TOAN 12 1718 CD2 MU LOG TU LUAN TN

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.08 MB, 118 trang )

w

w

w

.fa

ce

bo

ok

.c

om
/g

ro

up
s/

Ta
iL
ie

uO

nT

hi

D

ai
H

oc

01

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

GV. TR
TRN QU
QUC NGHA
NGHA (Su
(Su t
tm & biờn t
tp)

Ch

2

1

HM S LU THA
HM S M - HM S LễGARIT

oc

01

Vn 1. LY THA VI S M HU T - S M THC

ai
H

1. Ly tha vi s m nguyờn
Cho n l mt s nguyờn dng. Vi a l s thc tựy ý, ly tha bc n ca a l tớch ca n
tha s a.

nT

1
. Chỳ ý: 00 v 0n khụng cú ngha.
an

uO

Quy c: Vi a 0 thỡ: a 0 = 1; a n =

hi

n thửứa soỏ

D

a n = a.a. .a vi a : c s; n : s m

Vi n l, b thỡ phng trỡnh cú duy nht mt cn bc n ca b , kớ hiu:
Vi n chn:
b < 0 : Khụng tn ti cn bc n ca b .
b = 0 : Cú mt cn bc n ca b l s 0 .

up
s/

Ta
iL
ie

2. Cn bc n
a. Khỏi nim:
Cho s thc b v s nguyờn dng n 2 . S a c gi l cn bc n ca s b nu
an = b

om
/g

ro

b > 0 : Cú hai cn trỏi du l
b. Tớnh cht ca cn bc n:

n a . n b = n ab

( )
n

a

m

n

b v

= n am

b.

b.

n m

n

a = m. n a

a p . n a q = n a p+ q

ok

.c

a khi n leỷ
n an =
a khi n chaỹn

n

n

n

a na
=
n
b
b

n

ap

n

q

a

= n a p q

bo

3. Ly tha vi s hu t

ce

Cho s thc a dng v s hu t r =

m
trong ú m , n * .
n
m
n

w

w

w

.fa

Ly tha ca a vi s m r l a xỏc nh bi: a = a = n a m
r

r

4. Ly tha vi s vụ t

Cho a l mt s dng, l mt s vụ t. Ta tha nhn rng luụn cú mt dóy s hu t ( rn )

( ) cú gii hn khụng ph thuc vo vic chn dóy

cú gi hn l v dóy s tng ng rn
s ( rn ) .

( )

Ta gi gii hn ca dóy s rn l ly tha ca a vi s m . Kớ hiu l a .
a = lim a rn vi = lim rn
x +

x +

File word liờn h:
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

MS: GT12-C2

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

TÀI LIỆ
LIỆU HỌ
HỌC TẬ
TẬP TOÁN 12
12 – MŨ - LOGARIT

2

5. Tính chất của lũy thừa với số mũ thực

aα
= aα − β ⑭ (aα )β = aα .β ⑮ (a.b)α = aα .bα
β
a

α

aα  b 
a
  = α = 
b
b
a

⑯

−α

⑱ Nếu 0 < a < 1 thì aα > a β ⇔ α < β

⑰ Nếu a > 1 thì aα > a β ⇔ α > β

hi

n

nT

● Số tiền nhận được cả gốc và lãi sau n kì hạn gửi là A (1 + r )

D

ai
H

oc

6. Công thức lãi kép
a. Định nghĩa: Lãi kép là phần lãi của kì sau được tính trên số tiền gốc kì trước cộng vớ i
phần lãi của kì trước.
b. Công thức: Giả sử số tiền gốc là A ; lãi suất r % /kì hạn gửi (có thể là tháng, quý hay
năm).

01

⑫ aα .a β = aα + β ⑬

uO

n
n
● Số tiền lãi nhận được sau n kì hạn gửi là A (1 + r ) − A = A (1 + r ) − 1



Ta
iL
ie

Dạng 1. Tính toán – Rút gọn biểu thức lũy thừa
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

up
s/

Áp dụng các tính chất của lũy thừa để tính giá trị của biểu thức, rút gọn một biểu thức,
chứng minh một biểu thức không phụ thuộc tham số, …

Ví dụ 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:

5
2

.c

+ ( 0, 25)

−

+ ( 0, 04 )

− ( 0,125)

−

2
3

23.2−1 + 5−3.54
10−3 :10−2 − ( 0, 25 )


d) G = 


f) F =

( 5)

5

3. 3 3
5

0

5


1− 2 3
.161+
 +4


⋅π 0 +

912

3

3

e0 . 3

3

7

⋅ 912
−3

−4
 1
g) D = ( 0,5 ) − 6250,25 −  2 
 4

1
−1
2

+ 19.( −3)

−3

3 1
2 : 4−2 + ( 3−2 ) .  
9
h) H =
−2
0 1
−3
2
5 .25 + ( 0, 7 ) .  
 2

w

.fa

ce

−1,5

847 3
847

+ 6−
27
27

bo

e) E = 3 6 +

−0,75

b) B =

ok

1
c) C =  
 16 

3

om
/g

a) A = 43+ 2 .21− 2 .2−4−

ro

B. BÀI TẬP MẪU

w

.................................................................................................................................................................................

w

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

File word liên hệ:
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

MS: GT12-C2

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

GV. TRẦ
TRẦN QUỐ
QUỐC NGHĨA
NGHĨA (Sưu
(Sưu tầ
tầm & biên tậ
tập)

3

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

01

................................................................................................................................................................................

oc

................................................................................................................................................................................

ai
H

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

D

................................................................................................................................................................................

hi

................................................................................................................................................................................

a −a

−

a

−

1
3

−a

2
3

a +a

5
3

b) B =

1
−
3

ro

1
3

up
s/

Ví dụ 2: Đơn giản các biểu thức sau:

om
/g

a− b
a + 4 ab
d) D = 4
−
a−4b 4a+4b

(

1

ok

.c

f) F = ( xπ + y π )2 − 4 π .x. y

ce

bo

h) H =

a

2 5
3

a

5

−b

5
3

+a b

7
3

)

π

7

+b

2 7
3

a

a

4
3

1
4

(a
(a

−

3
4

1
3

+a

+a

2
3

1
−
4

)
)

c) C =

a

1
3

b +b
6

1
3

a

a+ b
6

5 +2

 a 5 
a −2 − 5

e) E = 
⋅ −1

b
 b 5 −2 
9
1
3
−
 14

14
4
2
2
a
a
b
b
−
−

 3 a .6 b
g) I = 1
:
5
1
1 
4


a2
 a 4 − a 4 b 2 + b− 2  b



(a
i) G =

2 3

)(

− 1 a 2 3 + a 3 + a3

a

4 3

−a

3

)

3

.fa

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

w

w

w

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

File word liên hệ:
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

MS: GT12-C2

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

TÀI LIỆ
LIỆU HỌ
HỌC TẬ
TẬP TOÁN 12
12 – MŨ - LOGARIT

4

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

oc

.................................................................................................................................................................................

