ổn định của các thanh thẳng

Chương 2. Ổn định của các thanh thẳng



2-1

Chương 2.
ỔN ĐỊNH CỦA CÁC THANH THẲNG
2.1 Các phương trình tổng quát của đường đàn hồi trong thanh chịu uốn
Ta nghiên cứu thanh chịu lực nén P ở trạng thái cân bằng biến dạng với các chuyển
vị nhỏ. Giả sử ở trạng thái biến dạng, đầu trái của thanh có chuyển vị thẳng theo phương
trục y là y(o) và chuyển vị góc là y’(o), đồng thời tại đầu trái của thanh cũng xuất hiện

mô men uốn M(o) và lực cắt Q(o) vuông góc với vị
trí ban đầu của thanh (hình 2-1).
Mô men uốn tại tiết diện bất kỳ của thanh ở trạng thái biến dạng:
M(z) = M(o) + Q(o)z + P[y - y(o)].
Từ phương trình vi phân của đường đàn hồi :
EJ
M
y
,,
−=

ta có:
EJ
y(o)] -P[y Q(o)z M(o)
,,
++
−=y

Hay:
EJ
Py(o)- Q(o)z M(o)
yαy
2,,
+
−=+
(2-1)
Trong đó:
EJ
P
α
2
=
(2-2)
Nghiệm của phương trình vi phân trên có dạng:
()
()
( ) ( )
EJ
PyzQM
zBzAzy
2
000
cossin
α
αα
−+
−+=

(2-3)
Trong đó: A, B là các hằng số tích phân được xác định theo các điều kiện biên ở
đầu trái khi z = 0. Muốn vậy trước tiên ta hãy lấy đạo hàm của y theo z ta có:
EJα
Q(o)
αBsinααcosαA)(
2
,
−−= zzzy
(2-4)
Từ (2-3) và (2-4) ta có thể viết điều kiện biên ở đầu trái khi z = 0 như sau:
EJα
Py(o)- M(o)
By(o)
2
−=
;
EJα
Q(o)
αA(o)y
2
,
−=
;
M
(0)
P
y
(0)

Q
(0)
y
(0)
,
y
z
z
y
P
M
Q
Q
P
M+dM
dy
dz
a,
b,

Hình 2-1. Sơ đồ biến dạng uốn dọc của thanh.
Chương 2. Ổn định của các thanh thẳng



2-2

suy ra:
EJ
Q(o)

(o)y
A
3
α
α
+
′
=
;
( )
EJa
M
B
2
0
=
.
Thay các giá trị vừa tìm được của A và B vào (2-3) ta được phương trình của đường
đàn hồi:
()()
zzzz αsinα
EJα
Q(o)
cosα1
EJα
M(o)
sinα
α
(o)y
y(o)y(z)

32
,
−−−−+=
. (2-5)
Trong phương trình (2-5) các đại lượng y(o), y’(o), M(o) và Q(o) được gọi là các
thông số ban đầu.
Đối với mỗi loại thanh có liên kết khác nhau, ta có thể xác định các thông số chưa
biết từ các điều kiện biên ở đầu phải.
Từ phương trình (2-5), ta tìm được phương trình góc xoay và từ đó suy ra phương
trình mô men uốn trong thanh:
()
z1zz αcos
α
α
α
αcos
,
−−−=
EJ
Q(o)
sin
EJ
M(o)
(o)y(z)y
2
,
(2-6)
)sin
)(
cos)(sin)()()( z

oQ
zoMzoyEJzyEJzM
α
α
ααα
++
′
=
′′
−=

(2-7)
Từ điều kiện cân bằng lực như trên hình (2-1) ta xác định được lực cắt Q(z) theo sơ
đồ thanh không biến dạng:
Q(o)
dz
dy
P
dz
dM(z)
Q(z) =−=
(2-8)
Các phương trình (2-5) ÷ (2-8) thiết lập cho trường hợp chuyển vị và nội lực trong
thanh là liên tục. Nếu dọc theo chiều dài của thanh, chuyển vị và nội lực có bước nhảy
(gián đoạn) thì ta cần phải thiết lập các phương trình nội lực và chuyển vị cho từng đoạn
thanh trong đó các đại lượng này là liên tục. Đối với đoạn thứ nhất ta có thể dùng các
phương trình (2-5) ÷
(2-8), đối với đoạn bất kỳ thứ m + 1 ta có thể viết các phương trình
chuyển vị và nội lực theo các phương trình của đoạn thứ m như sau:
() ()

