PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I/ PHÉP TOÁN VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.
Bài 1: Cho ABC có trong tâm G và M là điểm tùy ý trong ko gian.
a/ CMR: MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2.
b/ Tìm quỹ tích các điểm M sao cho MA2 + MB2 + MC2 = k2.
Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm BCD và O là trung điểm của
AG; M là điểm tùy ý.
uuu
r uuu
r uuur uuur r
a/ CMR: 3OA OB OC OD 0
b/ CMR: 3MA2 +MB2+MC2+MD2 =6MG2 +3OA2 +OB2 +OC2+OD2
c/ Tìm quỹ tích các điểm M thỏa: 3MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = k2.
Bài 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Hai điểm M, N nằm trên hai cạnh B’C’
và CD sao cho MB’ = CN. CMR: AM BN.
Bài 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng :
uuuu
r uuuur
uuur
uuuu
r uuuur
uuuu
r
a/ AC ' A ' C 2 AC b/ AC ' A ' C 2CC '
II/ VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.
Bài 1: Trong không gian Oxyz. Hãy viết tọa độ của các vectơ:
a/ a e1 2 e3
1
d/ d e2 2 e3
2
b/ b 2 e1 e2
c/ c 2 e1 7 e2 3 e3
3
e/ e e1 f/ f 4,5 e1
2
Bài 2: Hãy viết dưới dạng: x e1 y e2 z e3 các vectơ sau đây :
1
6
1
;0; ) c/ m ( ;0; )
a/ u ( 2;1; 3)
b/ v (
3 5
2
d/ p 0; 2;5
e/ q (0;0; 2)
Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho 3õ vectơ: a (2; 5;3); b (0; 2; 1); c (1;7; 2) .
1
a/ Tính tọa độ của vectơ : x 4 a b 3 c .
3
b/ Cho biết M(–1;2;3); hãy tìm tọa độ các điểm A, B, C sao cho:
uuur uuur uuuu
r
MA a; MB b ; MC c
Bài 4: Tìm tọa độ của vectơ x biết:
a/ x b 0 khi b (1; 2;1)
b/ 2 x a b khi a (5; 4; 1); b (2; 5;3)
c/ 2 x a x b khi a (5;6;0); b ( 3; 4; 1)
Bài 5: Cho điểm M có tọa độ (x; y; z). Gọi M1, M2, M3 lần lượt là hình chiếu
'
'
vuông góc của điểm M trên các trục Ox, Oy, Oz. Gọi M 1 , M 1 , M3’ lần lượt là
hình chiếu vuông góc của điểm M trên các mặt phẳng Oxy, Oyz, Ozx. Tìm
tọa độ của các điểm M1’, M2’, M3’. Áp dụng cho M(–1,2,3).
Bài 6: Cho điểm M có tọa độ (x; y; z). Tìm tọa độ của điểm:
a/ N đối xứng với M qua mặt phẳng Oxy. b/ P đối xứng với M qua trục
Ox.
c/ Q đối xứng với M qua gốc tọa độ O. Áp dụng với M(–2; 5; 1).
Bài 7: Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm: A(0; 2; –1); B(1; 1; 3) và C(–1; 2; –2).
a/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC.
b/ Tính diện tích ABC.
Bài 8: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết: A(1; 0; 1); B(2; 1; 2); D(1; –1; 1); C’(4; 5; –
5).
a/ Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
b/ Tìm tọa độ tâm của các mặt ABCD và ABB’A’ của hình hộp đó.
Bài 9: Cho hai bộ 3 điểm: A(1; 3; 1); B(0; 1; 2); C(0; 0; 1) và A’(1;1;1); B’(–4; 3; 1);
C’(–9; 5; 1).
Hỏi bộ nào có 3 điểm thẳng hàng ?
1
Bài 10: Tính tọa độ của vectơ tích có hướng của hai vectơ a , b trong mỗi
trường hợp sau:
a/ a (3;0; 6); b (2; 4;5)
c/ a (0; 2; 3); b (1; 3; 2)
b/ a (1; 5; 2); b (4;3; 5)
d/ a (1; 1;1); b (0;1; 2)
e/ a (4;3; 4); b (2; 1; 2)
Bài 11: Tính khoảng cách giữa hai điểm A, B trong mỗi trường hợp:
a/ A(4;–1; 1); B(2; 1; 0) b/ A(2; 3; 4); B(6; 0; 4) c/ A( 2 ; 1; 0); B(1; 2 ; 1)
Bài 12: Tính góc giữa hai vectơ a , b trong mỗi trường hợp sau :
a/ a (4;3;1); b ( 1; 2;3) b/ a (2; 4;5), b (6;0; 3)
Bài 13: Cho ABC với A(1; 0; 0), B(0; 0; 1), C(2; 1; 1).
a/ Tính các góc của ABC.
b/ Tìm tọa độ trong tâm G của ABC.
c/ Tính chu vi và diện tích tam giác đó.
Bài 14: Tìm điểm M trên trục Oy, biết M cách đều 2 điểm A(3; 1; 0) và B(–2;
4; 1).
Bài 15: Trên mặt phẳng Oxz tìm điểm M cách đều 3 điểm A(1; 1; 1), B(–1; 1;
0) và C(3; 1; –1).
uuu
r
uuur
Bài 16: Tính diện tích của hình bình hành ABCD có AB (6;3; 2) và AD (3; 2;6) .
ur ur ur
Bài 17: Xét sự đồng phẳng của ba vectơ a , b , c trong mỗi tr.hợp sau:
a/ a (4; 2;5); b (3;1;3); c (2;0;1)
c/ a (4;3; 4);
b/ a (1; 1;1); b (0;1; 2); c (4; 2;3)
b (2; 1; 2); c (1; 2;1) d/ a ( 3;1; 2); b (1;1;1); c ( 2; 2;1)
uuur r ur ur
Bài 18: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, biết A(1; 0; 1) và B(2; 1; 2); OD i j k ,
uuuu
r
r ur ur
OC ' 4i 5 j 5k . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại.