01

.................................................................................................................................................................................

ai
H

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

D

.................................................................................................................................................................................

hi

.................................................................................................................................................................................

nT

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

uO

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

Ta
iL
ie

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

up
s/

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

ro

.................................................................................................................................................................................

om
/g

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

.c

.................................................................................................................................................................................

ok

.................................................................................................................................................................................

bo

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

ce

.................................................................................................................................................................................

.fa

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

w

.................................................................................................................................................................................

w

w

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

File word liên hệ:
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

MS: GT12-C2

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

GV. TRẦ
TRẦN QUỐ
QUỐC NGHĨA
NGHĨA (Sưu
(Sưu tầ
tầm & biên tậ
tập)

5

Dạng 2. So sánh các lũy thừa hay căn số
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
So sánh hai lũy thừa cùng cơ số a ta áp dụng kết quả sau:
Với a > 1 thì a x1 > a x2 ⇔ x1 > x2

01

Với 0 < a < 1 thì a x1 > a x2 ⇔ x1 < x2

oc

So sánh hai lũy thừa có cùng só mũ x, ta áp dụng kết quả sau:
 x > 0 ⇔ b x < a x
Với a, b ≠ 1 và 0 < b < a ⇔ 
x
x
 x < 0 ⇔ b > a
Với hai biểu thức chứa căn, ta cần đưa về các căn cùng bậc.

ai
H

x

D

x

hi

B. BÀI TẬP MẪU

c) p = ( 3 − 1) và q = ( 3 − 1)

π
e) m =  
2

2

π
và n =  
5

2
2

 3
d) u = 

 5 

Ta
iL
ie

1

4

uO

nT

Ví dụ 3: So sánh các số sau (không dùng máy tính bỏ túi):
a) a = 3600 và b = 5400
b) x = 3 7 + 15 và y = 10 + 3 28

− 3

 3
f) h = 

 5 

− 2

− 2

 2
và v = 

 2 

− 2

 2
và k = 


 2 

5

up
s/

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

ro

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

om
/g

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

.c

................................................................................................................................................................................

ok

................................................................................................................................................................................

bo

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

ce

................................................................................................................................................................................

.fa

................................................................................................................................................................................

w

................................................................................................................................................................................

w

w

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

File word liên hệ:
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

MS: GT12-C2

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

TÀI LIỆ
LIỆU HỌ
HỌC TẬ
TẬP TOÁN 12
12 – MŨ - LOGARIT

6

Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
1
ⓐ y= 
2

sin 2 x

ⓑ y = 2 x −1 + 23− x

ⓒ y = 3sin x + 3co s
2

2

x

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

oc

.................................................................................................................................................................................

01

.................................................................................................................................................................................

ai
H

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

D

.................................................................................................................................................................................

hi

.................................................................................................................................................................................

nT

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

uO

.................................................................................................................................................................................

Ta
iL
ie

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

up
s/

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

om
/g

ro

Dạng 3. Bài toán lãi kép
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

ok

.c

a. Định nghĩa: Lãi kép là phần lãi của kì sau được tính trên số tiền gốc kì trước cộng vớ i
phần lãi của kì trước.
b. Công thức: Giả sử số tiền gốc là A ; lãi suất r % /kì hạn gửi (có thể là tháng, quý hay
năm).
n

ce

bo

● Số tiền nhận được cả gốc và lãi sau n kì hạn gửi là A (1 + r )

w

.fa

n
n
● Số tiền lãi nhận được sau n kì hạn gửi là A (1 + r ) − A = A (1 + r ) − 1



B. BÀI TẬP MẪU

w

w

Ví dụ 5: Bà Mai gửi 50 triệu vào tài khoản định kỳ tính lãi kép với lãi suất là 8%/năm. Tính số tiền lãi
thu được sau 15 năm.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
File word liên hệ:
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

MS: GT12-C2

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

GV. TRẦ
TRẦN QUỐ
QUỐC NGHĨA
NGHĨA (Sưu
(Sưu tầ
tầm & biên tậ
tập)

7

Ví dụ 6: Một người lần đầu gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn 3 tháng, lãi suất 2% một quý.
Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏ i ngân hàng thì cứ sau mỗ i quý số tiền lãi sẽ được nhập vào

gốc để tính lãi cho quý tiếp theo. Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kỳ
hạn và lãi suất như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận được 1 năm sau khi gửi tiền (cả vốn
lẫn lãi) gần nhất với kết quả nào sau đây?
................................................................................................................................................................................

01

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

oc

................................................................................................................................................................................

ai
H

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

D

................................................................................................................................................................................

hi

................................................................................................................................................................................

nT

................................................................................................................................................................................

Ta
iL
ie

uO

Ví dụ 7: Bác An đem gửi tổng số tiền 320 triệu đồng ở hai loại kỳ hạn khác nhau. Bác gửi 140 triệu
đồng theo kỳ hạn ba tháng với lãi suất 2,1% một quý. Số tiền còn lại bác An gửi theo kỳ hạn
một tháng với lãi suất 0, 73% một tháng. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏ i ngân hàng thì cứ
sau mỗ i kỳ hạn số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho kỳ hạn tiếp theo. Sau 15 tháng
kể từ ngày gửi bác An đi rút tiền. Tính gần đúng đến hàng đơn vị tổng số tiền lãi thu được của
bác An.
................................................................................................................................................................................

up
s/

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

ro

................................................................................................................................................................................

om
/g

................................................................................................................................................................................

3

4

2

Đơn giản các biểu thức sau:
ⓐ A=

ab −2 . ( a −1b 2 ) .( ab −1 )
4

ⓑB =

2

a −2 b. ( a −2 b −1 ) .a −1b
3

w

.fa

Bài 1.

ce

bo

ok

.c

................................................................................................................................................................................

1
a2

(
ⓒC=

3

4

(

)

2 3
 2
− 2a 2 − b 2 
2
3
3

b
−
a

( a 6 + 3a 4b 2 + 3a 2b 4 + b 6 ) 3 + 

2
2 3
2
2
 a + b 3 − a 3 + 2b 

a 3b 2 )

8

a18b12

a11

−
a

11
16

(a > 0 )

(

ⓓ D=

Đáp số:

−3

)

a2

3

− b2

a

3

−b

5
5

+a

−4 5

 1 
 − 5 −2 
a


5+2

−b

5

A = a 8b 5 ; B = 1 ; C = a 3 + a 9 ; D = a 3b 2 − 1

File word liên hệ:
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

MS: GT12-C2

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

TÀI LIỆ
LIỆU HỌ
HỌC TẬ
TẬP TOÁN 12
12 – MŨ - LOGARIT

Bài 3.

8

Tính giá trị của các biểu thức sau:
−2

 1 
 1
+

 −− 
 255 
 81 

ⓒC=

5
12

( )

⋅ π

−13 0
4

ⓔ E = 256
Bài 4.

