MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG GIẢI TÍCH VÀ ỨNG DỤNG

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG
---------------------------------------

CAO QUANG CƯỜNG - MÃ HỌC VIÊN: C00322

MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG GIẢI TÍCH
VÀ ỨNG DỤNG
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
MÃ SỐ: 60460113
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. HÀ TIẾN NGOẠN

Hà Nội – Năm 2016


MỤC LỤC
Trang
MỤC LỤC........................................................................................................ ii
TÓM TẮT LUẬN VĂN ................................................................................. iii
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
Chương 1.......................................................................................................... 3
CỰC TRỊ HÀM MỘT BIẾN VÀ ỨNG DỤNG............................................ 3
1.1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT.............................................................................. 3
1.1.1. Cực trị hàm số (cực trị địa phương)...................................................... 3
1.1.2. Giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số (Cực trị
toàn cục). ........................................................................................................... 3
1.2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CỰC TRỊ HÀM MỘT BIẾN................ 3
1.2.1. Ứng dụng của cực trị vào giải phương trình, bất phương trình............ 3
1.2.2. Ứng dụng vào tìm cực trị của hàm nhiều biến...................................... 5

1.2.3. Ứng dụng cực trị vào chứng minh BĐT ............................................... 6
1.3. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ ................................................................................ 7
Chương 2.......................................................................................................... 8
MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG THỰC TIỄN............................. 8
2.1. CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC ............................................. 8
2.1.1. Các công thức cơ bản về hình học được sử dụng. ................................ 8
2.1.2. Một số bài toán trong hình học phẳng .................................................. 8
2.1.3. Một số bài toán trong hình không gian ............................................... 12
2.2. MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG VẬT LÝ. ......................... 15
2.2.1. Các bài toán trong cơ học ................................................................... 16
2.2.2. Các bài toán trong quang học.............................................................. 17
2.3. MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG KINH TẾ. ......................................... 19
2.3.1. Các bài toán tối đa hóa lợi nhuận....................................................... 19
2.3.2. Bài toán tối đa hóa doanh thu ............................................................. 20
2.4. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ .............................................................................. 21
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2.............................................................................. 21
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ...................................................................... 22
1. Kết luận ...................................................................................................... 22
2.
Kiến nghị ............................................................................................ 22
DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................... 23

Thang Long University Library


TÓM TẮT LUẬN VĂN
Đề tài: “Một số bài toán cực trị trong giải tích và ứng dụng’’
Tác giả luận văn: Cao Quang Cường
Khóa: 3.
Người hướng dẫn: PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn, Viện Toán học, Viện Hàn lâm

Khoa học và Công nghệ Việt Nam.
Nội dung tóm tắt:
Luận văn gồm hai chương:
Chương một trình bày lý thuyết về cực trị của hàm số một biến về cực trị địa
phương và cực trị toàn cục. Phần tiếp theo của chương này là giới thiệu một
số ứng dụng của cực trị hàm một biến vào tìm cực trị của hàm nhiều biến, giải
phương trình, bất phương trình và chứng minh bất đẳng thức.
Chương hai giới thiệu một số bài toán cực trị giải tích trong thực tiễn thể hiện
ở các lĩnh vực Hình học, Vật lý, Kinh tế,...áp dụng để giải quyết các vấn đề
trong cuộc sống. Đây là chương mà tác giả muốn nhấn mạnh vai trò của toán
học nói chung và toán giải tích nói riêng.


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong giảng dạy môn toán ở trường phổ thông hiện nay chưa coi trọng
và khai thác các bài toán mang những ứng dụng thực tế và ứng dụng liên
môn. Vì vậy học sinh thường đặt ra câu hỏi học toán để làm gì và không thấy
cái hay và vẻ đẹp chứa bên trong của toán học mà các bài toán cực trị thuộc
vào một trong những dạng toán gần với những ứng dụng thực tiễn nhất.
Những bài toán về đường đi ngắn nhất, đường đi nhanh nhất, góc nhìn lớn
nhất, tổng thời gian chờ đợi ít nhất, tổng chi phí ít nhất, tổng lợi nhuận cao
nhất, diện tích lớn nhất, … trong Hình học, Vật lý và Kinh tế, … cũng như
vậy là những yêu cầu rất tự nhiên, xuất phát từ những bài toán về sản xuất,
trong đời sống xã hội và nghiên cứu khoa học. Chính vì thế những bài toán
cực trị cần có một chỗ đứng xứng đáng trong chương trình toán ở phổ thông.
Các phương pháp giải bài toán cực trị cũng cần phải được trình bày một cách
có hệ thống, cách giải đơn giản.
Trên phương diện phương pháp, có hai cách tiếp cận chính cho lời giải
của các bài toán cực trị, đó là phương pháp sử dụng BĐT và phương pháp

hàm số (giải tích). Với phương pháp BĐT, sơ đồ cơ bản là: để chứng minh M
là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên miền D (x có thể là một véc-tơ), ta sẽ
chứng minh:
i)
f(x)  M với mọi x thuộc D,
ii)
Tồn tại x0 thuộc D sao cho f(x0) = M.
Phương pháp hàm số sẽ khảo sát hàm f(x) trên D và dựa vào các định
lý của giải tích để tìm ra điểm cực trị và giá trị M.
Chú ý rằng, trong chương trình phổ thông khái niệm hàm nhiều biến
chưa được đề cập nên mặc dù chúng ta sẽ bắt gặp những bài toán nhiều biến
nhưng công cụ chủ yếu vẫn là công cụ đạo hàm của hàm số một biến bằng
cách đặt ẩn phụ hoặc dồn biến để giải.
Phương pháp BĐT thường khó làm và thể hiện sự rời rạc hầu như ít có
điểm chung nào, mỗi bài một vẻ nên học sinh thường khó khăn và sợ khi làm
các bài toán về cực trị. Trái với điều đó thì phương pháp giải tích cho ta một
thế mạnh là có đường hướng rõ ràng hơn cách tư duy đơn giản hơn. Với ý
tưởng đó để giúp học sinh tháo gỡ khi gặp bài toán cực trị và thấy được vai
trò của toán học trong đời sống, sản xuất và khoa học cũng là công cụ các
môn học khác để thấy yêu toán hơn và một phần trả lời được câu hỏi vì sao
đưa nội dung toán giải tích vào trường phổ thông. Với những ý tưởng ở trên
thôi thúc tôi làm luận văn về đề tài “Một số bài toán cực trị trong giải tích và
ứng dụng’’.