Bài 19: Cho A(2;–1; 1), B(4; 5; –2). Đường thẳng Ab cắt mp Oxyz tại điểm M.
Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào? Tìm tọa độ điểm M.
Bài 20: Cho A(1; 1; 1), B(5; 1; –2) và C(7; 9; 1).
a/ Chứng minh A, B, C không thẳng hàng.
b/ Phân giác trong góc A của ABC cắt BC tại D. Tìm tọa độ của D.
c/ Tính cosin của góc BAC và diện tích ABC.
Bài 21: Cho A(1; 2; 1), B(5; 3; 4) và C(8; 3; –2).
a/ CMR: ABC là tam giác vuông.
b/ Tìm tọa độ chân đường phân giác trong của tam giác kẻ từ B.
c/ Tính diện tích của ABC.
Bài 22: Cho A(1; 0; 1), B(–1; 1; 2), C(–1; 1; 0) và D(2; –1; –2).
a/ CMR: A, B, C, D là bốn đỉnh của hình chữ nhật.
b/ Tính đường cao của ABCD kẻ từ đỉnh D.
uuur
r ur ur
Bài 23: Cho A(1; 0; 0), B(0; 0; 1) và OC 2i j k .
a/ CMR: A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.
b/ Tính chu vi và diện tích của ABC.
c/ Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
d/ Tính độ dài đường cao của ABC hạ từ đỉnh A.
e/ Tính các góc của ABC.
Bài 24: Cho A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và D(–2; 1; –1).
a/ CMR: A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
b/ Tính góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD.
c/ Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao hạ từ A.
Bài 25: Cho A(1; –2; 2), B(1; 4; 0), C(–4; 1; 1) và D(–5; –5; 3).
a/ CMR: tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc.
2
b/ Tính diện tích tứ giác ABCD.
Bài 26: Cho tứ diện PABC, biết P(1; –2; 1), A(2; 4; 1), B(–1; 0; 1) và C(–1; 4; 2). Tìm
tọa độ hình chiếu vuông góc của P trên (ABC).
uuur
ur r
Bài 27: Cho A(4; 2; 6), B(10; –2; 4), C(4; –4; 0) và OD 2 k i .
a/ CMR: ABCD là hình thoi. b/ Tính diện tích của hình thoi.
5
5 3
3
9 5
Bài 28: Cho A 2; ;1 , B ; ;0 , C 5; ;3 , D ; ; 4 .
2
2 2
2
2 2
a/ CMR: bốn điểm trên là bốn đỉnh của hình bình hành.
b/ Tính diện tích hình bình hành đó.
Bài 29: Cho A(1; 0; 1), B(–2; 1; 3) và C(1; 4; 0).
a/ Tìm hệ thức giữa x, y, z để điểm M(x; y; z) thuộc mp(ABC).
b/ Tìm trực tâm H của ABC.
c/ Tìm tâm I và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp ABC.
III/ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN.
A/ Phương trình của mặt phẳng.
Bài 1: Lập phương trình tham số và tổng quát của mp() đi qua 3 đ A(2; –5; 1),
B(3; 4; –2) C(0; 0; –1).
Bài 2: Cho điểm M(2; –1; 3) và mp() có p.trình 2x –y + 3z –1 = 0.
a/ Lập pt tổng quát của mp() đi qua M và song song với mp().
b/ Hãy lập phương trình tham số của mp() nói trên.
Bài 3: Hãy lập pt mp() đi qua 2 điểm M(7; 2; –3), N(5; 6; –4) và song song vơi
trục Oz.
Bài 4: Lập pt mp() đi qua điểm M(2; –1; 2) và vuông góc với các mp: 2x – z +
1 = 0 và y = 0.
Bài 5: Lập pt mp() đi qua gốc tọa độ và vuông góc với các mp: 2x – y + 3z
– 1 = 0 và x + 2y + z = 0.
Bài 6: Lập pt mp() đi qua hai điểm A(1; –1; –2) B(3; 1; 1) và vuông góc với mp
x – 2y + 3z – 5 = 0.
x 1 t 1
Bài 7: Cho mp có phương trình tham số : y 2 t 2
z 5 2t t
1
2
a/ Hãy lập phương trình tổng quát của mp(’) đi qua gốc tọa độ và
song song với mp.
b/ Tính góc tạo bởi mp(’) và mp() có pt: x + y + 2z –10 = 0.
Bài 8: Tính khoảng cách từ điểm A(7; 3; 4) đến mp() có phương trình: 6x – 3y
+ 2z –13 = 0.
Bài 9: Cho mp() : 2x – 2y – z – 3 = 0. Lập phương trình mp() song song với mp()
và cách mp() một khoảng d = 5.
Bài 10: Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:
a/ Đi qua M(1; 3; –2) và vuông góc với trục Oy.
b/ Đi qua M(1; 3; –2) và vuông góc với đ.thẳng AB với A(0; 2; –3) và B(1;
–4; 1).
c/ Đi qua M(1; 3; –2) và song song với mp: 2x – y + 3z + 4 = 0.
Bài 11: Cho hai điểm A(2; 3; –4) và B(4; –1; 0). Viết pt mặt phẳng trung trực
của đoạn thẳng AB.
Bài 12: Cho ABC, với A(–1; 2; 3), B(2; –4; 3) và C(4; 5; 6). Viết phương trình
mp(ABC).
Bài 13: Viết ptmp đi qua 2điểm P(3; 1; –1) và Q(2; –1; 4) và vuông góc với mp:
2x – y + 3z + 1 = 0.
Bài 14: Cho A(2; 3; 4). Hãy viết p.trình mp(P) đi qua các hình chiếu của A trên
các trục tọa độ, và p.trình mp(Q) đi qua các hình chiếu của A trên các mặt
phẳng tọa độ.
