Bài giảng điện tử: Minh họa chuyên đề về cực trị của hàm số Giải tích 12

Kiểm tra bài cũ.
1)Nêu các khái niệm về cực
trò của hàm số?
2)Nêu điều kiện cần và
điều kiện đủ để hàm số
có cực trò?

14/03/18


Trả lời: 1)-Giả sử hàm số f xác
đònh trên
tập
D,
D ��
v xhợp
0 �D.
a một điểm cực
a)x0 được gọi là
ø
đại của
f nếu
tồn
a; bhs�
D
x0 tại
chứa

sao cho




f  x   f  x0  , x � a; b  \  x0  .

f  x0 
Khi đo,ù
đgl GTCĐ (cực đại)
x0 được
hs f. gọi là một điểm cực
b)của
tiểu của ahs
; bf nếu
�D tồn xtại
0
chứa
sao cho

f  x 


f  x0  , x � a; b  \  x0  .

f  x0 
Khi đó,



đgl GTCT (cực tiểu)


Trả lời:
c) Điểm cực đại và điểm cực
tiểu của hs được gọi chung là
điểm cực trò của hs đó.
d) GTCĐ và GTCT của hs được gọi
chung là cực trò của hs đó.

x0
e) Nếu
là một điểm cực trò
M
của
 x0f thì
 x0 , fhs
đgl điểm cực trò của
đồ thò hs f.


Trả lời:
2)* Điều kiện cần để hs có
x0
cực trò.
Giả sử hs f đạt x
cực
trò
f '  xtại
0.

0  điểm
0
* Điều
kiện
đủf có
đểđạo
hs có
cực
. Khi đó,
nếu
hàm
tại
thì lí 1: Giả sử hs f liên tục
a)trò.
Đònh
trênx0(a;b) chứa  điểm
a; x0  ,  x0và
, b  có
đh trên
Khi đóx
f '  x0 
+Nếu
đổi dấu từ. dương
sangx0âm khi đi quax0 thì hs f đạt
CĐ tại
. đổi dấu từ âm sang
f '  x0 
x
+Nếu
x0 khi đi qua xthì

dương
hs f đạt CT
0
tại
.


Trả lời:
2)* Điều kiện cần để hs có
x0
cực trò.
Giả sử hs f đạt x
cực
trò
f '  xtại
0.
0  điểm
0
* Điều
kiện
đủf có
đểđạo
hs có
cực
. Khi đó,
nếu
hàm
tại
thì lí 2: Giả sử hs f có đạo
b)trò.

Đònh
x0 , f '  x0(a;b)
  0 chứa
hàm cấp một trên
x0 f có đh cấp
điểm
và
hai khác
. Khi
f "  x0   0
0 tại điểm
+Nếu
thì hs f đạt
CĐđó
tại
x0
điểm
f "  x   .0
+Nếu
thì hs f đạt CT tại
x
điểm

0

.

0

Bài học
MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ CỰC TRỊ
CỦA HÀM SỐ

14/03/18


SỐ DẠNG TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM

g 1: Tìm đk của ts để hs đạt cực trò tại
x0 .đie

Em hãy nêu các
háp giải:
phương pháp để
Sử dụng quy tắc 1.
giải dạng toán
à tính y’.
tại
x0 � y '  x0   0 �trên?
m  ?.
được thay vào hs, lập BBT xét cụ thể và KL.

ùch 2: Sử dụng quy tắc 2.
XĐ và tính y’, y”.
�
y '  x0   0
�
x0 � �
ït CT tại

y "  x0  �0
�
�
y '  x0   0
�
ạt CĐ tại
x0 � �
y "  x0   0
�
y '  x0   0
�
�
x0 � �
ạt Ctiểu tại
y "  x0   0
�


SỐ DẠNG TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM

g 1: Tìm đk của ts để hs
đạt
cực
trò
tại
đie
x
.
0

Tìm các gt của ts m

hương pháp giải:
ể
 x 3hs
  m  3 x 2  mx  m  5
ác ví dụ:
T1:
đạt cực tiểu tại
TXĐ: D  �.
Giải:
x=2?
(Cách
y '  3 x 2  2  m  3 x  m.
Hs1)
đạt cực tiểu tại y '  2   0 � m  0.
BBT
2
x=2
nên
Với m=0 y '  3x  6 x.
0
�
x �
2
thì
x0
�
 0  0 
y’

y' 0 � �
�
x

2
�
y
�
CT
Dựa vào BBT, ta thấy giá trò m cần
tìm là m=0.