1

Thang Long University Library


Trong Luận văn này sẽ chủ yếu đề cập đến các phương pháp giải tích

để giải bài toán cực trị. Chúng ta sẽ bắt đầu bằng lý thuyết cực trị hàm một
biến cùng các ứng dụng của nó vào giải các bài toán cực trị của hàm nhiều
biến, chứng minh BĐT và giải phương trình, bất phương trình. Sau đó là một
số bài toán cực trị trong thực tiễn ở các lĩnh vực như Hình học, Vật lý, Kinh
tế,...
2. Mục đích nghiên cứu
- Hệ thống phương pháp và đưa ra các bài toán điển hình để giải các
bài toán cực trị bằng công cụ giải tích.
- Giới thiệu một số bài toán cực trị có ứng dụng trong các lĩnh vực như:
Hình học, Vật lý, Kinh tế.... Qua đó thấy được ý nghĩa: “Học đi đôi với
hành”, biết vận dụng các bài toán cực trị nói riêng và toán học nói chung vào
thực tiễn cuộc sống.

2


Chương 1
CỰC TRỊ HÀM MỘT BIẾN VÀ ỨNG DỤNG
1.1.

CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Do mục đích đề tài luận văn là hệ thống và giới thiệu hai loại ứng dụng
lớn của cực trị giải tích đối với hàm một biến đó là mảng lý thuyết và thực
tiễn. Vì thế trong mục này tác giả trình bày lý thuyết theo sách giáo khoa phổ
thông. Các tính chất chủ yếu là công nhận không chứng minh.
1.1.1. Cực trị hàm số (cực trị địa phương)
1.1.2. Giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số (Cực
trị toàn cục).
Tiếp theo là phần nêu một số ứng dụng cực trị hàm số một biến trong
toán học. Ở mục này tác giả dựa theo tài liệu [3], [6], [7].

1.2.

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CỰC TRỊ HÀM MỘT BIẾN

1.2.1. Ứng dụng của cực trị vào giải phương trình, bất phương trình
Khi giải phương trình, bất PT ta có một phương pháp đánh giá. Đối với
cách này thường sử dụng BĐT nên khá khó. Với một số bài toán dạng này ta
dụng cực trị rất hiệu quả. Sau đây là các ví dụ điển hình minh họa cho các bài
toán cụ thể.
Bài toán 1.1. Giải PT dạng f ( x )  k với k là GTLN hoặc GTNN của hàm
số f ( x) ta làm như sau:
Bước 1. Khảo sát hàm số y  f ( x) .
Bước 2. Tìm GTLN hoặc GTNN của hàm số đồng thời chứng tỏ k là
GTLN hoặc GTNN.
Bước 3. Tìm các giá trị của x mà tại đó f(x) đạt GTLN hoặc GTNN
bằng k. Khi đó giá trị x tại đó là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 1.1. Giải PT 4 x  2  4 4  x  2 .
Bài toán 1.2. Cho phương trình dạng f ( x)  m . Tìm m để PT có
nghiệm.
Xuất phát từ bài toán sự tương giao của hai đồ thị là số nghiệm của PT
hoành độ và ngược lại. Để biện luận số nghiệm của PT f ( x)  m thì chính là
việc biện luận số giao điểm của đồ thị hàm số y  f ( x) với đường thẳng y  m .
Ta giải các bài toán PT chứa tham số theo các định hướng sau:

3

Thang Long University Library


Biến đổi các PT tham số m về dạng : f ( x)  m với hàm số y  f ( x) có

GTLN - GTNN trên tập xác định D . Khi đó: PT f ( x)  m có nghiệm
trên D khi và chỉ khi m inf (x)  m  max f ( x) .Trong trường hợp hàm số y  f ( x)
D

D

không có GTLN hoặc GTNN trên tập D ta phải kết hợp với bảng biến thiên
hoặc đồ thị của nó để có kết luận thích hợp. Sau đây là ví dụ điển thể hiện
điều đó.
Ví dụ 1.2. Tìm m để PT sau có nghiệm :

x x  x  12  m( 2013  x  2012  x ) .

Ví dụ 1.3. (Đề thi Đại học khối A – 2008). Tìm tất cả các giá trị của tham số
thực m sao cho PT 2 x  4 2 x  2 6  x  24 6  x  m có đúng 2 nghiệm thực
phân biệt.
Qua các ví dụ trên ta thấy rõ vai trò của cực trị, vào các bài toán tương
đối phức tạp khó định hình bằng phép suy luận biến đổi đại số. Tiếp theo ta đi
tiếp cận với các bài phải sử dụng ẩn phụ để giải.
Ví dụ 1.4. Tìm tham số m để PT: cos2 x  mcos 2 x 1  tan x có nghiệm


với x  0;  .
 4
Ví dụ 1.5. Tìm m để PT sau có nghiệm thực:
(1.1)
91 1 x  (m  3)31 1 x  2m  1  0 .
Tiếp theo ta làm các bài về bất phương trình. Với các bất PT thì cũng
làm tương tự như phương trình.
Bài toán 1.3. Giải bất PT có dạng f  x   k với k là GTLN hoặc GTNN của

hàm số f ( x) trên miền xác định.
Chú ý: Nếu k là GTLN trên miền xác định thì tập nghiệm chính là miền xác
định. Còn nếu k là GTNN thì nghiệm của bất PT là nghiệm của phương trình
f  x   k . Đối các dấu bất PT còn lại làm tương tự.
2

2

8 324
.
5 25

Ví dụ 1.6. Giải phương trình: 24 3x  2  3 6  5x  9x2  24 

Bài toán 1.4. Tìm m để bất PT f  x   m có nghiệm với mọi giá trị thuộc tập
D cho trước.
Cách làm: Đầu tiên là ta tìm GTLN của hàm số f  x  là max f  x  . Vậy để bất
PT có nghiệm thì m  max f  x  . Đối các dấu bất PT còn lại làm tương tự.
Ví dụ 1.7. Tìm m để bất phương trình:
x 2x  x 2  x 2  mx.2 x  m2 x 2x  x 2 có ít nhất một nghiệm x > 1.

