một số bài tập tự luận toán 12

TRƯỜNG PTDTNT ĐĂK HÀ
TỔ KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGÂN HÀNG ĐỀ TOÁN 12 CƠ BẢN HỌC KÌ I – năm học 2008-2009
Câu 1: ( 3.0 điểm; 30 phút) Cho hàm số y = x
4
– 2x
2
1. ( mức độ A; 2 điểm ,20 phút) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2. ( mức độ B; 1 điểm ,10 phút ) Biện luận theo tham số k số nghiệm cuả phương trình:
x
4
– 2x
2
- k = 0.
ĐÁP ÁN ĐIỂM
Câu 1.1: 2.0
a) TXĐ : D = R 0.25
b) Sự biến thiên
y’ = 4x
3
– 4x
y’ = 0
⇔
x = 0 hoặo x = ±1
0.5
c) Giới hạn :
±∞→
x
lim
= + ∞ 0.25
d) Bảng biến thiên :

x -∞ -1 0 1 +∞
y’ - 0 + 0 - 0 +
y +∞ 0 +∞
-1 -1
Hàm số đồng biến trên (-1;0) và (1; +∞)
Hàm số nghịch biến trên (-∞ ;-1) và (0;1)
Cực trị : Điểm cực đại : (0 ;0)
Điểm cực tiểu : (-1;-1), (1;-1)
0.5
e) Đồ thị : Giao điểm với Oy tại : (0;0)
Giao điểm với Ox tại : (0;0), (-
2
;0), (
2
;0)
0.25

x
y
O
1
-1
-1
0.25
Câu 1.2. 1.0
Pt :x
4
– 2x
2
–k = 0

⇔
x
4
– 2x
2
= k (1) 0.25
Số nghiệm của pt (1) bằng số giao điểm của đồ thị (C): y = x
4
-2x
2
và đường thẳng d :y = k 0.25
Nếu k = -1 hoặc k > 0 thì pt (1) có 2 nghiệm
Nếu -1 < k <0 thì pt (1) có 4 nghiệm
Nếu k = 0 thì pt (1) có 3 nghiệm
0.5
1
Câu 2: (2.5 điểm, 15 phút )
1. ( mức độ B ; 1.0 điểm) Hãy so sánh các số sau :
2 1,4
3 vaø 3
2. ( mức độ C; 1, 5 điểm ) Tính giá trị biểu thức:
3 81
2 log 2 4 log 5
A 9
+
=
Đáp án
Câu 2.1 1.0

= >


>

⇒ >
g
2 1,4
a 3 1
1/
2 1,4
3 3
0.5
0.5
Câu 2.2 1.5
3 81
2 log 2 4 log 5
A 9
+
=
=
3 81
2 log 2 4 log 5
9 .9
=
3 81
log 2 log 5
4 2
(3 ) .(81 )
= 16. 25 = 400
0.5
0.5

0.5
Câu 3 : (mức độ C; 2 điểm; 15 phút ) Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của hàm số:
12
1
12
−
++=
x
xy
trên
đoạn [1;2]
Đáp án
2.0
Ta có:
( )
( )
2
2
' 2
2 1
f x
x
= −
−
0.5
( )
1
' 0
0
x

f x
x

=
= ⇔

=

; điểm x = 0 không thuộc đoạn [1;2] 0.5
( ) ( )
16
1 4; 2
3
f f= =
0.5
Vậy:
( ) ( )
= =
16
max ;min 4
3
f x f x
0.5
Câu 4: (mức độ B; 1.0 điểm; 10 phút ) Giải phương trình sau: 2
x + 2
.5
x+2
= 2
3x
.5

3x
Đáp án
1.0
PT tương đương với (2.5)
x+2
= (2.5)
3x
10
x+2
= 10
3x
x + 2 = 3x
x = 1
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu 5: (2.0 điểm, 15 phút ) Cho hình nón tròn xoay có đường cao h = 20cm, bán kính r = 25cm.
1. ( mức độ A; 1 điểm )Tính diện tích xung quanh của hình nón.
2. ( mức độ B; 1 điểm ) Tính thể tích khối nón tạo thành bởi hình nón đã cho.
Đáp án :
2.0
SO = h = 20 cm; OA = r = 25 cm 0.5
1.
1025
2222
=+==
OASOlSA
0.5
)(5,2514..