3
Bài 15: Viết p.trình mp qua điểm M(2; –1; 2), ssong với trục Oy và vuông góc
với mp: 2x – y + 3z + 4 = 0.
Bài 16: Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:
a/ Qua I(–1;–2;–5) và đồng thời với hai mp (P): x + 2y –3z +1 = 0 và (Q):
2x – 3y + z + 1 = 0.
b/ Qua M(2; –1; 4) và cắt chiều dương các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt
tại P, Q, R sao cho :
OR = 2OP = 2OQ.
c/ Qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x – y –12z – 3 = 0, (Q): 3x + y –
7z – 2 = 0 và vuông góc với mp(R): x + 2y + 5z – 1 = 0.
d/ Qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P): x + 3y + 5z – 4 = 0, mp(Q): x – y –
2z + 7 = 0 và song song với trục Oy.
e/ Là mp trung trực của đoạn thẳng AB với A(2; 1; 0), B(–1; 2; 3).
f/ mp(X) nhận M(1; 2; 3) làm hình chiếu vuông góc của N(2; 0; 4) lên
trên mp(X).
B/ Vò trí tương đối của hai mặt phẳng.
Bài 1: Xác đònh m để hai mặt phẳng: Song song với nhau? Trùng nhau? Cắt
nhau?
a/ (P): 2x –my + 3z –6 + m = 0; (Q): (m+3)x –2y + (5m +1)z–10 = 0
b/ (P): (1– m)x + (m + 2)y + mz + 1 = 0;
(Q): 4mx – (7m + 3)y –3(m + 1)z + 2m = 0
Bài 2: Cho 3 mặt phẳng (P): 2x – y + z + 1 = 0; (Q): x + 3y –z + 2 = 0 và (R): –2x
+ 2y+ 3z + 3 = 0.
a/ Chứng minh (P) cắt (Q).
b/ Viết p.trình mp(S) qua giao tuyến của hai mp(P), (Q) và qua điểm M(1; 2;
1).
c/ Viết p.trình mp(T) qua giao tuyến của hai mp(P), (Q) và song song với
mp(R).
d/ Viết p.trình mp(U) qua giao tuyến của hai mp(P), (Q) và vuông góc với
mp(R).
Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:
a/ Đi qua M(2; 1; –1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng có phương
trình: x – y + z – 4 = 0 ; 3x – y + z – 1 = 0.
b/ Qua giao tuyến của hai m.phẳng: y + 2z – 4 = 0; x + y – z – 3 = 0 đồng
thời song song với mp: x + y + z = 0.
c/ Qua giao tuyến của hai m.phẳng: 3y – y + z –2 = 0; x + 4y –5 = 0 đồng
thời vuông góc với mp: 2x – z + 7 = 0.
Bài 4: Tìm điểm chung của ba mặt phẳng:
a/ x + 2y – z – 6 = 0; 2x – y + 3z + 13 = 0; 3x – 2y + 3z + 16 = 0
b/ 4x + y + 3z – 1 = 0; 8x – y + z – 5 = 0; 2x – y – 2z – 5 = 0
Bài 5: Cho tứ diện ABCD với A(2; 1; 3), B(3; –2; 1), C(–4; 1; 1) và D(1; 1; –3).
a/ Viết phương trình các mặt phẳng (ABC), (ABD).
b/ Tính góc giữa (ABC) và (ABD).
ur
c/ Tìm pt mp(P) chứa CD và // với vectơ v = (m; 1–m; 1+m). Đònh m để
mp(P) vuông góc với mp(ABC).
d/ Đònh m, n để mp(P) trùng với mp: 4x + ny + 5z + 1 – m = 0.
Bài 6: Viết p.trình mặt phẳng qua M(0; 2; 0), N(2; 0; 0) và tạo với mpOyz một
góc 600.
Bài 7: Tìm điểm M’ đối xứng của M qua mp(P) biết:
a/ M(1; 1; 1) và mp(P): x + y – 2z – 6 = 0.
b/ M(2; –1; 3) và mp(P): 2x – y – 2z – 5 = 0.
Bài 8: Cho tứ diện ABCD với A(–1; –5; 1), B(2; –4; 1), C(2; 0; –3) và D(0; 2; 2).
a/ Lập phương trình các mặt phẳng (ABC), (ABD).
b/ Tính cosin của góc nhò diện cạnh AB, cạnh BC.
c/ Tìm điểm đối xứng của điểm A qua các mp(BCD), (OBC).
Bài 9: Cho đường thẳng MN biết M(–6; 6; –5), N(12; –6; 1).
4
a/ Tìm giao điểm của đường thẳng MN với các m.phẳng tọa độ.
b/ Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mp() có phương trình: x– 2y +
z–9 = 0 và tính sin của góc giữa đ.thẳng MN và mp().
c/ Viết p.trình tổng quát của mp chứa đ.thẳng MN và // với trục Oz.
C/ Chùm mặt phẳng.
Bài 1: Cho hai mặt phẳng cắt nhau (P): 3x – 2y + 2z + 7 = 0 và (Q): 5x – 4y + 3z
+ 1 = 0.
a/ Viết phương trình mp(R) qua M(1; –2; 1) và chứa giao tuyến của hai
mp(P) và (Q).
b/ Viết pt mp(T) vuông góc với mp: x + 2y + z = 0 và chứa giao tuyến
của hai mp(P) và (Q).
c/ Viết phương trình mp(U) chứa giao tuyến của hai mp(P) và (Q) và tạo
với mp: x + y – z = 0 một góc nhọn a mà cosa = 3/125.
Bài 2: Đònh l, m để mp(P):5x + ly + 4z + m = 0 thuộc chùm mp: (3x – 7y + z – 3)
+ (x – 9y – 2z + 5) = 0
IV/ ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN.