4


1.2.2. Ứng dụng vào tìm cực trị của hàm nhiều biến
Để giải bài toán nhiều biến số bằng xét công cụ phổ thông đó là làm
giảm dần các biến số, bằng cách tìm cực trị theo từng biến. Ý tưởng của
phương pháp này được minh hoạ bằng hình ảnh sau: để tìm người cao nhất
trong một nhóm người đang xếp thành m hàng, ta tìm người cao nhất trong
từng hàng rồi so sánh những người cao nhất đó để tìm ra người cao nhất

tuyệt đối.
Việc giải bài toán dạng này gồm các bước như sau:
Bước 1: Đưa vào biến mới t và xác định hàm f(t) để khảo sát.
Bước 2: Từ giả thiết, tìm miền giá trị của t .
Bước 3: Đưa việc tìm GTLN, GTNN của biểu thức cần xét về việc tìm
GTLN, GTNN của một hàm f(t) trên miền giá trị của t .
Bài toán 1.5. (Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2009) Cho x , y thỏa
3
mãn  x  y   4 xy  2 . Tìm GTNN của A  3  x 4  y 4  x 2 y 2   2  x 2  y 2   1 .
Bài toán 1.6. (Đề thi môn toán đại học khối B năm 2012) Cho các số thực x,
y, z thỏa mãn các điều kiện x  y  z  0 và x 2  y 2  z 2  1 . Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức P  x5  y 5  z 5 .
Bài toán 1.7. (Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm 2004)
x  y  x  4
Cho x, y, z >0 thỏa mãn 
. Tìm GTNN, GTLN của biểu
xyz

2

4
4
4
thức P  x  y  z .
Bài toán 1.8. (Đề thi chọn học sing giỏi quốc gia THPT bảng B, 1999)
Xét PT ax3  x 2  bx  1  0 với a, b là các số thực, a  0 , a  b sao cho các
5a 2  3ab  2
nghiệm đều là số thực dương. Tìm GTNN của P 
.
a2 b  a 

Bài toán 1.9. (Đề thi Đại học khối B, 2008) Cho x, y là các số thực thoả mãn
điều kiện x 2  y 2  1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2( x 2  6 xy )
P
.
1  2 xy  2 y 2
Có những bài ta có thể xét hàm theo một biến nào đó còn các biến còn
lại coi như là tham số. Nhưng các giá trị cực trị tại biểu thức chứa tham số lại
tìm được. Đây là ý tưởng chọn người cao nhất từ những người cao nhất của
từng hàng. Sau đây là một số ví dụ.
Bài toán 1.10. (Đề thi học sinh giỏi bảng A, 2001) Tìm GTNN, GTLN của
hàm số: f  x, y, z   xy  yz  zx  2 xyz biết x, y , z  0, x  y  z  1 .

5

Thang Long University Library


Bài toán 1.11. (Đề thi chọn đội tuyển Quốc gia, 2001) Xét các số thực dương
a, b, c thỏa mãn 21ab + 2bc + 8ac  12 . Tìm GTNN của biểu thức:
1 2 3
P  a , b, c     .
a b c
1.2.3. Ứng dụng cực trị vào chứng minh BĐT
Qua các bài toán cực trị của hàm một biến và cực trị của hàm nhiều
biến ta nhận thấy rằng, từ kết luận f  x   m, f  x   M thì ta luôn thu được một
BĐT của hàm một biến. Cũng tư tưởng trên với hàm nhiều biến ta thu được
các BĐT của hàm nhiều biến. Từ cách suy luận ở trên ta nhận thấy rằng, BĐT
có thể được tạo ra khi xét cực trị của hàm số và với ý nghĩ đó thì ta đi chứng

minh BĐT bằng cách tìm cực trị của hàm số. Với những lý luận ở trên ta đi
chứng minh một số bài toán về BĐT theo hai phần cơ bản là BĐT một biến và
BĐT nhiều biến.
a) Dạng BĐT một biến số
Tiếp nối tư tưởng của phần tìm cực trị. Đó là ta phải đi khảo sát một
hàm số tức là ta phải đi tìm hàm số. Hàm số đó có thể là biến trực tiếp hoặc
biến gián tiếp đại diện cho biểu thức chứa biến ta gọi là hàm đặc trưng. Vậy
để chứng minh một BĐT chứa một biến số ta làm như sau.
Bước 1: Đưa BĐT về dạng f  x   m hoặc f  x   M .
Bước 2: Khảo sát hàm f  x  và tìm GTLN hoặc GTNN của nó.
Bước 3: Kết luận.
Bài toán 1.12. (Thi học sinh giỏi Quốc gia, 1992) Chứng minh rằng với mọi
số tự nhiên n > 1 ta có n 1 

n

n
n n
n
 1
2.
n
n

Đối với ví dụ trên ta rất rễ dàng tìm ra hàm đặc trưng. Nhưng nhiều bài

a  b
 a  c . Vậy để có a  c ta đi
b  c

ta phải nhờ tính chất làm trội sau ta có 

a  b
. Ý tưởng này sẽ được áp dụng nhiều để tìm ra hàm đặc
b  c

chứng minh 

trưng của các ví dụ tiếp theo.

Bài toán 1.13. Chứng minh rằng nếu 0  x 



thì 2sinx  2tanx  2 x1 .

2
Bài toán 1.14. (Olympic 30-4-1999) Chứng minh rằng:
3
 sinx 
 

  cos x, x   0;  .
 x 
 2
b) BĐT nhiều biến số.

