Tai lieu boi duong HSG nguyen ham ham vo ti va ham logarit

CHUYÊN ĐỀ 7 - NGUYÊN HÀM, HÀM HỮU TỈ, HÀM LƯỢNG GIÁC
1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Nguyên hàm
Cho K là một khoảng ( a; b ) , nửa khoảng ( a; b ] , [ a; b ) hay đoạn [ a; b ] . Hàm số F ( x ) gọi là một nguyên
hàm của hàm số f ( x ) trên K nếu: F ' ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ K
Neesu F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) thì họ các nguyên hàm của f ( x ) là:

∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C ,

C là hằng số bất kì
- Phương pháp đổi biến số:
Nếu x = u ( t ) có đạo hàm liên tục trên K thì:

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( u ( t ) ) .u ' ( t ) dt
Nếu t = v ( x ) có đạo hàm liên tục trên K thì:

f ( x ) dx = g ( t ) dt thì:

∫ f ( x ) dx = ∫ g ( t ) dt

- Phương pháp nguyên hàm từng phần: Nếu u ( x ) , v ( x ) có đạo hàm liên tục trên K thì udv = uv − vdu

∫

∫

Tích phân:
Giả sử f ( x ) liên tục trên khoảng K và a, b ∈ K và F ( x ) là 1 nguyên hàm của f ( x ) thì:

∫

b

a

f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) = F ( x )

b
a

- Phương pháp tích phân đổi biến số:

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( u ( t ) ) .u ' ( t ) .dt
b

β

a

α

Nếu t = v ( x ) có đạo hàm liên tục và f ( x ) dx = g ( t ) dt thì:

∫

b

a

f ( x ) dx = ∫

v( b )

v( a )

g ( t ) dt

- Phương pháp tích phân từng phần:
Nếu u ( x ) , v ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ a; b ] thì

∫

b

a

b

udv = u.v a − ∫ v.du
b

a

Tổng tích phân

Trang 1


– Website chuyên đề thi thử file word có lời giải liên hệ để nhận tài liệu hay
Cho f là một hàm số xác định trên [ a; b ] ( a < b ) . Phân hoạch T đoạn [ a; b ] thành n đoạn nhỏ bởi những
điểm chia tùy ý a = x0 < x1 < ... < xn = b , trên mỗi đoạn  xi −1 , x j  ta lấy một điểm ξi và lập tổng tích phân

n

σ T = ∑ f ( ξ j ) ( x j − xi −1 ) .
i =1

(

)

x j − xi −1 .
Kí hiệu d ( T ) = max
1≤i ≤ n
Nếu tồn tại giới hạn I = lim

d ( T ) →0

n

∑ f (ξ ) ( x
j

i =1

trên đoạn [ a; b ] và được kí hiệu là: I =
Ta chọn phân hoạch đều xi = a +

j

− xi −1 ) thì giới hạn đó được gọi là tích phân xác định của hàm f

b

∫ f ( x ) dx .
a

i
( b − a ) , tổng tích phân
n

n

S n = ∑ f ( ξ j ) ( x j − xi −1 ) thì lim S n = ∫ f ( x ) dx .
b

a

i =1

Nguyên hàm đa thức và phân thức:

∫ dx = x + C

∫ kdx = kx + C với k là hằng số

1
∫ x dx = ln x + C

u'
∫ u dx = ln u + C

xα +1
u α +1
α
Với α ≠ −1 thì ∫ x .dx =
+ C ; ∫ u .u '.dx =
+C
α +1
α +1
α

Các biến đổi: chia tách, thêm bớt, khai triển tích số, hằng đẳng thức, phân tích thành phân số đơn giản,…
Tổng quát với hàm hữu tỉ, nếu bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu thì phải chia tách phần đa thức,
còn lại hàm hữu tỉ với bậc tử bé hơn mẫu.

(

2
Nếu bậc của tử bé hơn bậc của mẫu thì phân tích mẫu ra các thừa số bậc nhất ( x + a ) hay x + px + q

bậc hai vô nghiệm rồi đồng nhất hệ số theo phần tử đơn giản:

)

A
Bx + C
; 2
; Đồng nhất hệ số ở tử
x + a x + px + q

thức thì tính được các hằng số A, B, C, … Kết hợp với các biến đổi sai phân, thêm bớt đặc biệt để phân tích

nhanh.
Các dạng tích phân đa thức, phân thức hữu tỉ:

Trang 2


b

∫ P ( x ) dx : Chia miền xét dấu P ( x ) ,
a
b

∫ x ( mx + n )

α

dx : Đặt u = mx + n hoặc phân tích,

a
b

2
∫ ( mx + n ) ( px + qx + r )

α

dx : Đặt u = px 2 + qx + r ,

a
b

∫ ( x + m ) .( x + m )
α

β

dx : Nếu α < β thì đặt u = x + n .

a

b

- Dạng

∫ px
a

2

1
dx : Lập ∆ = q 2 − 4 pr .
+ qx + r
b

∆=0⇒∫
a

b

∆<0⇒ ∫

a

b

∆>0⇒∫
a

b

- Dạng

∫ px
a

dx

( mx + n )

: Dùng công thức

2

dx
: Đặt x = k tan t
x + k2
2

dx
1
1  1

1 
=
−

÷
2 : Biến đổi
x −k
x 2 − k 2 2k  x − k x + k 
2

mx + n
dx : Lập ∆ = q 2 − 4 pr
2
+ qx + r

∆ ≥ 0 ⇒ Phân tích và dùng công thức.

A ( px 2 + qx + r ) '
mx + n
B
∆<0⇒ 2
=
+
2
2
px + qx + r
px + qx + r
( x +α ) + k2
b

- Dạng

∫ x 1+ x
a

(

b

dx

)

n m

=∫
a

x n−1dx

xn ( 1 + xn )

m

: đặt t = 1 + x n .

Chú ý: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ − a; a ] .
Nếu f lẻ thì

a

a

a

−a

a

0

∫ f ( x ) dx = 0 . Nếu f chẵn thì ∫ f ( x ) = 2∫ f ( x ) dx .

Nguyên hàm lượng giác:

∫ cos xdx = sin x + C

∫ cos u.u '.dx = sin u + C
Trang 3


∫ sin xdx = − cos x + C
dx

∫ cos

2

x

∫ sin u.u '.dx = − cos u + C
u'

∫ cos

= tan x + C

dx
∫ sin 2 x = − cot x + C

2

u

dx = tan u + C

u'
∫ sin 2 u dx = − cot u + C

Các biến đổi: hạ bậc lượng giác, tích thành tổng, theo góc phụ t = tan

x
,…
2

sin ( x + a ) − ( x + b ) 
1
1
=
. 

sin ( x + a ) .sin ( x + b ) sin ( a − b ) sin ( x + a ) sin ( x + b )
1
1
1
=
.
a sin x + b cos x
a 2 + b 2 sin ( x + α )
1
a sin x + b cos x ± a 2 + b 2

1

1
a 2 + b 2 1 ± cos ( x + α )

=

.