A/ Phương trình của đường thẳng.
Bài 1: Lập phương trình tham số và tổng quát của đường thẳng d đi qua
điểm M(2; 0;–3) và nhận a (2; 3;5) làm vectơ chỉ phương.
Bài 2: Lập p.trình của đường thẳng d đi qua điểm M(–2; 6; –3) và:
x 1 5t
a/ Song song với đường thẳng a: y 2 2t
z 1 t
b/ Lần lượt song song với các trục Ox, Oy, Oz.
Bài 3: Lập p.trình tham số và p.trình tổng quát của đường thẳng d:
a/ Đi qua hai điểm A(1; 0; –3), B(3, –1; 0).
3x y 2 z 7 0
b/ Đi qua điểm M(2; 3;–5) và // với đ.thẳng:
.
x 3 y 2 z 3 0
Bài 4: Trong mpOxyz cho 3 điểm A(–1; –2; 0) B(2; 1; –1) C(0; 0; 1).
a/ Hãy viết phương trình tham số của đường thẳng AB.
b/ Tính đường cao CH của ABC và tính diện tích ABC.
c/ Tính thể tích hình tứ diện OABC.
Bài 5: Viết p.trình tam số, chính tắc, tổng quát của đ.thẳng d biết:
a/ d qua M(2; 0; –1) và có vectơ chỉ phương là (–1; 3; 5).
b/ d qua M(–2; 1; 2) và có vectơ chỉ phương là (0; 0; –3).
c/ d qua M(2; 3; –1) và N(1; 2; 4).
Bài 6: Viết phương trình của đường thẳng d biết:
a/ d qua M(4; 3; 1) và // với đ.thẳng:( x = 1 + 2t; y = –3t; z = 3 + 2t).
x 2 y 1 z 2
b/ d qua M(–2; 3; 1) và song song với đ.thẳng:
.
2
0
3
x y z 3 0
c/ d qua M(1; 2; –1) và song song với đ.thẳng:
.
2 x y 5 z 4 0
Bài 7: Viết p.trình tổng quát của đ.thẳng d dưới dạng giao của hai m.phẳng
song song với các trục Ox, Oy biết p.trình tham số của d là:
x 2 2t
x 1 t
a/ y 1 3t
b/ y 2 4t
z 4 3t
z 3 2t
Bài 8: Viết p.trình chính
2 x y z 5 0
a/
b/
2 x z 3 0
tắc của đ.thẳng d biết pt tổng quát của nó là:
x y z 3 0
2 x y 6 z 2 0
5
x 1 y2 z 3
2
3
1
a/ Trên mpOxy b/ Trên mpOxz c/ Trên mpOyz
2 x y z 5 0
Bài 10: Viết ptrình hình chiếu vuông góc của đt d:
trên mp: x +
2 x z 3 0
y + z – 7 = 0.
Bài 11: Viết phương trình đường thẳng trong các trường hợp sau:
a/ Đi qua điểm (–2; 1; 0) và vuông góc với mp: x + 2y – 2z = 0
b/ Đi qua điểm (2; –1; 1) và vuông góc với hai đường thằng:
x y 1 0
2 x y 1 0
(d1):
; (d2):
2 x z 0
z 0
Bài 12: Cho A(2; 3; 1), B(4; 1; –2), C(6; 3; 7) và D(–5; –4; 8). Viết ptts, chính tắc và
tổng quát của:
a/ Đường thẳng BM, với M là trọng tâm của ACD.
b/ Đường cao AH của tứ diện ABCD.
Bài 13: Viết ptct của đ.thẳng d đi qua M(1; 4; –2) và ssong với đ.thẳng:
6 x 2 y 2 z 3 0
.
3 x 5 y 2 z 1 0
Bài 14: Viết ptts của đt nằm trong mp(P): x + 3y – z + 4 = 0 và vuông góc
x 2 z 3 0
với đt d:
tại giao điểm của đường thẳng d và mp(P).
y 2 z 0
Bài 15: Lập p.trình đường thẳng đi qua điểm (3; 2; 1), vuông góc và cắt
x y z 1
đường thẳng:
.
2 4
3
Bài 16: Lập p.trình đường thẳng đi qua điểm (–4; –5; 3) và cắt cả hai đường
x 1 y 3 z 2 x 2 y 1 z 1
thẳng:
;
.
3
2
1
2
3
5
x 1 y2 z
và
Bài 17: Lập ptts của đt d đi qua điểm (0; 0; 1), v.góc với đt:
3
4
1
x y z 2 0
cắt đt:
.
x 1 0
x 1 y 1 z 2
Bài 18: Cho đ.thẳng d:
và mp(P): x – y- z – 1 = 0.
2
1
3
a/ Tìm ptct của đường thẳng d đi qua điểm M(1; 1; –2), song song với mp(P)
và vuông góc với d.
b/ Gọi N = d (P). Tìm điểm K trên d sao cho KM = KN.
B/ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC MẶT
PHẲNG.
Bài 1: Viết p.trình mặt phẳng đi qua điểm (3; –2; 1) và vuông góc với đường
3 x 2 y 2 z 8 0
thẳng:
.
2 x y 3 z 7 0
Bài 2: Lập p.trình các giao tuyến của mp: 5x – 7y + 2z – 3 = 0 với các mặt
phẳng tọa độ. Tìm giao điểm của mặt phẳng đã cho với các trục tọa độ.
Bài 3: Lập phương trình tham số và tổng quát của đương thẳng d:
a/ Đi qua điểm M(2; –3; –5) và với mp(): 6x – 3y – 5z + 2 = 0.
b/ Đi qua điểm N(1; 4; –2) và // với các mp : 6x + 2y + 2z + 3 = 0 và 3x –
5y – 2z – 1 = 0.
