DE CHON HSG CUM HUYEN

SỞ GD&ĐT BẮC GIANG
CỤM TÂN YÊN
Ngày thi: 28/01/2018

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017 - 2018
MÔN: TOÁN 10
Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1: (6 điểm) Cho phương trình x 2  2 x  3m  4  0 (m là tham số).
a) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm.
b) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x12 x2 2 �x12  x2 2  4 .
c) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng thuộc đoạn  3;4 .
Câu 2: (2 điểm) Giả sử phương trình bậc hai ẩn x ( m là tham số):

x 2  2  m  1 x  m3   m  1  0
2

có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1  x2 �4 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
3
3
của biểu thức sau: P  x1  x2  x1 x2  3x1  3x2  8  .

Câu 3: (2 điểm) Giải phương trình

3

81x  8  x3  2 x 2 

4
x2;
3

 x ��

2
2
�
�x  y  2 y  6  2 2 y  3  0
Câu 4: (2 điểm) Giải hệ phương trình �
.
( x  y )( x 2  xy  y 2  3)  3( x 2  y 2 )  2
�

Câu 5: (2 điểm) Cho các số dương a, b, c có a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P

a a
b b
c c


2c  a  b
2a  b  c
2b  c  a

Câu 6: (2 điểm) Không dùng máy tính hãy tính tổng
P = cos 2 00  cos 210  cos2 20  cos 2 30  cos 2 40  ...  cos 21800 .
Câu 7: (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A  1; 2  và B  4;3 . Tìm tọa độ
điểm M nằm trên trục hoành sao cho góc

bằng 450 .

uuuu
r

uuur

Câu 8: (2 điểm) Cho tam giác đều ABC và các điểm M , N , P thỏa mãn BM  k BC ,
uuur 2 uuu
r uuu
r 4 uuu
r
CN  CA , AP  AB . Tìm k để AM vuông góc với PN .
3
15

…………………Hết…………………
Họ và tên thí sinh:……………………………..…………Số báo danh:……………….

CỤM TÂN YÊN

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
Năm học 2017 – 2018
Môn thi: Toán – Lớp 10


(Thời gian làm bài: 150 phút)
Câu
Nội dung
2
1 Cho phương trình x  2 x  3m  4  0 (m là tham số).

Điểm

a) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm.
b) Tìm m để pt có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x12 x2 2 �x12  x2 2  4 .
a)

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng thuộc đoạn  3;4 .
Để phương trình có hai nghiệm thì 12  (3m  4) �0
5
. KL
3
�x1  x2  2
5
Khi m � thì �
(Không có bước này không trừ điểm)
3
�x1 x2  3m  4
ۣ m

b)

1
1
0.5

x12 x2 2 �x12  x2 2  4
� (3m  4) 2 �(2) 2  2(3m  4)  4

1

� 9m 2  18m �0
� m � 0;2
� �
0; . KL
Kết hợp với m � được m ��
3
� 3�
�
2
Nghiệm của pt x  2 x  3m  4  0 là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm
số y  x 2  2 x và y  3m  4
Vẽ bảng biến thiên của hàm số y  x 2  2 x trên đoạn  3;4 .
Từ bảng biến thiên để phương trình x 2  2 x  3m  4  0 có hai nghiệm phân
biệt cùng thuộc đoạn  3;4 thì 1  3m  4 �3 .

0.5

1 5�
�
� m �� ; �. KL
3 3�
�

0.5

5

c)

2

5

Giả sử phương trình bậc hai ẩn x ( m là tham số):

x 2  2  m  1 x  m3   m  1  0
2

có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1  x2 �4 . Tìm giá trị lớn nhất và
3
3
giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: P  x1  x2  x1 x2  3x1  3x2  8  .

0.5
0.5
0.5


2
2
m3   m  1 � m3  4m  m  m  2   m  2  .
Trước hết xét biệt thức  '   m  1  �
�
�
Phương trình có hai nghiệm x1 , x2 nên  ' �0 � m  m  2   m  2  �0.

(1)
Khi đó, theo Vi-ét ta có x1  x2  

b

 2  m  1 với điều kiện 2  m  1 �4
a

0,5

(2)
và x1 x2 

c
2
 m3   m  1 . Điều kiện (1) và (2) giải được 2 �m �0 hoặc 2 �m �3.
a

Như vậy x13  x23   x1  x2   3x1 x2  x1  x2  nên biểu thức
3

3
3
2
�
P   x1  x2   8 x1 x2  �
2  m  1 �
 m3   m  1 � 16m 2  40m.
�
� 8 �
�
Bài toán trở thành: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P  m   16m 2  40m với m � 2;0 � 2;3 .

2

Ta lập bảng biến thiên của hàm số P  m   16m  40m với m � 2; 0 � 2;3 .

m

�

2

0

5
4

3

2

0

16

P  m

144
Từ đó ta kết luận được:
Giá trị lớn nhất của biểu thức P  16 khi m  2 ,
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  144 khi m  2 .

