Đề thi chuyên tin vào lớp 10(3)

Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên Tin QuốC HọC
Thừa Thiên Huế Môn: TOáN - Năm học 2007-2008
Đề chính thức Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (2,75 điểm)
Cho các biểu thức
3 4A x x= + ì
và
( ) ( )
3 4B x x= +
a) Tìm
x
để
A
có nghĩa. Tìm
x
để
B
có nghĩa.
b) Với giá trị nào của
x
thì
B A=
?
c) Rút gọn biểu thức
( ) ( )
2
3 4
9
x x
C
x

+
=

Bài 2: (1,75 điểm)
Không sử dụng máy tính bỏ túi, giải phơng trình:
2
2 3 2 11 0x x =
Bài 3: (3,0 điểm)
Cho tam giác đều ABC, O là trung điểm của cạnh BC. Đờng tròn (O) tâm O tiếp xúc với hai
cạnh AB và AC lần lợt tại F và G. Trên đoạn AF lấy điểm D tùy ý (
D A, D F
). Qua D kẻ
tiếp tuyến của (O) (khác AB) cắt cạnh AC tại E.
a) Chứng minh rằng
ã
0
DOE = 60
.
b) Chứng minh rằng ba tam giác BDO, COE và ODE đôi một đồng dạng với nhau.
c) Cho biết cạnh của tam giác đều ABC bằng
a
, tính chu vi tam giác ADE theo
a
.
Bài 4: (1,5 điểm)
Cho hình vuông ADEF có cạnh
AD = 21cm
. Vẽ đờng tròn tâm A bán kính AE cắt tia AF
tại B. Vẽ hình chữ nhật ABCD. Nếu cắt một tờ giấy bằng hình chữ nhật ABCD thì ta đợc tờ
giấy khổ A4 thông dụng. Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh rằng: Nếu gấp tờ giấy A4

này theo các đờng thẳng AC và BI thì ta đợc góc vuông có đỉnh là giao điểm của 2 đờng gấp và
2 cạnh chứa hai đờng gấp.
B ài 5: (1 điểm)
Để lát gạch cho một khu vờn hình chữ nhật có số đo chiều dài và chiều rộng là những số tự
nhiên lớn hơn 2, ngời ta chỉ chọn các viên gạch đợc thiết kế theo 3 loại nh hình vẽ (các ô vuông
nhỏ ở mỗi loại gạch có kích thớc
1 1ì
). Cách lát gạch này phải thỏa mãn đồng thời các điều
kiện: (i) Không để lại lỗ trống trong khu vờn hình chữ nhật;
(ii) Không đợc chồng 2 viên gạch lên nhau;
(iii) Sử dụng cả 3 loại gạch nguyên gốc và không đợc cắt hoặc làm biến dạng.
a) Chứng tỏ rằng khu vờn hình chữ nhật có các kích thớc
3 5ì
có thể đợc lát gạch theo
cách trên.
b) Hỏi khu vờn hình chữ nhật có các kích thớc
2007 2005ì
có thể đợc lát gạch theo cách
trên không? Giải thích.
Hết
1
SBD thÝ sinh: ............... Ch÷ ký GT1: ................................
2
Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên tin QUC HC
Thừa Thiên Huế Môn: TOáN - Năm học 2007-2008
Đề chính thức Đáp án và thang điểm
Bài
ý
Nội dung Điểm
1

2,75
1.a
+ Điều kiện để biểu thức
A
có nghĩa:
3 0x
+
và
4 0x

3x và 4x
4x
.
+ Điều kiện để biểu thức
B
có nghĩa:
( ) ( )
3 4 0 ( 3)x x x+ +
và
( 4)x
cùng không âm hoặc cùng không dơng

(
3x
và
4x

) hoặc (
3x
và

4x

)
( 3x
hoặc
4x

)
0,25
0,25
0,25
0,25
1.b
+
( ) ( )
3 4 3 4B A x x x x= + = + ì


3 0x +
và 4 0x


3x

và
4 4x x

0,25
0,25
1.c

+
( ) ( )
2
3 4
9
x x
C
x
+
=

có nghĩa

( ) ( )
3 4 0x x+
và
( ) ( )
3 3 0x x+ >

( 3x hoặc 4x ) và ( 3x < hoặc 3x > )
3x
<
hoặc
4x

(*)
0,25
0,25
0,25
+ Với điều kiện (*) ta có

( ) ( )
3 4 0x x+
và
2
9 0x >
.
Do đó:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
3 4
3 4
4
3 3 3
9
x x
x x
x
C
x x x
x
+
+