[]
−−−−++=
+ i
2
a
i
,
a
am1m
azcos-1
EJ
M
azsin
y
y(z)y(z)y
ii
i
α
α
∆
α
α
∆
∆



()()
[]
ii

3
a
azsinα-azα
EJα
∆Q
i
−−−
; (2-9)
() ()
−−−−+=
+ i
a
i
,
a
,
m
,
1m
azsinα
αEJ
∆M
azcosα∆y(z)y(z)y
i
i

-
()
[]
i

2
a
azcosα-1
EJα
∆Q
i
−
; (2-10)
( ) ( )
+−+−+=
+ i
a
i
,
am1m
azcosMazsinyEJ(z)M(z)M
i
i
α∆α∆α

Chương 2. Ổn định của các thanh thẳng



2-3

+
()
i
a

azsinα
α
∆Q
i
−
; (2-11)
apm1m
∆Q(z)Q(z)Q +=
+
. (2-12)
Trong đó
i
az ≥
,
i
a
biểu thị toạ độ của tiết diện ranh giới giữa đoạn thứ m và đoạn
thứ m + 1, tại đó có sự gián đoạn về chuyển vị và nội lực. Các đại lượng
i
a
∆y
,
,
a
i
∆y
,
i
a
∆M

,
i
a
∆Q
lần lượt biểu thị giá trị của các bước nhảy về độ võng, góc xoay, mô men
uốn và lực cắt tại toạ độ z = a
i
.
2.2 Ổn định của các thanh thẳng có liên kết cứng ở hai đầu
Trong thực tế, các thanh thẳng chịu nén có thể có các liên kết ở hai đầu dưới các
hình thức khác nhau như sau:
1. Thanh có hai đầu là khớp
2. Thanh có một đầu tự do và một đầu ngàm,
3. Thanh có một đầu ngàm, một đầu ngàm trượt theo phương vuông góc với trục
thanh.
4. Thanh có một đầu ngàm, một đầu ngàm trượt theo trục của thanh,
5. Thanh có một đầu khớp một đầ
u ngàm.
Để xác định lực tới hạn cho những thanh nói trên, ta có thể áp dụng phương pháp
tĩnh học hoặc các phương pháp khác như phương pháp năng lượng đã trình bày trong
chương 1. Ở đây ta áp dụng phương pháp tĩnh học, đồng thời sử dụng các phương trình
tổng quát đã lập ở mục 1, để giải quyết chính xác bài toán.
Xét trường hợp thứ nhất là: thanh có khớp ở hai đầu. Đối với trườ
ng hợp này, các
thồng số ban đầu có giá trị như sau:
y(o) = 0 , y’(o) = ?
M(o) = 0, Q(o) = ?
Do đó, từ phương trình tổng quát (2-5) ta có:
()
α

α
)
zsin
(oy'zy =

Theo điều kiện biên khi z = l, y(l) = 0 ta được:
()
0
α
α
) ==
l
l
sin
(oy'y

Điều kiện này được thoả mãn với hai khả năng: y’(o) = 0, hoặc sinαl = 0. Nếu
y’(o) = 0, thì y(z) = 0, lúc này thanh vẫn thẳng chưa mất ổn định. Muốn cho lực P đạt đến
giá trị tới hạn tương ứng với trạng thái mất ổn định thì trong hệ phải tồn tại trạng thái cân
bằng mới khác trạng thái cân bằng ban đầu. Do đó y’(o) phải khác không. Vậy, sinαl = 0.
Từ đó rút ra αl = k
π và từ (2-2) ta xác định được:
2
22
th
EJπk
P
l
=
với k = 1, 2, ... , ∞.

