Bài tập hình nón (có lời giải chi tiết)

THI ONLINE – BÀI TOÁN VỀ HÌNH NÓN – CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. Cho hình nón (N) có chiều cao h, độ dài đường sinh l, bán kính đáy r. Ký hiệu Stp là diện tích toàn phần
của (N). Công thức nào sau đây là đúng?
A. Stp   rl

B. Stp   rl  2 r

C. Stp   rl   r 2

D. Stp  2 rl   r 2

Câu 2. Gọi l, h, R lần lượt là dộ dài đường sinh, chiều cao và bán kính của hình tròn đáy. Đẳng thức nào sau
đây luôn đúng?
A. l 2  h2  R 2

B.

1 1
1
 2 2
2
l
h R

C. R 2  h2  l 2

D. l 2  hR

Câu 3. Cho hình nón (N) có chiều cao bằng 4cm, bán kính đáy bằng 3cm. Diện tích xung quanh của (N) là:
A. 12  cm 2 

B. 15  cm 2 

C. 20  cm 2 

D. 30  cm 2 

Câu 4. Cho hình nón (N) có đường sinh bằng 9cm, chiều cao bằng 3cm. Thể tích khối nón (N) là:
A. 72  cm3 

B. 216  cm 3 

C.

72  cm 3 

D. 27  cm3 

Câu 5. Diện tích xung quanh của hình nón được sinh ra khi quay tam giác đều ABC cạnh a xung quanh đường
cao AH là:
A.  a

2

B.

 a2
2

C. 2 a

2

D.

 a2 3
2

Câu 6. Cho tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh AB  2a . Quay tam giác này xung quanh cạnh AB. Tính
thể tích của khối nón được tạo thành:
A.

4 a 3
3

B.

4 a 3
3

C.

8 a 3
3

D.

8 a 3 2
3

  300 . Quay tam giác này xung quanh cạnh AB. Diện tích

Câu 7. Cho tam giác ABC vuông tại B có AB  a, A
toàn phần của hình nón được tạo thành là:
A. 3 a 2

B.

5 2
a
3

C.  a 2

C.

3 a 2

Câu 8. Cắt hình nón (N) bằng một mặt phẳng đi qua trục của hình nón được thiết diện là một tam giác vuông
cân có diện tích bằng 3a 2 . Diện tích xung quanh của hình nón là:
A. 6 a 2  cm 2 

B.

2 a 2  cm 2 

C. 6 2 a 2  cm 2 

D. 3 2 a 2  cm 2 

Câu 9. Cho hình chóp đều S.ABCD, đáy có cạnh 2a, cạnh bên bằng 3a. Hình nón (N) ngoại tiếp hình chóp
S.ABCD. Thể tích của khối nón (N) là:

1 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
tốt nhất!


A.

7 a 3  cm3 

B.

7 a 3
cm3 

3

C. 2 a 3  cm3 

D.

2 7 a 3
cm3 

3

Câu 10. Một hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy và bằng 2R. Diện tích xung quanh của hình nón
bằng:
A.

 R2

2

B.  R 2

C. 2 R 2

D. 4 R 2

Câu 11. Cho hình nón đỉnh S có đường cao bằng 6cm, bán kính đáy bằng 8cm. Trên đường tròn đáy lấy hai
điểm A, B sao cho AB  12cm . Diện tích tam giác SAB bằng:
A. 48  cm 2 

B. 40  cm 2 

C. 60  cm 2 

D. 100  cm 2 

Câu 12. Một hình tứ diện đều cạnh a có một đỉnh là đỉnh của hình nón, 3 đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy
của hình nón. Thể tích khối nón bằng:
A.

 a3 3
27

B.

 a3 6
27

C.

 a3 3
9

D.

 a3 6
9

Câu 13. Một hình nón được sinh ra do một tam giác đều cạnh a quay quanh đường cao của nó. Một mặt cầu có
thể tích bằng thể tích hình nón đó thì có bán kính bằng:
A.

a3 2 3
4

B.

a3 3
8

C.

a3 2 3
8

D.

a3 2 3

2

Câu 14. Một hình nón có đường sinh bằng 3cm và góc ở đỉnh bằng 900 . Cắt hình nón bởi mặt phẳng   đi
qua đỉnh sao cho góc giữa   và mặt đáy bằng 600 . Khi đó diện tích thiết diện là:
A.