α sin x + β cos x + γ A ( a sin x + b cos x + c ) '
B
=
+
a sin x + b cos x + c
a sin x + b cos x + c
a sin x + b cos x + c
1
1
1

=
. 2
2
2
a sin x + b sin x cos x + cos x a tan x + b tan x + c cos x
2

(a

sin x cos x

2

sin 2 x + b 2 cos 2 x )

α

=

A ( a 2 sin 2 x + b 2 cos 2 x ) '

(a

2

sin 2 x + b 2 cos 2 x )

α

π

− x . Tích phân liên kết, để
2
tính I thì đặt thêm J mà việc tính tích phân I + J và I − J hoặc I + kJ và I − mJ dễ dàng lợi hơn. Tích
phân truy hồi I n theo I n −1 hay I n − 2 thì sin n x,cos n x tách lũy thừa 1 và dùng phương pháp tích phân từng
Đặc biệt cận tích phân: đối, bù, phụ thì đặt tương ứng t = − x, t = π − x, t =

phần còn tan n x, cot n x tách lũy thừa 2 và dùng phương pháp tích phân đổi biến số.
Nếu hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] thì:
π /2

∫
0

f ( sin x ) dx =

π /2

∫
0

π

f ( cos x ) dx; ∫ xf ( sin x ) dx =
0

ππ
f ( sin x ) dx
2 ∫0

Các dạng tích phân lượng giác:

b

b

a

a

∫ P ( x ) .sin α xdx, ∫ P ( x ) .cos α xdx : đặt u = P ( x ) , v ' = sin hoặc cos α x
Trang 4


π /2

π

∫ R ( x,sin x,cos x ) dx : đặt x = 2 − t
0

π

∫ R ( x,sin x,cos x ) dx : đặt x = π − t
0

2π

∫ R ( x,sin x,cos x ) dx : đặt x = 2π − t
0

b

x

∫ R ( sin x,cos x ) dx : đặt t = tan 2 , đặc biệt:
a

Nếu R ( − sin x,cos x ) = − R ( sin x,cos x ) thì đặt t = cos x
Nếu R ( sin x, − cos x ) = − R ( sin x,cos x ) thì đặt t = sin x
Nếu R ( − sin x, − cos x ) = − R ( sin x,cos x ) thì đặt t = tan x,cot x .

2. CÁC BÀI TOÁN
Bài toán 7.1: Tính giới hạn dãy un xác định bởi:

i3
a) un = ∑ 4
i =1 n

i2
b) un = ∑ 3
3
i =1 i + n

n

n

Hướng dẫn giải
3
a) Xét hàm số f ( x ) = x . Tổng tích phân của hàm số f trên đoạn [ 0;1] là:

1 n
Sn = ∑ f
n i =1

3
i n i
 ÷ = ∑ 4 = un
 n  i =1 n
1

∫

3
Ta có: lim S n = x dx =
0

1
1
. Vậy lim un = .
4
4
2

1
2
 ÷
n
n
i
1

x2
n
=
u
b) Ta viết un = ∑ 3
nên
chính
là
tổng
tích
phân
của
hàm
số
f
x
=
( ) 3 trên
∑
n
3
n i =1  1 3
x +1
i =1 i + n
 ÷ +1
n
đoạn [ 0;1] .
1

1

x2
1
ln 2
3
Do đó: lim un = ∫ 3 dx = ln ( x + 1) =
.
x +1
3
3
0
0
Bài toán 7.2: Tính giới hạn dãy un xác định bởi:
Trang 5


un = 1 −

1 1
1
1
+ − ... +
−
.
2 3
2n − 1 2 n
Hướng dẫn giải

Đặt S =

n

1

∑ i . Ta có:
i =1

2n

n
n
n
1
1
1 n 1
1
1 n 1
un = ∑ − 2 ∑ = ∑ − ∑ = S 2 n − S n = ∑
= ∑
n i =1 i + 1
i =1 i
i =1 2i
i =1 i
i =1 i
i =1 i + n
n

Do đó un là tổng tích phân của hàm số f ( x ) =
1

Suy ra lim un = ∫
0

1
trên đoạn [ 0;1] .
x +1

1
1
dx = ln ( x + 1) 0 = ln 2 .
x +1

Bài toán 7.3: Chứng minh:
1

n
a) lim ∫ x sin π xdx = 0
0

b) f ( x ) =

x

∫
0

t
1+ t4

dt là hàm số chẵn

Hướng dẫn giải

a) Với x ∈ [ 0;1] thì 0 ≤ x n sin π x ≤ x n .
1

∫

1

∫

n
Do đó: 0 ≤ x sin π xdx ≤ x dx =
n

0

Vì lim

0

1
.
n +1

1
= 0 ⇒ đpcm.
n +1

b) Đặt t = − s trong tích phân f ( − x ) =

−x

∫
0

ta được f ( − x ) =

−x

∫
0

t
1+ t4

x

dt = ∫
0

t
1+ t4

s
1 + s4

dt

ds = f ( x ) ⇒ đpcm.

Bài toán 7.4: Tính đạo hàm các hàm số:
a) f ( x ) =

x

∫ cos tdt

b) g ( x ) =

0

3x

t2 −1
∫2 x t 2 + 1 dt

Hướng dẫn giải
Trang 6


a)

f ' ( x ) = cos x .
f ( t) =

b) Đặt

( x ) ' = cos2 xx

t2 −1
. Gọi F là một nguyên hàm của f, theo định nghĩa tích phân, ta có:
t2 +1

g ( x ) = F ( 3x ) − F ( 2 x ) nên g ' ( x ) = 3F ' ( 3 x ) − 2 F ' ( 2 x ) = 3 f ( 3 x ) − 2 f ( 2 x )
3 ( 9 x 2 − 1)

=

9x2 + 1

−

2 ( 4 x 2 − 1)
4x2 + 1

Bài toán 7.5:
x2

∫ f ( t ) dt = x cos ( π x ) . Tính f ( 4 ) .

a) Cho

0

b

b) Tìm số b dương để tích phân

∫ ( x − x ) dx có giá trị lớn nhất.