2
cmlrS
xq
≈=
π
0.5
2.
2
3
1
. .
3
13089,96( )
V r l
cm
π
=
≈
0.5
Câu 6 (3, 0 điểm ; 15 phút) Cho hàm số
3 2
y x 3x 1= − + −
có đồ thị (C)
1. ( mức độ B; 2 điểm ) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2. ( mức độ C; 1 điểm ) Dùng đồ thị (C) , xác định k để phương trình
3 2
x 3x k 0− + =
có đúng 3 nghiệm
phân biệt .
Đáp án :

2
ĐÁP ÁN
ĐIỂM
Câu 6.1: 2.0
a) TXĐ : D = R 0.25
b) Sự biến thiên
y’ = -3x
2
+ 6x
y’ = 0
⇔
x = 0 hoặc x = 2
0.5
c) Giới hạn :
lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= +∞ = −∞
0.25
d) Bảng biến thiên :
x -∞ 0 2 +∞
y’ - 0 + 0 -
y +∞ 3
-1 - -
∞
y
ct = -1 ( tại x = 0 ) ;
y
cđ = 3 ( tại x = 2 )

0.5
e) Đồ thị :
x = -1 thì y = 3 x = 1 thì y = 0
0.25

0.25
Câu 6.2. 1.0
PT
3 2
x 3x 1 k 1⇔ − + − = −
(1) 0.25
Số nghiệm của (1) bằng số giao điểm của đồ thị (C):
3 2
y x 3x 1= − + −
và đường thẳng
d :y = k - 1
0.25
Căn cứ vào đồ thị : (1) có ba nghiệm phân biệt
⇔ − < − <
⇔ < <
1 k 1 3
0 k 4
0.25
0.25
Câu 7 ( mức độ A; 1,0 điểm ; 15 phút) Giải phương trình
3x 4 2x 2
3 9
− −
=
Đáp án

3x 4 2x 2
3x 4 2(2x 2)
3 9
3 3
3x 4 4x 4
x 0
− −
− −
=
⇔ =
⇔ − = −
⇔ =

0.25
0.25
0.25
0.25
Câu 8 ( mức độ C; 1,0 điểm ; 15 phút) Cho hàm số
2
1
f (x)
sin x
=
. Tìm nguyên hàm F(x ) của hàm số , biết
rằng đồ thị của hàm số F(x) đi qua điểm M(
6
π
; 0) .
Đáp án :
Một nguyên hàm của f(x) là : F(x) =

cotx + C−
0.25
F( ) 0 cot C 0
6 6
π π
= ⇔ − + =
0.25
C 3
F(x) cot x 3
⇔ =
⇒ = − +
0.25
0.25
_A
3
Câu 9 (mức độ B; 1,0 điểm ; 15 phút) Với a > 0, a khác 1. Tính
3 2
18
1
.a
a
−
Đáp án :
3 2
18
1
.a
a
−
=