9 3
cm 2 

2

B.

27
cm2 

2

C. 6  cm 2 

D. 3 2  cm 2 

Câu 15. Khối nón (N) có chiều cao bằng 3a. Thiết diện song song và cách mặt đáy một đoạn bằng a, có diện
64 2
tích bằng
 a . Khi đó thể tích khối nón (N) bằng:
9
A. 16 a 3

B.

25 3
a
3

C. 48 a 3

D.

16 3
a
3

Câu 16. Cho hình nón đỉnh S, tâm đáy là O, góc ở đỉnh là 135̊. Trên đường tròn đáy lấy điểm A cố định và
điểm M di động. Tìm số vị trí M để diện tích SAM đạt giá trị lớn nhất?
A. Vô số

B. 3

C. 2

D. 1

Câu 17. Cho mặt cầu tâm O bán kính R. Xét mặt phẳng (P) thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn
(C). Hình nón (N) có đỉnh S nằm trên mặt cầu, có đáy là đường tròn (C) và có chiều cao h  h  R  . Tính h để
thể tích khối nón được tạo nên bởi (N) có giá trị lớn nhất.
2 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
tốt nhất!

A. h  3R

B. h  2R

C. h 

4R
3

D. h 

3R
2

Câu 18. Người ta đặt được vào một hình nón hai khối cầu có bán kính lần lượt là a và 2a sao cho các khối cầu
đều tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón, hai khối cầu tiếp xúc với nhau và khối cầu lớn tiếp xúc với đáy
của hình nón. Bán kính đáy của hình nón đã cho là:
A.

8a
3

B.

2a

C. 2 2a

D.

4a
3

Câu 19. Cho tam giác ABC vuông tại A cạnh AB  6, AC  8 , M là trung điểm AC. Tính thể tích khối tròn
xoay do tam giác BMC quay một vòng quanh cạnh AB là:
A 98

C. 96

B. 106

D. 86

Câu 20. Có một cái cốc làm bằng giấy, được úp ngược như hình vẽ. Chiều cao của cốc là 20cm, bán kính đáy
cốc là 4cm, bán kính miệng cốc là 5cm. Một con kiến đang đứng ở điểm A của miệng cốc dự định sẽ bò hai
vòng quanh thân cốc để lên đến đáy cốc ở điểm B. Quãng đường ngắn nhất để con kiến có thể thực hiện được
dự định của mình gần đúng nhất với kết quả nào dưới đây:
A. l  58,67 cm

B. l  58,80 cm

C. l  59,98 cm

D. l  61, 20 cm

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
THỰC HIỆN BỞI BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM

1C

2A

3B

4A

5B

6C

7C

8D

9D

10C

11A

12B

13A

14D

15A

16C

17C

18C

19C

20B

3 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
tốt nhất!


Câu 1.
Hướng dẫn giải chi tiết

Stp  S xq  Sđ   rl   r 2
Chọn C.
Câu 2.
Hướng dẫn giải chi tiết

Áp dụng định lí Pi – ta – go trong tam giác vuông ABH ta có: l 2  h2  R 2
Chọn A.
Câu 3.
Hướng dẫn giải chi tiết

Xét tam giác vuông SHB có: SB2  SH 2  HB2  42  32  5  cm   h
Sxq   rl   .3.5  15  cm 2 

Chọn B.
Câu 4.

Hướng dẫn giải chi tiết
4 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
tốt nhất!


Ta có: l  SA  9cm, h  SH  3cm
Xét tam giác vuông SAH có: AH  SA 2  SH 2  92  32  72  r

1
1
Khi đó thể tích khối nón là: V   r 2 h   .72.3  72  cm3 
3
3
Chọn A.
Câu 5.
Hướng dẫn giải chi tiết

Quay tam giác đều ABC quanh đường cao AH của nó ta được hình nón đỉnh A, đáy là đường tròn đường kính
BC.