2

a

Hướng dẫn giải

( )

2
a) Lấy đạo hàm 2 vế thì có 2 xf x = −π x sin ( π x ) + cos ( π x )

Cho x = 2 : 4 f ( 4 ) = −2π sin 2π + cos 2π ⇒ f ( 4 ) =
b) Xét hàm số f ( x ) =

1
.
4

x

∫ ( t − t ) dt
2

0

2
Ta có F ' ( x ) = x − x , F ' ( x ) = 0 ⇔ x = 1 .

Lập bảng biến thiên của F ( x ) trên ( 0; +∞ ) thì F ( x ) đạt giá trị lớn nhất khi x = 1 , do đó b = 1 .
Bài toán 7.6: Chứng minh rằng:

a)

1

1

0

0

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( 1 − x ) dx

1

1

−1

0

b)

∫ f ( x ) dx = ∫  f ( x ) + f ( − x ) dx

Hướng dẫn giải
a) Đặt u = 1 − x thì du = − dx, x = 0 ⇒ u = 1, x = 1 ⇒ u = 0 .
1

∫
0

b)

0

1

1

1

0

0

f ( x ) dx = − ∫ f ( 1 − u ) du = ∫ f ( 1 − u ) du = ∫ f ( 1 − x ) dx

1

0

1

0

0

1

−1

−1

0

−1

1

0

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx và ∫ f ( x ) dx = −∫ f ( −u ) du = ∫ f ( − x ) dx
Trang 7


Do đó

1

1

−1

0

∫ f ( x ) dx = ∫  f ( x ) + f ( − x )  dx

Bài toán 7.7: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [ − a; a ] . Chứng minh:
a

∫ f ( x ) dx = 0 .

a) Nếu f là hàm số lẻ thì

−a

a

b) Nếu f là hàm số chẵn thì

∫
a

a

f ( x ) = 2∫ f ( x ) dx
0

Hướng dẫn giải
a

∫

I=

0

f ( x ) dx =

−a

a

f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

∫

−a

0

0

Đổi biến x = −t đổi với tích phân

∫ f ( x ) dx ta được:

−a

a) Nếu f lẻ thì

0

0

a

a

−a

−a

0

0

∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( −t ) dt = −∫ f ( t ) dt = − ∫ f ( x ) dx

⇒I =0
0

b) Nếu f chẵn thì

∫

−a

a

a

a

0

0

0

f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx ⇒ I = 2∫ f ( x ) dx

Bài toán 7.8: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] . Chứng minh:
a)

π /2

π /2

0

0

π

ππ
b) ∫ xf ( sin x ) dx = ∫ f ( sin x ) dx
20
0

∫ f ( sin x ) dx = ∫ f ( cos x ) dx

Hướng dẫn giải
a) Đặt x =

π
π
π
− t thì dx = −dt , x = 0 ⇒ t = , x = ⇒ t = 0 .
2

2
2

π /2

0

0

π /2

∫ f ( sin x ) dx = − ∫

 π

f  sin  − t ÷÷dt =
  2 

π /2

π /2

0

0

∫ f ( cos t ) dt = ∫ f ( cos x ) dx

b) Đặt x = π − t thì dx = − dt , x = 0 ⇒ t = π , x = π ⇒ t = 0 .
π

0

0

π

∫ xf ( sin x ) dx − ∫ ( π − t ) f ( sin t ) dt
π

π

π

π

0

0

0

0

= π ∫ f ( sin t ) dt − ∫ tf ( sin t ) dt = π ∫ f ( sin x ) dx − ∫ xf ( sin x ) dx
Trang 8


π

π

0

0

Do đó 2 xf ( sin x ) dx = π

∫

∫ f ( sin x ) dx ⇒ đpcm.

x +1
dx b)
Bài toán 7.9: Tính: a) ∫
( x − 2 ) ( x + 3)

x4 − 2
∫ x3 − x dx
Hướng dẫn giải

a) Đặt

x +1
A
B
=
+
nên x + 1 = A ( x + 3) + B ( x − 2 )
( x − 2 ) ( x + 3) x − 2 x + 3

Do đó x + 1 = ( A + B ) x + ( 3 A − 2 B ) , đồng nhất hệ số thì A + B = 1,3 A − 2 B = 1 nên A =
Do đó:


x +1
3
2
dx
=
∫ ( x − 2 ) ( x + 3)
∫  5 ( x − 2 ) + 5 ( x + 3)


3
2
,B = .
5
5


÷
÷dx


3
2
= ln x − 2 + ln x + 3 + C
5
5

x4 − 2
x2 − 2
x2 − 2
= x+ 3
= x+
b) 3
x −x
x −x
x ( x − 1) ( x + 1)
x2 − 2
A
B
C
2
2
= +
+
Đặt
nên x − 2 = ( A + B + C ) x + ( B − C ) x − A , đồng nhất hệ số thì
x ( x − 1) ( x + 1) x x − 1 x + 1
1
2

1
2

được A = 2, B = − , C = − , do đó:



2

1

1

1

1 

1

∫ f ( x ) dx = ∫  x + x − 2 . x − 1 − 2 . x + 1 ÷ dx = 2 x
Bài toán 7.10: Tính: a)

∫ x ( 3 − x)

2

1
+ 2ln x − ln x 2 − 1 + C
2
57

5

dx

 x3 
b) ∫ x  − 1÷ dx

 18 
2

Hướng dẫn giải
a) Đặt u = 3 − x ⇒ x = 3 − u ⇒ dx = − du
5
6
5
∫ x ( 3 − 5) dx = − ∫ ( 3 − u ) .u .du = ∫ ( u − 3u ) du
5

1
3
1
6  3− x
= u7 − u6 + C = ( 3 − x ) 
− ÷+ C
7
6
2
 7
x3
x2
b) Đặt u =
− 1 ⇒ du = dx ⇒ x 2 dx = 6du
18
6
Trang 9

57

58

 x3 
3 58
3  x3 
57
∫ x  18 − 1÷ dx = 6∫ u du = 29 u + C = 29  18 − 1÷ + C
2

Bài toán 7.11: Tính a)

dx

∫ x(1+ x )

b)

8

x2 − 1
∫ x 4 + x 2 + 1 dx
Hướng dẫn giải

d( x )
dx
x 7 dx
1
1

x8
=
=
=
ln
+C
a) ∫
8
x ( 1 + x8 ) ∫ x8 ( 1 + x8 ) 8 ∫ x 8 ( 1 + x 8 ) 8 1 + x
8

1

dx+ ÷
x −1
1 x2 − x + 1
x

dx = ∫
= ln 2
+C.
b) ∫ 4
2
x + x2 + 1
2 x + x +1
1

 x + ÷ −1
x


2

Bài toán 7.12: Tính:
3

a) A =

∫ ( x + 2 ) ( x − 3)
2

4

8

b) B =

dx

∫x

2

− 4 x + 3 dx

−1

2

Hướng dẫn giải
a) Đặt u = x − 3 thì x = u + 3, dx = du .