= = =
+

0,25
0,25

2
1,75
+ Nếu 2 0 2x x thì phơng trình trở thành:
2 2
2 3( 2) 11 0 2 3 5 0x x x x = = .
Phơng trình này có 2 nghiệm:
1
1 2x = <
(loại) và
2
5
2
2
x = >
.
0,25
0,50
+ Nếu
2 0 2x x
< <
thì phơng trình trở thành:
2 2
2 3(2 ) 11 0 2 3 17 0x x x x = + =
3 4
3 145 3 145 3 12 9
0 2; 2
4 4 4 4
x x
+ +
= < < = > = >

(loại)
0,25
0,50
+ Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm:
5
2
x =
và
3 145
4
x

=
0,25
1
3
3,0
3a
+ Hình vẽ đúng
+ Gọi H là tiếp điểm của tiếp tuyến DE với
(O). Ta có DH và DF là 2 tiếp tuyến của (O),
nên OD là tia phân giác của góc
ã
FOH
.
Suy ra:
ã
ã
FOD DOH=
.

+ Tơng tự:
ã
ã
HOE EOG=
.
+ Do đó:
ã
ã
2FOG DOE=
Mà
ã
0
120FOG =
, nên
ã
0
60DOE =
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
3b
+ Hai tam giác BDO và ODE có:
ã
ã
0
60DBO DOE= =

và

ã
ã
BDO ODE=
(DO là phân giác của các
ã
EDF
)
Vậy hai tam giác BDO và ODE đồng dạng.
+ Chứng minh tơng tự: Hai tam giác ODE và COE cũng đồng dạng.
+ Từ đó suy ra ba tam giác BDO, ODE, COE đôi một đồng dạng với nhau.
0,50
0,25
0,25
3c
Ta có: DH = DF và EH = EG.
Do đó chu vi tam giác ADE bằng
2AF AG AF
+ =
Trong tam giác vuôngAOB, ta có
2
3
4
a
AF AB AO AFì = =
.
Vậy chu vi của tam giác ADE bằng
3
2
a
0,25

0,25
0,25
4
1,50
+ Đặt AD a= ( 21a =
cm
)
+ Ta có AE là đờng chéo của hình vuông
ADEF, nên
2AE a=
. Do đó

2AB AE a= =
.
+ Suy ra:
ã
2 2
2 2
IC a
tg IBC
BC a
= = =
(1)
ã
1 2
2
2 2
BC a
tg BAC
AB

a
= = = =
(2)
+ Từ (1) và (2), ta có:
ã
ã
ã
ã
tg IBC tg BAC IBC BAC= =
(vì hai góc đều nhọn)
+ Mà
ã
ã
ã
ã
0 0
90 90IBC ABI BAC ABI+ = + =
.
+ Suy ra
ã
0
90AKB =
(K là giao điểm của AC và BI ).
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
K

2
5
1,0
5a
(a) Víi h×nh ch÷ nhËt
3 5×
, ta cã thÓ thùc hiÖn c¸ch l¸t g¹ch nh sau:
0,50
5b
(b) Ta cã
2007 3 669; 2005 5 401= × = ×
, nªn cã thÓ chia khu vên h×nh ch÷ nhËt
kÝch thíc
2007 2005
×
thµnh
669 401
×
h×nh ch÷ nhËt cã kÝch thíc
3 5
×
.
Theo c©u (a) th× c¸c h×nh ch÷ nhËt kÝch thíc 3 5× cã thÓ thùc hiÖn c¸ch l¸t g¹ch
tháa ®iÒu kiÖn bµi to¸n. V× vËy khu vên h×nh ch÷ nhËt kÝch thíc
2007 2005
×
cã
thÓ l¸t g¹ch ®îc theo yªu cÇu bµi to¸n.
0,50
3