1
1
Ta có: BH  CH  BC  a  r (Trong tam giác đều đường cao đồng thời là đường trung tuyến)
2
2

l  AB  a
a
 a2
Vậy diện tích xung quanh của hình nón là: Sxq   rl   .a 

2
2
Chọn B.
Câu 6.
Hướng dẫn giải chi tiết

5 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
tốt nhất!


Ta có: h  AB  2a, r  AC  2a

1 2
1
8 a 3
2
Thể tích khối nón là: V   r h    2a  .2a 
3
3
3
Chọn C.
Câu 7.
Hướng dẫn giải chi tiết

Xét tam giác vuông ABC có: BC  AB.tan 30  a.

AC  AB2  BC2  a 2 

1
a


r
3
3

a 2 2a

l
3
3

a 2a
2 a 2  a 2
 a 
2
 Stp  Sxq  Sđ   rl   r   . .
 
  3  3  a
3 3
 3
2

2

Chọn C.
Câu 8.
Hướng dẫn giải chi tiết

6 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
tốt nhất!

Ta có:

1
SSAB  SA2  3a 2  SA2  6a 2  SA  a 6  l
2
1
 AB  SA 2  2a 3  AI  AB  a 3  r
2
 Sxq   rl   .a 3.a 6  3 2 a 2

Chọn D.
Câu 9.
Hướng dẫn giải chi tiết

Khối nón ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có đỉnh S, đáy của nón là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.
Gọi O  AC  BD  SO   ABCD 
Vì ABCD là hình vuông cạnh 2a  AC  BD  2a 2

1
 OA  AC  a 2  r
2
Xét tam giác vuông SOA có: SO  SA 2  OA 2 

 3a 

2



 a 2



2

a 7 h

2
1
1
2 7 a 3
Vậy thể tích của khối nón ngoại tiếp chóp S.ABCD là: V   r 2 h   a 2 .a 7 
 cm3 
3
3
3





7 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
tốt nhất!


Chọn D.
Câu 10.
Hướng dẫn giải chi tiết

Gọi l, r lần lượt là độ dài đường sinh và bán kính đáy của hình nón
Ta có: l  2r  2R  r  R
Khi đó diện tích xung quanh của hình nón là: S xq   rl   .R.2R  2 R 2
Chọn C.
Câu 11.
Hướng dẫn giải chi tiết

Gọi SI là đường cao của hình nón  SI  6cm  h
Gọi H là trung điểm của AB  HI  AB (Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)

1
Ta có: AH  BH  AB  6  cm  , AI  BI  8  cm 
2
Xét tam giác vuông AHI có: HI2  AI2  AH2  82  62  28
SI là đường cao  SI  IH  SHI vuông tại I  SH  SI2  HI2  36  28  8  cm 
Vì SA  SB (cùng bằng độ dài đường sinh của hình nón)

 SAB cân tại S  SH  AB (trung tuyến đồng thời là đường cao)
1
1
 SSAB  SH.AB  .8.12  48  cm2 
2
2
Chọn A.
8 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
tốt nhất!


Câu 12.
Hướng dẫn giải chi tiết

Gọi I là tâm tam giác đều ABC  DI   ABC 
Đáy ABC là tam giác đều cạnh a  SABC

a 2 3 AB.AC.BC a 3


 .
4
4r
4r

Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy  r 

a3
a

2

3



a
 IB
3

DI   ABC   DI  IB  DIB vuông tại I  DI  DB2  BI 2  a 2 

a2 a 6


h
3
3

1
1 a2 a 6  a3 6
Vậy thể tích khối nón bằng: V   r 2 h   .

3
3 3 3
27

Chọn B.
Câu 13.
Hướng dẫn giải chi tiết

9 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
tốt nhất!