Khi x = 2 thì u = −1, x = 3 ⇒ u = 0 .
0

A=

8
∫ ( u + 5) u du =
2

−1

0

∫(u

−1

2

+ 10u + 25 ) u 8du
0

 u11
25 
−185
= ∫ ( u + 10u + 25u ) du = 
+ u10 + u 9 ÷ =
9  −1
99
 11

−1
0

10

1

b) B =

∫( x

−1

9

8

3

2

4

− 4 x + 3) dx + ∫ ( − x + 4 x − 3) dx + ∫ ( x 2 + 4 x − 3) dx
2

1

1

3

3

4

 x3

 x3
  x3

28
=  − 2 x 2 + 3x ÷ +  − + 2 x 2 − 3x ÷ +  − 2 x 2 + 3x ÷ =
 3
 −1  3
1  3
3 3
1

2
Bài toán 7.13: Tính l ( m ) = ∫ x − 2 x + m dx .
0

Hướng dẫn giải
2
Tam thức f ( x ) = x − 2 x + m, ∆ ' = 1 − m . Ta xét 2 trường hợp sau:

- Nếu ∆ ' ≤ 0 ⇔ 1 − m ≤ 0 ⇔ m ≥ 1
Trang 10

1

 x3

2
Khi đó: l ( m ) = ∫ ( x 2 − 2 x + m ) dx =  − x 2 + mx ÷ = m −
3
 3
0
0
1

- Nếu ∆ ' > 0 ⇔ 1 − m > 0 ⇔ m < 1

 x1 = 1 + 1 − m > 1

Khi đó: f ( x ) = 0 ⇔ 

 x2 = 1 − 1 − m < 1

Với x2 ≤ 0 thì 1 − 1 − m ≤ 0 hay m ≤ 0
1

 x3

2
l ( m ) = − ∫ ( x − 2 x + m ) dx = −  − x 2 + mx ÷ = − m
 3
0 3

0
1

2

Với x2 > 0 thì 0 < m < 1

l ( m) =

1− 1−m

∫
0

( x 2 − 2 x + m ) dx −
1− 1− m

 x3

=  − x 2 + mx ÷
 3
0
=

1

∫ (x

1− 1− m

2

− 2 x + m ) dx
1

 x3

=  − x 2 + mx ÷
 3
 1−

1− m

4 ( 1 − m ) 1 − m + 3m − 2
3
5

3x + 1
dx
Bài toán 7.14: Tính: a) ∫ 2
x − 4x + 3
4

0

b)

∫x

−1

2

dx
+ 2x + 4

Hướng dẫn giải
a) Ta có

3x + 1
3x + 1
A
B
=
=
+
x − 4 x + 3 ( x − 1) ( x − 3) x − 1 x − 3
2

nên 3 x + 1 = ( A + B ) x − 3 A − B .

A + B = 3
 A = −2
⇔
−3 A − B = 1  B = 5

Đồng nhất hệ số 
5

5

3x + 1
5 
 −2
dx − ∫ 
+
Vậy ∫ 2
÷dx
x − 4x + 3
x −1 x − 3 
4
4
= ( −2ln x − 1 + 5ln x − 3 ) = ln 2 + 2ln 3 = ln18 .
5

4

0

0

dx
dx
=∫
b) ∫ 2
x + 2 x + 4 −1 ( x + 1) 2 + 3
−1
Trang 11

Đặt x + 1 = 3 tan t , −
Khi x = 0 thì t =
0

dx
∫−1 x 2 + 2 x + 4 =

π
π
2
2

π
, khi x = −1 thì t = 0 .
6

π /6

∫

−1

3 ( tan 2 t + 1) dt
3 ( tan 2 t + 1)

=

π /6

∫

−1

π /6

3
3
3π
dt =
t =
3
3 0
18

2

2

6x + 2
 x−2
Bài toán 7.15: Tính: a) A = ∫ 
÷ dx b) B = ∫ x 2 − x + 1 dx
x+3
0
−2 
4

Hướng dẫn giải
a) Đặt t = x + 3 thì x − 2 = t − 5, dx = dt

Khi x = −2 thì t = 1, x = 4 thì t = 7 .
7

7

25 
192
 10 25 

A = ∫  1 − + 2 ÷dt =  t − 10ln t − ÷ =
− 10ln 7
t
t 
t 1
7

2
2
2
3 ( 2 x − 1) + 5
2 x − 1) dx
(
dx
B=∫ 2
dx = 3∫ 2
+ 5∫
2
x − x +1
x − x +1
b)

1 3
0
0
0 
x
−

÷ +
2 4

2

2

3∫
0

2
2x −1
2
dx
=
3ln
x
−
x
+
1
= 3ln 3
0

x2 − x + 1

Đặt x −

1
3
π
π
3
=
tan t − < t < ⇒ dx =
1 + tan 2 t ) dt
(
2
2
2
2
2

Khi x = 0 thì t = −

π
π
, x = 2 thì t = .
6
3
π /3

π /3

2 3
10 3
5 3π
5∫
=5 ∫
dt =
t
=
2
3
3 −π /6
3
1 3
0 
− π /6
x− ÷ +
2 4

2

dx

Vậy B = 3ln 3 +

5 3
π.
3
a /2

Bài toán 7.16: Tính: a) I =

∫
0

dx
2
x − a2

a

b) J =

∫a
0

2

dx
+ x2

Hướng dẫn giải
Trang 12


1
a) I =
2a

a /2

∫
0

1 
1
x−a
 1
−
ln

÷dx =
2a x + a
 x−a x+a

b) Đặt x = a tan t với −

J=

∫
0

=−
0

1
ln 3
2a

π
π

2
< t < thì dx = a ( 1 + tan t ) dt
2
2

Khi x = 0 thì t = 0, x = a thì t =
π /4

a /2

a ( 1 + tan 2 t ) dt
a 2 ( 1 + tan 2 t )

1
=
a

π /4

∫
0

π
.
4
π /4

1
π
dt = t =

a 0
4a

Bài toán 7.17: Tính:
2

1

x4 − x + 1
dx
a) K = ∫ 2
x +4
0

x4 + x2 + 1
dx
b) L = ∫
x6 + 1
0
Hướng dẫn giải

 π
.
 4 

a) Đặt x = 2 tan t , x ∈ [ 0;2 ] ⇔ t ∈ 0;

K=

π /4

∫
0

1
=
2

16 tan 4 t − 2 tan t + 1 2dt
1
. 2 =
2
cos t 2
4 ( tan t + 1)

π /4

∫ ( 16 tan
0

π /4

∫ ( 16 tan t ( 1 + tan t ) − 16 tan
2

2

2

4

t − 2 tan t + 1) dt

)

t − 2 tan t + 1 dt

0

Từ đó tính được K = −

16 17π
+
− ln 2
3
8

x4 − x + 1
−x
17
Cách khác:
= x2 − 4 + 2
+ 2
2
x +4
x +4 x −4
3
1
1
 1

2x2 
dx
2 d( x )
+ 6
+ ∫
b) L = ∫  2
÷dx = ∫ 2
x
+
1
x
+
1
x
+
1
3 0 ( x3 ) 2 + 1