SỐ DẠNG TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM

g 1: Tìm đk của ts để hs
đạt
cực
trò
tại
đie
x
.
0
Tìm các gt của ts m

hương pháp giải:
ể
 x 3hs
  m  3 x 2  mx  m  5

ác ví dụ:
T1:
đạt cực tiểu tại
TXĐ: D  �.
Giải:
x=2?
y ' (Cách
 3 x 2  2  m  3  x  m. y "  6 x  2  m  3 .
Hs2)
đạt cực tiểu tại x=2 khi và chỉ
khi
y
'
�

m0
�
� 2  0
��
�m0
�
m3
�
�y "  2   0
Vậy giá trò m cần tìm là m=0.


SỐ DẠNG TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM

g 1: Tìm đk của ts để hs đạt cực trò tại

x0 .đie

hương pháp giải:
ác ví dụ:
T2:
Giải: TXĐ: D  �\  m

y' 

y" 

x  2mx  m  1
2

2

 x  m

2

2

Tìm các gt của ts m
2
để hsx  mx  1

y

xm

đạt cực đại tại x=2?

.

. Hs đạt cực đại tại x=2 khi
 x  m  �m  1và chỉ khi
�
�
�y '  2   0 � ��
� m  3
m  3
��
�
�
�y "  2   0
2(2  m)  0
�
Vậy giá trò m cần tìm là m=-3.
3


SỐ DẠNG TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM

ïng 2: Tìm đk của ts để hs có cực trò
c chứng minh hs có cực trò.

Khi nào một hs có
cực trò trên tập
tính y’.
xác đònh của nó?

hi và chỉ khi y’ đổi dấu khi x Hãy
đi quanêu
nghiệm
của nó.
phương
điều kiện để tìm tham số m.pháp chứng minh hs
øi toán cm hs có cực trò thì ta có
chứng
tỏ y’ có)
luôncực
đổi da
(không
ghiệm của nó. Ngược lại nếu
cm hs không có cực tr
trò?
ng đổi dấu. Số lần đổi dấu của y’ đúng bằng số

hương pháp giải:

Nếu y là hàm bậc ba thì y có cực trò khi và chỉ khi y
phân biệt.


SỐ DẠNG TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM

g 2:Tìm đk của ts để hs có ct hoặc cm hs c

Các ví dụ:

)BT3:

iải: TXĐ:

D�

y '  3 x 2  6  m  1 x  9

Hs luôn có cực trò khi và
chỉ khi
2
y’ có hai nghiệm
phân
�  '( y ')  9  m  1  27  0
biệt.

�
m  1  3
��
m  1  3
�

KL: Vậy các giá trò m
cần tìm là:

Tìm các giá trò của
tham số m để hàm
3
2
số
y  xsau
 3 luôn

m  1 xcó
 9 xcực
 m.
trò?



 



m � �; 1  3 � 1  3; �


SỐ DẠNG TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM

g 2: Tìm đk của ts để hs có ct hoặc cm hs

Các ví dụ:

b)BT4:
iải: TXĐ:

y' 

Tìm các giá trò của
tham số m để hs sau
 mxcực
 2 trò?
khôngx 2có

y
x 1

D  �\  1

x2  2x  m  2

 x  1

2

Hs không có cực trò khi và
chỉ khi
y’�
vô
hoặc có
 '( nghiệm
y ' 0)  m  3 �0
nghiệm kép.

 m 3
ۣ

KL: Vậy các giá trò m
cần tìm là:

m � �; 3


SỐ DẠNG TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM

g 2: Tìm đk của ts để hs có ct hoặc cm hs

Các ví dụ:
)BT5:
iải:TXĐ:

D�

y '  3 x 2  6mx  3  m 2  1

Chứng minh hs sau
luôn có cực trò với
ymọi
 x 3 tham
3mx 2  số
3 m 2 m.
 1 x  m3

Ta

2
2
 '( y c

9
m

9
m

 9  9  0, m ��.
')

o
Suy ra y’ luôn có 2 nghiệm
ù
phân
:
biệt với mọi tham số m.
Vậy hs luôn có cực trò.






SỐ DẠNG TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM

III.Dạng 3: Tìm các gt của ts để hs
có cực trò thỏa
điều
kiện
K
nào
đó
cho
trước.
hương pháp giải:
*Điều kiện K có thể là
điều kiện liên quan đến

tính chất hàm, tính chất
hình học, các hệ thức,
bất đẳng thức, dãy số,
-Tìm TXĐ và tính y’.
…
-Sử dụng đk để hs có cực trò
và đk K để suy ra tham số m.