6

Để chứng minh được một BĐT nhiều biến ta cũng làm tương tự như
tìm cực trị của hàm nhiều biến tức là ta đưa vào một biến t mới và hàm số
tương ứng f  t  sau đó chứng minh BĐT với hàm f  t  . Điếu đáng chú ý là
nếu các BĐT có tính chất đối xứng thì các biến có tính chất tương tự nhau.
Lợi dụng điều đó ta tìm ra hàm theo một biến t và hàm f  t  gọi là đặc trưng.
Tiếp theo là một số bài toán minh họa.
Bài toán 1.15. Chứng minh rằng
x 1
a)
 2, x  R .
2
x  x 1
b) x 2  x  1  y 2  y  1  z 2  z  1  3, x, y, z
thỏa mãn: x  y  z  3 .
Bài toán 1.16. (Đề thi đại học Quốc gia Hà Nội, 2000) Cho a + b + c = 0.
Chứng minh rằng 8a  8b  8c  2a  2b  2c .
Ở hai ví dụ trên do tính tương tự của các biến và tính độc lập của chúng
mà ta chọn được ra hàm đặc trưng. Nhưng đối với nhiều bài toán không có
tính độc lập của các biến ta có thể chuyển về một cụm biến rồi đặt ẩn phụ
hoặc chọn một biến đại diện ta chuyển về biến đó để được hàm đặc trưng.
Bài toán 1.17. Cho các số x, y , z   0;1 thỏa mãn xyz  1  x 1  y 1  z  .
3
Chứng minh rằng x 2  y 2  z 2  .
4
Bài toán 1.18. (Đề thi tuyển sinh Đại học Vinh, 2001) Chứng minh rằng nếu
a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì
3a 2  3b 2  3c 2  4abc  13 .
Trong một số bài toán, việc biến đổi, ước lượng để đưa bài toán từ
nhiều biến trở về một biến rồi sử dụng đạo hàm không hề đơn giản chút nào.
Trong những tình huống như thế, có lẽ ta phải làm quen với việc coi một

trong các biến của BĐT làm biến số của một hàm lựa chọn và những biến số
khác là tham số, rồi sử dụng đạo hàm. Dưới đây ta xem xét một số bài toán để
làm sáng rõ vấn đề.
Bài toán 1.19. Cho ba số thực a, b, c  1 và thỏa mãn
Chứng minh rằng
1.3.

8
1
1


 2.
ab  1 bc  1 ca  1

1
1
1


 1.
1 a 1 b 1 c

BÀI TẬP CÙNG DẠNG

7

Thang Long University Library

Chương 2
MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG THỰC TIỄN
Cơ sở lý luận
Nguồn gốc của toán học cũng như các ngành khoa học đều là các vấn
đề thực tiễn mà loài người cần tìm hiểu để cải thiện cuộc sống. Vì thế mà các
bài toán gần gũi với cuộc sống giúp con người thấy vẻ đẹp của toán học trong
đời sống xã hội. Không những thế các kiến thức toán học có thể cải thiện cách
giải quyết các vấn đề thường ngày trong cuộc sống. Nhất là thời buổi đất nước
ta đang chuyển mình trong nền kinh tế thị trường thì việc tối ưu trong công
việc và cuộc sống đòi hỏi cao hơn. Chính vì thế mà các bài toán tìm cực trị
ngày càng nhiều và việc giải quyết một cách dễ dàng, nhanh một cách tự
nhiên.
Bài toán cực trị là một trong những dạng toán gần gũi với cuộc sống và
rất quan trọng của Giải tích. Theo tác giả Trần Kiều: "Tối ưu hóa các hoạt
động vừa là nguyện vọng, vừa là tiêu chuẩn đạo đức của mỗi người lao động
chân chính, song đồng thời cũng là một hệ thống tri thức mà người lao động
cần được trang bị ở mức độ thích hợp và có thể được nhằm vươn tới cực trị
trong kết quả, nhằm thích ứng kịp thời với tốc độ tiến bộ như vũ bão của khoa
học, kỹ thuật và sản xuất hiện đại. Vì vậy, trong dạy học nói chung và dạy học
Toán nói riêng, cần phải tập dượt và rèn luyện thói quen và ý thức tối ưu
trong suy nghĩ cũng như trong việc làm. Nói cách khác, làm cho mọi người có
ý thức luôn tự tìm cách thức để đạt tới "cực trị" trong học tập, lao động sản
xuất và đời sống. Chẳng hạn tìm cách để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất, giá
thành thấp nhất, chất lượng sản phẩm tốt nhất, thời gian nhanh nhất, lợi nhuận
nhiều nhất ... "[5].
Sau đây là các bài toán cơ bản thể hiện vai trò của toán học trong thực tiễn
cuộc sống và giúp các lĩnh vực ngoài toán học hoàn thiện hơn.
2.1.

CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC

Hình học là môn học xuất phát từ thực tiễn và gần gũi với cuộc sống
lao động, sản xuất đòi hỏi sự tối ưu hóa cao nhất là khi sở hữu đất đai, nhà
xưởng, đòi hỏi chi phí thấp, lợi nhuận lớn thì việc tối ưu trong xây dựng cở
sản xuất lại được lên hàng đầu vì thế bài toán tối ưu trong hình học đặt lên
hàng đầu vì lẽ đó tôi xin giới thiệu một số bài toán đơn giản sau. Trong mục
này tác giả dựa vào tài liệu [1], [4], [7], [8].
2.1.1. Các công thức cơ bản về hình học được sử dụng.
2.1.2. Một số bài toán trong hình học phẳng
Bài toán 2.1. Cho hình chữ nhật có chu vi là p. Tìm các cạnh hình chữ nhật
có diện tích lớn nhất.
8


Lời bình: Với bài toán trên về lời giải rất đơn giản nhưng khi đưa vào thực
tiễn thì thể hiện lợi ích to lớn. Đó là ta gắn bài toán trong xây dựng như xây
một cây xăng chẳng hạn, hoặc xây một trạm biến thế của nghành điện, xây
một trạm phát sóng truyền hình, sóng di động, chuồng trại trong chăn nuôi,
reo mạ mà phải dung giấy bóng bao quanh… Tất cả các công việc trên người
ta đều xây dựng theo hình vuông vì cần có diện tích sử dụng là lớn nhất tiết
kiệm chi phí thuê mặt bằng.
Bài toán 2.2. Người ta muốn rào quanh một khu đất với một số vật liệu cho
trước là a mét thẳng hàng rào. Ở đó người ta tận dụng một bờ giậu có sẵn để
làm một cạnh của hàng rào. Vậy làm thế nào để rào khu đất ấy theo hình chữ
nhật sao cho có diện tích lớn nhất?
Lời giải:

Hình 2.1.

Lời bình: Qua hai ví dụ trên ta đặt ra câu hỏi vậy với hình tứ giác lồi bất kỳ
có chu vi không đổi thì diện tích lớn nhất khi nào và dựa vào đâu để xác định.