0
0
1

Lần lượt đặt x = tan t , x 3 = tan u thì L =
3

Bài toán 7.18: Tính: a)

x2 + 1

∫ ( x − 1) ( x + 3) dx

3

2

5π
12
1/ 4 3

b) N =

∫
0

xdx
x8 − 1

Hướng dẫn giải

Trang 13


a)

x2 + 1

( x − 1) ( x + 3)
3

=

A
B
C
D
+
+
+
2
3
x − 1 ( x − 1)
( x − 1) x + 3

Đồng nhất thì được A =

5
3
1
5
, B = ,C = , D = −
nên
32
8
2
32
3

 −1
3
5
x −1 

37 5
2
M =
−
+
ln
− ln
÷ =
3
 4 ( x − 1) 16 ( x − 1) 32 x + 3 ÷ 56 32 15

2
b) Đặt t = x 2 thì xdx =

1
dt .
2

Khi x = 0 thì t = 0, x =

1
N=
2

1/ 3

∫
0

dt

1
=
4
t −1 4

1/ 3

∫
0

1
1
t
=
thì
4
3
3
1 
 1
− 2
 2
÷dt
 t −1 t +1 
1/ 3

 1 t −1 1

=  ln
− arctan t ÷

 8 t +1 4
0
1/2

Bài toán 7.19: Tính: a) P =

∫
0

1
π
= ln 2 − 3 −
8
24

(

)

2

8x7 + 2
dx
dx
b) Q = ∫
7
x4 − 2x2 + 1
1 x(1+ x )
Hướng dẫn giải
2

1
1
1 1
1 
=
= 
−
a) Ta có: 4
÷
2
2
2
x − 2 x + 1 ( x + 1) ( x − 1)
4  x −1 x +1 

1 1
1
2
= 
+
−
÷
4  ( x − 1) 2 ( x + 1) 2 ( x − 1) ( x + 1) ÷

1 1
1
1
1 
= 

+
+
−
÷
4  ( x − 1) 2 ( x + 1) 2 x + 1 x − 1 ÷

1/2

1 1
1
x +1 
1 ln 3
+
+ ln
= −
Từ đó P =  −
÷
4  x −1 x +1
x −1  0
3 4
2

2

2

8x7 + 1 + 1
8 x7 + 1
1
dx

=
dx
+
b) Q = ∫
∫1 x8 + x
∫1 x ( 1 + x 7 ) dx
7
1 x(1+ x )

Trang 14


= ln ( x + x )
8

2
1

2
d ( x7 )
x6
1
+∫ 7
dx = ln129 + ∫ 7
7
7 1 x ( 1 + x7 )
1 x (1+ x )
2

2

1
x7
1 256
= ln129 + ln
= ln129 + ln
7
7 1+ x 1
7 129
−
 2 ( x + 1) khi x ≤ 0
2
k ( 1 − x ) khi x > 0

Bài toán 7.20: Cho hàm số f ( x ) = 
1

Xác định k để

∫ f ( x ) ( dx ) = 7 .

−1

Hướng dẫn giải
1

0

1

2k
Ta có ∫ f ( x ) dx = ∫ −2 ( x + 1) dx + ∫ k ( 1 − x ) dx = −1 +
nên
3
−1
−1
0
2

1

∫ f ( x ) dx = 7 ⇒ k = 12 .

−1

Bài toán 7.21: Cho f ( x ) là hàm liên tục và a > 0 thỏa mãn: f ( x ) > 0 và f ( x ) . f ( a − x ) = 1 với mọi
a

dx
theo a.
1+ f ( x)
0

x ∈ [ 0; a ] . Tính I = ∫

Hướng dẫn giải
Đặt x = a − t thì dx = − dt
Khi x = 0 ⇒ t = a, x = a ⇒ t = 0 , ta có:
a
a

f ( t ) dt
dt
dt
I = −∫
=∫
=∫
1+ f ( a − t ) 0 1+ 1
1+ f ( t )
a
0
f ( t)
0

a
f ( t ) dt a
dt
+∫
= ∫ dt = a
1
+
f
t
1
+
f
t
(
)
(
)

0
0
0
a

nên 2 I = I + I = ∫
Vậy I =

a
.
2

Bài toán 7.22: Tính:

∫

a) I = sin 3 x cos 2 xdx

∫

4
b) J = sin xdx

Hướng dẫn giải
a) I =

1
1
1
( sin x + sin 5 x ) dx = −  cos x + cos5 x ÷+ C

∫
2
2
5

Trang 15


4
b) sin x =

nên J =

1
1
1 3
1
2
( 1 − cos 2 x ) = ( 1 − 2cos 2 x + cos 2 2 x ) =  − 2cos 2 x + cos 4 x ÷
4
4
42
2

13
1

 x − sin 2 x + sin 4 x ÷+ C .
4 2
8



Bài toán 7.23: Tính:

2 x sin 2 x − cos 2 x + 1 − x
b) ∫
dx
x sin 2 x

sin 4 x sin 3 x
dt
a) ∫
tan x + cot 2 x

Hướng dẫn giải
a) tan x + cot 2 x =

sin x cos 2 x
cos x
1
+
=
=
nên
cos x sin 2 x cos x sin x sin 2 x

sin 4 x sin 3 x
1
= sin 4 x sin 3 x sin 2 x = − sin 4 x ( cos 5 x − cos x )
tan x + cot 2 x

2
=

1
1
( sin 4 x cos5 x − sin 4 x cos x ) = − ( sin 9 x − sin x − sin 5 x − sin 3 x )
2
4

Vậy

1 1

sin 4 x sin 3 x

1

1



∫ tan x + cot 2 x dx = − 4  − 9 cos9 x + cos x + 5 cos5 x + 3 cos3x ÷ + C

2 x sin 2 x − cos 2 x + 1 − x
1
1 

dx = ∫  2 + − 2 ÷dx = 2 x + ln x + cot x + C
b) ∫
2

x sin x
x sin x 

tan 6 x
tan 5 x
Bài toán 7.24: Tìm: a) ∫
dx b) ∫
dx
cos 4 x
cos 7 x
Hướng dẫn giải
a) Đặt u = tan x thì du =