0

ⓑ B = (0, 25)

1
2

−

 1 
+ 

 32 

1
−1
5

−2

 1
−  2  + (−5)−3
 9
1

+

9

−

−0,75

 1
+ 9 
 2

3

3 5
−7


 1 1 1   2

ⓓ D = 3 2 .5 3 : 2 4  :16 :  5 3.2 4 .3 2  


 


7
12

5

⋅16

(e ) .
−3 0
4

5

01

3. 3 3

−0,75

1

 1 3

0 −5
−
 − (9 )
 125 

ⓕ F = 3 7 +5 2 + 3 7 −5 2

oc

1
4

Tính giá trị của các biểu thức sau:
81
9

3

 1
+  42


3

3 3

27

Chứng minh nếu 1 ≤ x ≤ 2 thì

Bài 7.

So sánh các số sau:
 4
và b =  2 
 13 

0

 3
ⓒ p=

 2 

5

 3
và q = 

 6 
1

1
3

1 − a2

−

 π 2

3
ⓓ u =   và v =  
3
π 

3
2

−

10
3

3
2

ⓕ h = 6 65 + 37 và k = 97 − 3 10

ok

.c

1

− 3

ⓔ m = ( 5 − 2 ) 4 và n = ( 5 + 2 )

5

π  2
π 
ⓑ x =   và y =  
3
3

ro

−

om
/g

ⓐ a = ( 5)


1
và b =  5−1 4 
5


5
6

3

ⓑ x = 3 126 + 26 và y = 170 − 3 82

So sánh các số sau:
−

a + 2 − a 2 . 6 1 − a 2 − a2

x + 2 x +1 + x − 2 x −1 = 2 .

up
s/

Bài 8.

7
3

−

3

Ta
iL
ie

Bài 6.

ⓑ B=

uO

x −1 + ( y + z ) −1  z 2 + y 2 − x 2 
−2
⋅ 1+

 ⋅ ( x + y + z)
−1
−1 
x − ( y + z) 
2 yz


7
ⓐ a= 
9

Bài 9.

5

nT

Đơn giản các biểu thức sau:
ⓐ A=


2− 3 2+
 − 9 .3


hi

Bài 5.

ⓑ B=

3

D

ⓐ A = 7 +5 2 + 7 −5 2
3

ai
H

ⓐ A = 64

−

bo

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
+ x +1

1− cos2 x

e
ⓑ y = 
π 

 5
ⓒ y = 

 3 

cos6 x + sin 6 x

Một người lần đầu gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn 3 tháng, lãi suất 2% một quý
theo hình thức lãi kép. Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kỳ hạn và lãi
suất như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận được 1 năm sau khi gửi tiền là bao nhiêu?

w

w

w

.fa

Bài 10.

ce

ⓐ y = 5− x

2

File word liên hệ:
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

MS: GT12-C2

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

GV. TRẦ
TRẦN QUỐ
QUỐC NGHĨA
NGHĨA (Sưu
(Sưu tầ
tầm & biên tậ
tập)

9

Vấn đề 2. LÔGARIT
1. Định nghĩa
Cho hai số dương a , b với a ≠ 1 . Số α thỏa mãn đẳng thức aα = b được gọi là lôgarit cơ số
a của b và kí hiệu là loga b .

01
oc

② log a 1 = 0 ③ log a a = 1 ④ a log a b = b; eln b = b;10lg b = b

⑤ log a ( aα ) = α

ai
H

Chú ý:

① α = log a b ⇔ aα = b (với a , b > 0 ; a ≠ 1 )
Không có lôgarit của số âm và số 0 .

Cơ số của lôgarit phải dương và khác 1 .
Cho hai số dương a ≠ 1 và b , ta có các tính chất sau:

nT

hi

D

2. Tính chất
a. So sánh hai lôgarit có cùng cơ số: Cho các số dương b và c :
Khi a > 1 thì log a b > log a c ⇔ b > c
Với 0 < a ≠ 1 và các số b , c dương:
Khi 0 < a < 1 thì log a b > log a c ⇔ b < c
Khi a > 1 thì log a b > 0 ⇔ b > 1

Ta
iL
ie

uO

Khi 0 < a < 1 thì log a b > 0 ⇔ b < 1
log a b = log a c ⇔ b = c
b. Các quy tắc tính lôgarit: Cho ba số dương a ≠ 1 , b , c :
b
⑥ log a (b.c) = log a b + log a c
⑦ log a = log a b − log a c
⑧ log a bα = α log a b
c

Các hệ quả:

om
/g

ro

up
s/

⑨ log a (b1b2 … bn ) = log a b1 + log a b2 + … + log a bn ( 0 < a ≠ 1 , b1 , b2 , …, bn > 0 , n ∈ ℤ + )
1
1
⑩ log a = − log a b , 0 < a ≠ 1 , b > 0 ⑪ log a n b = log a b , 0 < a ≠ 1 , b > 0 , n ∈ ℤ + .
b
n
Chú ý: Nếu 0 < a ≠ 1 , bc > 0 thì:
b
⑫ log a (b.c) = log a b + log a c
⑬ log a = log a b − log a c
c
2k
+
⑭ log a b = 2k log a b , b ≠ 0 , k ∈ ℤ .

w

w

w

.fa

ce

bo

ok

.c

3. Đổi cơ số của logarit
a. Cho ba số dương a , b , c ≠ 1 , ta có:
log a c
log b
⑮ log b c =
⑰ a c = blog c a
⇔ ⑯ log a b.log b c = log a c
log a b
b. Hệ quả: cho ( 0 < a.b ≠ 1 , b > 0 , α , m , n ≠ 0 )
1
1
m
⑱ log a b =
⇔ log a b.log b a = 1 ⑲ log aα b = log a b
⑳ log a n b m = log a b
α
n
log b a
4. Lôgarit thập phân, lôgarit tự nhiên

a. Lôgarit thập phân: là lôgarit cơ số 10 : log10 b thường được viết là log b hay lg b .
b. Lôgarit tự nhiên:

Người ta chứng minh được dãy số ( un )
 1
gọi giới hạn đó là e : e = lim  1 + 
n →+∞
 n

n

 1
với un = 1 +  có giới hạn là một số vô tỉ và
 n

n

Một giá trị gần đúng của e là: e ≈ 2, 718281828459045…
Lôgarit tự nhiên: là lôgarit cơ số e : log e b hay ln b .
lg b ln b
=
c. Chú ý công thức đổi cơ số: log a b =
( 0 < a ≠ 1, b > 0 )
lg a ln a
File word liên hệ:
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

MS: GT12-C2

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

TÀI LIỆ
LIỆU HỌ
HỌC TẬ
TẬP TOÁN 12
12 – MŨ - LOGARIT

10

Dạng 1. Tính toán – Rút gọn biểu thức có chứa lôgarit
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

01

Áp dụng định nghĩa, các tính chất và các công thức đổi cơ số để rút gọn, tính toán các biểu
thức lôgarit…

ⓓ D = 81log3 5 + 27log9 36 − 42−log2 3

(

) (

2 − 1 + lg 5 2 + 7

)

ⓕ F = ln

π
π


ⓖ G = log 2  2sin  + log 2  cos 
8
8



(

3+2

)

2017

(

+ ln 2 − 3

)

2017

hi

ⓒ C = 36log6 5 + 101− lg 2 − e ln 27
ⓔ E = 3lg

log5 36 − log 5 12
log 5 9

ai
H

ⓑ B=

D

Ví dụ 8: Tính giá trị của các biểu thức sau:
1
ⓐ A = log 7 36 − log 7 14 − 3log 7 3 21
2

oc

B. BÀI TẬP MẪU

uO

nT

ⓗ H = log 4 ( 3 5 + 3 3 ) + log 4 ( 3 25 − 3 15 + 3 9 )

.................................................................................................................................................................................