Chương 2. Ổn định của các thanh thẳng



2-4

Tải trọng tới hạn nhỏ nhất tương ứng với khi k = 1 thì:
2
2
th
EJπ
P
l
=

Công thức này là công thức Ơ-le đã quen biết trong giáo trình sức bền vật liệu.
Cũng áp dụng phương pháp trên ta có thể tìm được tải trọng tới hạn cho bốn trường
hợp sau
()
2
2
th
µ
EJπ
P
l
=
(2-13)
Trong đó µ là hệ số phụ thuộc vào dạng liên kết ở hai đầu thanh và có giá trị cho
trong bảng 2-1.

Bảng 2-1. Bảng xác định hệ số m

Sơ

đồ

thanh












µ
1 2 1 0,5 0,7
2.3 Ổn định của các thanh thẳng có liên kết đàn hồi

P
y
l
y
(0)
z
ϕ

ϕ
v
vt
g
θ
ctgv
v
th
π
2
π
3
π
2
a,
b,

Hình 2-2. a) Sơ đồ tính; b) Đồ thị tìm V
th
.
Trong thực tế, ta còn gặp các thanh có liên kết đàn hồi. Trong mục này ta sẽ nghiên
cứu cách tính ổn định của thanh có các dạng liên kết đàn hồi thường gặp như sau:
2.3.1 Thanh có một đầu tự do và một đầu ngàm đàn hồi
Trong trường hợp này, các thông số ban đầu có giá trị như sau (hình 2-2a)
y(o) = ? , y’(o) = ?
M(o) = 0, Q(o) = 0

P
l

P
P
P
P
l

Chương 2. Ổn định của các thanh thẳng



2-5

Các phương trình (2-5) và (2-6) có dạng:
zsinα
α
(o)y
y(o)y(z)
,
+=

z
(o)cosαy(z)y
,,
=

Điều kiện biên: khi z = l; y(l) = 0 và y’(l) = ϕ.
Nếu gọi
ϕ
là hệ số đàn hồi của liên kết tức là góc xoay của ngàm đàn hồi do mô
men bằng đơn vị gây ra thì trong trường hợp này, vì mô men tại ngàm đàn hồi bằng -

P.y(o), nên:
ϕϕ
Py(o).−=

Theo các điều kiện biên ta lập được hai phương trình thuần nhất như sau để xác
định y(o) và y’(o):
0
α
α
=
′
+
lsin
(o)yy(o)

ϕ
Py(o)cos −=
′
loy α)(
.
Từ điều kiện tồn tại các thông số y(o) và y’(o) ta được phương trình ổn định:
()
0
cosαP
α
sinα
1
αD ==
l
l

ϕ

Sau khi khai triển định thức trên ta có:
0
P
.lsinlcos
=
ϕ
−
α
αα

hay:
ϕ
=
EJ.
l
ltg.l
αα
(2-14)
Nếu đặt
vα =l
và
θ
=
ϕ
tg
1
EJ
l

thì phương trình ổn định có dạng:
vtgθcotgv =
.
Để giải phương trình siêu việt trên ta nên dùng phương pháp đồ thị: Lần lượt vẽ
các đường biểu diễn của các hàm số β = cotgv và β = v.tgθ theo biến số v như trên (hình
2-2b) để tìm giao điểm của chúng. Hoành độ của những giao điểm này xác định các
nghiệm cần tìm. Nghiệm có ý nghĩa thực tế là nghiệm cho lực tới hạn nhỏ nhất. Sau khi
tìm được v
th
ta sẽ xác định được
l
th
th
v
α =
và từ đó suy ra lực tới hạn tương ứng.
Từ hình vẽ ta thấy v
th
nhỏ nhất có giá trị luôn luôn nhỏ hơn π/2 do đó lực tới hạn
luôn luôn nhỏ hơn giá trị π
2
EJ/4l
2
là lực tới hạn tương ứng với thanh có một đầu tự do và
một đầu ngàm cứng.
Trường hợp giới hạn khi
0=
ϕ
thì v
th

= π/2 do đó P
th
= π
2
EJ/4l
2
.
2.3.2 Thanh có một đầu ngàm cứng còn một đầu có liên kết thanh đàn hồi (hình
2-3a).