Để trả lời câu hỏi đó ta vào ví dụ tiếp theo.
Bài toán 2.3. Một người nông dân có bốn đoạn hàng rào thẳng với chiều dài
là 1m, 2m, 3m, 4m. Hãy xác định diện tích đất lớn nhất mà được định hình
bằng xếp bốn đoạn hàng rào đó.
Lời giải:
A

A

3
d
D

4

x

D

C

B

2

E

B

1

C

Hình 2.3.

Hình 2.2.

9

Thang Long University Library


Dựa bài toán trên ta có thể tổng quát như sau.
Hãy xếp bốn đoạn thẳng có độ dài a, b, c, d với 0  a  b  c  d thành
một hình có diện tích nhất ta làm như sau :
Bước 1. Kiểm tra điều kiện bốn thanh trên xem có thể tạo hình tứ giác
không d  a  b  c ?
Bước 2. Xếp các đoạn thẳng đó thành một tứ giác lồi và tính diện tích
tứ giác theo một đường chéo nào đó như trong bài toán bên trên.
Bước 3. Khảo sát hàm số diện tích theo biến là đường chéo rồi tìm
GTLN của diện tích từ đó ta được độ dài đường chéo lúc đó ta sẽ được cách
xếp.
Bài toán 2.4. Trong các tam giác nội tiếp một đường tròn cho trước, hãy tìm
tam giác có diện tích lớn nhất.
Lời giải:
A

O

B

H

C

Hình 2.4.

Bài toán 2.5. Từ một khúc gỗ tròn hình trụ, cần xẻ thành một chiếc xà có thiết
diện ngang là hình vuông và 4 miếng phụ có thiết diện là hình chữ nhật như
Hình 2.5. Hãy xác định kích thước của miếng phụ để sử dụng khối gỗ một
cách tốt nhất (tức là diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất).
Lời giải:

Hình 2.5.

Bài toán 2.6. Cần phải làm cái cửa sổ mà, phía trên là hình bán nguyệt, phía
dưới là hình chữ nhật, có chu vi là a mét (a chính là chu vi hình bán nguyệt
cộng với chu vi hình chữ nhật trừ đi độ dài cạnh hình chữ nhật là dây cung
của hình bán nguyệt). Hãy xác định các kích thước của nó để diện tích cửa sổ
là lớn nhất?
10


Lời giải:
S1
S2
2x
Hình 2.6.

Bài toán 2.7. Người ta muốn làm một cánh diều hình quạt sao cho với chu vi

cho trước thì diện tích của hình quạt là cực đại. Dạng của quạt này phải như
thế nào?
Lời giải:

Hình 2.7.

Bài toán 2.8. Một màn ảnh chữ nhật cao 1,4m được đặt ở độ cao 1,8m so với
tầm mắt của người nhìn (tính đầu mép dưới của màn ảnh). Để nhìn rõ nhất
phải xác định vị trí đứng sao cho góc nhìn là lớn nhất. Hãy xác định vị trí đó?
Lời giải:

Hình 2.8.

Bài toán 2.9. Hãy xác định độ dài tối thiểu của cánh tay nâng cần cẩu bánh
hơi có thể dùng được để xây dựng tòa nhà cao tầng mái bằng có chiều cao h
và chiều rộng 2  ? (Biết rằng cần cẩu thỏa mãn yêu cầu sau đây: Có thể xê
xích chiếc cẩu cũng như góc nghiêng của cánh tay nâng để sao cho điểm cuối
11

Thang Long University Library


của cánh tay nâng chiếu xuống theo phương thẳng đứng thì trùng với trung
điểm của bề rộng Hình 2.9. Ta giả sử ngôi nhà xây dựng trên miếng đất rộng,
cần cẩu có thể di chuyển thoải mái).

Hình 2.9.

Lời giải:

2.1.3. Một số bài toán trong hình không gian
Bài toán 2.10. Chi phí thấp nhất

Khi xây nhà, chủ nhà cần làm một hồ nước bằng gạch và xi măng có dạng
hình hộp đứng đáy là hình chữ nhật có chiều dài d gấp hai lần chiều rộng r và

 

không nắp, có chiều cao là h và có thể tích
sao cho chi phí xây dựng thấp nhất.



4 3
m . Hãy tính kích thước của hồ nước
3

Lời giải:

h
2x
Hình 2.10.

x

Bài toán 2.11. Gia công vật liệu
Một bác thợ hàn muốn làm mội bồn tắm từ vật liệu là một tấm nhôm
hình chữ nhật vói chiều rộng 1m chiều dài 2m. Bác thợ cắt bốn hình vuông
cạnh x từ bốn góc củ hình chữ nhật, sau đó gấp và hàn như Hình 2.11. Hãy
xác định x để bồn tắm đựng nhiều nước nhất.

12


Hình 2.11.

Lời giải:
Bài toán 2.12. Cần phải thiết kế các thùng dạng hình trụ có nắp đậy để đựng
các sản phẩm đã được chế biến, có dung tích V(cm3). Hãy xác định các kích
thước của nó để tiết kiệm vật liệu nhất?

h
h
f'(x)

2x
Hình 2.12.

x

Lời bình: Qua hai ví dụ ở trên ta tìm được0 kích thước hợp lý để tiết kiệm
nguyên liệu nhất đối với hình hộp và hình trụ.
0 Vậy câu hỏi đặt ra là nếu cùng
thể tích thì hình nào tiết kiệm hơn. Sau đay là ví dụ trả lời câu hỏi đó.
Bài toán 2.13. Thiết kế hộp đựng bột cho trẻ0
Một nhà sản xuất bột trẻ em cần thiết kế bao bì mới cho một loại sản phẩm
mới của nhà máy với thể tích là 1dm3 . Theo thông thường thì bao bì là hình
hộp chữ nhật hoặc hình trụ đứng. Như vậy ta cần tính xem hai hình trên thì
hình nào sẽ tốn ít vật liệu hơn.
_

Lời giải:
+
Phương án 1 : Làm bao bì theo hình hộp chữ nhật có đáy hình vuông cạnh x,
chiều cao h.
2,4
+
f(x)
0
13

x

Thang Long University Library


x

h

Hình 2.13.

Phương án 2: Làm theo dạng hình trụ bán kính là x, chiều cao là h.