1
dx . Ta có:
cos 2 x

tan 6 x
tan 6 x 1
2
6
∫ cos4 x dx = ∫ cos2 x cos2 x dx = ∫ ( 1 + tan x ) tan x ( tan x ) ' dx
= ∫ ( 1 + u 2 ) u 6 du =
b) Đổi biến u =

u9 u 7
tan 9 x tan 7 x
+ +C =
+
+C

9 7
9
7

1
sin x
dx . Ta có:
thì du =
cos x
cos 2 x

2 sin x
tan 5 x
1
2
dx
=
tan
x
dx
(
)
∫ cos7 x ∫ cos6 x
cos 2 x

∫u ( u
6

2

− 1) du = ∫ ( u10 − 2u 8 + u 6 ) du
2

Trang 16


u11 2u 9 u 7
1
2
1
=
−
+ +C =
−
+
+C
11
9
11
9
7
11cos x 9cos x 7 cos 7 x
Bài toán 7.25: Tính: a) I =

cos x

∫

∫ cos x + sin x dx

2
b) E = cos x.cos 3 xdx

Hướng dẫn giải
a) Xét J =

sin x
∫ cos x + sin x dx = ln cos x + sin x + C2

I−J =∫

cos x − sin x
dx = ln cos x + sin x + C2
cos x + sin x

Suy ra I =

1
( x + ln cos x + sin x ) + C .
2

∫

1
3

∫

2
b) Xét F = sin x.cos3 xdx thì: E + F = cos3 xdx = sin 3 x + C1

E − F = ∫ cos 2 x.cos3 xdx =
=

1
( cos5 x + cos x ) dx
2∫

1
1
sin 5 x + sin x + C2
10
2

Suy ra E =

1
1
1
sin 5 x + sin 3 x + sin x + C
20
6
4

∫

5
Bài toán 7.26: Tính: a) cot xdx

b)

cot x

∫ 1 + sin

9

x

dx

Hướng dẫn giải
5
1 − sin 2 x )
a) cot 5 xdx = cos x dt = (
∫
∫ sin 5 x ∫ sin 5 x d ( sin x )
2

2
1 
1
1
 1
= ∫ 5 − 3 +
+
+ ln sin x + C
÷d ( sin x ) = −
4sin 4 x sin 2 x
 sin x sin x sin x 

d ( sin 9 x )
cot x
cos x.sin 8 x
1
dx = ∫ 9
dx = ∫ 9
b) ∫
1 + sin 9 x
9 sin x ( 1 + sin 9 x )
sin x ( 1 + sin 9 x )
9
9
1 d ( sin x ) 1 d ( sin x ) 1
sin 9 x
= ∫
− ∫
= ln
+C
9
sin 9 x
9 sin 9 x + 1 9 1 + sin 9 x

∫

2
Bài toán 7.27: Tính: a) I = x cos 2 xdx

∫

b) J = sin xdx

Hướng dẫn giải
Trang 17


a) Đặt u = x 2 , v ' = cos 2 x . Khi đó u ' = 2 x, v =

1 2
1
1
x sin 2 x − ∫ x sin 2 xdx = x 2 sin 2 x + ∫ xd ( cos 2 x )
2
2
2

I=
=

1
sin 2 x .
2

1 2
1
1
x sin 2 x + x cos 2 x − sin 2 x + C .
2
2
4

b) Đặt t =

x ⇒ x = t 2 ⇒ dx = 2dt

(

J = ∫ sin t.2t.dt = 2 ∫ t.sin t.dt = 2 −t cos t + ∫ cos tdt

(

)

)

= 2 ( −t cos t + sin t ) + C = 2 − x cos x + sin x + C
Bài toán 7.28: Tính:
π

∫

a) C = cos x.sin 8 xdx

b) D =

2

0

π /2

∫ ( sin

0

7

x − cos7 x ) dx

Hướng dẫn giải
π

π

π

1
2
a) Xét I = ∫ sin x.sin 8 xdx thì C + I = ∫ sin 8 x = − cos9 x =
9
9
0
0
0
2

π

π

C − I = ∫ ( cos x − sin x ) sin 8 xdx = ∫ cos 2 x sin 8 xdx
2

2

0

0

π

π

1
1  cos10 x cos 6 x 
1
= ∫ ( sin10 x − sin 6 x ) dx =  −
+
÷ =0⇒C =
20
2
10
6 0
9
b) Đặt x =
π /2

∫
0

=

π

π
π
− t thì dx = −dt , x = 0 ⇒ t = , x = ⇒ t = 0 .
2
2
2

π

sin xdx = − ∫ sin  − t ÷dt =
2 
π
0

7

π /2

∫

7

cos7 xdx ⇒ D =

π /2

0

∫ ( sin
0

π /2

Bài toán 7.29: Tính: a)

∫
0

7

π /2

∫ cos

7

tdt

0

x − cos 7 x ) dx = 0 .
π

dx
sin 4 x
dx
b) ∫
1 + cos x
1
+

sin
x
0
Hướng dẫn giải

a) Đặt t = tan

x
1
⇒ dt = 1 + tan 2
2
2

x
2dt
÷dx ⇒ dx =
2
1+ t2
Trang 18


Khi x = 0 thì t = 0; x =
π /2

∫
0

π
thì t = 1 .
2

1

1

dx
2 1+ t2
=∫
.
dt = ∫ dt = 1
1 + cos x 0 1 + t 2 2
0

b) Đặt x = π − t thì dx = − dt , khi x = 0 thì t = π , x = π thì t = 0 .
π

π

0

π

sin 4 x
− sin 4 x
sin 4t
sin 4 x
dx
=
−
dt

=
−
dt
=
−
∫0 1 + sin x
∫π 1 + sin t
∫0 1 + sin t
∫0 1 + sin x dx
π

π

sin 4 x
sin 4 x
dx = 0 ⇒ ∫
dx = 0
Do đó 2 ∫
1
+
sin
x
1
+
sin
x
0
0
Bài toán 7.30: Tính
a)

π /2

∫

A=

0

sin xdx
sin 2 x + 2cos x cos 2

b) B =

x
2

π /6

∫
0

tan 4 x
dx
cos 2 x

Hướng dẫn giải

x
= sin 2 x + cos x ( 1 + cos x ) = 1 + cos x .

2

2
2
a) sin x + 2cos x cos

nên A =

π /2

∫
0

b) B =

π /6

π /2
d ( 1 + cos x )
π /2
sin xdx
=−∫
= − ln ( 1 + cos x ) 0 = ln 2
1 + cos x
1 + cos x
0

tan 4 x
dx =
cos 2 x

∫
0

π /6

∫
0

Đặt t = tan x thì dt =
1/ 3

B=

∫
0

t4
dt =
1− t2

tan 4 x
dx
( 1 − tan 2 x ) cos2 x
1
dx
π
t
=
x

=
0
t
=
0,
x
=
.
Khi
thì
thì
3
cos 2 x
6

1/ 3 4

∫
0

t −1+1
dt =
1− t2
1/ 3

 t3
1 t +1 
=  − − t + ln
÷
2 t −1  0

 3

1/ 3

∫
0

 2
1
1
−
 −t − 1 +
2 ( 1 + t ) 2 ( t − 1)


(


÷
÷dt


)