Ta
iL

ie

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

up
s/

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

ro

.................................................................................................................................................................................

om
/g

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

.c

.................................................................................................................................................................................

ok

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

bo

.................................................................................................................................................................................

ce

.................................................................................................................................................................................

.fa

.................................................................................................................................................................................

a 5 4 b3
c6

w

w

Ví dụ 9: Tìm log a x biết log a b = 5 , log a c = −4 và ⓐ x = a5b5 3 c ⓑ x =

w

............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................

oc

3) Nếu 0 < a < b < 1 hay 1 < a < b thì:
log a x > log b x ⇔ x > 1

ai
H

log a x < logb x ⇔ 0 < x < 1

D

4) log a b > 0 ⇔ a và b cùng lớn hơn 1 hoặc cùng nhỏ hơn 1

nT

7
9

3

ⓑ m = log 1 8 và n = log115 2

uO

Ví dụ 10: So sánh hai số sau:
3
ⓐ m = log 3 và n = log
5

hi

B. BÀI TẬP MẪU

3

ⓓ m = l o g 2 + log 3 và n = log 5

Ta
iL
ie

ⓒ m = log 3 4 và n = log 2 3
ⓔ m = log 7 29 và n = log 3 5

ⓕ m = log 0,3 0,8 và n = log 0,2 0, 3

................................................................................................................................................................................

up
s/

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

ro

................................................................................................................................................................................

om
/g

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

.c

................................................................................................................................................................................

ok

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

bo

................................................................................................................................................................................

ce

................................................................................................................................................................................

.fa

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

w

w

w

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

File word liên hệ:
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

MS: GT12-C2

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

TÀI LIỆ
LIỆU HỌ
HỌC TẬ
TẬP TOÁN 12
12 – MŨ - LOGARIT

12

Dạng 3. Biểu diễn một lôgarit theo các lôgarit khác
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Để biểu diễn loga b theo logc d ta đưa loga b về lôgarit theo cơ số c sau đó viết a và b

thành tích hay thương của dãy các lũy thừa theo cơ số c và d .

01

Áp dụng tính chất lôgarit của tích và của thương ta suy ra kết quả.

oc

B. BÀI TẬP MẪU

D
hi
nT

ⓓ Cho a = log 3 và b = log 5 . Tính log15 30 theo a và b .

ai
H

Ví dụ 11: ⓐ Cho α = log 2 3 và β = log 2 5 . Tính log 225 2700 theo α và β
1 1 1 1
ⓑ Cho a = ln 2 . Tính ln16 ; ln 0,125; ln − ln theo a
8 4 4 8
ⓒ Cho a = log3 15 và b = log 3 10 . Tính log 3 50 theo a và b .

uO

ⓔ Cho a = log 2 3 , b = log 3 5 và c = log 7 2 . Tính log140 63 theo a , b và c

Ta
iL
ie

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

up
s/

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

ro

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

om
/g

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

.c

.................................................................................................................................................................................

ok

.................................................................................................................................................................................

bo

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

ce

.................................................................................................................................................................................

.fa

.................................................................................................................................................................................

w

.................................................................................................................................................................................

w

.................................................................................................................................................................................

w

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

File word liên hệ:
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

MS: GT12-C2

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

GV. TRẦ
TRẦN QUỐ
QUỐC NGHĨA
NGHĨA (Sưu
(Sưu tầ
tầm & biên tậ
tập)

13

Dạng 4. Chứng minh đẳng thức chứa lôgarit
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Áp dụng các công thức biến đổi lôgarit, công thức đổi cơ số để biến đổi vế này thành vế kia

hoặc hai vế cùng bằng một đại lượng thứ ba, …

oc
D

n ( n + 1)
1
1
1
1
+
+
+ ... +
=
log a b log a 2 b log a3 b
log a n b 2 log a b

hi

ⓒ Cho 0 < a , b ≠ 1 . Chứng minh:

ai
H

Ví dụ 12: ⓐ Cho a , b , c là ba số dương và c ≠ 1 . Chứng minh: a logc b = b logc a
log a c
ⓑ Cho a , b , c là ba số dương khác 1 . Chứng minh:
= 1 + log a b
log ab c

01

B. BÀI TẬP MẪU

nT

................................................................................................................................................................................

uO

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

Ta
iL
ie

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

up
s/

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

ro

.fa

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

w

w

w

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

File word liên hệ:
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

MS: GT12-C2

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

TÀI LIỆ

LIỆU HỌ
HỌC TẬ
TẬP TOÁN 12
12 – MŨ - LOGARIT

14

Dạng 5. Bài toán lãi kép
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

n

oc

● Số tiền nhận được cả gốc và lãi sau n kì hạn gửi là A (1 + r )

01

a. Định nghĩa: Lãi kép là phần lãi của kì sau được tính trên số tiền gốc kì trước cộng vớ i
phần lãi của kì trước.
b. Công thức: Giả sử số tiền gốc là A ; lãi suất r % /kì hạn gửi (có thể là tháng, quý hay
năm).

D

ai
H

n
n

● Số tiền lãi nhận được sau n kì hạn gửi là A (1 + r ) − A = A (1 + r ) − 1



hi

B. BÀI TẬP MẪU

Ta
iL
ie

uO

nT

Ví dụ 14: [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017] Một người gửi 50 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất
6% / năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏ i ngân hàng thì cứ sau mỗ i năm số tiền lãi sẽ
được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó nhận
được số tiền nhiều hơn 100 triệu đồng bao gồm cả gốc và lãi? Giả sử trong suốt thời gian gửi
lãi suất không đổi và người đó không rút tiền ra.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

up
s/

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

ro

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

om
/g

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

.c

.................................................................................................................................................................................

ce

bo

ok

Ví dụ 15: [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017] Đầu năm 2016, ông A thành lập một công ty. Tổng số tiền
ông A dùng để trả lương cho nhân viên trong năm 2016 là 1 tỷ đồng. Biết rằng cứ sau mỗ i nă m
thì tổng số tiền dùng để trả lương cho nhân viên trong cả năm đó tăng thêm 15% so với năm
trước. Hỏi năm nào dưới đây là năm đầu tiên mà tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho
nhân viên trong cả năm lớn hơn 2 tỷ đồng?