Bài 4: Lập phương trình tham số và tổng quát của đường thẳng d:
a/ Đi qua hai điểm A(1; –2; 1), B(3; 1; –1).
b/ Đi qua điểm M(1; –1; –3) và với mp(): 2x – 3y + 4z – 5 = 0.
Bài 9: Viết ptrình hình chiếu vuông góc của đt d:
6
x 2 y 3z 3 0
c/ Đi qua điểm C(2; 3; –1) và // với đt có p.trình:
2 x y z 5 0
x 2 z 3 0
Bài 5: Cho đường thẳng a có p.trình:
và mp() có phương trình: z +
y 2 z 0
3y – z + 4 = 0.
a/ Tìm giao điểm H của a và mp().
b/ Lập ptđt nằm trong mp(), đi qua điểm H và vuông góc với đường
thẳng a.
x 2 y z 6 0
Bài 6: Cho đt a:
và mp(): 3x–2y + 3z + 16 = 0.
2 z y 3z 13 0
a/ Tìm giao điểm M của đường thẳng a và mp().
b/ Gọi là góc giữa a và mp() .Hãy tính sin .
c/ Lập pttq của đường thẳng a’, với a’ là hình chiếu vuông góc của
đường thẳng a trên mp().
Bài 7: Cho mp() có p.trình: 6x + 2y + 2z + 3 = 0 và mp() có p.trình: 3x – 5y –
2z – 1 = 0.
a/ Hãy viết p.trình tham số của đ.thẳng d đi qua điểm M(1; 4; 0) và song
song với () và ().
b/ Lập phương trình của mp() chứa đường thẳng d và đi qua giao tuyến
của hai mp () và ().
c/ Lập p.trình của mp(P) đi qua M và vuông góc với () và ().
Bài 8: Cho mp() có phương trình: 2x – 3y + 3z – 17 = 0 và hai điểm A(3; –4; 7),
B(–5; –14; 17).
a/ Viết p.trình tham số của đ.thẳng d đi qua A và vuông góc với ().
b/ Hãy tìm trên một điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M đến
A và B là bé nhất.
2 x y z 6 0
Bài 9: Cho đường thẳng d có phương trình:
.
x 4 y 2 z 8 0
a/ Hãy tìm giao điểm của đường thẳng a với các mp tọa độ.
b/ Hãy tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng d.
c/ Gọi M là giao điểm của đt a với mp() có pt: x + y – z + 12 = 0. Hãy
tính tọa độ của M.
d/ Gọi là góc giữa đường thẳng d và mp nói trên. Hãy tính sin.
Bài 10: Trong mpOxyz cho hai đường thẳng và ’ có p.trình:
x 3 t
x y 5 0
: y 2 t
;
’ :
2 x z 3 2 5 0
z 2t
a/ Tìm vectơ chi phương của mỗi đường thẳng và tính góc giữa hai
đường thẳng đó.
b/ Viết phương trình mp() chứa và song song với ’.
c/ Chứng minh và ’ chéo nhau. Tính khoảng cách giữa chúng.
x y z 4 0
Bài 11: Viết phương trình mp chứa đường thẳng:
và ssong đt :
2 x y 5 z 2 0
x 2 y 1 z 5
.
1
2
2
Bài 12: Viết ptđt d nằm trong mặt phẳng: y + 2z = 0 và cắt hai đường thẳng:
x 1 t
x 2 t
y t ;
y 4 2t .
z 4t
z 1
7
x 3t
Bài 13: Viết p.trình đ.thẳng song song với đường thẳng: y 1 t
z 5 t
2 x y z 1 0
x 1 y 2 z 2
đường thẳng:
;
.
1
4
3
x y 4 z 3 0
và cắt hai
x y z 1 0
Bài 14: Viết ptđt d đi qua điểm (1;–1; 1) và cắt hai đường thẳng:
y 2 z 3 0
x 1 y z 3
;
.
2
1
1
Bài 15: Cho hai đường thẳng:
x 1 y 1 z 2
x 2 y2 z
.
d:
; d’:
2
3
1
1
5
2
a/ CMR: d và d’ chéo nhau.
b/ Viết p.trình đường thẳng vuông góc chung của d và d’.
2kx y z 1 0
Bài 16: Với giá trò nào của k thì đường thẳng:
nằm trong
x ky z 1 0
mpOyz.
x t
x 1 4h
x 4 y 7 0
Bài 17: Cho 3 đt d1: y 5 2t ; d2: y 2 h ; d3:
5 x 4 z 35 0
z 14 3t
z 1 5h
a/ CMR: d1 và d2 chéo nhau.
b/ CMR: d1 và d3 cắt nhau. Tìm tọa độ giao điểm của chúng.
c/ Tìm góc nhọn giữa d1 và d2.
d/ Tìm p.trình hai mp (P) // (P’) và lần lượt đi qua d1 và d2.
5 x 2 y 3 z 5 0
Bài 18: Cho đt d:
và ba mp (P): x + y – z – 7 = 0; (Q): 2x – 3y – z –10
x 4 y 5 z 15 0
= 0;
(R): x + y + 2z – 4 = 0
a/ CMR: d (P), d (Q), d // (R).
b/ Tìm ptđt qua điểm chung của (P), (Q), (R) và đồng thời cắt d và cắt
x y
z
đường thẳng: .
1 1 1
Bài 19: Chứng minh hai đường thẳng cắt nhau; tìm tọa độ giao điểm; lập
p.trình mp chứa hai đ.thẳng đó.
4 x 5 y 9 0
x 1 y 1 z 2
a/ d1:
; d2:
.
4
2
3
3 x 5 z 7 0
x y z 7 0
x 2 y z 1 0
b/ d1:
;
d2:
.
3x 4 y 11 0
x y 1 0
x 2t 3
x 5 t
c/ d1: y 3t 2 ; d2: y 1 4t .
z 4t 6
z 20 t
Bài 20: Chứng minh hai đường thẳng d1và d2 chéo nhau. Lập ptđt d vuông
góc và cắt hai đường thẳng đó.
x 3 y 5 0
x 2 y z 0
a/ d1:
;
d2:
.