Hình 2.14.

Theo tính toán trên ở cả hai hộp cùng thể tích thì hình trụ có diện tích toàn
phần nhỏ hơn hình hộp. Vậy để kinh tế thì ta nên chọn hình trụ. Trong thực tế
đối với sữa bột thì ta thường thấy hình trụ còn sữa tươi là hình hộp là do sữa
tươi thường sử dụng bằng giấy và tính năng vận chuyển xếp được nhiều hơn.
Bài toán 2.14. Trong lĩnh vực thuỷ lợi, cần phải xây dựng nhiều mương dẫn

nước dạng "Thuỷ động học" (Ký hiệu diện tích tiết diện ngang của mương là
S,  là độ dài đường biên giới hạn của tiết diện này,  - đặc trưng cho khả năng
thấm nước của mương; mương đựơc gọi là có dạng thuỷ động học nếu với S
xác định,  là nhỏ nhất). Cần xác định các kích thước của mương dẫn nước
như thế nào để có dạng thuỷ động học? (nếu mương dẫn nước có tiết diện
ngang là hình chữ nhật).
Lời giải:

Hình 2.15.

Bài toán 2.15. Với một đĩa tròn bằng thép trắng phải làm một cái phễu bằng
cách cắt đi một hình quạt của đĩa này và gấp phần còn lại thành hình nón
Hình 2.16. Cung tròn của hình quạt bị cắt đi phải bằng bao nhiêu độ để hình
nón có thể tích cực đại?

14


Hình 2.16.

Lời giải:
 r
h

R

Hình 2.17.

Bài toán 2.16. Cần phải đặt một ngọn điện ở phía trên và chính giữa một cái
bàn hình tròn có bán kính a. Hỏi phải treo ở độ cao bao nhiêu để mép bàn

được nhiều ánh sáng nhất. Biết rằng cường độ sáng C được biểu thị bởi
sin 
công thức C  k 2 (  là góc nghiêng giữa tia sáng và mép bàn, k - hằng
r
số tỷ lệ chỉ phụ thuộc vào nguồn sáng, r là chiều dài của đỉnh vị trí đặt ngọn
đèn xuống mép bàn).
Lời giải:

Hình 2.18.

2.2. MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG VẬT LÝ.
Vai trò toán học với vật lý
Vật lý và toán học là hai bộ môn khoa học tưởng trừng như nó riêng rẽ
nhưng thực tế lại không phải như vậy. Từ những buổi sơ khai của hai bộ môn
này chúng đã đi đôi với nhau và thường nhà vật lý gắn với nhà toán học và
ngược lại. Nhưng do sự phát triển của hai bộ môn quá lớn trên nhiều lý thuyết
mà loài người đã phân chia chúng thành hai bộ môn khoa học khác nhau
nhưng những gì mà chúng bổ xung cho nhau không thể tách rời để thấy rõ
15

Thang Long University Library


hơn vai trò lớn của toán học vào vật lý. Tiếp theo là một ứng dụng của toán
học đối với vật lý đó là ''Bài toán tìm cực trị của giải tích ứng dụng trong vật
lý''. Trong mục này tác giả dựa vào tài liệu [1], [4], [7], [8].
Công thức tính quãng đường
Biết S là quãng đường đi được, v vận tốc trung bình, t là thời gian đi thì ta có
S=v.t .
2.2.1. Các bài toán trong cơ học

Bài toán 2.17. Phương án di chuyển nhanh nhất của nhà địa chất
Một nhà địa chất đang ở tại điểm A cách trạm nghiên cứu B 70km trên
sa mạc. Ông có thể di chuyển bằng mô-tô trên đất xa mạc với vận tốc 30km/h.
Song song với AB và cách AB một khoảng cách 10km có một con đường (d).
Nếu chạy trên con đường (d) thì nhà địa chất có thể chạy mô-tô với vận tốc
50km/h. Bài toán này quan tâm đến tìm phương án di chuyển từ A đến B với
thời gian ít nhất Hình 2.19.
B

A

C

x

Y

X

Hình 2.19.

D

Bài toán 2.18. Phối hợp chèo thuyền và chạy bộ đến mục tiêu nhanh nhất.
Một người lái chiếc thuyền của anh ta từ một điểm A ở bờ sông (biết
chiều rộng của con sông này là 1 km) và muốn đến điểm B ở vùng hạ lưu của
bờ sông bên kia (cách điểm C theo phương chèo ngang qua bên kia sông là 8
km) càng nhanh càng tốt. Xem Hình 2.20 để hiểu rõ hơn vấn đề của bài toán
này. Anh ta có thể chèo thuyền ngang qua bên kia sông để đến điểm C rồi sau
đó chạy bộ trên bờ để đến được B, hay anh ta có thể chèo thuyền trực tiếp qua

sông để đến điểm B, hay anh ta có thể chèo đến một điểm D bất kỳ nào đó
nằm giữa C và B rồi chạy bộ đến B. Nếu anh ta có thể chèo thuyền với tốc độ
6 km/h và chạy bộ với tốc độ 8 km/h thì anh ta nên chọn cách nào để đến
được điểm B sớm nhất có thể? Biết rằng vận tốc dòng chảy của nước là không
đáng kể so với tốc độ chèo thuyền của anh ta.

16


A

1km
x
B

8km

D

C

Hình 2.20.

Bài toán 2.19. Chọn vị trí đặt trạm trung chuyển hàng ngắn nhất
Từ cảng A dọc theo đường sắt AB cần phải xác định một trạm trung chuyển hàng
hóa C và xây dựng một con đường từ C đến D Hình 2.21. Biết rằng vận tốc trên
đường sắt là v1 và trên đường bộ là v2 (v1 < v2). Hãy xác định phương án chọn
địa điểm C để thời gian vận chuyển hàng từ cảng A đến cảng D là ngắn nhất?
Lời giải:

Hình 2.21.