1
10
= ln 2 + 3 −
2
9 3

Bài toán 7.31: Tính:
a) I =

π /2

∫
0

cos xdx
13 − 7sin x − cos 2 x

b) J =

π /2

dx

∫ ( 2sin x + cos x )

2

0

Hướng dẫn giải
Trang 19


π
⇒ t = 1.
2

a) Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx, x = 0 ⇒ t = 0, x =
π /2

∫

I=

0

1

1

cos xdx
dt
dt
=∫ 2
=∫
2
sin x − 7sin x + 12 0 t − 7t + 12 0 ( t − 3 ) ( t − 4 )

1

1 
t −4
 1
= ∫
−
÷dt = ln

t −4 t −3
t −3
0

1

= ln
0

9
8

1
 2

sin x +
cos x ÷ = 5 sin ( x + α )
5
 5


b) Ta có 2sin x + cos x = 5 
2

2

2
1
 2   1 
α

=
cos
α
,
= sin α
Vì 
nên
có
số
để
+
=
1
÷ 
÷
5
5
 5  5
J=

π /2

dx

1

∫ 5sin ( x + α ) = − 5 cot ( x + α )
2

0

π /2
0

1 1
 1
= −  − − 2 ÷=
5 2
 2

Bài toán 7.32: Tính:
π

3sin x + cos x + 3
dx
a) K = ∫
sin
x
+
2cos
x
+
3
0

b) L =

π /2

1

∫ cos x + 2 dx
0

Hướng dẫn giải
a) Xét 3sin x + cos x + 3 = A ( sin x + 2cos x + 3) + B ( cos x − 2sin x )

= ( A − 2 B ) sin x + ( 2 A + B ) cos x + 3 A
Đồng nhất thì A − 2 B = 0, 2 A + B = 0,3 A = 3 nên A = 1, B = −1 , do đó:
π

π
cos x − 2sin x 

K = ∫ 1 −
÷dx = ( x − ln sin x + 2cos x + 3 ) 0 = π − ln 5
sin x + 2cos x + 3 
0

b) Đặt u = tan

x
⇒ du =
2

1
2
1 + tan
2

x
2du
÷dx ⇒ dx =
2
1+ u2

(

)

1
1 d
3u
1
2du
du
1
π 3
L=∫
.
=
2
=
=
2
2
2
2
∫
∫

1− u
1+ u
u + 3 2 3 0 3u + 1
9 .
0
0
+2
1+ u2

π

(

)

Bài toán 7.33: Tính:
a) A =

2π

∫

1 − cos 2 xdx

b) B =

0

π /2

∫
0

3sin 2 x − 2cos x
dx
8sin x + 1

Hướng dẫn giải
Trang 20


2π

20

a) A =

∫

2sin xdx = 2 ∫ sin x dx
2

0

0

)

(

2π
π

π
2π
= 2  ∫ sin xdx − ∫ sin xdx ÷ = 2 ( − cos x ) 0 + cos x π = 4 2
π
0


t2 −1
1
b) Đặt t = 8sin x + 1 ⇒ sin x =
⇒ cos x.dx = tdt
8
4

π
⇒t =3
2

Khi x = 0 ⇒ t = 1, x =

B=

2cos x ( 3sin x − 1)

π /2

∫

8sin x + 1

0

3

3

1
1
1
dx = ∫ ( 3t 2 − 11) dt = ( t 3 − 11t ) =
16 1
16
4
1

Bài toán 7.34: Tính

( sin x )
E= ∫
dx
α
α
sin
x
+
cos
x

(
)
(
)
π /3
α

π /2

a)

b) F =

π

x sin x

∫ 1 + cos
0

2

x

dx

Hướng dẫn giải
a) Đặt x =

π

π
π
− t ⇒ dx = − dt ; x = 0 ⇒ t = , x = ⇒ t = 0
2
2
2

π /2
cos t )
(
( cos x )
E=−∫
dt = ∫
dx
α
α
α
α
cos
t
+
sin
t
sin
x
+
cos
x
(
)

(
)
(
)
(
)
π /2
0
α

0

Do đó E + E =

π /2

∫

α

dx =

0

π
π
⇒E= .
2
4

b) Đặt x = π − t ⇒ dx = − dt , x = 0 ⇒ t = π , x = π ⇒ t = 0 .
0

F = −∫

( π − t ) sin t dt = π π
1 + cos t

π

sin t

∫ 1 + cos

2

2

0

π

t

dt − J

1

sin t
1

dt = ∫
du
Do đó 2 J = π ∫
2
1 + cos t
1+ u2
0
−1
Đặt u = tan t thì tính được F =

π2
.
4

Bài toán 7.35: Tính:
a) C =

π /2

∫ ( 2 x − 1) cos
0

2

xdx

b) D =

π /2

∫ ( x + sin x ) cos xdx
2

0

Trang 21


Hướng dẫn giải
a) C =

π /2

∫ ( 2 x − 1)
0

1
= ( 2 x − 1)
4
b) D =

π /2

0

1 + cos 2 x
1
dx =
2
2

π /2

π /2

0

0



∫ ( 2 x − 1) dx + ∫  x − 2 ÷ cos 2 xdx

π /2

1
1
1
+ x− ÷ −
2
20
2

π /2

∫

sin 2 xdx =

0

1

π π  1
 − 1 ÷−
42  2

π /2

∫ ( x + sin x ) d ( sin x )
2

0

=

( ( x + sin x ) sin x )
2

π /2
0

π /2

π

=  + 1÷+ ( cos x )
2 

0

Bài toán 7.36: Tính: I =

−

π /2

∫ ( 1 + 2sin x.cos x ) sin xdx
0

2
− ( sin 3 x )
3

π /2

=
0

π 2
− .
2 3

π /4

∫ x tan

2

b) J =

xdx

0

π 2 /4

∫

x sin xdx

0

Hướng dẫn giải
a) I =

π /4

∫
0

=

π /4

∫

 1

x

− 1÷dx =
2
 cos x 

xd ( tan x ) −

π /4

0

∫

π /4

∫
0

xdx
−
cos 2 x
π /4

∫ xdx

xdx = x tan x x −

0

b) Đặt t =

π /4

0

π /4

∫
0

x2
tan xdx −
2

π /4

=
x

π
2 π2
+ ln
−
4
2 32

x ⇒ x = t 2 ⇒ dx = 2dt .
π /2

π2
π

3
Khi x = 0 ⇒ t = 0, x =
⇒ t = nên J = 2 ∫ t .sin tdt
4
2
0
Đặt u = t 3 , dv = sin tdt . Khi đó du = 3t 2 dt , v = − cos t