.fa

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

w

.................................................................................................................................................................................

w

.................................................................................................................................................................................

w

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

File word liên hệ:
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

MS: GT12-C2

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

GV. TRẦ
TRẦN QUỐ

QUỐC NGHĨA
NGHĨA (Sưu
(Sưu tầ
tầm & biên tậ
tập)

15

BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 2
ⓑ x = log 0,5 3 và y = log 7 2

ⓒ m = 3log 6 2 + log 6 3 và n = 2log 6 5

ⓓ u = 5log6 1,05 và v = 7 log6 0,995

ⓔ x = log 7 36 và y = log8 25

ⓕ u = log 0,4 3 2 và v = log 0,2 0,34
5

a
b

(

)

oc

ⓐ Biết log a b = 5 . Tìm log

ĐS: −6 12 + 2 5 / 5

a 3b 6

ⓑ Biết log a x = m; log b x = n; log c x = p (abc ≠ 1) . Tìm log abc x

ĐS:

ⓒ Biết log 6 15 = m; log12 18 = n . Tìm log 25 24 .

ⓓ E = 25

1
log 6 5

+ 49

ⓔD =a

log a b

Đơn giản các biểu thức sau:
2

ro

3
2
−

lg a log a 10

om
/g

ⓒ C = 2lg a + 3log a 10 −

2

log b a

up
s/

 lg e 
ⓐ A = ( ln a + log a e ) + ln a − 

 lg a 
2

−b

5−n
2m(n + 1) − 4n + 2

hi

1

ⓑ B = 9 log6 3 + 4 log6 2

1
log8 7

mnp
np + pm + mn

uO

1

27
5
9

3

Bài 15.

nT

Tính giá trị của các biểu thức sau:
ⓐ A = log 1

Bài 14.

ĐS:

ⓒ C = log 3 2.log 4 3.log5 4.log 2 5

Ta

iL
ie

Bài 13.

01

ⓐ a = log 2 10 và b = log 4 63

ai
H

Bài 12.

So sánh các số sau:

D

Bài 11.

(

ⓕ F = logπ 6 + 35

)

4

(

+ logπ 6 − 35

)

4

ⓑ B = log 5 ( tan 6 ) + log 5 ( cot 6 ) .
ⓓ D=

1 − log3a b

( log a b + logb a + 1) .log a

a
b

ⓐ Biết log 2 3 = m; log 2 5 = n. Tìm log 2 0,3; log 2 5 135

.c

ⓑ Biết log 27 5 = a;log8 7 = b;log 2 3 = c. Tìm log 6 35 .

ok

ⓒ Biết log 7 12 = a;log12 24 = b. Tìm log 54 168.

Chứng minh các đẳng thức sau:
log a b + log a x
ⓒ log ax ( bx ) =
1 + log a x

w

w

w

.fa

ce

Bài 16.

bo

ⓓ Biết log12 18 = a;log 24 54 = b. Chứng minh: ab + 5 ( a – b ) = 1 .

Bài 17.

với 0 < a, b, x, ax ≠ 1 .

ⓔ log a d .log b d + log b d .log c d + log a d .log c d =

log a d .logb d .log c d
, với 0 < a, b, c, d , abc ≠ 1
log abc d

Cho x 2 + 9 y 2 = 10 xy ( x, y > 0 ; 0 < a ≠ 1 ). CM: log a ( x + 3 y ) − 2 log a 2 =
1
1− lg x

Bài 18.

Cho y = 10

Bài 19.

Chứng minh:

1
1− lg y

; z = 10

1

( x, y, z > 0 ). Chứng minh: x = 101− lg z .

ⓐ log 1 5 + log 5
3

1
( log a x + log a y )
2

1
< −2
3

ⓑ log 5 6561 + log 9 5 > 4

File word liên hệ:
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

MS: GT12-C2

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Bài 20.

16

Tìm x biết:
1
ⓐ lg x = lg 5a − 4 lg b + 7 lg c .
3

(

)

(

)

7
25
ln 3 + 2 2 − 4 ln 2 + 1 − ln
16

8
1
1
ⓓ log 1 x = log 3 125 − log 3 4 + log 3 2 .
3
2
3

ⓑ ln x =

ⓒ ln x = 5 ln a − 2 ln b + 6 ln c .

(

)

2 −1 .

Anh Nam mong muốn rằng sau 6 năm sẽ có 2 tỷ để mua nhà. Hỏi anh Nam phải gửi vào ngân
hàng một khoản tiền tiền tiết kiệm như nhau hàng năm gần nhất với giá trị nào sau đây, biết
rằng lãi suất của ngân hàng là 8% /năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn.

Bài 22.

Ông A muốn sau 5 năm có 1.000.000.000 đồng để mua ô tô Camry. Hỏi rằng ông A phải gửi
ngân hàng mỗ i tháng (số tiền như nhau) là bao nhiêu? Biết lãi suất hằng tháng là 0.5% và tiền
lãi sinh ra hằng tháng được nhập vào tiền vốn.

Bài 23.

[ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017] Ông Việt vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất
12% /năm. Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay,
ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗ i
lần là như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng 3 tháng kể từ ngày vay. Hỏi, theo cách đó, số tiền
m mà ông Việt sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biết rằng, lãi
suất ngân hàng không thay đổ i trong thời gian ông Việt hoàn nợ.

Bài 24.

Một người đàn ông vay vốn ngân hàng với số tiền 100 000000 đồng. Người đó dự định sau

Ta
iL
ie

uO

nT

hi

D

ai
H

oc

Bài 21.

up
s/

đúng 5 năm thì trả hết nợ; Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần
hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗ i lần là như nhau. Hỏi, theo
cách đó, số tiền a mà ông sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗ i lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biết
lãi suất hàng tháng là 1, 2% và không thay đổi trong thời gian ông hoàn nợ.

Bài 25.

