HD chấm thi Olympic huyện Toán 8 (07-08)

Hớng dẫn chấm thi Ô-lim -pic huyện, Môn Toán Lớp 8 Năm học 2007-2008
Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (2 điểm)
a) a
2
a 6 = a
2
+ 2a -3a 6 = a(a + 2) -3( a + 2) = ( a + 2)( a 3) (2đ)
b) a
4
+ 4 = a
4
+ 4a
2
+ 4 4a
2
= (a
2
+ 2)
2
- 4a
2

= (a
2
+ 2 + 2a)( a
2
+ 2 - 2a) (2đ)
Bài 2. a) Tìm đa thức bậc ba f(x), biết: f(x) + f(x + 1) = 4x
3
+ 14x
2

+ 16x + 17 (2 điểm)
Giải: Đa thức phải tìm có dạng ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a, b, c, d

R)
Ta có: f(x) + f(x + 1) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d + a(x + 1)
3
+ b(x + 1)
2
+ c(x + 1) + d
= 2ax
3
+(3a + 2b)x
2
+ (3a + 2b + 2c)x + a + b + c + 2d = 4x
3
+ 14x
2
+ 16x + 17
Đồng nhất hai vế ta có:
2a = 4 => a = 2
3a + 2b = 14 => b = 4
3a + 2b + 2c =16 => c = 1

a + b + c + 2d = 17 => d = 5.
Vậy đa thức phải tìm là 2x
3
+ 4x
2
+ x + 5
b) Tìm n

N
*
sao cho n
2
+ n + 13 là số chính phơng. (2 điểm)
Giải: Đặt n
2
+ n + 13 = y
2
(y

N
*
) => 4n
2
+ 4n + 52 = 4y
2

<=> (2y + 2n + 1) (2y 2n - 1) = 51 <=>

2y 2n 1 17 n 3
2y 2n 1 3 y 5

2y 2n 1 51 n 12
2y 2n 1 1 y 5

+ + = =




= =



+ + = =




= =



Vậy n = 3, hoặc n = 12
Bài 3 . Cho f(x) =
100
100 10+
x
x
, tính tổng:
S = f(
1

2009
) + f(
2
2009
) + f(
3
2009
) + + f(
2008
2009
) (3,5 điểm)
Giải: Nếu x
1
+ x
2
= 1 thì:
f(x
1
) + f(x
2
) =
1
1
100
100 10+
x
x
+
2
2

100
100 10+
x
x
=
1 2 1 1 2 2
1 2 1 2
100 10.100 100 10.100
100 10.100 10.100 100
+ +
+
+ + +
+ + +
x x x x x x
x x x x
=
1 2
1 2
100 10.100 100 10.100
1
100 10.100 10.100 100
+ + +
=
+ + +
x x
x x
. Do đó: f(
1
2009
) + f(

2008
2009
) = 1; f(
2
2009
) + f(
2007
2009
) = 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f(
1004
2009
) + f(
1005
2009
) = 1. => S = 1004
Bài 4. a) Tìm giá trị lớn nhất của biẻu thức: P =
2
4 2
x
x x 1+ +
(1.5 điểm)
Giải: Ta thấy x = 0 thì P = 0 giá trị này không phải là GTLN của P, P đạt GTLN với x

0
P =
2
2
1

1
(x ) 1
x
+ +
đạt GTLN <=>
2
2
1
x
x
+
nhỏ nhất <=>
2
2
1
x
x
+
= 2<=> x = 1
Vậy max P =
1
3
<=> x = 1
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =
2 2
2
( 18 32)( 9 8)+ + + +x x x x
x
(3 điểm)
Giải: A =

2
( 2)( 16)( 8)( 1)+ + + +x x x x
x
=
2 2
2
( 10 16)( 17 16)+ + + +x x x x
x
=
=
16 16
( x 10 )( x 17 )
x x
+ + + +
Vì
16
x 8
x
+ +
Nên A (10 + 8)(17 + 8) = 450
Dấu bằng xẩy ra <=>
x 4=
<=> x = 4

Bài 5. Cho hình vuông ABCD, M và N theo thứ tự là trung điểm của của AB và AD. MD cắt AC
tại P, NC cắt BD tại Q, MD và NC cắt nhau tại E, PQ và BE cắt nhau tại F. Chứng minh:
a) BC = BE (3điểm)
b) FP = FE (3điểm)
Giải: a) Ta có:

AMD =

DNC vì
AD = DC (gt) AM = DN = 1/2AD,
ã
ã
MAD NDC=
= 1v
=>
ã
ã
EDN END+
=1v =>
ã
NED
= 1v.
Đờng thẳng DM cắt đờng thẳng CB tại K.
Ta có MB là đờng trung bình của

DCK
=> BK = BC,
EB là trung tuyến thuộc cạnh huyền
tam giác vuông EKC => BC = BE (Đpcm)
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD, ta có P là trọng tâm

ABD, Q là trọng tâm

DCA =>
OP OQ 1
OA OD 3

= =
=> PQ//AD//KC =>
FP FQ E
KB BC EB
= =
=> FP = FE (Đpcm)
A
B C
D
K
M
N
P
Q
O
F
E