Lưu lượng xe ô tô vào đường hầm
Lưu lượng xe ô tô (là số lượng xe ô tô vào đường hầm với cùng vận tốc)
290,4v
cho bởi công thức : f  v  
(xe/giây). Trong đó, v (km/h)
2
0,36v  13,2v  264
là vận tốc trung bình của các xe khi vào đường hầm. Tính vận tốc trung bình
của các xe khi vào đường hầm sao cho lưu lượng xe là lớn nhất và tính giá trị
lớn nhất đó.
Bài toán 2.20. Chi phí nguyên liệu trên đường là nhỏ nhất
Chi phí về nhiên liệu của một tàu được chia làm hai phần. Trong đó
phần thứ nhất không phụ thuộc vào vận tốc và bằng 480 ngàn đồng/giờ. Phần
thứ hai tỷ lệ thuận với lập phương của vận tốc, khi vận tốc v = 10km/h thì
phần thứ hai bằng 30 ngàn đồng/giờ. Hãy xác định vận tốc của tàu để tổng chi
phí nguyên liệu trên 1 km đường là nhỏ nhất?
2.2.2. Các bài toán trong quang học
Bài toán về sự khôn ngoan của ánh sáng - Nguyên lý Fermat

17

Thang Long University Library


Vào khoảng năm 1660, nhà toán học người Pháp P. Fermat đã đưa ra
một nguyên lý cơ bản của quang hình học mà hiện nay gọi là nguyên lý
Fermat. Theo nguyên lý này, thì trong tất cả các đường nối hai điểm với nhau,
ánh sáng sẽ đi theo đường mất ít thời gian nhất. Từ nguyên lý này có thể rút ra

được tất cả các định luật cơ bản khác của quang hình học. Thực vậy, trong
một môi trường đồng tính ánh sáng cần phải truyền đi theo đường thẳng, bởi
vì đường thẳng là khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm, do đó thời gian ánh
sáng truyền theo đường thẳng là nhỏ nhất. Nếu ánh sáng đến mặt phân cách
giữa hai môi trường (có chiết suất khác nhau, hay có vận tốc truyền ánh sáng
khác nhau) thì chúng tuân theo các định luật phản xạ và khúc xạ ánh sáng, mà
ta có thể suy ra trực tiếp từ nguyên lý Fermat.
Một cách phát biểu chặt chẽ hơn, nguyên lý Fermat thực tế là trường
hợp riêng của một nguyên lý tổng quát hơn được sử dụng rộng rãi hơn trong
vật lý, lý thuyết hiện đại, có tên là nguyên lý tác dụng tối thiểu. Theo nguyên
lý này, ánh sáng truyền từ một điểm này đến một điểm khác theo đường đi có
thời gian truyền đạt cực trị, nghĩa là cực tiểu, cực đại hay bằng nhau so với tất
cả các đường khác.
Dưới đây chúng ta sẽ xem xét một số ví dụ cụ thể để minh họa cho
nguyên lý Fermat
i) Trường hợp trong môi trường phản xạ.
Bài toán 2.21. Sự phản xạ ánh sáng từ một gương phẳng.
Xét sự phản xạ ánh sáng từ một gương phẳng Hình 2.22 : màn D chắn không
cho ánh sáng truyền trực tiếp từ A đến B). Hãy rút ra định luật phản xạ ánh
sáng từ nguyên lý cho rằng ánh sáng phản xạ từ gương phẳng truyền theo
khoảng thời gian ngắn nhất.

Hình 2.22.

Hình 2.23.

ii) Trường hợp trong môi trường khúc xạ ánh sáng .
Bài toán 2.22. Chứng minh rằng thời gian truyền ánh sáng giữa hai mặt phân
cách giữa hai môi trường. Từ điểm A (nằm trong môi trường có vận tốc
truyền ánh sáng là v1) đến điểm B (nằm trong môi trường có vận tốc truyền

ánh sáng là v2) theo quỹ đạo ACB như Hình 2.24 trong khoảng thời gian ngắn
nhất. Từ đó hãy rút ra định luật khúc xạ.

18


α1

α1

α2

α2
Hình 2.25.

Hình 2.24.

Lời giải:
2.3. MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG KINH TẾ.
Mở đầu
Trong kinh tế thì ai cũng biết toán học có vai trò rất quan trọng. Toán
học giúp từ các bà nội chợ đến cửa hàng bán rau cần phải biết các phép tính.
Nhưng toán học không chỉ có thế, mà vai trò của nó ngày càng lớn trong một
nền kinh tế thị trường, với sự cạnh tranh quyết liệt như hiện nay thì việc tối
ưu trong sản xuất kinh doanh nói riêng kinh tế nói chung được đặt nên hàng
đầu. Để thể hiện một phần về vai trò toán học với kinh tế. Sau đây tác giả
giới thiệu một số bài toán trong kinh tế ứng dụng cực trị giải tích để phân tích
và giải. Trong mục này tác giả dựa vào tài liệu [2], [4], [7].
2.3.1. Các bài toán tối đa hóa lợi nhuận
Lợi nhuận là phần tài sản mà nhà đầu tư nhận thêm nhờ đầu tư sau khi đã trừ

đi các chi phí liên quan đến đầu tư đó.
Nếu gọi P là đơn giá, hàm sản lượng Q = Q(P), hàm doanh thu R = P.Q, hàm
chi phí C = C(Q), hàm lợi nhuận là N = R – C. Theo công thức trên thì hàm
lợi nhuận N là một hàm biến Q. Vậy để tối đa hóa lợi nhuận ta đi tìm cực trị
của hàm số N.
Bài toán 2.23. Tối đa hóa lợi nhuận của doanh nghiệp không độc quyền
Ví dụ 2.1. Cho hàm cầu Q  300  P (nhu cầu của thị trường về sản phẩm) và
hàm chi phí C  Q3  19Q 2  333Q  10 . Tìm Q để lợi nhuận lớn nhất.
Bài toán 2.24. Tối đa hóa lợi nhuận của doanh nghiệp độc quyền
Giả sử một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại hàng hóa. Biết
hàm cầu là Q D  D  P  , Q = Q(P), và hàm tổng chi phí là C  C  Q  . Trong đó
QD : là lượng cầu về hàng hóa của doanh nghiệp;
Q : là sản lượng sản xuất trong một thời gian.
19