Biết rằng năm 2001, dân số Việt Nam là 78685800 người và tỉ lệ tăng dân số năm đó là 1, 7% .

om
/g

ro

Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo công thức S = A.e N .r (trong đó A : là dân số của
năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau N năm, r là t ỉ lệ tăng dân số hàng năm). Cứ tăng dân
số với t ỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 120 triệu người?
Các khí thải gây hiệu ứng nhà kính là nguyên nhân chủ yếu làm trái đất nóng lên. Theo OECD
(Tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế thế giới), khi nhiệt độ trái đất tăng lên thì tổng giá trị
kinh tế toàn cầu giảm. Người ta ước tính rằng khi nhiệt độ trái đất tăng thêm 2°C thì tổng giá
trị kinh tế toàn cầu giảm 3%, còn khi nhiệt độ trái đất tăng thêm 5°C thì tổng giá trị kinh tế
toàn cầu giảm 10% . Biết rằng nếu nhiệt độ trái đất tăng thêm t °C , tổng giá trị kinh tế toàn cầu
giảm f ( t ) % thì f ( t ) = k .a t (trong đó a, k là các hằng số dương). Nhiệt độ trái đất tăng thêm

bo

ok

.c

Bài 26.

ce

bao nhiêu độ C thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm 20% ?
Một người đã thả một lượng bèo hoa dâu chiếm 4% diện tích mặt hồ. Biết rằng cứ sau đúng
một tuần bèo phát triển thành 3 lần lượng đã có và tốc độ phát triển của bèo ở mọ i thời điểm
như nhau. Sau bao nhiêu ngày, lượng bèo sẽ vừa phủ kín mặt hồ?

w

w

w

.fa

Bài 27.

01

TÀI LIỆ
LIỆU HỌ
HỌC TẬ
TẬP TOÁN 12
12 – MŨ - LOGARIT

File word liên hệ:
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

MS: GT12-C2

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

GV. TRẦ
TRẦN QUỐ
QUỐC NGHĨA
NGHĨA (Sưu
(Sưu tầ
tầm & biên tậ
tập)

17

Vấn đề 3. HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LÔGARIT
1. Định nghĩa
① Hàm số mũ: Cho a là số thực dương, khác 1 .

Hàm số y = a x được gọi là hàm số mũ cơ số a .

oc

01

② Hàm số lôgarit: Cho a là số thực dương, khác 1 .
Hàm số y = loga x được gọi là hàm số lôgarit cơ số a .

ai
H

③ Hàm số lũy thừa: Hàm số y = xα với α ∈ ℝ được gọi là hàm số lũy thừa.
2. Tập xác định

D

① Hàm số mũ y = a x ( 0 < a ≠ 1 ) có tập xác định D = ℝ

hi

② Hàm số lôgarit y = log a x ( 0 < a ≠ 1 ) có txđ D = ( 0; +∞ )

nT

③ Hàm số lũy thừa y = xα với α ∈ ℝ có tập xác định tùy thuộc α :

D = ( 0; +∞ )

Ta
iL
ie

Với α không nguyên:
3. Một số giới hạn có liên quan

② lim ( log a x ) = log a x0 ( x0 ∈ ℝ )

x0

x → x0

x → x0

up
s/

① lim a = a
x

ln (1 + x )
ex −1
= 1 ⑥ lim
=1
x →0
x→0
x
x

1

④ lim (1 + x ) x = e ⑤ lim
x→0

⑧ Khi α > 0 : lim+ xα = 0,

ro

lim xα = +∞

x →+∞

om
/g

x →0

4. Đạo hàm

.c

( e )′ = e

ok

x

bo
ce
.fa
w

⑦ lim xα = x0α ( 0 < x0 ∈ ℝ , α ∈ ℝ )
x → x0

Hàm hợp ( u = u ( x ) )

( e )′ = u′.e

u

u

( a )′ = u′.a .ln a

( ln x )′ = 1x

( ln u )′ = uu

( log

x

a

1
x ln a

( x )′ = α x

α −1

( x )′ = n

1

n

u

u

′

x )′ =

α

x →+∞

x →0

( a )′ = a .ln a
x

w

x

x

 1
③ lim  1 +  = e
x →+∞
 x

⑨ Khi α < 0 : lim+ xα = +∞, lim xα = 0

Hàm sơ cấp

w

uO

Với α nguyên dương:
D=ℝ
Với α nguyên âm hoặc bằng 0 : D = ℝ \ {0}

n

x

( log

a

u′
u )′ =
u ln a

( u )′ = α u
α

α −1

.u ′

( u )′ = n uu′
n

n −1

n

n −1

5. Sự biến thiên và đồ thị
a. Hàm số mũ y = a x :
a>1

① Tập xác định: D = ℝ

0< a <1

① Tập xác định: D = ℝ

File word liên hệ:
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

MS: GT12-C2

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

TÀI LIỆ
LIỆU HỌ
HỌC TẬ
TẬP TOÁN 12
12 – MŨ - LOGARIT

18

② Sự biến thiện: y ′ = a x .ln a > 0

② Sự biến thiện: y ′ = a x .ln a < 0

Giới hạn đặc biệt:
lim a x = 0; lim a x = +∞

Giới hạn đặc biệt:
lim a x = +∞; lim a x = 0

Tiệm cận: Trục Ox là TCN.

Tiệm cận: Trục Ox là TCN.

x →+∞

x →−∞

0

+∞
+∞

1

1

x −∞
y

0

hi

D

y = ax
(0 < a < 1)

1
a

1
x

O

uO

O

Ta
iL
ie

b. Hàm số lôgarit y = log a x .
a>1

① Tập xác định: D = ( 0; +∞ )

1
>0
x.ln a

1
<0
x.ln a

② Sự biến thiện: y ′ =

up
s/

② Sự biến thiện: y ′ =

x

0< a <1

① Tập xác định: D = ( 0; +∞ )

Giới hạn đặc biệt:
lim+ log a x = +∞; lim log a x = −∞

Tiệm cận: Trục Oy là TCĐ.

Tiệm cận: Trục Oy là TCĐ.

③ Bảng biến thiên:
x

0

1

om
/g

x →+∞

ro

Giới hạn đặc biệt:
lim+ log a x = −∞; lim log a x = +∞
x →0

+∞

a

x →+∞

x →0

③ Bảng biến thiên:
x

0

y

ok

0

bo

④ Đồ thị:

−∞

.c

+∞

.fa

ce

y

w

a

y

y = ax
( a > 1)

a

w

1

+∞

④ Đồ thị:
y

w

1

+∞

a

④ Đồ thị:

0

nT

y

0

+∞

y

1

a

1

1

0

+∞

−∞

④ Đồ thị:
y

y = log a x
( a > 1)

1

O

01

x −∞

③ Bảng biến thiên:

oc

③ Bảng biến thiên:

x →+∞

ai
H

x →−∞

y = ax
(0 < a < 1)

1
1 a

1

x

c. Hàm số lũy thừa y = xα .
α >1

x

O a

α<0

① Tập khảo sát: D = ( 0; +∞ )

① Tập khảo sát: D = ( 0; +∞ )

② Sự biến thiện: y ′ = α xα −1 > 0

② Sự biến thiện: y ′ = α xα −1 < 0

Giới hạn đặc biệt:

Giới hạn đặc biệt:

File word liên hệ:
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

MS: GT12-C2

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

GV. TRẦ
TRẦN QUỐ
QUỐC NGHĨA
NGHĨA (Sưu

(Sưu tầ
tầm & biên tậ
tập)

19

lim xα = 0; lim xα = +∞

x →0+

lim xα = +∞; lim xα = 0

x →0+

x →+∞

Tiệm cận: Ox: TCN; Oy: TCĐ.