SỐ DẠNG TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM

III.Dạng 3: Tìm các gt của ts để hs
có cực trò thỏa
Cho hs
Các
ví dụ:
điều
kiện K nào đó cho
trước.
)BT5:
y  x3  3: m  1 x 2  9 x  m.





a)BT
Giải: TXĐ:
D�
Xác đònh các gt

2
y6:'  3x  6  m  1 x  9
x1 , x2 hs đạt
của ts m để
Theo kết quả BT3,
x1  tại
x2 �2
cực trò
ta có �m  1  3
thỏa
Hs có � �
 1
m  1  3
�
CT
�x1  x2  2  m  1
p dụng đl Viét, �
�x1.x2  3
ta có

x1  x2 �2 �  x1  x2   4 x1.x2 �4 � 4  m  1  12 �4
2
�  m  1 �4 � 3 �m �1
�

3;

1

3

�

1

3;1
.
Kết hợp với (1), tam ��
�
�
2

được

2

 


SỐ DẠNG TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM

III.Dạng 3: Tìm các gt của ts để hs
có cực trò thỏa
Cho hs
Các
ví dụ:
điều
kiện K nào đó cho
trước.
)BT5:
: 3mx 2  3m  1.

y   x3 

b)BT
Giải: TXĐ:
D�
Xác đònh các gt
x0
�
2
7:
y' 
3x  6mx; y '  0 � �x  2m
của ts m để đths có
�
Hs có ۹ m 0
2 điểm cực trò đối
d : x nhau
 8 y  74
 0đt
VớiCT
đk trên, ta có hai
xứng
qua
d
uuu
r
3
3
A  0; điểm
3m  1 ; BCT

4m  3m  1 � AB   2m; 4m 
 2m;là
Gọi I là trung điểm của AB,
I m; 2m3  3m  1
r
r
khi
đó
ta
có
Đường thẳng d có một VTCP
u   8; 1
u



�I �d
là:
A và B đối xứng
��
�AB  d
nhau qua d
3
�
m  8  2m  3m  1  74  0
�
� �uuu
�m2
rr
�AB.u  0



A

I
B


SỐ DẠNG TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM

III.Dạng 3: Tìm các gt của ts để hs
có cực trò thỏa
Cho hs
Các
ví dụ:
điều
kiện K nào đó cho
trước.
)BT5:
y  x 4  2:mx 2  2m  m 4 .

D�
c)BT8
Giải: TXĐ:
Tìm các gt của ts m
x0
�
3
y '  :4 x  4mx; y '  0 � �x 2  m (*) để đths có điểm

�
Hs có CĐ và� m  0
cực đại và cực tiểu
VớiCT
đk trên, đths có 1
đồng thời các
điểm CĐ và
điểm đó tạo thành
2
lượt
Ahai
 2m  ; B CT
 mlần
; m4  m
 2mlà
 2m  . tam giác
 0; m4điểm
 ; C  m ; m4  m2 một
A
đều.
Vì y là hs chẵn nên tg ABC
cântgtại
A � AB  BC � AB 2  BC 2
Do đó
ABC

� mđều
 m 4  4m � m  m 3  3   0 � m  3 3
(Thỏa đk m>0). m  3 3
Vậy

B

0

C


SỐ DẠNG TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM
Củng cố và hướng dẫn về nhà:
-Nắm vững các kiến thức cơ bản về
cực trò của hs.
-Nắm kỹ phương pháp giải ba dạng
toán thường gặp về cực trò của
hàm số.
x 2  mx  1
y
1)Tìm
đạt giá trò cực đại
-Xem m
lạiđể
lời
giải
x  m các ví dụ trên đồng
3
2
hs
bằng
2. x=1 và CT tại
đạt

CĐ
tại
y

ax

bx
 x tập
2)Tìm
a,b
để
thời làm các bài
sau:

hs
x 2  m  m 2  1 x  m 4  1 x=2.
luôn có CĐ và CT
3)Cmr y 
xm
với mọi m.
hs
4)Tìm m để y  x 4  2mx 2  1 có 3 điểm cực trò A,B,C
đths
sao cho
đường tròn ngoại tiếp tg ABC có
bán kính R=1.


TIẾT HỌC KẾT THÚC
THÂN ÁI CHÀO Q

THẦY CÔ GIÁO VÀ CÁC
EM

14/03/18