Thang Long University Library


Hãy xác định mức sản lượng mà doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực
đại.
Phương pháp giải: Biết Q là mức sản lượng sản mà doanh nghiệp cần
sản xuất để lợi nhuận cực đại. Để doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng thì Q  QD
Ví dụ 2.2. Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy các
loại. Hiện nay, doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh xe
honda Future Fi với chi phí mua vào một chiếc là 27 (triệu đồng) và bán với giá
31 (triệu đồng) mỗi chiếc. Với giá bán này thì số lượng xe mà khách hàng sẽ
mua trong một năm là 600 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu
thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán và ước tính
rằng nếu giảm 1 (triệu đồng) mỗi chiếc thì số lượng xe bán ra trong một năm sẽ
tăng thêm 200 chiếc. Vậy doanh nghiệp phải định giá bán mới là bao nhiêu để

sau khi đã thực hiện giảm giá, lợi nhuận thu được sẽ là cao nhất?
Ví dụ 2.3. Một cửa hàng bán lẻ bán 2500 cái ti vi mỗi năm. Chi phí gởi trong
kho là 10$ một cái mỗi năm. Để đặt hàng chi phí cố định là 20$ cộng thêm 9$
mỗi cái. Cửa hàng nên đặt hàng bao nhiêu lần trong mỗi năm và mỗi lần bao
nhiêu cái để chi phí hàng tồn kho là nhỏ nhất?
Theo hàm lợi nhuận thì chi phí càng nhỏ thì lợi nhuận càng lớn mà cửa
hàng trên lợi nhuận bán hàng nên lợi nhuận chủ yếu phụ thuộc vào chi phí.
2.3.2. Bài toán tối đa hóa doanh thu
Doanh thu của doanh nghiệp là toàn bộ số tiền sẽ thu được do tiêu thụ sản
phẩm, cung cấp dịch vụ, hoạt động tài chính và các hoạt động khác của doanh
nghiệp. Trong kinh tế học, doanh thu thường được xác định bằng giá bán
nhân với sản lượng.
Nếu gọi P là đơn giá, hàm sản lượng Q = Q(P), hàm doanh thu R = P.Q. Theo
công thức trên thì hàm doanh thu là một hàm biến Q hoặc P. Vậy để tối đa
hóa doanh thu ta đi tìm cực trị của hàm số R.
Ví dụ 2.4. Giá vé tối đa của một trận bóng chày
Một đội bóng chày chơi trong một sân vận động có sức chứa 55000
khán giả. Với giá vé 10 đô la, trung bình bán được cho khán giả là 27000 vé.
Khi giá vé giảm xuống còn 8 đô la, số khán giả mua tăng lên 33000 vé.
a.Tìm hàm số cầu, giả định nó là một đường thẳng.
b.Giá vé là bao nhiêu để đạt được tối đa hóa doanh thu?
Ví dụ 2.5. Nên giảm giá bán đến mức nào.
Một cửa hàng đã và đang bán được trung bình 200 đầu máy đĩa CD mỗi
tuần với giá 350 đô-la một máy. Một cuộc khảo sát trong thị trường đã chỉ ra
rằng nếu giảm giá 10 đô-la mỗi đầu máy cho người mua thì số lượng đầu máy
bán được sẽ tăng lên 20 chiếc mỗi tuần. Hãy tìm hàm số nhu cầu và hàm số

20

doanh thu trong trường hợp này. Hỏi mức giảm giá mà cửa hàng nên thực
hiện để mức doanh thu của họ vẫn đạt giá trị cao nhất?
Qua các ví vụ trên ta nhận thấy toán học đóng một vai trò rất quan
trọng có thể nói không thể thiếu được trong ứng dụng thực tiễn vai trò này có
xu hướng tăng lên theo năm tháng. Toán học đã giúp cho nhiều lĩnh vực tiến
triển rất nhanh. Toán học có ảnh hưởng rất lớn đến truyền đạt ý niệm và đề
xuất mới không những giữa các nhà nghiên cứu với nhau, mà còn giữa các
nhà nghiên cứu với dân chúng, giữa các nhà làm kinh tế với các nhà làm
chính sách. Vì thế mỗi người trong thế giới này dù muốn hay không cũng cần
phải đạt đến một trình độ toán nhất định nhất là (toán giải tích) nào đó để
tham gia, theo dõi, vào sự phát triển của xã hội ở mức cơ bản nhất.
2.4.

BÀI TẬP CÙNG DẠNG

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2
Chương này là chương chủ đạo của luận văn nội dung chủ yếu khai
thác và cung cấp các bài toán cực trị mang tính thực tiễn. Giúp người đọc thấy
được vai trò quan trọng việc đưa môn giải tích vào chương trình toán học phổ
thông và việc khai thác tính thực tiễn rất quan trọng đối với mỗi người khi
học toán. Nói chung ở luận văn này tác giả mới chỉ đề cập đến một số bài toán
cơ bản về cực trị giải tích, để mọi người thấy được vai trò quan trọng của toán
học. Còn về ứng dụng thì không những có rất nhiều bài toán khác mà nó còn
ở rất nhiều lĩnh vực chứ không chỉ vài lĩnh vực mà tác giả đã nêu.

21

Thang Long University Library

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1. Kết luận
Trong luận văn này nội dung đã thể hiện được những vấn đề sau:
Chương 1 đã trình bày về lý thuyết cực trị của hàm số một biến theo
chương trình phổ thông, làm rõ cực trị địa phương và cực trị toàn cục. Đưa ra
được quy tắc tìm cực trị. Ngoài ra còn đưa ra được một số ứng dụng cơ bản
của bài toán tìm cực trị trong nội bộ môn toán như giải PT, bất PT, tìm cực trị
của hàm nhiều biến, chứng minh BĐT.
Chương 2 đã khai thác được một số bài toán cực trị giải tích trong thực
tiễn ở các lĩnh vực Hình học, Vật lý, Kinh tế. Thể hiện được vai trò và ý nghĩa
cũng như sự cần thiết của cực trị trong thực tiễn.
Tóm lại tổng thể luận văn nhằm thể hiện được sự quan trọng của việc
hiểu biết về cực trị trong giải tích sau đó áp dụng vào giải hai loại ứng dụng
cơ bản đó là ứng dụng về mặt lý thuyết và ứng dụng trong thực tiễn gắn với
đời sống xã hội.
2. Kiến nghị
Mở rộng các bài toán cực trị bằng phương pháp khác. Giới thiệu nhiều
bài toán có ứng dụng thực tiễn theo chương trình phổ thông thuộc nhiều lĩnh
vực khác nhau.

22