Tiệm cận: Không có.

③ Bảng biến thiên:

③ Bảng biến thiên:
0

y

+∞

x

+∞

y

+∞

0
+∞

0

0

α =1

ai
H

α >1

D

0 <α <1

1
1

uO

O

α <0
x

hi

α =0

nT

y

oc

④ Đồ thị:

01

x

x →+∞

Ta
iL
ie

Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. y = b ( b ∈ ℝ )(hàm hằng).

Hàm số xác định với mọi x ∈ ℝ .
Hàm số xác định với mọi x ∈ ℝ .

3.

y = A( x)

up
s/

2. y = P ( x ) ( P ( x ) đa thức)

D=ℝ
D=ℝ

Hàm số xác định ⇔ A ( x ) ≥ 0 .

y = 3 A( x)

Hàm số xác định ⇔ A ( x ) xác định.

om
/g

4.

ro

Mở rộng: y = 2 k A ( x ) ( k ∈ ℕ* ) xác định ⇔ A ( x ) ≥ 0 .

Mở rộng y = 2 k +1 A ( x ) ( k ∈ ℕ* ) xác định ⇔ A ( x ) xác định.

y=

ce

y=

8.

y=

w

w

w

.fa

7.

9.

Hàm số xác định ⇔ B ( x ) ≠ 0 .

.c

6.

A( x)
B ( x)

ok

y=

A( x)

B ( x)

bo

5.

y=

A( x)
B ( x)
A( x)
B ( x)

 A ( x ) ≥ 0
Hàm số xác định ⇔ 
 B ( x ) ≠ 0

Hàm số xác định ⇔ B ( x ) > 0 .

 A ( x ) ≥ 0
Hàm số xác định ⇔ 

 B ( x ) > 0

 A( x) ≥ 0

Hàm số xác định ⇔  B ( x ) ≥ 0
A( x ) ± B ( x)

 A ( x ) ± B ( x ) ≠ 0

k ( x)

10. y = tan f ( x )
11. y = cot f ( x )

π
+ kπ , k ∈ ℤ
2
Hàm số xác định ⇔ f ( x ) ≠ kπ , k ∈ ℤ

Hàm số xác định ⇔ f ( x ) ≠

File word liên hệ:
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

MS: GT12-C2

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

TÀI LIỆ

LIỆU HỌ
HỌC TẬ
TẬP TOÁN 12
12 – MŨ - LOGARIT

20

0 < a ( x ) ≠ 1
12. y = log a ( x ) f ( x ) Hàm số xác định ⇔ 
 f ( x ) > 0
y = lg f ( x )
Hàm số xác định ⇔ f ( x ) > 0
y = ln f ( x )

Hàm số xác định ⇔ f ( x ) > 0

0 < a ≠ 1
.
Hàm số xác định ⇔ 
 f ( x ) > 0
 f ( x ) xaùc ñònh
14. y = f ( x ) ± g ( x ) Hàm số xác định ⇔ 
 g ( x ) xaùc ñònh
 f ( x ) xaùc ñònh
15. y = f ( x ) .g ( x ) Hàm số xác định ⇔ 
 g ( x ) xaùc ñònh
α
16. Hàm số lũy thừa y = x với α ∈ ℝ có tập xác định tùy thuộc α :
Với α nguyên dương:
D=ℝ

Với α nguyên âm hoặc bằng 0 : D = ℝ \ {0}

oc
ai
H
D
hi
nT

Ta
iL
ie

 g ( x ) khi x ≠ a
17. y = 
(TXĐ D)
h ( x ) khi x = a
- Khi x ≠ a , y = g ( x ) . Ta tìm được tập xác định D1 .

uO

D = ( 0; +∞ )

Với α không nguyên:

01

13. y = a f ( x )

- Khi x = a , y = h ( x ) . Ta tìm được tập xác định D2 .

up
s/

Khi đó D = D1 ∪ D2 .

Ví dụ 16: Tìm tập xác định của hàm số:

ⓑ y=

om
/g

ⓐ y=x

3+ 2 2
−12 2
3+ 2 2

ⓓ y = ln x 2 − 4 x − 12

.c

− log 0,3 ( x − 1)
x2 − 2 x − 8

(

ⓔ y=2

3+2

)

x 2 −3 x
x −1

x −3 − 8 − x

ⓗ y = log 1

ok

ⓖ y=

ro

B. BÀI TẬP MẪU

2

3 − 2 x − x2
x+2

ⓒ y = lg

x −1
−2 x − 3

ⓕ y = x 2 + x − 2.log 3 ( 9 − x 2 )

ⓖ y = log 3

x +1
x2 − x − 2

bo

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

ce

.................................................................................................................................................................................

.fa

.................................................................................................................................................................................

w

.................................................................................................................................................................................

w

.................................................................................................................................................................................

w

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

File word liên hệ:
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

MS: GT12-C2

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

GV. TRẦ
TRẦN QUỐ
QUỐC NGHĨA
NGHĨA (Sưu
(Sưu tầ
tầm & biên tậ
tập)

21

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

01

................................................................................................................................................................................

oc

................................................................................................................................................................................

ai
H

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

D

................................................................................................................................................................................

hi

................................................................................................................................................................................

nT

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

uO

x2 − 2 x
2 x +3

( x)

ⓒ y=

om
/g

Bài 28.

3

2

ⓓ y = log 2 x −1 ( x 2 − 1)

.c

Dạng 2. Đạo hàm của hàm số mũ và logarit

ok

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

w

w

w

.fa

ce

bo

Sử dụng các công thức:

Hàm hợp ( u = u ( x ) )

Hàm sơ cấp

( e )′ = e
x

( e )′ = u′.e

x

u

u

( a )′ = a .ln a

( a )′ = u′.a .ln a

( ln x )′ = 1x

( ln u )′ = uu

x

( log

x

a

x )′ =

( x )′ = n

1
x ln a

α −1

1

n

n

u

′

( x )′ = α x
α

u

x

( log

a

u′
u )′ =
u ln a

( u )′ = α u
α

α −1

.u ′

( u )′ = n uu′
n

n −1

n

n −1

File word liên hệ:
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

MS: GT12-C2

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

TÀI LIỆ
LIỆU HỌ
HỌC TẬ
TẬP TOÁN 12
12 – MŨ - LOGARIT

22

B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 17: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

ln x − 2
x +1

ⓐ y = 1 − ( x 2 − 2 x + 1) e x

ⓑ y = 3x − ( 2 x + 1) .2 x

ⓒ y=

ⓓ y = ( x − 4 ) log x

ⓔ y = x log 2 ( x + 1)

ⓕ y = log 3 x 2 .ln ( 3 − x 2 )

.................................................................................................................................................................................

oc

.................................................................................................................................................................................