2 y z 1 0
2 x z 0
x 7 y 3 z 9
x 3 y 1 z 1
b/ d1:
; d2:
1
2
1
7
2
3
8
x 1 t
d2: y 2 t .
z 3 t
x 1 2t
x 2t
d/ d1: y 2 2t ; d2: y 5 4t .
z t
z 4
x
2
y
4
z 3 0
Bài 21: Cho đt d:
và mp(P): 2x – y + 4z + 8 = 0.
2 x 3 y 2 z 3 0
a/ CMR: d cắt (P). Tìm giao điểm A của chúng.
b/ Viết p.trình mp(Q) qua d và vuông góc với (P).
c/ Viết p.trình tham số của giao tuyến giữa (P) và (Q).
d/ Viết p.trình đ.thẳng d’ qua A, vuông góc với d và nằm trong (P).
C/ KHOẢNG CÁCH.
Bài 1: Tìm khoảng cách:
a/ Từ điểm A(3; –6; 7) đến mp(): 4x – 3z –1 = 0.
b/ Giữa mp(): 2x – 2y + z – 1 = 0 và mp() :2x – 2y + z + 5 = 0.
c/ Từ điểm M(4; 3; 0) đến m.phẳng xác đònh bởi ba điểm A(1; 3; 0), B(4; –
1; 2) và C(3; 0; 1).
x y z 5 0
c/ d1:
;
2 x y 1 0
d/ Từ gốc tọa độ đến mp() đi qua P(2; 1; –1) và nhận n (1; 2;3) làm
pháp véc tơ.
Bài 2: Tìm khoảng cách từ điểm P(2,3,-1) đến:
x 5 3t
a/ Đường thẳng a có phương trình : y 2t
.
z 25 2t
2 x 2 y z 3 0
.
3x 2 y 2 z 17 0
Bài 3: Tính khoảng cách từ M(1; –1; 2), N(3; 4; 1); P(–1; 4; 3) đến mp(Q): x + 2y +
2z – 10 = 0.
Bài 4: Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng:
(P): 2x – y + 4z + 5 = 0 (Q): 3x + 5y – z – 1 = 0
Bài 5: Tính khoảng cách giữa hai mp (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y
+ C’z + D’ = 0; trong đó A =A’, B = B’, C =C’, D D’
Bài 6: Trên trục Oz tìm điểm cách đều điểm (2; 3; 4) và mặt phẳng (P): 2x +
3y + z – 17 = 0.
Bài 7: Trên trục Oy tìm điểm cách đều hai mp (P): x + y – z + 1 = 0 và (Q): x – y
+ z – 5 = 0.
Bài 8: Tính khoảng cánh từ các điểm M(2; 3; 1) và N(1; –1; 1) đến đường
x 2 y 1 z 1
thẳng d:
.
1
2
2
x y 2 z 1 0
Bài 9: Tính k/cách từ điểm M(2; 3; –1) đến đt d:
.
x 3 y 2 z 2 0
Bài 10: Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:
x 1 y 3 z 4
x 2 y 2 z 1
a/
;
2
1
2
4
2
4
2 x z 1 0
3 x y 2 0
b/
;
x y 4 0
3 y 3z 6 0
b/ Đường thẳng b có phương trình:
x 1 t
c/ y 1 t ;
z 1
x 2 3t
y 2 3t .
z 3t
9
Bài 11: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
(P): x + y – z + 5 = 0; (Q): 2x + 2y - 2z + 3 = 0
Bài 12: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:
x 1 2t
d1: 2 – x = y – 3 = z;
d2: y 2 2t .
z 1 2t
Bài 13: Tính khoảng cách giữa đường thẳng d song song với mp(P):
2 x 3 y 6 z 10 0
d:
; (P): y + 4z + 17 = 0
x y z 5 0
Bài 14: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
x y z 5 0
2 y z 5 0
d:
; d’:
x 3 y 6 0
4 x 2 y 5 z 4 0
2 x 3 y 2 0
2 x 3 y 9 0
Bài 15: Cho hai đ.thẳng d:
và d’:
.
x 3z 2 0
y 2 z 1 0
a/ CMR: d // d’. Tính khoảng cách giữa d và d’.
b/ Viết p.trình mặt phẳng (P) chứa d và d’.
c/ Tính khoảng cách từ điểm (2; 3; 2) đến (P).
Bài 16: Cho ba điểm A(1; –2; 1), B(–1; 1; 2) và C(2; 1; –2) và mặt phẳng (P): x +
2y – 2z + 1 = 0.
a/ Tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất.
b/ Tìm điểm N thuộc (P) sao cho NA + NC nhỏ nhất.
Bài 17: Cho hai điểm A(1; 2; –1), B(7; –2; 3) và đường thẳng d có phương trình:
x 1 y 2 z 2
.
3
2
2
a/ CMR: hai đường thẳng AB và d cùng nằm trong một mặt phẳng.
b/ Tìm điểm I trên d sao cho IA + IB nhỏ nhất.
x y 0
x 3 y 1 0
Bài 18: Cho hai đường thẳng d:
; d’:
.
x y z 4 0
y z 2 0
a/ CMR: d và d’ chéo nhau.
b/ Tính khoảng cách giữa d và d’.
c/ Tìm p.trình của đ.thẳng qua I(2;3;1) và cắt cả hai đ.thẳng d và d’.
x 3 y 1 z 2
Bài 19: Tìm góc tạo bởi đường thẳng:
với các trục tọa độ.