3

Giải phương trình

3

81x  8  x3  2 x 2 

�

0,5

0,5

24

0,5

4
x2;
3

 x ��
3

� 2 � 46 � 2 � 46
 �x  �
PT đã cho tương dương với 3. 3 �x  �
� 3 � 27 � 3 � 27
2
�
46

�
3
u

x

3
u

v

�
�
3
�
�
27
Đặt �
ta có hệ: �
46
2
46
46
�
�
�
�
3v  u 3 
v  3 3 �x  �
 3 3u 

�
�
27
27
� 3 � 27
�
3

0.5

Trừ hai phương trình cho nhau theo từng vế ta có:

�
u v  0,
 1
3  u  v    v  u  v 2  uv  u 2 � �2
2
v  uv  u  3,  2 
�
�
Dễ thấy v 2  uv  u 2 �0 nên (2) vô nghiệm.
8
2
5
 1 � u  v � 3 3x   x  � x 3  2 x 2  x  0
27
3
3
x0
�

�
�
3 �2 6 và kết luận.
�
x
�
3
�x 2  y 2  2 y  6  2 2 y  3  0
(1)
�
Giải hệ phương trình �
.
( x  y )( x 2  xy  y 2  3)  3( x 2  y 2 )  2 (2)
�



4



0,5
0.5

0.5


ĐKXĐ: y �1,5 .

x  y  3x  3 y  3  x  y

3

3

2

2

  2 �  x  1   y  1
3

(2) �
3

� x 1  y 1 � y  x  2

1

Thay vào pt thứ nhất ta được:
2
2
1 � �2x 1  1  x
� 1� �
x  3 x  1   2 x  1 � �x  � � 2 x  1  �� �
2 � �2x 1  x
� 2� �
2

0.5

(Có thể bình phương được pt:  x  1 ( x 2  4 x  2)  0 )
2

Giải hai pt này ta được x  1, x  2  2
5

Vậy hệ có hai nghiệm là  x; y    1; 1 ,  2  2,  2  .
Cho các số dương a, b, c có a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

0.5

a a
b b
c c


.
2c  a  b
2a  b  c
2b  c  a

P

1

a a
a3
1
a3
a3

c 3 c 3

 (


)
8
16
2c  a  b
c  (a  b  c ) 2 c  3
c3
a3
a 3 c  3 c  3 3a c  3



16
4
16
c3 c3 8
a a
3a c  3
� 
Suy ra:
16
2c  a  b 4
b b
3b a  3
c c
3c b  3

� 
� 
Tương tự
và
16
16
2a  b  c 4
2b  a  c 4
1
� 33
2

0.5
3
2

Cộng các vế tương ứng của ba BĐT cùng chiều ta được P � ,

0.5

3
khi a=b=c=1. KL
2
Tính P=cos2 00  cos 210  cos 2 20  cos 2 30  cos2 40  ...  cos 21800 .
cos00 =-cos1800 � cos2 00 =cos 21800 .
P

6

…

0,5

cos890 =-cos910 � cos 2 890 =cos 2 910 .
� P=2cos 2 00  2(cos 210  cos 2 20  cos 2 30  cos 2 40  ...  cos 2 890 )  cos 2 900
=2  2(cos 210  cos 2 20  cos 2 30  cos 2 40  ...  cos 2 890 )
0

0

2

0

0,5

2 0

cos89 =sin1 � cos 89 =sin 1 .

…

0,5
0

0

2

0

2

0

cos46 =sin44 � cos 46 =sin 44 .
� P=2  2(cos 210  sin 210  cos 2 20  sin 2 20  ...  cos 2 440  sin 2 440  cos 2 450 )
=2  2(44  cos 2 450 )
 91

0,5

KL
7

A  1; 2  và B  4;3 . Tìm M nằm trên trục hoành sao cho góc

bằng 450 .


Điểm M mằm trên trục hoành nên gọi M(m;0) ,

0.5

uuur
uuur
MA  (1  m;2) , MB  (4  m;3)
(1  m)(4  m)  2.3
cos450 
(1  m) 2  22 (4  m) 2  32

0.5
1

� m4  10m3  44m 2  110m  75  0 � (m 2  6m  5)(m2  4m  15)  0

m=1 hoặc m=5 . KL: M(1;0) hoặc M(5;0)
8

uuuu
r

uuur uuur

r
2 uuu
3

Cho tam giác đều ABC và các điểm M , N , P thỏa mãn BM  k BC , CN  CA
uuu
r

r
4 uuu
AB . Tìm k để AM vuông góc với PN .
uuuu
r 15 uuur
uuuu
r uuu
r
uuur uuu

r
+) BM  k BC � AM  AB  k ( AC  AB )

, AP 

uuuu
r
uuu
r
uuur
� AM  (1  k ) AB  k AC .
r 1 uuur
uuur uuur uuu
r
4 uuu
+) PN  AN  AP   AB  AC
15
3
uuuu
r uuur
Để AM vuông góc với PN thì AM .PN  0
uuu
r
uuur � 4 uuu
r 1 uuur �
�
��
(1

k

)
AB

k
AC

AB
 AC � 0
�
�
�
3
� 15
�
r uuur
4(1  k )
k
1  k 4 k uuu
2
2
�
AB  AC  (
 ) AB AC  0
15
3
3
15
4(1  k ) k 1  k 4k
�
 (

 )cos600  0
15
3
3
15
1
�k
3
KL: k 

1
3

0.5
0.5

1