3 2 18
.a a
−
0.25
3 2 3 2
.a a
−
0.25
0
a
=
= 1
0.25
0.25
Câu 10 ( mức độ C; 1, 5 điểm ; 15 phút) Giải bất phương trình : 4
x
-5.2
x
+ 6 > 0
Đáp án :
Đặt u = 2
x
> 0 với x thực 0.25
BPT trở thành : u
2
-5u + 6 >0 tương đương với u < 2 hoặc u > 3 0.5
u < 2
1x
⇔ <
0.25

u>3
2
log 3x⇔ >
0.25
BPT đã cho có nghiệm : x <1 hoặc
2
log 3x >
0.25
Câu 11 (mức độ A; 1, 5 điểm ; 10 phút) Giải phương trình :
4 4
log ( 2) log (3 )x x+ = −
Đáp án :
Điều kiện x + 2 > 0 và 3 - x > 0 tương đương với -2< x < 3 0.5
PT tương đương với x + 2 = 3-x
1
2
x⇔ =
0.5
Kết hợp với điều kiện :
1
2
x =
là nghiệm của phương trình đã cho.
0.5
Câu 12( mức độ B; 1, 5 điểm ; 10 phút) Giải phương trình sau:

3 3 3
log ( 2) log ( 2) log 5x x− + + =
.
Đáp án :

Điều kiện x - 2 > 0 và x +2 > 0 tương đương với x > 2 0.25
PT tương đương với :
3 3
2
log ( 2)( 2) log 5
4 5
3
x x
x
x
− + =
⇔ − =
⇔ = ±
0.25
0.25
0.25
Kết hợp với điều kiện :
3x
=
là nghiệm của phương trình đã cho.
0.5
Câu 13 ( mức độ C ; 1 điểm, 15 phút ) Tìm các giá trị của m sao cho hàm số :
f(x) = x
3
-3x
2
+ 3mx -2009
đồng biến trên tập số thực
R
Đáp án

/ 2
( ) 3( 2 )f x x x m
= − +
f(x) đồng biến trên
R
2
/
: 2 0
1 0
1
x R x x m
m
m
⇔ ∀ ∈ − + ≥
⇔ ∆ = − ≤
⇔ ≥
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 14 (mức độ B ; 1 điểm, 15 phút ) Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 4x
3
thỏa mãn điều kiện F(2) =16
Đáp án
Một nguyên hàm của f(x) là : F(x) = x
4
+C 0.25
F(2) =16
0.25
C = 0 .

Vậy F(x) = x
4

0.25
0.25
4
Câu 15 (mức độ B ; 1, 5 điểm, 15 phút )
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x) = x
3
– 3x trên đoạn [2; 3].
Đáp án
* y
/
= 3x
2
- 3
* y
/
= 0
1x⇔ = ±
(loại )
* y(2) = 2
* y(3) =18
*
[ ]
2;3
min (2) 2y y= =
*
[ ]
2;3

ax (3) 18m y y= =
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu 16 (mức độ B ; 1, 5 điểm, 15 phút ) Tìm nguyên hàm các hàm số sau :
1. (mức độ A; 0,5 điểm)
3
1
( )
x
f x =
2. (mức độ B; 0,5 điểm)
3
( )g x x x= −
3. ( mức độ C; 0, 5 điểm)
2
( ) tanh x x=
Đáp án :

3
2
1. ( ) x = x
2
f x d x d
x
C
−

−
= +
−
∫ ∫

2.
3
( ) x = ( ) x =g x d x x d−
∫ ∫

=
3
x dx =x d x−
∫ ∫
=
3
4
2
2
4 3
x
x C− +

2
3. ( ) x = ((1 tan ) 1) x =
tan x - x + C
h x d x d+ −
=
∫ ∫

0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu 17 (mức độ A, 1 điểm; 15 phút ) Tính thể tích của kim tự tháp Kê - ốp có dạng là khối chóp tứ giác đều cao
147m, cạnh đáy dài 230 m.
Đáp án :
2 = -1.602 = -1.60
g = 1.60r = 1.60u = 0.00
A
D
B
C
S
- Tính diện tích đáy :
2
230
ABCD
S = =
52900 (m
2
)
- Viết công thức : V =
1
3
.
ABCD
S h =

=
1
3
× 52900 × 147 = 2592100 (m
3
)
0.25
0.25
0,5
Câu 18 (mức độ B; 2 điểm; 15 phút ) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
5