Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (phần 1)

VIẾT PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ( TIẾT 1)
A. Định nghĩa
- Tiếp tuyến : là đường thẳng tiếp xúc với đồ thị tại một điểm
- Phương trình tiếp tuyến:
Cho y  f  x  tại A  x0 ; y0  có một phương trình cụ thể như sau:

y  y '  x0  x  x0   y0
Hoặc y  f '  x0  x  x0   fx0

x0 : là hoành độ của tiếp điểm
y0 : là tung độ của tiếp điểm

y '  x0  : là hệ số góc của tiếp tuyến
Dạng 1: Phƣơng trình tiếp tuyến tại điểm:
Ví dụ 1: Cho hàm số : y 

2x  3
x 1

a) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x  2
b) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ y  1
c) Viết phương trình tiếp tuyến tại giao của đồ thị và x  y  3  0
Giải
a) Gọi phương trình tiếp tuyến tại điểm M  x0 ; y0  là:

y  y '  x0  x  x0   y0
Ta có : x0  2  y0 

y' 

2x 0  3

 1
x0  1

1

 x  1
 y '  x0   1
2

1 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh
– Sử - Địa tốt nhất!


Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y    x  2  1  y   x  1
b) Gọi phương trình tiếp tuyến tại điểm M  x0 ; y0  là:

y  y '  x0  x  x0   y0
Ta có y0  1 

2x 0  3
 1  2x 0  3  x0  1
x0  1

 3x 0  4  x0 

y' 

4
3

1

 x  1

2

 y '  x0  

1
4 
  1
3 

2

 9

4

Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y  9  x    1  y  9x  13
3


c) Gọi phương trình tiếp tuyến tại điểm M  x0 ; y0  là:

y  y '  x0  x  x0   y0
Phương trình hoành độ giao điểm:

2x  3
 x 3

x 1
 2x  3   x  3 x  1
 2x  3  x 2  4x  3
 x 2  2x  0
x  0

x  2
Trường hợp 1: x0  0  y0  3

2 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh
– Sử - Địa tốt nhất!


y' 

1

 x  1
 y '  x0   1
 y    x  0  3
2

 y  x  3

Trường hợp 2: x0  2  y0  1

 y '  x0   1
y    x  2 1  y   x  1

Ví dụ 2: Cho hàm số : y 

1 4
x  2x 2
4

a) Viết phương trình tiếp tuyến tại giao với Ox ( trục hoành)
b) Viết phương trình tiếp tuyến tại giao với Oy ( trục tung)
c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x  x0 sao cho y '  x0   1
Giải
a) Gọi phương trình tiếp tuyến tại điểm M  x0 ; y0  là:

y  y '  x0  x  x0   y0
Ta có : x0  0  y0  0

y '  x3  4x
y '  x0   0
Phương trình tiếp tuyến : y  0
b) Gọi phương trình tiếp tuyến tại điểm M  x0 ; y0  là:

y  y '  x0  x  x0   y0
Ta có : y0  0

3 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh
– Sử - Địa tốt nhất!


1 4
x0  2 x0 2  0
4
1


 x2  x2  2   0
2



 x  0  pttt : y  0

 x  2
Trường hợp 1: x0  2  y0  4

y '  x3  4x
y '  x0   0
Phương trình tiếp tuyến : y  0  x  2  4  y  4
Trường hợp 2: x0  2  y0  4

y '  x3  4x
y '  x0   0
Phương trình tiếp tuyến : y  0  x  2  4  y  4
c) Gọi phương trình tiếp tuyến tại điểm M  x0 ; y0  là:

y  y '  x0  x  x0   y0
y '  x 3  4x
 y" = 3x 2  4
 3x 0 2  4  1
 3x 0 2  3
 x0 2  1

Trường hợp 1: x0  1  y0 

7
4

y '  x0   3
Phương trình tiếp tuyến : y  3  x  1

7
5
 y  3x+
4
4

4 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh
– Sử - Địa tốt nhất!


Trường hợp 2: x0  1  y0 

7
4

y '  x0   3
Phương trình tiếp tuyến : y  3  x  1

7
5
 y  3x +
4
4

Dạng 2 : Đƣờng thẳng song song, vuông góc:
+ Phương trình đường thẳng tổng quát: y  ax  b ( a là hệ số góc)
*Hai đường thẳng song song  hai hệ số góc bằng nhau
*Hai đường thẳng vuông góc  tích các hệ số góc bằng 1
Ví dụ 1: Cho y 

2x  1
x2

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 3
Giải
Gọi phương trình tiếp tuyến tại điểm M  x0 ; y0  là:

y  y '  x0  x  x0   y0
Ta có : y '  x0   3



3

3

 x0  2 
2
  x0  2   1
2

 x0  1

 x0  3

x0  1  y0  1

 y '  x0   3

Phương trình tiếp tuyến : y  3  x  1  1  y  3x  2

x0  3  y0  5

 y '  x0   3

5 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh
– Sử - Địa tốt nhất!


Phương trình tiếp tuyến : y  3  x  3  5  y  3x  14
Ví dụ 2: Cho y  x3  3x 2  4
a) Viết phương trình tiếp tuyến song song y  9x  23
b) Viết phương trình tiếp tuyến vuông góc x  3 y  1  0
Giải
a) Gọi phương trình tiếp tuyến tại điểm M  x0 ; y0  là:

y  y '  x0  x  x0   y0
Vì tiếp tuyến song song y  9x  23

y '  x0   9
 3 x0 2  6 x0  9
 3 x0 2  6 x0  9  0
 x0  1


 x0  3
Trường hợp 1: x0  1  y0  0

 y '  x0   9
Phương trình tiếp tuyến : y  9  x  1  0  y  9x  9
Trường hợp 2: x0  3  y0  4

 y '  x0   9
Phương trình tiếp tuyến : y  9  x  3  4  y  9 x  23
1
1
b) x  3 y  1  0  3 y  x  1  y  x 
3
3

Gọi phương trình tiếp tuyến tại điểm M  x0 ; y0  là:

y  y '  x0  x  x0   y0

6 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh
– Sử - Địa tốt nhất!


1
1
Vì tiếp tuyến vuông góc với y  x 
3
3

1

y '  x0  .  1
3
2
 3x 0  6x 0  3
 x0  1  y0  2

 y  3  x  1  2
 y  3x  5
Ví dụ 3: Cho y  x3  3x 2  2  C 
Gọi M là điẻm thuộc  C  có hoành độ bằng 1 . Tìm m để tiếp tuyến tại M song song với
y   m2  5 x  3m  1

Giải
Gọi phương trình tiếp tuyến tại M là y  y '  x0  x  x0   y0
Vì tiếp tuyến song song với : y   m2  5 x  3m  1

 y '  x0   m 2  5
 9  m2  5
 m2  4  m  2

7 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh
– Sử - Địa tốt nhất!