J = 2 ( −t cos t )
3

π /2
0

π /2

π /2

+ 6 ∫ t cos tdt = 6 ∫ t 2 cos tdt
2

0

0

Áp dụng tích phân từng phần 2 lần nữa thì J = 3 ( π − 4 ) .
Bài toán 7.37: Tính:
1

x cos5 x

dx
a) A = ∫
2
3
+
tan
x
−1

b) B =

π /6

∫
0

sin 2 x
dx
sin x + 3 cos x

Hướng dẫn giải
Trang 22


a) Đặt x = −t thì dx = − dt , x = −1 ⇒ t = 1, x = 1 ⇒ t = −1 .
−1

1

−t cos5t

x cos5 x
A = −∫
dt = − ∫
dx = − A ⇒ A = 0
2
2
3
+
tan
t
3
+
tan
x
1
−1
π /6

∫

b) Xét C =

0

1
2

B+C =

cos 2 x

, ta có
sin x + 3 cos x

π /6

∫
0

dx

π

sin  x + ÷
6


=

1
2

π /6

∫
0


π 

d  tan  x + ÷÷

π
6 


tan  x + ÷ 
6

1

π /6

1
π
1

= ln tan  x + ÷ = ln 3
2
6 0
4

π /6

∫ ( sin x −

và B − 3C =

)

3 cos x dx = 1 − 3

0

nên B =

3
1− 3
ln 3 +
16
4

Bài toán 7.38:
π /2

a) Tính

∫ max { sin x,cos x} dx
0

x

t
4

∫

2
2
b) Giải phương trình: sin .cos
0

t
dt = π .
4
Hướng dẫn giải

a)

π /2

π /4

π /2

0

0

π /4

∫ max { sin x;cos x} dx = ∫ cos xdx + ∫ sin xdx

= ( sin x )

π /4
0

 2
 
π /2
2

− ( cos x ) π /4 = 
− 0 ÷−  0 −
÷= 2
2
2

 


x

x

x

t
1
1
2 t
2 t
b) ∫ sin .cos dt = ∫ sin dt = ∫ ( 1 − cos t ) dt
4
4
40
2
80
0
2

x

1
1
= ( t − sin t ) = ( x − sin x ) .
8
8
0
Phương trình

1
( x − sin x ) = π ⇔ x − sin x = 8π ⇔ x = 8π .
8
Trang 23


Bài toán 7.39: Tìm hàm số y = f ( x ) biết:

(

)

a) dy = 12 x 3 x 2 − 1 dx và f ( 1) = 3
3

b) y ' = sin 7 x.cos3 x và f ( π ) = 79 .
Hướng dẫn giải
a) Đặt u = 3 x 2 − 1 thì du = 6 xdx nên 12 xdx = 2du .

3 x 2 − 1)
(

u4
3
f ( x ) = ∫ dy = ∫ 2u du = + C =
+C
2
2
4

3 x 2 − 1)
(
f
t
=
8
+
C
=
3
Vì ( )
nên C = −5 . Vậy f ( x ) =
−5.
2
4

b) Đặt t = sin x thì dt = cos xdx

f ( x ) = ∫ y ' dx = ∫ sin 7 x ( 1 − sin 2 x ) cos xdx = ∫ t 7 ( 1 − t 2 ) dt
= ∫ ( t 7 − t 9 ) dt =

t 8 t 10

sin 8 x sin10 x
− +C =
−
+C
8 10
8
10

Vì f ( π ) = 79 nên C = 79 . Vậy f ( x ) =

sin 8 x sin10 x
−
+ 79 .
8
10

Bài toán 7.40: Tính I n theo I n − 2 , n ≥ 3 .

∫

∫

n
*
a) I n = tan xdx, n ∈ ¥

n
*
b) I n = sin xdx, n ∈ ¥

Hướng dẫn giải

∫

∫

(

)

n−2
2
n −2
2
a) Với n ≥ 3 : I n = tan x tan xdx = tan x tan x + 1 − 1 dx

= ∫ tan n −2 xdx ( t ) − I n −2 =

1
tan n−1 x − I n −2 .
n −1

n −1
n −1
b) I n = sin x.sin xdx = − sin xd ( cos x )

∫

∫

= − sin n−1 x.cos x + ( n − 1) ∫ sin n− 2 x.cos 2 xdx
= − sin n−1 x.cos x + ( n − 1) ∫ sin n− 2 x ( 1 − sin 2 x ) dx
= − sin n−1 .cos x + ( n − 1) I n −2 − ( n − 1) I n
1
n

n −1
Do đó I n = − sin x.cos x +

n −1
I n−2 .
n
Trang 24


1

m
*
Bài toán 7.41: Đặt I ( m ,n ) = x ( 1 − x ) dx, m, n ∈ ¥

∫

n

0

1

m

Chứng minh I ( m ,n ) = x ( 1 − x ) dx, m > 0, n > 1 .

∫

n

0

Hướng dẫn giải
Đặt u = ( 1 − x ) , dv = x m dx . Khi đó du = − n ( 1 − x )

n −1

n

1

,v =

x m+1
m +1

1

x m+1
n
n
n
n −1
=

x m+1 ( 1 − x ) dx =
I ( m+1,n−1)
( 1− x) +
∫
m +1
m
+
1
m
+
1
0
0

I ( m,n)

a

Bài toán 7.42: Đặt I n = ∫
0

Chứng minh I n =

(x

dx

+ a2 )

2

, với a > 0, n ∈ ¥ , n ≥ 2 .

n

1
1 2n − 3
+ 2.
.I n−1 .
n 2 n −1
a 2n − 2
( n − 1) 2 .a
Hướng dẫn giải

a

1 x2 + a2 − x2 1
1
In = 2 ∫
= 2 I n−1 − 2
n
a 0 ( x2 + a2 )
a
a
Đặt u = x, dv =

(x

xdx
2

+a

a

∫
0

(x

x 2 dx
2

+ a2 )

n

−1

1

. Khi đó du = dx, v = 2 n − 1 . 2
(
) x + a2

)

2 n

(

)

n −1

a
a

∫
0

2

(x

x dx
2

+a

)

2 n

=

−x

2 ( n − 1) ( x 2 + a
1

Bài toán 7.43: Đặt I n =

∫(1− x )

2 n

)

+

2 n −1
0

1
.I n −1 ⇒ đpcm.
2 ( n − 1)

dx, n ∈ ¥ . Tính I n và suy ra hệ thức:

0

1 0 1 1 1 2 1 3
( −1) C n = 2.4...( 2n )
Cn − Cn + Cn − Cn + ... +
n
1
3
5
7

2n + 1
3.5... ( 2n + 1)
n

Hướng dẫn giải

(

Với n ≥ 1 , đặt u = 1 − x 2
1

)

n

và dv = dx thì:

I n = ∫ ( 1 − x 2 ) dx = x ( 1 − x 2 )
0

n

n 1
0

1

+ ∫ 2nx 2 ( 1 − x 2 )

n −1

dx

0

Trang 25