01

.................................................................................................................................................................................

ai
H

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

D

.................................................................................................................................................................................

hi

.................................................................................................................................................................................

nT

.................................................................................................................................................................................

uO

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

Ta
iL
ie

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

up
s/

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

om
/g

Bài 29.

ⓐ y = ( 2 x 2 − 1) .e3x

ⓒ y=

ⓔ y = ln ( x 3 + 2 x 2 − x )

ⓕ y = ( x 2 + 3) ln ( x 2 + 2 )

ⓖ y = 4 ln 3 ( 3 x 2 + 1)

ⓗ y = 3 sin x cos x

ⓘ y = 1 − ( 2 x + 3 ) 3x

ⓚ y = 2 − e x .sin 2 x

ⓛ y = 2x − e x + 3

ⓝ y = x ln x + 1

ⓞ y = 1 + x − 2 ln 2 x

ex + 1
ex −1
ⓟ y = ( x 2 + 3) ln ( x 2 + 2 )

ⓠ y = 1 − 2ln x + ln 2 x

ⓡ y = log 2 x − 3log 3 x

ⓢ y = log ( x 2 + 1) − ln 2 x

.c

ok

bo

ce

.fa

w
w
w
Bài 31.

e x + e− x
e x − e− x

ⓑ y = x3 e x + 1

ⓓ y = 3x − e3 x + 2

Bài 30.

ro

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
2

sin

Tính đạo hàm của các hàm số sau:
ⓐ y = e x (sin x − cos x)
ⓑ y = xπ .π x

(

ⓓ y = ln x + x 2 + 1

)

π
4

ⓜ y=

ⓒ y = ln 5 4 x − 5

ⓔ y = ( x2 + 3)

sin x

ⓕ y=

1 1 1 1 1 1
+
+
+ cos x

2 2 2 2 2 2

Cho hàm số f ( x ) = x log x 2 (0 < x ≠ 1) . Tính đạo hàm f ′ ( x ) và giải bất phương trình
f ′( x) ≤ 0 .

Bài 32.

Chứng minh hàm số y = x 3cos ( ln x ) + 4sin ( ln x )  thỏa mãn: x 2 y ′′ − xy ′ + 2 y = 0 .

File word liên hệ:
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

MS: GT12-C2

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

GV. TRẦ
TRẦN QUỐ
QUỐC NGHĨA
NGHĨA (Sưu
(Sưu tầ
tầm & biên tậ
tập)

Bài 33.

23

Cho hàm số: y = x.e x

ⓐ Tính đạo hàm cấp một y′ , đạo hàm cấp hai y′′ của hàm số rồi suy ra đạo hàm cấp n của
hàm số.
ⓑ Chứng minh rằng: y ′′ − 2 y′ + y = 0
x≥0

Bài 34.

e x
khi
Tìm a để hàm số sau đây có đạo hàm trên ℝ : y = f ( x ) =  2
 x + ax + 1 khi

Bài 35.

( x + 1) e − x
khi
Tìm a để hàm số sau đây có đạo hàm tại x = 0 : y = f ( x ) =  2
− x − ax + 1 khi

Bài 36.

Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = ln ( 2 x + 1) .

01

oc

x>0

ai

H

x≤0

uO

Tính y ′ .

nT

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

hi

D

Dạng 3. GTLN và GTNN của hàm số mũ và logarit

x<0

Ta
iL
ie

Giải phương trình y′ = 0 và chỉ nhận những nghệm x0 thuộc [ a; b ] .
Tính f ( a ) , f ( b ) và f ( x0 ) .

Khi đó: min f ( x ) = min { f ( a ) , f ( b ) , f ( x0 )} ; max f ( x ) = max { f ( a ) , f ( b ) , f ( x0 )}
[ a ;b ]

[ a ;b ]

up
s/

Chú ý:
Nếu hàm số y = f ( x ) tăng trên [ a; b ] thì: min f ( x ) = f ( a ) và max f ( x ) = f ( b )
x∈[ a ;b]

x∈[ a ; b]

Nếu hàm số y = f ( x ) giảm trên [ a; b ] thì:

ro

min f ( x ) = f ( b ) và max f ( x ) = f ( a )

om
/g

x∈[ a ; b]

x∈[ a ;b]

Nếu bài toán phải đặt ẩn phụ thì phải có điều kiện cho ẩn phụ đó.

.c

B. BÀI TẬP MẪU

ok

Ví dụ 18: Tìm giá trị lớn nhất và giá t ị nhỏ nhất của hàm số y =

ln 2 x
− 1 trên đoạn 1; e2  .
x

bo

................................................................................................................................................................................

ce

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

.fa

................................................................................................................................................................................

w

w

w

................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 37.

Tìm giá trị lớn nhất và giá t ị nhỏ nhất của hàm số
ⓐ y = x 2 e x + 1 trên [ −3; 2]
ⓒ y = ( x 2 − 3x + 1) e x trên [ −3; 0]

ⓑ y = ln 2 x − ln x trên 1; e 2 
ⓓ y = x ln x − 1 trên 1; e 2 

ⓔ y = x 2 − ln (1 − 2 x ) trên [ −2;0]

ⓕ

File word liên hệ:
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

MS: GT12-C2

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

TÀI LIỆ
LIỆU HỌ
HỌC TẬ
TẬP TOÁN 12
12 – MŨ - LOGARIT

24

Dạng 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
① Hàm số mũ y = a x :

01

Hàm số đồng biến trên ℝ
a > 1:
0 < a < 1 : Hàm số nghịch biến trên ℝ
a > 1:

oc

② Hàm số mũ y = log a x ( 0 < a ≠ 1 ) có tập xác định D = ( 0; +∞ )

Hàm số đồng biến trên ( 0; +∞ )

ai
H

0 < a < 1 : Hàm số nghịch biến trên ( 0; +∞ )

α > 1 : Hàm số đồng biến trên ( 0; +∞ )

hi

* x > 0:

D

③ Hàm số mũ y = xα với α ∈ ℝ .

α > 0 : Hàm số nghịch biến trên ( −∞; 0 )

Ta
iL
ie

α < 0 : Hàm số đồng biến trên ( −∞; 0 )

uO

* x < 0:

nT

α < 1 : Hàm số nghịch biến trên ( 0; +∞ )

B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 19: Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

up
s/

ⓐ y = 3x ; y = 3x −1 ; y = 3 x
x

1
ⓑ Chứng minh các hàm số y = a x ; y =   có đồ thị đối xứng qua trục Oy .
a

ro

.................................................................................................................................................................................

om
/g

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

.c

.................................................................................................................................................................................

ok

.................................................................................................................................................................................

bo

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

ce

.................................................................................................................................................................................

.fa

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

w

.................................................................................................................................................................................

w

.................................................................................................................................................................................

w

.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................

File word liên hệ:
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

MS: GT12-C2

TOAN 12 1718 CD2 MU LOG TU LUAN TN

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về