2
1
1
Bài 20: Tìm góc tạo bởi các cặp đường thẳng sau:
x 1 2t
x 2 t
a/ y 1 t ;
y 1 3t
z 3 4t
z 4 2t
x 2 y z 1 0
x 1 y2 z2
;
3
1
4
2 x 3 z 2 0
2 x y 3 z 1 0
x 3 y z 4 0
c/
;
x y z 0
2 x y z 1 0
Bài 21: Tính góc tạo bởi các cặp cạnh đối của tứ diện có các đỉnh:
A(3; –1; 0), B(0; –7; 3), C(–2; 1; –1) và D(3; 2; 6).
Bài 22: Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) biết:
x2 y 1 z 3
a/ d:
; (P): x + y – z + 2 = 0
4
1
2
x 1 2t
b/ y 1 3t ;
(P): 2x – y + 2z – 1 = 0
z 2 t
b/
10
2 x y 3 z 1 0
c/
;
(P): 3x – y + z – 1 = 0
x y z 2 0
Bài 23: Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M(1; –1; 2) trên mặt phẳng (P):
2x – y + 2z + 12 = 0.
Bài 24: Tìm điểm đối xứng của điểm M(2; –3; 1) qua mặt phẳng (P): x + 3y – z
+ 2 = 0.
Bài 25: Lập ptđt vuông góc với mặt phẳng tọa độ Oxz và cắt hai đt:
x t
x 1 2t
y 4 t và y 3 t .
z 3 t
z 4 5t
x 1 2t
Bài 26: Tìm điểm đ.xứng của điểm M(2; –1; 1) qua đt: y 1 t .
z 2t
Bài 27: Viết ptđt đi qua điểm M(0; 1; 1), vuông góc với đt:
x 1 y 2 z
và
3
1
1
x y z 2 0
cắt đt:
.
x 1 0
E/ HÌNH CHIẾU.
Bài 1: Cho hai điểm M(1;1;1), N(3;–2; 5) và mp(P): x + y –2z –6 = 0.
a/ Tính khoảng cách từ N đến mp(P).
b/ Tìm hình chiếu vuông góc của M trên mp(P).
c/ Tìm p.trình hình chiếu vuông góc của đ.thẳng MN trên mp(P).
Bài 2: Tìm p.trình hình chiếu vuông góc của đ.thẳng trên m.phẳng:
x 2 y2 z 1
a/ d:
; (P): x + 2y + 3z + 4 = 0
3
4
1
2 x y 3 0
b/
; (P): x + 2y + z – 5 = 0
3 x z 3 0
2 x y z 1 0
Bài 3: Cho điểm M(–1; –1; –1) và đ.thẳng d:
. Gọi H, K lần lượt là
x y z 1 0
hình chiếu vuông góc của M trên d và trên mặt phẳng (P): x + 2y – z + 1 =
0. Tính HK.
Bài 4: Cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(–1; 2;3), B(0; 4;4), C(2; 0; 3) và D(5; 5; –
4).
a/ Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của D trên mp(ABC).
b/ Tính thể tích của tứ diện.
Bài 5: Cho3điểm A(–1; 2; 3), B(–2; 1; 1) và C(5; 0; 0). Tìm tọa độ hchiếu vuông
góc C’ của C trên đt: AB.
x t
x h
Bài 6: Cho hai đường thẳng d: y 4 t và d’: y 6 3h .
z 6 2t
z 1 h
a/ Tìm phương trình đường vuông góc chung của d và d’.
b/ Gọi K là hình chiếu của điểm I(1; –1; 1) trên d’. Tìm ptts của đt qua K,
vgóc với d và cắt d’.
Bài 7: Mp(P): x + 2y + 3z – 6 = 0 cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A,
B, C.
a/ Tìm tọa độ trực tâm, trong tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp ABC.
b/ Tìm p.trình chính tắc của trục đường tròn (ABC).
x 8 z 23 0
x 2 z 3 0
Bài 8: Cho hai đ.thẳng d1:
và d2:
.
y 4 z 10 0
y 2 z 2 0
a/ Viết p.trình các mp(P), (Q) // với nhau và lần lượt qua d1, d2.
11
b/ Tính khoảng cách giữa d1 và d2.
c/ Viết p.trình đ.thẳng d song song với trục Oz và cắt cả d1, d2.
IV/ MẶT CẦU.
A/ Phương trình của mặt cầu.
Bài 1: Tìm tâm và bán kính mặt cầu có phương trình:
a/ x2 + y2 + z2 – 8x + 2y + 1 = 0
b/ x2 + y2 + z2 +4x + 8y – 2z – 4 = 0
c/ 3x2 + 3y2 + 3z2 + 6x – 3y + 15z – 2 = 0
d/ x2 + y2 + z2 – 2mx – 4y + 2mz + 8 = 0
e/ x2 + y2 + z2 – 2mx + my + 3z – 2 = 0
Bài 2: Lập phương trình mặt cầu (S) biết:
a/ Có tâm I(2; 1; –2) và qua A(3; 2; –1).
b/ Có đường kính AB, với A(6; 2; –5) và B(–4; 0; 7).
c/ Có tâm I(–2; 1; 1) và tiếp xúc với mp(P): x + 2y – 2z + 5 = 0.
d/ Qua ba điểm A(1; 2; –4), B(1; –3; 1), C(2; 2; 3) và có tâm nằm trên
mpOxy.
e/ Qua hai điểm A(1; –2; –4), B(0; 3; 0) và tiếp xúc với các mặt phẳng
(P): x = 3; (Q): y = 5.
f/ Có tâm I(6; 3; –4) và tiếp xúc với Oy.
g/ Ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –1).
x 1 y z 2
h/ Có tâm I(3; –5; –2) và tiếp xúc với đ.thẳng d:
.
2
1
3
x 2
i/ Có tâm nằm trên đt d:
và tiếp xúc với hai mp: (P): x – 2z – 8 =
y 0
0; (Q): 2x – z + 5 = 0.
j/ Qua ba điểm A(0; 0; 4), B(2; 1; 3), C(0; 2; 6) và có tâm nằm trên mpOyz.
