HD chấm thi HSG huyện Toán 9 (07-08)

Hớng dẫn chấm toán 9
Câu 1. (4 điểm, mỗi câu 2 điểm)
Tìm x, y

N
*
sao cho:
a) xy - 3x + y = 20;
<=> xy - 3x + y -3 = 17<=> x(y 3) + (y -3) = 17
<=> (y 3)(x + 1) = 17 <=>

x 1 1
y 3 17
+ =


=

<=>
x 0
y 20
=


=

(loại) ; Hoặc
x 1 17
y 3 1
+ =

=

<=>
x 16
y 4
=


=

Vậy cặp số x, y thỏa mãn đ/k của bài toán là: (16, 4)
b)
+
=
+
2 2
x y 3
x y 5

Vì vai trò của x và y nh nhau nên giả sử x

y. Ta có: 5(x + y) = 3(x
2
+ y
2
) <=> x(5 3x) = y(3y

- 5).
Vì x, y cùng dấu nên 5 3x và 3y

5 cùng dấu.
+ Nếu 5 3x > 0 thì 3y

5 > 0 => x <
5
3
và y >
5
3
=> y > x vô lý.
+ Nếu 5 3x < 0 thì 3y

5 < 0 => x >
5
3
và y <
5
3
=> y =1, x = 2;
Vậy cặp số (x,y) thoả mãn đ/k bài toán là (1, 2); (2, 1)
Câu 2. (4 điểm, mỗi câu 2 điểm)
Cho các số dơng a, b, c thỏa mãn a + b + c = 6abc.
a) Chứng minh
2 2 2
1 1 1
6
a b c
+ +

áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dơng ta có:

2 2
2 2
2 2
1 1 2
a b ab
1 1 2
b c bc
1 1 2
c a ac

+



+



+


=>
2 2 2
1 1 1
a b c
+ +

1 1 1 a b c

6
ab bc ca abc
+ +
+ + = =
Vậy
2 2 2
1 1 1
6
a b c
+ +
. Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi
2 2 2
a b c 6abc
1 1 1
a b c
+ + =



= =


=> a = b = c =
1
2
b) Tìm gía trị nhỏ nhất của biểu thức:
3 3 3
a b c
b c a
+ +

.
áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dơng ta có:

3 2
3 2
3 2
a 1 2
b ab b
b 1 2
c bc c
c 1 2
a ac a

+



+



+


=>
3 3 3
a b c
b c a
+ +
+ 6

2
2 2 2
1 1 1
( ) 12
a b c
+ +
. Vậy
3 3 3
a b c
6
b c a
+ +
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi: a = b = c =
1
2
Câu 3. (4 điểm, mỗi câu 2 điểm)
a) Tìm phần d R(x) khi chia đa thức P(x) = x
2007
+ x
207
+ x
27
+ x
7
+ x + 1 cho đa thức Q(x) = x
3
- x
R(x) có dạng: ax
2

+ bx + c ; P(x) = Q(x) . M(x) + R(x)
= x(x 1)(x + 1) . M(x) + ax
2
+ bx + c.
P(0) = 1 = c; P(1) = 6 = a + b + c; P(-1) = - 4 = a b + c => a = 0; b = 5. Vậy R(x) = 5x + 1
b) Tìm đa thức f(x) = 2x
2
+ ax + b biết
[ ]
x 1,1
thì
f ( x ) 1
Thay x = 0; x = 1; x = -1 vào đa thức f(x) = 2x
2
+ ax + b ta có:
f (0) b
f (1) 2 a b
f ( 1) 2 a b
=


= + +


= +

=>
( )
( )
( )

1 b 1 1
3 a b 1 2
3 a b 1 3



+


+


Cộng vế theo vế (2) và(3) ta đợc
3 b 1

, kết hợp với (1) => b =
1
Thay b =
1
vào (2) => -2

a

0; Thay b =
1
vào (3) => 0

a

2 => a = 0.

=> f(x) = 2x
2


1. Ta có:
2 2 2 2
0 x 1 0 2x 2 1 2x 1 1 2x 1 1
.
Vậy đa thức phải tìm là f(x) = 2x
2


1
Câu 4. (3 điểm)
Giải phơng trình:
2 2 2
3x 12 x 16 4 x 16 x 25 1 x 4 x+ + + + + =
<=>
2 2 2
3(x 2) 4 4(x 2) 9 5 (x 2)+ + + + + = +
mà
2
3(x 2) 4 2+ +
;
2
4(x 2) 9 3+ +

2
5 (x 2) 5 +

x. Từ đó phơng trình đã cho chỉ có nghiệm khi hai vế nhận giá trị bằng nhau và bằng 5
hay
2
5 (x 2) 5 + = => x = - 2. Vậy nghiệm của phơng trình là x = - 2
Câu 5. (5 điểm, mỗi câu 2,5 điểm)
Cho tam giác cân ABC (
à
0
A 90>
)
à à
B C

= =
. H là trung điểm của BC. Kẻ HD vuông góc với AC (D

AC). Đờng thẳng AI vuông góc với BD (I

BD) cắt HD tại O. Chứng minh:
a) Sin2

= 2 sin

.cos


b) O là trung điểm của HD
Lời giải
a) H là trung điểm của BC nên AH

BC
Vẽ BE

AC (E

đờng thẳng AC)

ã
ã
EAB 2ABC=
(góc ngoài tam giác ABC).
Ta có:
Sin
ã
ABC
2
2S
BE BE.AC
EAB
AB AB.AC AB
= = =
(1)
2Sin
ã ã
ABC
2 2
2S
AH BH AH.BC
ABH CosABH 2 .

AB AB AB AB
= = =
(2)
Từ (1) và (2) => Sin2

= 2 sin

.cos


b) Ta có:
ã
ã
AHD ACH=
( Cùng phụ với
ã
HAD
)
=>

CBE
:

HAD =>
CB CE
HA HD
=
(3)
Gọi K là giao điểm của BD với AH..
ã

ã
ã
ã
CBD BKH 1v, HAI AKD 1v+ = + =

Mà
ã
ã
BKH AKD=
(đđ) nên
ã
ã
CBD HAI=

=>

CBD
:

HAO =>
CB CD
HA HO
=
(4)
Từ (3) và (4)
CE
HD
=
CD
HO

mà CE = 2 CD (HD là đờng trung bình tam giác BEC)
Nên HD = 2HO => O là trung điểm của HD
A
C
B
E
H
D
I
K
O