Khi quay tam giác đều ABC quanh đường cao AH ta nhận được hình nón có đỉnh A, đáy là đường tròn đường
kính BC.
Vì tam giác ABC đều cạnh a nên AH 

a 3
1
 h; r  BH  a
2
2

1 2
1 a2 a 3
3 a 3
Khi đó thể tích khối nón bằng Vn   r h   .

3
3 4 2
24

Gọi R là bán kính hình cầu có cùng thể tích với hình nón trên
4
3 a 3
3a 3 a 3 .2 3
a3 2 3
 R3 

R
Vì Vn  Vc   R 3 
3
24
32
64
4

Chọn A.
Câu 14.
Hướng dẫn giải chi tiết

Gọi SI là đường cao của hình nón.

Giả sử mặt phẳng   cắt mặt nón theo thiết diện (SBC).
Gọi H là trung điểm của BC ta có: IH  BC (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)
Tam giác SBC có: SB  SC  SBC cân tại S  SH  BC (trung tuyến đồng thời là đường cao)
Gọi    là mặt phẳng đáy của hình nón ta có:

       BC 

  600
SH; IH   SHI
   SH  BC  
  ;      
    IH  BC 
Ta có: SA  SB  3a

10 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
tốt nhất!


Xét tam giác vuông cân SAB có: AB  SA 2  3 2  cm   SI 

1
3 2
AB 
 cm  (trung tuyến ứng với cạnh
2
2

huyền)
3 2
SI

Xét tam giác vuông SHI có: SH 
 2  6  cm 
sin 60
3
2

Xét tam giác vuông SHB có: HB  SB2  SH 2  9  6  3  cm   BC  2 3  cm 

1
1
Vậy SSBC  SH.BC 
6.2 3  3 2  cm2 
2
2
Chọn D.
Câu 15.
Hướng dẫn giải chi tiết

Gọi thiết diện song song và cách mặt đáy một đoạn bằng a là đường tròn tâm I đường kính B’C’

 IH  a  AI  AH  HI  2a
Ta có diện tích hình tròn tâm I đường kính B’C’ là

64 2
64
8
 a   .B'I2   a 2  B'I  a
9
9
3

8a
AI B'I
AH.B'I
3  4a  r

 BH 

Dễ thấy: AB'I ∽ ABH  g.g  
AH BH
AI
2a
3a.

1
1
Vậy thể tích khối nón là: V   r 2 h   .16a 2 .3a  16 a 3
3
3
Chọn A.
Câu 16.
Hướng dẫn giải chi tiết
11 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
tốt nhất!


1
  1 SA2 sin ASM
  1 SA2  1 l2
Ta có: SSAM  SA.SM.sin ASM

2
2
2
2
  1  ASM
  900  SA  SM
Dấu “=” xảy ra khi sin ASM

Vậy để diện tích tam giác SAM đạt giá trị lớn nhất thì điểm M chạy trên đường tròn đáy sao cho SM  SA

 Có 2 vị trí như vậy trên đường tròn đáy.
Chọn C.
Câu 17.
Hướng dẫn giải chi tiết

Ta có: Gọi bán kính (C ) với tâm là I là r  0  r  R  thì dễ có S phải thuộc OI và :
Xét tam giác vuông OAI có:

OI  OA 2  IA 2  R 2  r 2  h  SI  SO  OI  R 2  r 2  R
1
1
V  r 2 h  r 2 ( R 2  r 2  R)
3
3
Xét hàm số:

f (r)  r 2 ( R 2  r 2  R)
 f '(r)  2r R  r  2rR 
2

2

r3
R 2  r2

12 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
tốt nhất!


