u
V

m
,

,

,

.

2.4.2.3 Bài t p
Bài 1: Gi

a)
.
b)
.
18


Bài 2: Gi
a)

b)

2.5

tam th c

2.5.1
D ng t ng quát
(1)
(

là các s th c,

-N u

-

)

ng th i khác không và

u trên
ng h p

t n ph

c hai
.

2.5.2 Ví d
Ví d 1: Gi
Gi i
t
có nghi m là

;

V i
V i
Ví d 2: gi
Gi i
t
có nghi m là

(lo i)

V i

19