Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (phần 2)

VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ( TIẾT 2)
Dạng 3 : Tiếp tuyến cắt hai trục tọa độ:

+ Nếu tiếp tuyến cắt Ox  tan   K

 là góc tạo bởi tiếp tuyến và trục Ox
K: là hệ số góc của tiếp tuyến





1
Ví dụ 1: Cho y  x3  x 2  1  3 x
3

Viết phương trình tiếp tuyến tạo với chiều dương trục Ox 1 góc 60
Giải
Gọi phương trình tiếp tuyến tại M  x0 ; y0  là : y  y '  x0  x  x0   y0

1 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh
– Sử - Địa tốt nhất!


Vì tiếp tuyến tạo với chiều dương trục Ox 1 góc 60

 tan 60  y '  x0 
 3  x0 2  2x 0  1  3
 x0 2  2x  1  0
 x0  1
1

 y0   3
3
 y '  x0   3
1
1
Vậy phương trình tiếp tuyến : y  3  x  1   3  y  3x 
3
3

Ví dụ 2: Cho y 

x2
2x  3

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị cắt trục hoành, trục tung tại A,B sao cho AOB cân tại
O
Giải

Gọi phương trình tiếp tuyến tại M  x0 ; y0  là : y  y '  x0  x  x0   y0
Vì AOB vuông cân tại O

 tiếp tuyến tạo với Ox 1 góc 45
 y '  x0   tan 45

2 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh
– Sử - Địa tốt nhất!


 y '  x0   1


 y '  x0   1
Trường hợp 1: y '  x0   1


1

 2x 0  3

2

 1 ( vô nghiệm )

Trường hợp 1: y '  x0   1



1

 1

 2x 0  3
2
  2x 0  3  1
2

 x0  1  y0  1  y    x  1  1  y   x

 x0  2  y0  0  y    x  2   0  y   x  2
Ví dụ 3: Cho y 

x 3
x 1

Viết phương trình tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy tại A, B sao cho OB  4OA
Giải

Gọi phương trình tiếp tuyến tại M  x0 ; y0  là : y  y '  x0  x  x0   y0
Ta có góc giữa tiếp tuyến và Ox bằng 

3 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh
– Sử - Địa tốt nhất!


 tan  
 y '  x0 

OB
4
OA
 tan x  4

 y '  x0   4

 y '  x0   4

Trường hợp 1: y '  x0   4



4

 x0  1

2

4

 x0  0  y0  3  y  4  x  0   3  4x  3

 x0  2  y0  5  y  4  x  2   5  4x + 13
Trường hợp 2: y '  x0   4


4

 x0  1

2

 4 ( vô nghiệm)

Ví dụ 4: Cho y 

x
x 1

Viết phương trình tiếp tuyến cắt 2 trục tạo thành tam giác có diện tích bằng

1
8

Giải

Gọi phương trình tiếp tuyến: y  y '  x0  x  x0   y0

4 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh
– Sử - Địa tốt nhất!


 y

1

 x0  1

 x  x0  

2

x0
x0  1

Gọi tiếp tuyến giao với Ox  A  yA  0

O


x

 x0  1

x0

 x0  1

2





2

x0

 x0  1

2



x0
x0  1

x0
x

x0  1  x0  12

 x  x0  x0  x0  1

 x   x0 2

 A    x0 2 ;0 
OA   x 2 ;0  

x 

2 2

 x2

Gọi tiếp tuyến giao với Oy  B  xB  0

 x0

 yB 



 x0  1
 x  x  x  1
 0 0 02
 x0  1
yB 

2

x0
x0  1

x0

 x0  1

2


x0 
 B   0;

  x  12 
0


2

x0
1
1
1
SABO  OA.OB  x0 2 .

2
2
2
 x  1 8
0



x

x0
0

4

 1

2



1
4

5 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh
– Sử - Địa tốt nhất!


 2
 x0  1
 x0  1  
 x 1 2
x   1
0

 0
2
 2

 x0   1 (voâ nghieäm)
 x 1
2
 0

Dạng 4 : Tiếp tuyến đi qua điểm
Cho y  f  x  và một đường thẳng bất kì  : y  Kx  b
Điều kiện để  tiếp tục với đồ thị

 hệ sau có nghiệm :
 Kx  b  f  x 

 K  f '  x 
Ví dụ 1 : Cho y  4x 3  6x 2  1
Viết phương trình tiếp tuyến đi qua M  1; 9 
Giải
Gọi phương trình đường thẳng đi qua M  1; 9 

 y  K  x  1  9
Để đường thẳng trở thành tiếp tuyến của đồ thị thì hệ phương trình sau có nghiệm
3
2

4x  6x  1  K  x  1  9

2

 K  12x  12x  2 

1

Thay  2  vào 1
 4x 3  6x 2  1  12x 2  12x   x  1  9
 x  1  K  24  y  24  x  1  9  24x  15

 x  5  K  15  y  15  x  1  9  15 x  21

4
4
4
4
4

6 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh
– Sử - Địa tốt nhất!


Phương trình tiếp tuyến là : y  24x  15 và y 

15
21
x
4
4

Ví dụ 2 : Cho y  x 3  3x  2
Tìm trên trục hoành điểm mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến
Giải
Gọi đường thẳng đi qua điểm M  a;0  trên trục hoành sẽ là :

y  K  x  a
Để đường thẳng trở thành tiếp tuyến thì hệ phương trình sau có nghiệm
3

 x  3x  2  K  x  a 

2

 K  3x  3  2 

1

Thay  2  vào 1

  x3  3x  2   3x 2  3  x  a 
  x3  3x  2  3x 3  3x  3ax 2  3a
 2 x3  3ax 2  3a  2  0
  x  1  2 x 2   3a  2  x  3a  2   0
 x  1  0  x  1
 2
 2 x   3a  2  x  3a  2  0 *
Để phương trình có ba nghiệm phân biệt thì phương trình * có hai nghiệm phân biệt khác 1

 3a  2   4.2  3a  2   0
  0


 x  1 2   3a  2   3a  2  0
2

25

a  6

9a 2  36a  12  0
1

 a 

6
6a  2

a  1


7 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh
– Sử - Địa tốt nhất!