Bài 3: Cho S(–3;1;–4), A(–3;1; 0), B(1; 3; 0), C(3;–1; 0), D(–3;–3;0).
a/ CMR: ABCD là hình vuông và SA là đ/cao của h/chóp S.ABCD.
b/ Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
x 4 t
x 2
Bài 4: Cho hai đ.thẳng d: y 3 t và d’: y 1 2h . Lập p.trình mặt cầu nhận
z 4
z h
đoạn vuông góc chung của d và d’ làm đường kính.
Bài 5: Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua các đường tròn sau:
x 2 y 2 9
x 2 y 2 25
(C1):
và (C2):
z 0
z 2
Bài 6: Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua gốc tọa độ và đường tròn (C):
( x 1) 2 ( y 2) 2 ( z 2) 2 49
2 x 2 y z 4 0
Bài 7: Lập p.trình mc (S) đi qua M(1; 1; 1) và qua đtròn là giao tuyến của hai
mc: (S1): x2 + y2 + z2 – 2x + 2y – 4z – 3 = 0 và (S2): x2 + y2 + z2 + 4x – 2z – 11 = 0
B/ Vò trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu.
Bài 1: Xét vò trí tương đối giữa hai mặt cầu (S) và mp(P):
a/ (S): x2 + y2 + z2 –6x –2y + 4z + 5 = 0; (P): x + 2y + z – 1 = 0
b/ (S): x2 + y2 + z2 –6x +2y –2z + 10 = 0; (P): x + 2y –2z + 1 = 0
c/ (S): x2 + y2 + z2 +4x + 8y –2z – 4 = 0; (P): x + y + z – 10 = 0
d/ (S): x2 + y2 + z2 – x – 2z + 5 = 0; (P): 4x + 3y + m = 0
e/ (S): (x – 1)2 + y2 + (z – 2)2 = 4; (P): 2x + y – z + m = 0
Bài 2: Cho mặt phẳng (P): 2x – 2y – z + 9 = 0 và mặt cầu (S):
(x – 3)2 + (y + 2)2 + (z – 1)2 = 100
a/ Lập p.trình đ.thẳng qua tâm mặt cầu (S) và vuông góc với mp(P).
b/ CMR: mp(P) cắt mặt cầu (S).
c/ Viết p.trình đường tròn (C) là giao tuyến của (S) và (P). Tìm tâm và
bán kính của đường tròn đó.
12
Bài 3: Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:
x 2 y 2 z 2 6 x 2 y 2 z 10 0
a/
x 2 y 2 z 1 0
x 2 y 2 z 2 12 x 4 y 6 z 24 0
b/
2 x 2 y z 1 0
Bài 4: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu:
a/ x2 + y2 + z2 – 6x – 2y + 4z + 5 = 0 tại điểm M(4; 3; 0)
b/ (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c2)2 = R2 mà tiếp diện song song với mặt
phẳng: Ax + By + Cz + D = 0.
Bài 5: Cho mp(P): x + 2y + 2z + 5 = 0 và mặt cầu (S):
x2 + y2 + z2 – 2x – 4y + 4z = 0
Tìm p.trình các mp song song với mp(P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Bài 6: Cho hai điểm A(–1; –3; 1), B(–3; 1; 5).
a/ Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB.
b/ Viết phương trình các tiếp diện của mặt cầu mà chứa trục Ox.
Bài 7: Lập p.trình tiếp diện của (S): x2 + y2 + z2 + 2x – 4y –6z +5 = 0:
a/ Tiếp diện đi qua điểm M(1; 1; 1).
2 x y 1 0
b/ Tiếp diện đi qua đường thẳng d:
.
z 1 0
x y 1 z
.
c/ Tiếp diện song song với đường thẳng d’:
1
4
3
x 2 y z 3 0
d/ Tiếp diện vuông góc với đường thẳng d”:
.
2 x 4 y z 1 0
C/ Vò trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu.
Bài 1: Xét vò trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu:
x y 1 z 2
a/ (S): x2 + y2 + z2 –2x + 4z + 1 = 0;
d:
2
1
1
2
x
y
z
1
0
b/ (S): (x – 1)2 + (y – 2)2 + z2 = 16; d:
x 2 z 3 0
c/ (S): x + y + z –2x –4y + 2z – 2 = 0;
2
2
2
x 2 t
d: y t
z 3 3t
x 5 3t
Bài 2: Cho mc(S): (x+2) + (y–1) + (z +5) = 49 và d: y 11 5t .
z 9 4t
2
2
2
a/ Tìm giao điểm của d và mặt cầu (S).
b/ Tìm p.trình các m.phẳng tiếp xúc với (S) tại các giao điểm trên.
x 1
2
2
2
Bài 3: Cho mc(S): (x+2) + (y–1) + z = 26 và đ.thẳng d: y 1 3t
z 4 5t
a/ Tìm giao điểm A, B của d và mc(S). Tính khoảng cách từ tâm mặt
cầu đến đường thẳng d.
b/ Tìm p.trình các mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại A và B.
Bài 4: Cho mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 3) và bán kính R = 3.
a/ Chứng minh T(0; 0; 5) thuộc mặt cầu (S).
b/ Lập p.trình tiếp tuến của (S) tại T biết tiếp tuyến đó:
ur
i/ Có VTCP u = (1; 2; 2).
ii/ Vuông góc với mp(P): 3x – 2y + 3z – 2 = 0
13
x 2 y 3 z 2 0
iii/ Song song với đường thẳng d:
x y z 0
2
2
Bài 5: Viết pttt của m/cầu (S): x + y + z2 –2x –4y + 2z – 3 = 0 thỏa:
ur
a/ Qua A(–4; 3; 0) và có VTCP u = (4; 1; 1).
x y 1 z
b/ Qua A(–2; 1; 3) và vuông góc với đ.thẳng d:
1
2
2
14