f '(r)  0  2 R 2  r 2  2R 

r2
R 2  r2

0

 2(R 2  r 2 )  r 2  2R R 2  r 2  0
 3r 2  2R 2  2R R 2  r 2



 (3r 2  2R 2 ) 2  2R R 2  r 2



2

3r

2

 2R 2 

 9r 4  12R 2 r 2  4R 4  4R 4  4R 2r 2
8
2 2R
 r2  R 2  r 
 tm 
9
3

 2 2R  32R 3
3
Ta có: f 
 3   27 ; f  R   R


 max f  r  
 0;R 

32R 3
2 2R
8
4R
r
 h  R2  r2  R  R 2  R 2  R 
27
3
9
3

Chọn C.
Câu 18.
Hướng dẫn giải chi tiết

Giả sử thiết diện qua trục của hình nón là ∆ ABC với A là đỉnh nón, BC là đường kính đáy nón.
Gọi H là tâm đường tròn đáy của hình nón, O1, O2 lần lượt là tâm của mặt cầu lớn và nhỏ, D1, D2 lần lượt là tiếp
điểm của AC với (O1) và (O2).
Vì O1D1 // O2D2 (cùng vuông góc với AC) nên theo hệ thức Ta – let ta có:


AO2 O2 D2
a 1


  O2 là trung điểm của OD1  AO1  2O1O 2  2  a  2a   6a
AO1 O1D1 2a 2

 AH  AO1  O1H  6a  2a  8a

Xét tam giác vuông AO1D1 có: AD1  AO12  O1D12  36a 2  4a 2  4 2a
13 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
tốt nhất!


Dễ thấy AO1D1 ∽ ACH  g.g  

HC
AH
O D .AH 2a.8a


 HC  1 1

 2 2a  r
O1D1 AD1
AD1
4 2a

Chọn C.
Câu 19.
Hướng dẫn giải chi tiết

Gọi V1 là thể tích của hình nón đỉnh B, đáy là hình tròn bán kính AC, V2 là thể tích hình nón đỉnh B, đáy là
hình tròn bán kính AM
Suy ra thể tích khối tròn xoay do tam giác BMC quay một vòng quanh cạnh AB là: V  V1  V2

1
1
1
Ta có: V1   r12 h1   .AC2 .AB   .82.6  128
3
3
3
1
1
1
V2   r22h 2   AM2 .AB   .42.6  32
3
3
3

 V  V1  V2  128  32  96

Chọn C.
Câu 20.
Hướng dẫn giải chi tiết

Đặt b, a, h lần lượt là bán kính đáy cốc, bán kính miệng cốc và chiều cao của cốc,  là góc kí hiệu như hình vẽ.
14 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
tốt nhất!


Ta trải hai lần mặt xung quanh của cốc lên mặt phẳng sẽ được một hình quạt như hình vẽ với cung nhỏ BB’ và
cung lớn AA’ có độ dài lần lượt là:

 

  2.2 b  4 b  2 .OB  OB  2 b ; l AA'
  2.2 a  2 .OA  OA  2 a
l BB'



 

(BB’ vừa là cung tròn của đường tròn tâm D’ bán kính b, vừa là cung tròn của đường tròn tâm O bán kính OB,
AA’ vừa là cung tròn của đường tròn tâm C bán kính a, vừa là cung tròn của đường tròn tâm O bán kính OA)
( B  B';A  A' ).
Khi đó độ dài ngắn nhất của đường đi con kiến là độ dài đoạn thẳng l  AB'
Áp dụng định lý cosin trong tam giác OAB’: l  AB'  OA 2  OB'2  2.OA.OB'.cos 2
Ta có: AB 

a 4 a l


b 4 b l

 AC  BD'2  CD'2

(1) ;

 (a  b)2  h 2


 BB'
  OA  OB  BA  1  AB  1  AB  1  AB
2 b
'
OB
2 b
 AA
 OB OB


2(a  b)
 a  2 b 2(a  b)
     1 .


AB
 b  AB

(a  b) 2  h 2
a  5, b  4, h  20   

2
401

(2)

AB a
AB b.AB b. (a  b) 2  h 2
  1  OB  OB' 


 4 401 (3)
a
OB b
a

b
a

b
1
b
OA  OB  BA 

b. (a  b) 2  h 2
 (a  b) 2  h 2  4 401  401  5 401
ab

Thế vào biểu thức (1) ta được: l  58,80 (cm)
Chọn B.

15 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
tốt nhất!